高中數(shù)學(xué)新教師培訓(xùn)

強調(diào)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，突出數(shù)學(xué)思想本質(zhì)

重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

——高一必修教材解讀

高中數(shù)學(xué)新教師培訓(xùn)初中、高中內(nèi)容的差異初中高中表達相對直觀更加抽象概念相對具體更加一般幾何、代數(shù)相對分離更加融合統(tǒng)計、概率側(cè)重描述側(cè)重推斷高中內(nèi)容更加抽象、嚴(yán)謹，如函數(shù)一、以“順序性”“連續(xù)性”“整體性”“關(guān)聯(lián)性”為原則，構(gòu)建符合數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生認知規(guī)律的教科書體系整體與結(jié)構(gòu)預(yù)備知識

完善教材中數(shù)學(xué)知識的銜接性、系統(tǒng)性和過程性，為高中數(shù)學(xué)課程做好知識技能、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)心理等方面的準(zhǔn)備。預(yù)備知識集合與常用邏輯1.預(yù)備知識為何包括這兩部分內(nèi)容？一元二次函數(shù)方程和不等式2.預(yù)備知識預(yù)備了什么？3.初中向高中過渡關(guān)鍵單元（課時）在哪？4.如何把握住這個關(guān)鍵單元（課時），如何設(shè)計？思考問題：1.做好知識技能的準(zhǔn)備；學(xué)習(xí)方法的過渡；2.做好學(xué)習(xí)心理的準(zhǔn)備.集合與常用邏輯用語

以初中學(xué)過的內(nèi)容為載體，引導(dǎo)學(xué)生用集合語言和常用邏輯用語梳理、表達學(xué)過的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容，實現(xiàn)從具體的初中數(shù)學(xué)知識向較為抽象的高中數(shù)學(xué)知識的過渡。標(biāo)準(zhǔn)：刪去了四種命題及其關(guān)系，簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞；增加了數(shù)學(xué)判定、性質(zhì)、定義與充分條件、必要條件、充要條件的關(guān)系。標(biāo)準(zhǔn)解讀：盡量選擇一般邏輯學(xué)中對數(shù)學(xué)最有用的、又能說的清楚的內(nèi)容。例如，充分條件與判定定理的關(guān)系，必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系，充要條件與數(shù)學(xué)定義的關(guān)系。增加判定、性質(zhì)、定義與充分、必要、充要條件的關(guān)系數(shù)學(xué)≠邏輯學(xué)：數(shù)學(xué)依賴邏輯，邏輯依賴數(shù)學(xué)，亦或彼此依賴？用數(shù)學(xué)的例子，慎用生活中的例子，特別是文學(xué)中的例子。有志者，事竟成一元二次函數(shù)與方程、不等式

通過梳理等式的性質(zhì)，以“運算中的不變性就是性質(zhì)”為指導(dǎo)，類比等式的性質(zhì)研究不等式的性質(zhì)；

通過回顧一次函數(shù)與一次方程、不等式的內(nèi)容，類比研究一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，引出一元二次不等式及其圖象解法；

通過“回顧、梳理—提煉—遷移”，發(fā)展一般性的思想方法?；静坏仁蕉ㄎ唬簩W(xué)習(xí)了不等式及其性質(zhì)后，研究一個特殊的、重要的不等式。基本不等式建立了算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的聯(lián)系，在解決最值問題中能發(fā)揮重要作用。它和不等式的性質(zhì)、一元二次不等式一起提供高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必備的不等式工具。把握最值問題的難度，教材中的題目已經(jīng)有了一些基本變形，后續(xù)函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等的學(xué)習(xí)中再結(jié)合具體問題提高要求。第一層緊扣教材，第二層在冪函數(shù)學(xué)完之后，探究y＝x＋1/x的圖象與性質(zhì)，再把它們聯(lián)合起來，第三層到復(fù)習(xí)階段再提高難度。函數(shù)一般到特殊：一般函數(shù)

基本初等函數(shù)；連續(xù)函數(shù)離散函數(shù)（數(shù)列）整體與局部：單調(diào)性（導(dǎo)數(shù)）刻畫局部變化規(guī)律（任意，集合）運動變化現(xiàn)象函數(shù)的概念、表示函數(shù)的圖象、性質(zhì)函數(shù)的應(yīng)用運算先導(dǎo)

三角函數(shù)的結(jié)構(gòu)課標(biāo)：強調(diào)整體性。“三角函數(shù)”納入“函數(shù)”；“三角恒等變換”納入“三角函數(shù)”。教材：“事實（周期性現(xiàn)象）—角與弧度—數(shù)學(xué)對象（三角函數(shù)的定義）—圖象與性質(zhì)（周期性、單調(diào)性、奇偶性、最值等）—三角恒等變換—聯(lián)系與拓展（y=Asin(ωx+φ)）—應(yīng)用”

。突出三角函數(shù)作為刻畫周期運動的數(shù)學(xué)模型借助單位圓定義三角函數(shù)、研究三角函數(shù)的性質(zhì)三角恒等變換的和差角公式體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性（推導(dǎo)公式時承上啟下）；y=Asin(ωx+φ)處理方式變化（刻畫一般圓周運動），要用到三角變換。沒有給三角函數(shù)線：有向線段，大小與方向（概念、技術(shù)等因素）幾何與代數(shù)平面向量（必修）空間向量（選擇性必修）路徑：概念、運算（線性運算、數(shù)量積）、基本定理、坐標(biāo)表示、應(yīng)用（幾何、三角、物理）復(fù)數(shù)：數(shù)系的擴充立體幾何初步→空間向量與立體幾何平面向量及其應(yīng)用第六章

平面向量及其應(yīng)用（18）6.1平面向量的概念（1）閱讀與思考

向量及向量符號的由來6.2平面向量的運算（6）6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示（4）6.4平面向量的應(yīng)用（5）閱讀與思考

