期權(quán)及其定價

第六章期權(quán)及其定價

前面已經(jīng)學習的資本資產(chǎn)定價模型和套利定價模型標志著分析型的現(xiàn)代金融和財務(wù)理論開始走向成熟。而最具革命性的里程碑式的突破性成果，則是布萊克和舒爾斯在1973年提出的第一個期權(quán)定價公式。期權(quán)是經(jīng)濟和金融理論中最偉大的發(fā)現(xiàn)之一。Black-Schocles期權(quán)定價公式的提出不僅使其作者之一的舒爾斯榮獲諾貝爾經(jīng)濟學獎（布萊克已去世），而且也使期權(quán)這一衍生工具蓬勃發(fā)展,引發(fā)了被金融理論界所稱道的“期權(quán)革命”。1第一節(jié)期權(quán)市場介紹一.什么是期權(quán)(option)？(P386-)

期權(quán)是未來的一種選擇權(quán)，它賦予期權(quán)的持有者（購買者、多頭）一種規(guī)定的權(quán)利，可以按預先敲定的價格購買或出售一定數(shù)量和一定品質(zhì)的標的資產(chǎn)；但持有者并不需要承擔相應(yīng)的義務(wù)，也就是說，如果期權(quán)持有者覺得執(zhí)行這種權(quán)利對自己不利，他可以不去執(zhí)行?？梢?，期權(quán)的持有者只有權(quán)利而沒有義務(wù)，因此必須為擁有這項權(quán)利付費，這就是購買期權(quán)的費用，即期權(quán)的價格。引出期權(quán)的定價問題。注意期權(quán)是一類衍生證券，期權(quán)的定價問題就是一類衍生證券的定價問題。2第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約1.場外交易（OTC）期權(quán)：(P388)

期權(quán)合約的條款可根據(jù)交易的需要而定。合約非標準化，交易成本高2.場內(nèi)交易期權(quán)：(P388)

標準化交易合約，增加了任何特定期權(quán)的交易深度，從而降低了交易成本。高效率，低成本。3第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約3.標準化期權(quán)合約的構(gòu)成要素（1）期權(quán)的買方（多頭、持有者）：購買期權(quán)，支付期權(quán)費（即期權(quán)價格），獲得權(quán)利。（2）期權(quán)的賣方（空頭、出售者）：出售期權(quán)，獲得期權(quán)費（即期權(quán)價格），具有接受買方選擇的義務(wù)。（3）期權(quán)的標的資產(chǎn)：可以是商品，也可以是金融資產(chǎn)。有商品期權(quán)，金融期權(quán)。（4）執(zhí)行價格（敲定價格）：是事先確定的期權(quán)持有者行使權(quán)利買入或賣出標的資產(chǎn)的價格。（5）到期日：期權(quán)權(quán)利是有時間限制的，超過這一時間界限期權(quán)合約所賦予的權(quán)利就會失效。期權(quán)權(quán)利開始失效的那一天稱為到期日。4第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約3.標準化期權(quán)合約的構(gòu)成要素（6）是否可以提前執(zhí)行：如果期權(quán)合約賦予的權(quán)利可以在到期日前的任何時間行使，稱為美式期權(quán)；如果期權(quán)合約賦予的權(quán)利只能在到期日行使，稱為歐式期權(quán)。歐式期權(quán)比美式期權(quán)簡單，美式期權(quán)的一些性質(zhì)可以從歐式期權(quán)中推導出來。（7）合約規(guī)模：標準的期權(quán)合約上都標明有可以購買或出售的標的資產(chǎn)的數(shù)量。美國的一份期權(quán)合約的規(guī)模為100股股票。（8）期權(quán)費（期權(quán)價格）：是買方為獲取權(quán)利而向賣方支付的費用，它是期權(quán)合約中的唯一變量，也就是期權(quán)的市場價格，其大小取決于期權(quán)合約的性質(zhì)、到期期限及執(zhí)行價格等各種因素，其確定頗費周折。注意，不管期權(quán)有沒有被執(zhí)行，賣方始終持有期權(quán)費。5第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約4.期權(quán)與股票的比較（1）相似之處：都是掛牌的證券；可以通過買入價和賣出價進行交易；投資者都可以追蹤實時交易信息。（2）區(qū)別：股票可以無限期持有，而期權(quán)都有到期日；股票有固定的數(shù)目，而期權(quán)沒有固定的數(shù)目，其流通量僅僅取決于樂意接受和賦予這些權(quán)利的買方和賣方的數(shù)量；股票給予持有者分享公司的所有權(quán)、股利等，而期權(quán)持有者分享的僅僅是股票價格波動可能帶來的潛在收益。6第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約5.期權(quán)的分類（1）歐式期權(quán)和美式期權(quán)（2）商品期權(quán)和金融期權(quán)（3）場內(nèi)交易期權(quán)和場外交易期權(quán)7第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約5.期權(quán)的分類（4）看漲期權(quán)（買權(quán)）和看跌期權(quán)（賣權(quán)）(P386-387)

