布洛卡點及其性質(zhì)

第3期布洛卡點及其性質(zhì)（1）三角形有很多奇特的點，其中布洛卡點充分體現(xiàn)了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，克里爾于1816年首先發(fā)現(xiàn)，但當時未引起人們的注意，法國人布洛卡1875年重新發(fā)現(xiàn)并獲得重視，19世紀末和20世紀初，人們對布洛卡的研究盛極一時。1.布洛卡點的定義：如圖1,設P為AABC內(nèi)一點，若ZPAB=ZPBC=ZPCA=0，則稱p為aABC的布洛卡點，0為AABC的布洛卡角。2?布洛卡點的幾個性質(zhì)：b2+c2—a22bcsinAb2+c2—ab2+c2—a22bcsinAb2+c2—a2~^SAABC,cosA證明：設AP=x,BP=y,CP=z，則cotA=—smAa2+b2+c2易得cotA+cotB+cotC=(1)，4SAABC在APAB,APBC,APCA中，分別有cot0=cos0sin0c2+x2—y22cxsin0c2+x2—y24SAPABcot0=a2+y2—z24SAPBCcot0=b2+z2—x24SAPCAc2+x2—y2a2+y2—z2b2+z2—x2所以cot0=—4SAPAB(c2+x2一y2)+(a2+y2一z24S4SAPBCAPCA)+C2+z2一x2)a2+b2+c2=(2)4SAABC由（1）證法2：4S+4S+4SAPABAPBCAPCA(2)得cot0=cotA+cotB+cotC；如圖，作AABC的高CH,作CG丄BP與點G,則上CPG=0+ZPCB=ZC,故cot0—cotC=竺—PG=竺CGCGCG4廠AHBHAB而cotA+cotB=+=CHCHCH由H,B，C,G四點共圓得ZHBG=ZHCGnZABP=ZHCG,ZPAB=0=ZPBC=ZCBG=ZCHGABBPnAPABsAGHCn——=——所以cot0—cotC=BPCGCH=cotA+cotB，即cot0=cotA所以cot0—cotC=BPCGCH=cotA+cotB，即cot0=cotA+cotB+cotCa2+b2+c2簡證：由布洛卡點性質(zhì)1可知cot9二4SAABC由外森匹克不等式a2+b2+c2>4^3Sncot0\弋3,0<30。,AABC當且僅當a=b=c時外森匹克不等式取得等號，即AABC為正三角形。備注：外森匹克不等式的證明如下sMBC=\'P(p一a)(p一b)(p-c)=31=(^p(3p-3a)(3p-3b)(3p-3c))21(p+3p-3a+3p-3b+3p-3c)217、1,7、<帝〔4J=*+b+c)2<孫3+b2+c2)即a2+b2+c2>4訂S，當且僅當a=b=c時取等號.AABC3?布洛卡點性質(zhì)3：當9二■-時，AABC三邊a，b，c滿足a2=bc；nB9——時，b2=ac；c2=ab.證明:A由cot9—cotA+cotB+cotC及9——^2AA.cosTcosA1廠—cosBcosCsinAcot-cotA—-—,cotB+cotC—+—2-AsinAsinAsinBsinCsinBsinCsin—2所以1sinAsinA，即sin2A—sinBsinCna2—bcsinBsinC備注：性質(zhì)3曾在2011年北大保送生考試數(shù)學試題中出現(xiàn).sin3Asin3Bsin3C拓展：如圖，在AABC中，有亦-罰-時證明：由正項定理，得PPsin(a+9)sinasinABCsinCACsinB

sina，同理PC—sin9'BC—sinAsinAsin9sinasinCsinBnsinAsin2AsinBsinCsinasin9sin3AsinAsi