海倫和秦九韶小結(jié)（2）數(shù)學(xué)探究

用向量法研究三角形的性質(zhì)（3）向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一。向量具有物理背景和幾何背景。向量是溝通幾何、代數(shù)、三角函數(shù)之間的橋梁。向量在數(shù)學(xué)和物理學(xué)科中具有廣泛的應(yīng)用。橋梁：代數(shù)、幾何、三角函數(shù)代數(shù)——運算：加、減、數(shù)乘、數(shù)量積……，類比數(shù)的運算因為運算，向量的力量無限，沒有運算，向量就是一個路標(biāo)幾何——有向線段表示，形三角函數(shù)——邊角之間的定量關(guān)系推廣：空間向量，立體幾何應(yīng)用——物理：力、位移、速度，功——幾何——余弦定理、正弦定理用向量聯(lián)系幾何與代數(shù)——向量既是代數(shù)研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。平面向量：平面幾何中的向量方法；余弦定理、正弦定理、解三角形。復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的幾何意義、三角表示；復(fù)數(shù)代數(shù)形式加減運算，乘除運算三角形式的幾何意義。立體幾何初步：幾何體結(jié)構(gòu)，點線面的位置關(guān)系?？臻g向量與立體幾何：證明判定定理；直線、平面間的位置關(guān)系；解決距離、夾角問題。解析幾何：傾斜角引入，斜率公式推導(dǎo)，點到直線距離公式。結(jié)構(gòu)體系概念：背景，數(shù)學(xué)化運算：價值，結(jié)構(gòu)化平面向量基本定理：平面的表示，坐標(biāo)化的基礎(chǔ)運算的坐標(biāo)表示：坐標(biāo)法、向量法應(yīng)用運算的物理背景及其定義的合理性用有序數(shù)對刻畫向量，向量運算的數(shù)量化向量投影的意義高維空間到低維空間的變換：二維到一維，三維到二維投影仍然是一個向量數(shù)量積的意義處理幾何問題：點到直線的距離公式三角形“回路”三角形——最重要的幾何圖形，是初中階段最重要的圖形，高中將三角形進行定量研究，將幾何中的定性與定量相結(jié)合，解三角形余弦定理：兩邊夾角，三角形唯一確定；三邊→三角；全等正弦定理：邊與對角的正弦成比例，邊與對角互相轉(zhuǎn)化，角與對邊互相轉(zhuǎn)化；兩邊及其夾角的正弦之積是定值，二維的量，與面積有關(guān)復(fù)數(shù)：概念、運算、三角表示整體性與聯(lián)系性有序數(shù)對立體幾何立體幾何初步（必修）

基本立體圖形基本圖形的位置關(guān)系空間向量與立體幾何（選擇性必修）用空間向量解決立體幾何問題：位置關(guān)系、距離、夾角概率與統(tǒng)計都是從數(shù)量角度研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，它們都是處理總體和樣本的問題，但兩者以相反的方式進行。概率是從總體到樣本的推理（演繹推理），而統(tǒng)計是從樣本到總體的推理（歸納推理）概率有理，統(tǒng)計有據(jù)；

概率統(tǒng)計有理有據(jù)概率與統(tǒng)計：兩者之間的關(guān)系概率推斷統(tǒng)計總體樣本概率與統(tǒng)計的整體安排必修選擇性必修主題四概率與統(tǒng)計主題三概率與統(tǒng)計1.概率

（1）隨機事件與概率（2）隨機事件的獨立性2.統(tǒng)計（1）獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念（2）抽樣（3）統(tǒng)計圖表（4）用樣本估計總體2.概率（1）隨機事件的條件概率（2）離散型隨機變量及其分布列（3）正態(tài)分布3.統(tǒng)計（1）成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性（2）一元線性回歸模型（3）2×2列聯(lián)表概率與統(tǒng)計的整體安排概率與統(tǒng)計整體安排的特點概率、統(tǒng)計誰前孰后？高中統(tǒng)計屬于推斷統(tǒng)計，在形式上這么安排可以體現(xiàn)概率的理論基礎(chǔ)作用。但由于概率知識不夠，沒有要求（也不可能）給統(tǒng)計的推斷結(jié)果用概率進行刻畫，推斷的合理性主要是基于直觀或經(jīng)驗，因此在內(nèi)容上高中概率作為統(tǒng)計的理論基礎(chǔ)體現(xiàn)得并不充分，在必修中（定性的描述）更是如此。概率與統(tǒng)計整體安排的特點關(guān)系與運算分布與數(shù)字特征計算與性質(zhì)樣本空間隨機事件概率隨機變量概率空間建立的過程：X樣本空間可測空間概率空間導(dǎo)出空間按概率空間建立的過程安排概率內(nèi)容必修概率與統(tǒng)計整體安排的特點按處理數(shù)據(jù)的維數(shù)安排統(tǒng)計內(nèi)容數(shù)據(jù)的表示—數(shù)據(jù)的特征刻畫—直觀推斷數(shù)據(jù)的表示—數(shù)據(jù)的特征刻畫—直觀推斷或基于概率推斷一維數(shù)據(jù)成對數(shù)據(jù)必修

選擇性

必修概率的變化來自于數(shù)學(xué)化和理論上的需要；統(tǒng)計的變化主要反映了大數(shù)據(jù)時代的需要。概率與統(tǒng)計內(nèi)容和要求的主要變化增加減少變化概率有限樣本空間、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式*等幾何概型頻率穩(wěn)定于概率作為確定概率的方法，不作為概率的定義統(tǒng)計分層隨機抽樣的均值和方差、百分位數(shù)、樣本相關(guān)系數(shù)系統(tǒng)抽樣變量的相關(guān)關(guān)系、事件的獨立性在必修和選擇性必修中位置互換概率（必修）隨機現(xiàn)象隨機試驗樣本點樣本空間隨機事件事件的關(guān)系與運算隨機事件的概率事件的相互獨立性古典概率模型概率的基本性質(zhì)利用性質(zhì)計算概率利用頻率估計概率應(yīng)用概率解決實際問題概率（選修）——隨機變量及其分布條件概率加法公式乘法公式全概率公式貝葉斯公式隨機變量離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量正態(tài)分布

分布列均值與方差二項分布超幾何分布概率與統(tǒng)計統(tǒng)計必修——統(tǒng)計——單個變量隨機抽樣——簡單、分層隨機抽樣、數(shù)據(jù)獲取途徑用樣本估計總體——總體取值規(guī)律估計（頻率分布直方圖），總體位置參數(shù)、集中趨勢、離散程度的估計選擇性必修——兩個變量——成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析數(shù)值型變量——散點圖直觀描述相關(guān)關(guān)系——樣本相關(guān)系數(shù)定量刻畫線性相關(guān)關(guān)系——一元線性回歸模型刻畫線性相關(guān)分類變量——2

2列聯(lián)表直觀判斷是否有關(guān)聯(lián)——獨立性檢驗對關(guān)聯(lián)性進行統(tǒng)計推斷概率必修——概率隨機事件與概率——事件的關(guān)系與運算古典概型——概率的性質(zhì)事件的相互獨立性頻率與概率選擇性必修——隨機變量及其分布條件概率與全概率公式——計算復(fù)雜事件的概率離散型隨機變量——分布、數(shù)字特征（期望、方差）——二項分布與超幾何分布連續(xù)型隨機變量——正態(tài)分布必修先統(tǒng)計后概率，選擇性必修先概率后統(tǒng)計數(shù)學(xué)建?；顒釉O(shè)置在與現(xiàn)實聯(lián)系緊密的函數(shù)、概率與統(tǒng)計等主題中，數(shù)學(xué)探究活動設(shè)置在數(shù)學(xué)知識的交匯點上。數(shù)學(xué)文化不僅融入正文內(nèi)容之中，而且以“文獻閱讀與數(shù)學(xué)寫作”欄目為載體對數(shù)學(xué)文化提出具體的學(xué)習(xí)要求。

函數(shù)的形成與發(fā)展；對數(shù)概念的形成與發(fā)展；幾何學(xué)的發(fā)展；

解析幾何的形成與發(fā)展；微積分的創(chuàng)立與發(fā)展。必修第一冊數(shù)學(xué)建模（現(xiàn)實）

建立函數(shù)模型解決實際問題必修第二冊數(shù)學(xué)探究（數(shù)學(xué)）

用向量法研究三角形的性質(zhì)選擇性必修數(shù)學(xué)探究

楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用選擇性必修數(shù)學(xué)建模

建立統(tǒng)計模型進行預(yù)測二、突出相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法本質(zhì)與思想教材重視“講數(shù)學(xué)”，通過展示數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過程，促使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)；通過對學(xué)生進行在數(shù)學(xué)形式下的思考和推理的訓(xùn)練，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力，形成用數(shù)學(xué)的思想和方法來思考和處理問題的習(xí)慣，培育理性精神。教材重視以數(shù)學(xué)核心概念及其反映的基本思想為紐帶，加強內(nèi)容的縱橫聯(lián)系，通過類比、歸納、推廣、特殊化，使不同內(nèi)容相互溝通，從而加深對數(shù)學(xué)的整體性認識，幫助學(xué)生建立結(jié)構(gòu)功能優(yōu)良、遷移能力強的數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)的思維方式，提高對數(shù)學(xué)的整體認識。案例：突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質(zhì)，滲透研究函數(shù)的思想方法突出函數(shù)所刻畫的運動變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征數(shù)學(xué)研究的數(shù)量關(guān)系和空間形式是從現(xiàn)實世界中抽象出來的，無論數(shù)量關(guān)系中還是空間形式中都充滿了運動變化的問題，函數(shù)就是對客觀事物從運動變化的角度進行數(shù)量化研究的重要數(shù)學(xué)語言和工具。高中階段對于函數(shù)的認識已經(jīng)從初中的“變量之間的單值對應(yīng)”提升到“數(shù)集之間的對應(yīng)關(guān)系”，但其刻畫運動變化現(xiàn)象的本質(zhì)特征沒有改變，變化與對應(yīng)也是研究函數(shù)的基本思想方法。三角函數(shù)的研究——突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型刻畫循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始的規(guī)律——周期性最簡單——單位圓上的勻速圓周運動用一個模型貫穿全章始終，串聯(lián)起不同的概念和內(nèi)容?？坍媹A周運動——任意角及性質(zhì)刻畫單位圓周運動——三角函數(shù)概念

單位圓的對稱性——三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、差角余弦公式三角函數(shù)的單位圓定義——三角函數(shù)圖象與性質(zhì)筒車、摩天輪——函數(shù)y=Asin(ωx+φ)針對具體知識，利用模型的變化，設(shè)計更加貼切的情景。三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系。我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)。由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性。

——誘導(dǎo)公式的引導(dǎo)語二（π+α）三（?α）四（π?α）五（π/2?α）三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)的應(yīng)用案例：把握統(tǒng)計概率教學(xué)的重點和主線，發(fā)展數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)統(tǒng)計與概率的關(guān)系統(tǒng)計與概率都是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性，處理總體和樣本的問題，但方式相反。結(jié)果表現(xiàn)：立論基礎(chǔ)不同、推理方法不同、判斷原則不同?？傮w樣本推斷統(tǒng)計概率歸納演繹概率與統(tǒng)計的學(xué)科特點概率是在總體被假定已知的情況下，研究從總體中抽取的樣本的有關(guān)問題，往往表現(xiàn)為在一定概率模型或分布中隨機事件概率的計算、隨機變量的取值特征等，這是關(guān)于隨機現(xiàn)象規(guī)律演繹性的研究。統(tǒng)計是在樣本可以獲得的情況下，研究如何從樣本得出關(guān)于總體的一些結(jié)論，表現(xiàn)為根據(jù)樣本數(shù)據(jù)推斷總體的分布、各種數(shù)字特征等，這是關(guān)于隨機現(xiàn)象規(guī)律歸納性的研究。演繹推理是從一般到特殊的推理，只要前提正確，推理有效，那么結(jié)論一定是正確的；歸納推理是從特殊到一般的推理，即使前提正確，結(jié)論也未必正確。因此，概率的結(jié)論具有確定性（指概率，而非隨機事件），而統(tǒng)計推斷的結(jié)論具有隨機性。概率問題

統(tǒng)計問題統(tǒng)計的本質(zhì)及思想統(tǒng)計學(xué)最關(guān)心的是：我們的數(shù)據(jù)能提供哪些信息，也就是說，這些數(shù)據(jù)能告訴我們一些什么。具體地說，面對一個實際問題，我們關(guān)心的是：如何獲得數(shù)據(jù)（抽樣）如何從數(shù)據(jù)中提取（圖、表，數(shù)字特征）所得結(jié)論的可靠性（用樣本估計總體）特點：統(tǒng)計推斷是用樣本估計總體，是通過經(jīng)驗過的事物推斷未曾經(jīng)驗的事物，得到的結(jié)果是或然的。因此，對統(tǒng)計方法的判斷往往不是對錯，而是好壞，要根據(jù)問題特點學(xué)會選擇合適的方法是重要的。個體被抽入樣本的機會均等，意味著樣本具有代表性可能性最大簡單隨機抽樣使得總體中的每一個個體有相等的概率被抽到，使得個體被抽入樣本的機會均等，意味著抽取的樣本具有代表性的可能性最大。由于隨機性的存在，抽取的樣本完全有可能出現(xiàn)偏離總體的情形。簡單隨機抽樣的優(yōu)點，是抽出樣本有代表性的可能性最大，因而是一種公平且客觀的方法。與非概率抽樣比較，隨機抽樣由于每個樣本個體都是隨機抽取，能計算出每個個體被抽入樣本的概率，因而其最大的優(yōu)點在于得到總體指標(biāo)的估計值時，能計算出估計值的抽樣誤差和可靠程度。放回、不放回、分層三種抽樣方式有效性的比較從包含100個學(xué)生的總體中，隨機抽取10名學(xué)生作為樣本，估計全體學(xué)生的平均身高。分別采用不放回抽樣和有放回抽樣，哪種抽樣方式下估計得更準(zhǔn)確些？特例1：采用有放回抽樣，有可能同一個體被重復(fù)抽到，也有可能10次都抽到同一名學(xué)生，此時樣本的代表性非常差，估計很難準(zhǔn)確。而不放回抽樣不會發(fā)生這樣的情況。特例2：假定樣本容量為100，采用不放回抽樣，樣本和總體完全相同，估計結(jié)果完全確定，沒有任何誤差。而采用有放回抽樣，很難遇到樣本和總體完全相同的情況?？傮w規(guī)模很大，樣本量與總體相比很小時，放回和不放回抽樣得到樣本的統(tǒng)計特性相差無幾，近似具有獨立同分布性。不放回比放回調(diào)查效率高，實踐中更多采用不放回抽樣。例

從兩名男生、兩名女生中任意抽取兩人．（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、無放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間．（2）在三種抽樣方式下，分別計算抽到兩名男生的概率．設(shè)事件A=“抽到兩名男生”，對于有放回簡單隨機抽樣，對于無放回簡單隨機抽樣，按性別等比例分層抽樣不可能抽到兩名男生，所以P（A）=0無放回簡單隨機抽樣，可以有效地降低出現(xiàn)“極端”樣本的概率，特別是按比例分層抽樣真正避免了極端樣本的出現(xiàn)，所以改進抽樣方法對提高樣本的代表性很重要。數(shù)據(jù)的數(shù)字特征位置參數(shù)——百分位數(shù)集中趨勢參數(shù)——平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)離散程度參數(shù)——極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差生成一些新的數(shù)據(jù)，來反映這組數(shù)據(jù)的特性（集中趨勢、離散程度、位置信息等）。算法理解—概念理解—統(tǒng)計理解了解數(shù)字特征的作用和意義。要關(guān)注數(shù)據(jù)的數(shù)字特征反映信息時的優(yōu)劣，即它們不同的適用范圍。分層隨機抽樣均值、方差的計算課標(biāo)：結(jié)合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差。為什么研究這樣的問題？有普遍現(xiàn)實意義。在大數(shù)據(jù)時代，常常需要匯總分析來自不同層次的數(shù)據(jù)。例如，針對某個問題，不同網(wǎng)站提供了各自調(diào)查的樣本均值和方差，應(yīng)當(dāng)如何得到所有數(shù)據(jù)的樣本均值和方差？再如，針對某個問題，連續(xù)幾天收集數(shù)據(jù)，得到了每天數(shù)據(jù)的樣本均值和方差，應(yīng)當(dāng)如何得到這幾天所有數(shù)據(jù)的樣本均值和方差？

關(guān)于概率的認識論自然中存在平行的情況（獨立）；曾經(jīng)發(fā)生的東西，在足夠相似的情況下將會再次發(fā)生（同分布）；不僅如此，在同樣的情況下將會永遠發(fā)生。（自然齊一性原理）關(guān)于概率的認識論1.學(xué)習(xí)任何一門學(xué)科都需要世界觀、方法論，概率統(tǒng)計尤其如此

學(xué)習(xí)任何一門學(xué)科都需要一定的世界觀、方法論，都需要關(guān)于這門學(xué)科的認識論，概率統(tǒng)計尤其如此。與代數(shù)、幾何的研究對象：數(shù)與形不一樣，概率統(tǒng)計研究隨機現(xiàn)象，處理隨機數(shù)據(jù)，盡管方法是演繹的，但是推斷過程是歸納式的。這與代數(shù)、幾何是完全的演繹科學(xué)有很大的不同。所以，認識概率統(tǒng)計的哲學(xué)基礎(chǔ)既是重要的，更是必須的。關(guān)于概率的認識論2.偶然與必然、原因與結(jié)果是認識世界的確定性與隨機性的最大視角無所不知，無所不能，是不存在的，總有意料之外、情理之外的因素存在。概率分布秩序下的無序:

高爾頓板，單個的無序、整體的規(guī)律“相比于因果性，隨機性是一個更加基本的概念?！?.尋找原因易，預(yù)測結(jié)果難事后諸葛亮遠比事前諸葛亮更容易：尋找原因易，預(yù)測結(jié)果難。很多結(jié)果的發(fā)生是隨機性的作用，也就是小概率事件發(fā)生了。

防范“黑天鵝”，預(yù)見“灰犀?！?。關(guān)于概率的認識論4.概率論的誕生滯后于幾何、代數(shù)的原因從歷史發(fā)展的角度看，概率論直至16世紀(jì)才誕生，一個重要的原因是“上帝不會擲骰子（愛因斯坦）”。在那個時代，一切的發(fā)生都被認為是確定的，之所以有時無法預(yù)見，是因為人們的認識不足在上帝的視角中，未來就如過去和現(xiàn)在一樣，按照預(yù)定的方式出現(xiàn)，過去和現(xiàn)在決定未來。另一個原因是，當(dāng)時代數(shù)符號運算體系的匱乏，計數(shù)是個難以逾越的障礙，而計數(shù)是概率的重要基礎(chǔ)。一個是信念問題，一個是技術(shù)問題，使得概率論的產(chǎn)生遠遠滯后于幾何和代數(shù)這兩門傳統(tǒng)學(xué)科。認識頻率與概率關(guān)系的幾個層次第一層次：通過頻率與概率的意義直觀認識。頻率描述事件發(fā)生的頻繁程度，而概率是事件發(fā)生的可能性大小的度量．一般地，如果事件A的概率較大，那么，在重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生得比較頻繁，因此事件A的頻率一般也較大．反之亦然。第二層次：通過試驗認識頻率的穩(wěn)定性。經(jīng)歷具體的隨機試驗，認識到當(dāng)重復(fù)試驗的次數(shù)較少時，頻率的波動比較大．隨著試驗次數(shù)的增多，頻率的波動越來越小，逐漸穩(wěn)定在一個常數(shù)附近，這個常數(shù)就是概率。所以，當(dāng)試驗次數(shù)較大時，我們用頻率來估計概率。第三層次：認識頻率與概率的本質(zhì)區(qū)別。對確定的隨機事件，即事件的概率是客觀存在的，是確定的。而頻率卻具有隨機性，試驗次數(shù)不同，其頻率可能不同；試驗次數(shù)相同，不同的試驗頻率也可能不同。第四層次：通過具體的計算或計算機模擬認識頻率的穩(wěn)定性，它有助于將頻率與概率的關(guān)系表述得更準(zhǔn)確。第五層次：大數(shù)定律。設(shè)事件A的概率為p,fn（A）是n次試驗事件A發(fā)生的頻率，則對任意ε>0，有

。頻率依概率收斂于概率p，只要n充分大，那么頻率估計概率的誤差就如所希望的小。

用頻率估計概率，試驗次數(shù)越大，估計得就越準(zhǔn)確？高中概率與統(tǒng)計的基本概念與思想頻率、樣本概率、總體用頻率估計概率用樣本估計總體集中趨勢參數(shù)：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)離散程度參數(shù)：極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差樣本空間的基礎(chǔ)性有條理、一般性基本事件：形式最為簡單的隨機事件樣本空間：所有基本事件構(gòu)成的集合，也可以是一個區(qū)間，甚至是整個實數(shù)集合。樣本空間與問題背景有關(guān)，而與問題本身無關(guān)。問題背景：“擲一枚骰子（6個）”，問題：“點數(shù)為偶數(shù)”，“點數(shù)小于5”三、重視數(shù)學(xué)對象的獲得過程、數(shù)學(xué)概念的形成過程，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)獲得與抽象數(shù)學(xué)源于對現(xiàn)實世界的抽象，數(shù)學(xué)研究對象是從數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象得到的，數(shù)學(xué)對象的獲得過程蘊含著豐富的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。問題情境（現(xiàn)實、數(shù)學(xué)、其他學(xué)科）——概念例如，函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，因此對于函數(shù)及相關(guān)概念（基本初等函數(shù)、數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、導(dǎo)數(shù)），都要從反映這些概念本質(zhì)特征的現(xiàn)實情境、數(shù)學(xué)情境、其他學(xué)科情境等問題情境出發(fā)，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納其共同特征、概括其本質(zhì)屬性的過程，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地認識問題，學(xué)會“用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界”，從而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的素養(yǎng)。函數(shù)概念的發(fā)展歷史：變量說

對應(yīng)說

關(guān)系說17世紀(jì)，笛卡兒：引入變量概念，并用代數(shù)關(guān)系式表達變化的量之間的關(guān)系。1673年，萊布尼茲：給出了函數(shù)的概念，用來表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。1748年，歐拉：一個變量的函數(shù)是由該變量和一些數(shù)或常量以任何一種方式構(gòu)成的解析表達式。1755年,歐拉：如果某變量，以這樣的方式依賴于另一些變量，即當(dāng)后面這些變量變化時，前者也隨之變化，則稱前面的變量是后面變量的函數(shù)。1821年，柯西：在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)。1837年，狄里克萊：如果對于給定區(qū)間上的每一個x的值，有唯一的y值同它對應(yīng)，那么y就是x的一個函數(shù)，至于在整個區(qū)間上y是否按照一種或多種規(guī)律依賴于x，或者y依賴于x是否可用數(shù)學(xué)運算來表達，那都是無關(guān)緊要的。1851年，黎曼：假定z是一個變量，它可以逐次取所有可能的實數(shù)值。如果對它的每一個值，都有未知量w的唯一的一個值與之對應(yīng)，則w稱為z的函數(shù)。1939年，布爾巴基學(xué)派：設(shè)E和F是兩個集合，它們可以不同，也可以相同。E中的變元x

和F中的變元y

之間的一個關(guān)系稱為一個函數(shù)關(guān)系，如果對于每一個x∈E，都存在唯一的y∈F，它滿足與x

給定的關(guān)系。稱這樣的運算為函數(shù)，它以上述方式將與x有給定關(guān)系的元素y∈F與每一個元素x∈E相聯(lián)系，稱y是函數(shù)在元素x

處的值，函數(shù)值由給定的關(guān)系所確定。兩個等價的函數(shù)關(guān)系確定同一個函數(shù)。進一步符號化：設(shè)F是定義在集合X和Y上的一個二元關(guān)系，稱這

個關(guān)系為函數(shù)，如果對于每一個x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得

（x，y）∈F。（更抽象）初中函數(shù)概念分析在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們稱x是自變量，y是x的函數(shù)。變量間的單值對應(yīng)關(guān)系，變量—對應(yīng)說在具體的變量背景上定義函數(shù)，有利于學(xué)生直觀認識函數(shù)的本質(zhì)特征，但很難擺脫表達形式（表達式、表格、圖象）的束縛，因此很難一般地認識函數(shù)，很難把握函數(shù)的本質(zhì)特征。根據(jù)這種定義很難判定兩個具有不同表達式的函數(shù)f（x）=1和g（x）=sin2x+cos2x是否相同；這種方式定義的函數(shù)，很難建立函數(shù)的定義域和值域，因此也很難研究函數(shù)的性質(zhì)。

函數(shù)概念教學(xué)中的重點加強背景，從典型實例出發(fā)引出函數(shù)概念，體現(xiàn)函數(shù)刻畫運動變化的本質(zhì)特征，體現(xiàn)“函數(shù)模型”思想，在學(xué)生頭腦中形成豐富的函數(shù)例證。加強概念形成過程，讓學(xué)生自己歸納概括函數(shù)的本質(zhì)：單值對應(yīng)→用抽象符號表示的數(shù)集之間的單值對應(yīng)；這個過程就是抽象素養(yǎng)落實的過程。感性具體理性具體理性一般（史寧中）

教學(xué)中可以設(shè)問S是t的函數(shù)嗎？為什么？（用初中概念判斷）“根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km∕h后，運行1h就前進了350km。”這個說法正確嗎？

（1）時間t的變化范圍是什么？相應(yīng)的，路程S的變化范圍是什么？

（2）能根據(jù)現(xiàn)有條件回答“1h時對應(yīng)的距離是多少”嗎？

你認為應(yīng)該如何更準(zhǔn)確地描述S與t之間的對應(yīng)關(guān)系？

對于數(shù)集中的任一時刻t，按照對應(yīng)關(guān)系s=350t，在數(shù)集中有唯一確定的路程s和它對應(yīng)。有解析式，提升點在于明確時間t和路程S的變化范圍。問題2：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天。如果公司確定的工資標(biāo)準(zhǔn)是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數(shù)d的函數(shù)嗎？離散型函數(shù)與問題1相比，解析式相同，但定義域不同，是不同的函數(shù)。非連續(xù)，進一步體會關(guān)注自變量取值范圍的重要性。問題3

：給出北京市2016年11月23日的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）變化圖。如何根據(jù)該圖確定這一天內(nèi)任一時刻th的空氣質(zhì)量指數(shù)的值I？你認為這里的I是t的函數(shù)嗎？B集擴大圖象形式表達的函數(shù)，為引入抽象符號f：A→B表示對應(yīng)關(guān)系埋下伏筆。

年份2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數(shù)36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57歸納上述問題的共同特征上述問題1～問題4中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)概念的本質(zhì)特征嗎？（1）都包含兩個非空數(shù)集，用A，B來表示；（2）都有一個對應(yīng)關(guān)系；（3）盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但它們都有如下特性：對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)。理性具體理性一般給出函數(shù)定義用新定義描述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)經(jīng)歷概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念的引入——從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念；概念屬性的概括——提供典型豐富的具體例證，進行屬性的分析、比較、綜合，概括共同本質(zhì)特征得到本質(zhì)屬性；概念的明確與表示——下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號的）；概念的辨析——以實例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用——用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；納入概念系統(tǒng)——建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。四、從“一般觀念”出發(fā)研究數(shù)學(xué)對象，體現(xiàn)研究方法的引導(dǎo)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)研究與推理概念——性質(zhì)——聯(lián)系觀察——探索——抽象——概括（猜想）——論證——反思例：研究函數(shù)性質(zhì)的一般觀念什么是性質(zhì)：性質(zhì)就是一類事物共有的特性什么是函數(shù)的性質(zhì)：變化之中保持的“不變性”就是性質(zhì)；變化過程中出現(xiàn)的規(guī)律性就是性質(zhì)。現(xiàn)實世界中的某些變化會隨著時間的推移而有增有減、有快有慢，有時達到最大值有時處于最小值……這些現(xiàn)象反映到數(shù)學(xué)中，就是函數(shù)值隨自變量的增加而增加還是減少、什么時候函數(shù)值最大、什么時候函數(shù)值最小……這就是我們要研究的函數(shù)性質(zhì)——“單調(diào)性”“最大值”“最小值”。為什么研究性質(zhì)

通過研究函數(shù)的變化規(guī)律來把握客觀世界中事物的變化規(guī)律。怎么研究函數(shù)性質(zhì)利用圖象、解析式研究性質(zhì)特殊到一般“三步曲”觀察圖象，描述變化規(guī)律結(jié)合圖、表，用自然語言描述變化規(guī)律用數(shù)學(xué)符號語言描述變化規(guī)律

“利用圖象研究性質(zhì)”不是“由圖象推導(dǎo)出性質(zhì)”。

函數(shù)的性質(zhì)是其本身的固有屬性，不是由它的圖象決定的。要注

意“回到解析式”，結(jié)合解析式用符號語言描述變化規(guī)律。也可以從函數(shù)定義出發(fā)研究性質(zhì)，再利用函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，使學(xué)生對函數(shù)的性質(zhì)有更本質(zhì)的認識。函數(shù)關(guān)系是平面上點的集合，在很多情況下，函數(shù)是滿足一定條件的曲線。因此，與解析幾何、向量幾何一樣，函數(shù)也是數(shù)形結(jié)合的載體，函數(shù)的不同表示法（解析法、圖象法、表格法）也反映了函數(shù)數(shù)形結(jié)合的特征。從數(shù)形結(jié)合的角度理解函數(shù)，使得我們既可以利用函數(shù)的圖象直觀，利用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)；也可以從函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，研究函數(shù)的圖象。

關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)兩個難點：“函數(shù)值隨自變量的增大而增大（減小）”轉(zhuǎn)化為定量的不等式語言；為什么要“?x1，x2∈D”。用“例—規(guī)”法教學(xué)效果不理想的原因：單調(diào)性判斷規(guī)則本身的抽象性；定量化方法的構(gòu)造性。學(xué)生在此之前沒有學(xué)過類似的方法，他們的認知準(zhǔn)備不充分。教材采用“規(guī)—例”法

借助實例先給出單調(diào)性判斷規(guī)則以二次函數(shù)f(x)=x2為例進行研究

畫出它的圖象

如何研究基本立體圖形及基本圖形位置關(guān)系1.明確研究對象幾何研究幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系，對于一個幾何圖形，它的形狀、大小、位置關(guān)系如何體現(xiàn)？幾何圖形的結(jié)構(gòu)特征（由組成要素之間的關(guān)系來體現(xiàn)）就刻畫了它的形狀，面積和體積刻畫了它的大小，幾何圖形的位置關(guān)系還是要回到它的組成要素的關(guān)系。幾何圖形的性質(zhì)和判定是對幾何圖形進行研究的重要內(nèi)容，它們也體現(xiàn)了幾何圖形的形狀、大小、位置關(guān)系。2.對基本圖形位置關(guān)系的研究整體了解空間點、直線、平面位置關(guān)系，重點研究直線、平面間的平行、垂直關(guān)系，主要研究它們的判定和性質(zhì)。首先要明確什么是判定，什么是性質(zhì)。例如，對于直線與平面垂直這種位置關(guān)系，其判定就是它的充分條件，也就是與已知直線、平面有關(guān)的直線、平面具備什么樣的位置關(guān)系時，該直線和平面垂直；其性質(zhì)就是它的必要條件，也就是在已知直線和平面垂直的情況下，與之有關(guān)的直線、平面具有什么樣的位置關(guān)系。其次要重視“直觀感知—操作確認—推理論證”的研究過程，在這一過程中從一般到特殊地思考問題，將高維問題轉(zhuǎn)化為低維問題，同時關(guān)注確定平面的條件。“知其然”“知其所以然”

“何由以知其所以然”（傅種孫）3.平面與平面平行的判定與兩個平面有關(guān)的要素具備什么關(guān)系這兩個平面平行。類似于研究直線與平面平行的判定，要把平面與平面平行的問題轉(zhuǎn)化為直線與平面平行的問題。如果一個平面內(nèi)的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行。如何判定一個平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個平面呢？有沒有更簡便的方法？能不能由一個平面內(nèi)的部分直線與一個平面平行來判定這兩個平面平行。（利用基本事實的推論）如果一個平面內(nèi)兩條相交直線或兩條平行直線（它們都可以確定一個平面）都和另一個平面平行，是否就能使這兩個平面平行？利用矩形和三角形紙片進行探究。利用長方體進一步驗證。得到判定定理定理：若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。兩條相交直線和兩條平行直線都可以確定一個平面。為什么可以利用兩條相交直線判定兩個平面平行，而不能用兩條平行直線呢？你能從向量的角度解釋嗎？4.研究平面與平面垂直的性質(zhì)，實際上就是要研究與這兩個互相垂直的平面有關(guān)的直線、平面之間的關(guān)系。根據(jù)以往的研究經(jīng)驗（平面與平面的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系），研究其中一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的位置關(guān)系。一般到特殊，一般情況是相交（與交線發(fā)生關(guān)系），考慮其中的特殊情況，一個平面內(nèi)的直線與交線平行時，這條直線和另一個平面平行（已研究），一個平面內(nèi)的直線與交線垂直時，這條直線和另一個平面有什么位置關(guān)系？得到猜想：一個平面內(nèi)的直線與交線垂直時，這條直線和另一個平面垂直。對性質(zhì)定理進行證明。對于兩個平面互相垂直的性質(zhì)，我們探究了一個平面內(nèi)的直線與另一個平面的特殊位置關(guān)系。如果直線不在兩個平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你又能得到哪些結(jié)論？例如，已知平面α⊥平面β，

直線a⊥β，a

α，判斷a與α的位置關(guān)系。

βαblαβγ五、重視概念背景和知識應(yīng)用，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

應(yīng)用與建模發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)課標(biāo)：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián)；學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐的經(jīng)驗；認識數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。一個數(shù)學(xué)概念的引入，總有它的現(xiàn)實或數(shù)學(xué)理論發(fā)展的需要。教材中任何一個新概念的引入，都強調(diào)它的現(xiàn)實背景、數(shù)學(xué)理論發(fā)展的背景或數(shù)學(xué)發(fā)展歷史上的背景，這樣才能使教材顯得自然、親切，讓學(xué)生感到知識的發(fā)展水到渠成而不是強加于人，也利于學(xué)生更好地理解其本質(zhì)。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，可以幫助學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識，利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，加強應(yīng)用意識提高數(shù)學(xué)創(chuàng)造力。教材千方百計地開發(fā)數(shù)學(xué)應(yīng)用的背景素材，通過解決具有真實背景的問題，引導(dǎo)學(xué)生體會數(shù)學(xué)的作用、數(shù)學(xué)與生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)應(yīng)用意識，提高實踐能力。例：重視函數(shù)相關(guān)概念產(chǎn)生的背景，體現(xiàn)函數(shù)是刻畫運動變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)語言和工具函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，理解函數(shù)概念，必須需要相應(yīng)的運動變化的背景作為支撐。一般的函數(shù)概念：“復(fù)興號”高鐵運行、空調(diào)維修工人的工資、北京市某一天的空氣質(zhì)量、某市近十年的恩格爾系數(shù)四個問題，從“感性具體”到“理性具體”再到“理性一般”，抽象得到函數(shù)概念。指數(shù)函數(shù)刻畫了呈現(xiàn)“指數(shù)增長”的運動變化現(xiàn)象。現(xiàn)實世界中，細胞分裂、人口增長、放射性物質(zhì)的衰減等呈現(xiàn)了這種運動變化規(guī)律；通過某景區(qū)游客人數(shù)增長的問題和碳14含量的衰減的問題，引入指數(shù)函數(shù)的概念。三角函數(shù)刻畫周期運動。教科書在三角函數(shù)的開篇語中列舉了大量現(xiàn)實世界中的周期變化現(xiàn)象，如晝夜交替、四季交替、月亮圓缺、朝夕變化、勻速圓周運動的位置變化、簡諧振動的位移變化、交變電流的變化等。在三角函數(shù)的概念、誘導(dǎo)公式、圖象、性質(zhì)的研究過程中，一以貫之的運用勻速圓周運動這一最簡單的周期變化的背景，以加深學(xué)生對三角函數(shù)刻畫周期運動的本質(zhì)的理解。例：重視應(yīng)用函數(shù)模型解決實際問題，發(fā)展學(xué)生應(yīng)用意識通過應(yīng)用函數(shù)解決實際問題，可以幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)如何刻畫客觀世界事物的變化規(guī)律，逐漸掌握建立函數(shù)模型解決實際問題的一般過程，體會函數(shù)的模型思想。必修函數(shù)應(yīng)用的安排函數(shù)的應(yīng)用（一）：個稅問題、汽車行駛中速率的變化問題。分段函數(shù)。函數(shù)的應(yīng)用（二）：馬爾薩斯人口模型、利用碳14推測良渚遺址年代；投資方案的選擇、獎勵方案的制訂。既包括用已知模型解決實際問題，也包括選擇合適的模型解決實際問題。數(shù)學(xué)建?；顒樱航⒑瘮?shù)模型解決實際問題數(shù)學(xué)建模活動觀察實際情境，發(fā)現(xiàn)和提出問題

中國茶文化博大精深。茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)。經(jīng)

驗表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時

飲用，可以產(chǎn)生最佳口感。那么在25℃室溫下，剛泡好的茶水大約

需要放置多長時間才能達到最佳飲用口感？收集數(shù)據(jù)時間/min012345水溫/℃85.0079.1974.7571.1968.1965.10分析數(shù)據(jù)、畫散點圖

y＝kax＋25建立和求解模型利用已知數(shù)據(jù)求k，a檢驗?zāi)Ｐ彤嫵鰕＝60×0.9227x＋25的

圖象，檢驗原始數(shù)據(jù)。自主開展建模活動選題應(yīng)在炒菜之前多長時間將冰箱里的肉拿出來解凍？用微波爐或電磁爐燒一壺開水，找到最省電的功率設(shè)定方法；估計閱讀一本書所需要的時間?；顒舆^程指導(dǎo)（組建合作團隊、開展研究活動、撰寫研究報告、交流展示）研究報告樣例六、加強問題引導(dǎo)，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力

問題與經(jīng)驗問題是數(shù)學(xué)的心臟，問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)在知識形成過程的“關(guān)鍵點”上，在運用數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點”上，在數(shù)學(xué)知識之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點”上，在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點”上，在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，提出恰當(dāng)?shù)?、對學(xué)生數(shù)學(xué)思維有適度啟發(fā)的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思考和探索活動，使他們經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，體會數(shù)學(xué)研究方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力。反映本質(zhì)、自然連貫、恰時恰點、難易適當(dāng)在章節(jié)開篇，提出引導(dǎo)性問題，整體構(gòu)建研究思路118“一元二次函數(shù)、方程與不等式”章引言正文通過引導(dǎo)語、欄目和邊空提出問題，引導(dǎo)學(xué)生思維活動，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)從知識的發(fā)生發(fā)展過程中提出問題，引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維活動，使學(xué)生在問題的引導(dǎo)下有條理地進行觀察、猜想、分析、推理、論證等，有序地、符合邏輯地進行知識的概括，提高學(xué)生的概括能力提示學(xué)生采用類比、推廣、特殊化等方法進行數(shù)學(xué)思考，為學(xué)生的探究活動提供恰當(dāng)?shù)乃枷敕椒ㄖ笇?dǎo)，使探究活動更加有效，從而提高了探究活動的質(zhì)量和效益通過欄目提出學(xué)后反思的任務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣。例：三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的系列問題根據(jù)定義，直接得出“公式一”。探究：誘導(dǎo)公式一表明終邊相同的角的同一

三角函數(shù)值相等，那么終邊相同的角的三個

三角函數(shù)值之間是否也有某種關(guān)系呢？——探究“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”利用圓的幾何性質(zhì)，得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系。我們知道，圓的最重要的性質(zhì)是對稱性，而對稱性（如奇偶性）也是函數(shù)的重要性質(zhì)。由此想到，我們可以利用圓的對稱性，研究三角函數(shù)的對稱性?！T導(dǎo)公式的引導(dǎo)語探究1：如圖5.3-1

，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點P1。

（1）作P1關(guān)于原點的對稱點P2，以O(shè)P2為終邊的角β與角α

有什么關(guān)系？角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

（2）如果作P1關(guān)于x軸（或y軸）的對稱點P3（或P4），那

么又可以得到什么結(jié)論？

——公式二（π+α）、三（?α）、四（π?α）探究2：作P１關(guān)于直線y＝x的對稱點P5，以O(shè)P5為終邊的角γ與角α有什么關(guān)系？角γ與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？——公式五（π/2?α）探究3：作P5關(guān)于y軸的對稱點，又能得到什么結(jié)論？

——公式五（π/2+α）三角恒等變換觀察誘導(dǎo)公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和（或差）的三角函數(shù)與這個任意角α的三角函數(shù)的恒等關(guān)系。如果把特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和（或差）的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會有什么關(guān)系？

——三角恒等變換的導(dǎo)語探究：如果已知任意角α，β的正弦、余弦，

能由此推出α+β，α－β的正弦、余弦嗎？——兩角差的余弦探究：由公式C(α-β)出發(fā)，你能推導(dǎo)出兩角和與差的三角函數(shù)的其他公式？

——兩角和的余弦探究：上面得到了兩角和與差的余弦公式。我們知道，用誘導(dǎo)公式五(或六)可以實現(xiàn)正弦、余弦的互化。你能根據(jù)C(α+β)，C(α-β)及誘導(dǎo)公式五(或六)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α－β)的公式嗎？探究：你能根據(jù)正切函數(shù)與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的關(guān)系，從C(α±β)，S(α±β)出發(fā)，推導(dǎo)出用任意角α，β的正切表示tan(α+β)，tan(α－β)的公式嗎？探究：和（差）角公式中，α，β都是任意角。如果令α，β為某些特殊角，就能得到許多有用的公式。你能從和（差）角公式出發(fā)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式嗎？你還能得到哪些等式？探究：你能利用S(α±β)，C(α±β)，T(α±β)推導(dǎo)出sin2α，

cos2α，tan2α的公式嗎?歸納：從和（差）角公式、倍角公式的推導(dǎo)過程可以發(fā)現(xiàn)，這些公式存在緊密的邏輯聯(lián)系，請你進行歸納總結(jié)。小結(jié)以問題形式總結(jié)全章內(nèi)容，深化對內(nèi)容的整體理解小結(jié)是對全章內(nèi)容的梳理，是對本章核心內(nèi)容及反映的主要思想方法和研究方法進行歸納概括、去粗取精、由厚到薄的提煉過程。回顧與思考：在回顧部分對本章進行整體概述，闡述本章內(nèi)容之間、本章內(nèi)容與其他內(nèi)容之間的聯(lián)系，揭示本章內(nèi)容反映的思想方法、研究方法等?！八伎肌辈糠謩t強調(diào)問題引導(dǎo)，加強學(xué)生的主動思維，通過學(xué)生自己的獨立思考回憶、總結(jié)全章內(nèi)容，深化對本章核心內(nèi)容及其反映的數(shù)學(xué)思想方法的理解。指數(shù)函數(shù)的小結(jié)如何讀教材數(shù)學(xué)教學(xué)是常識的系統(tǒng)化，是有指導(dǎo)的再創(chuàng)造（弗賴登塔爾）教科書給出了對學(xué)習(xí)內(nèi)容再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的路徑不僅要關(guān)注定義、定理等黑體色字，例題、習(xí)題更要關(guān)注——引言（章引言、節(jié)引言）正文欄目（思考、探究、歸納）邊空問題銜接性語言小結(jié)（框圖、回顧與思考）用好教師用書，高中教材編寫研究七、提高例、習(xí)題的質(zhì)量，為過程性評價、階段性評價提供資源

習(xí)題與評價例題、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題針對性：抓住各章內(nèi)容的核心，促進概念的理解和思想方法的生成。有效性：關(guān)注通性通法，抓住基本概念，不在技巧上做文章。創(chuàng)新性：題目具有一定新意，但不離開內(nèi)容本質(zhì)這個“根”，不在奇、特上做文章。應(yīng)用性：在函數(shù)、概率與統(tǒng)計等與現(xiàn)實聯(lián)系緊密的主題中，加強具有現(xiàn)實背景的問題，體現(xiàn)真正的應(yīng)用。探究性：通過欄目、邊空、遞進式習(xí)題等，創(chuàng)設(shè)情境和問題，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。層次性：通過“復(fù)習(xí)鞏固”“綜合運用”“拓廣探索”體現(xiàn)習(xí)題的層次和梯度，體現(xiàn)教材有關(guān)習(xí)題的各部分、各欄目的要求，形成立體化的“四基”“四能”培養(yǎng)系統(tǒng)。系統(tǒng)性：在復(fù)習(xí)參考題的選擇和編排中，關(guān)注單元知識的系統(tǒng)性，幫助學(xué)生達到相應(yīng)單元的學(xué)業(yè)要求；同時還關(guān)注不同數(shù)學(xué)內(nèi)容主線之間的聯(lián)系性以及六個數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之間的協(xié)調(diào)，幫助學(xué)生整體理解、系統(tǒng)掌握學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，實現(xiàn)學(xué)業(yè)質(zhì)量的相應(yīng)要求。精確性：保證科學(xué)性和準(zhǔn)確性，確保所選例題具有典型性、示范性，所選習(xí)題達到能力培養(yǎng)效果。對練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題的處理每課時配備練習(xí)（3~5個）；每節(jié)配備習(xí)題（每課時3~5個）；每章配備復(fù)習(xí)題（每課時1~1.5個）。“復(fù)習(xí)鞏固、綜合運用、拓廣探索”，不完全是按難度分類，主要是按照習(xí)題功能分類，根據(jù)學(xué)生情況，結(jié)合教學(xué)功能使用。用好教材的題目不要把教輔作為教學(xué)依據(jù)關(guān)注新題型對于拓展性內(nèi)容，不要以拓展的內(nèi)容為基礎(chǔ)再拓展（得出的結(jié)論不等同于教材的黑體色字）對選學(xué)內(nèi)容的處理閱讀與思考、實驗與探究、信息技術(shù)應(yīng)用為加深學(xué)生對相關(guān)知識的認識，擴大學(xué)生知識面、運用信息技術(shù)等提供資源數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用、內(nèi)容的拓展推廣、信息技術(shù)的應(yīng)用對于拓展性內(nèi)容，得出的結(jié)論不作為性質(zhì)使用，不等同于教材的黑體色字“對勾”函數(shù)——用研究函數(shù)的思路和方法研究一個函數(shù)的圖象和性質(zhì)。八、有機融入數(shù)學(xué)文化，開拓學(xué)生數(shù)學(xué)視野，培養(yǎng)科學(xué)精神、人文素養(yǎng)

人文與科學(xué)課