看漲期權(quán)(買權(quán))是這樣一份合約：看漲期權(quán)持有者有權(quán)利在期權(quán)到期日以內(nèi)或在到期日向期權(quán)出售者以執(zhí)行價格購買一定數(shù)量的標的資產(chǎn)。買權(quán)持有者之所以要購買這一權(quán)利，是因為他對標的資產(chǎn)的價格看漲。

看跌期權(quán)(賣權(quán))是這樣一份合約：看跌期權(quán)持有者有權(quán)利在期權(quán)到期日以內(nèi)或在到期日向期權(quán)出售者以執(zhí)行價格出售一定數(shù)量的標的資產(chǎn)。賣權(quán)持有者之所以要購買這一權(quán)利，是因為他對標的資產(chǎn)的價格看跌。8第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約6.期權(quán)的常用記號（股票期權(quán)）（出售一股標的資產(chǎn)）執(zhí)行價格:X

；到期時刻：T；

t時刻標的資產(chǎn)價格：S(t)t時刻美式看漲期權(quán)（買權(quán)）價格記為C(t)t時刻美式看跌期權(quán)（賣權(quán)）價格記為P(t)t時刻歐式看漲期權(quán)（買權(quán)）價格記為c(t)t時刻歐式看跌期權(quán)（賣權(quán)）價格記為p(t)9第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約7.期權(quán)的價值狀態(tài)（在期權(quán)有效期內(nèi)變化）(P387)如果期權(quán)立即執(zhí)行，期權(quán)持有者具有正值的現(xiàn)金流，則期權(quán)處于實值狀態(tài)，稱為實值期權(quán)；如果期權(quán)立即執(zhí)行，期權(quán)持有者具有負值的現(xiàn)金流，則期權(quán)處于虛值狀態(tài)，稱為虛值期權(quán)；如果期權(quán)立即執(zhí)行，期權(quán)持有者的現(xiàn)金流為零，則期權(quán)處于兩平狀態(tài)，稱為兩平期權(quán)。10第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約8.期權(quán)到期時的價值（不考慮期權(quán)費）（1）買權(quán)多頭：C(T)或c(T)=max(S(T)-X,0)（2）買權(quán)空頭：-max(S(T)-X,0)（3）賣權(quán)多頭：P(T)或p(T)=max(X-S(T),0)（4）賣權(quán)空頭：-max(X-S(T)

,0)在任何一個時點立即執(zhí)行期權(quán)的收益？11第一節(jié)期權(quán)市場介紹二.期權(quán)交易及合約9.場內(nèi)期權(quán)的結(jié)束方式第一，對沖平倉。期權(quán)持有者賣出所持有的期權(quán)平倉或期權(quán)出售者買入售出期權(quán)平倉。第二，期權(quán)買方在有效期內(nèi)履行合約。第三，期權(quán)買方到期放棄權(quán)利。三.期權(quán)策略(P393-397)閱讀四.類似期權(quán)的證券(P399)閱讀五.新型期權(quán)(P403-404)閱讀12第二節(jié)期權(quán)定價一.期權(quán)定價導言1.期權(quán)的內(nèi)在價值與時間價值(P411)（1）期權(quán)的內(nèi)在價值期權(quán)的內(nèi)在價值是立即執(zhí)行期權(quán)的損益與零二者之中的極大值。（2）期權(quán)的時間價值期權(quán)的時間價值是期權(quán)的實際價格與內(nèi)在價值的差。其來源是期權(quán)持有者只有權(quán)利沒有義務(wù)，最多損失期權(quán)費。只要期權(quán)未到期，隨著標的資產(chǎn)價格波動，存在著潛在的獲利機會。是一種波動性價值。（3）期權(quán)的價值=內(nèi)在價值+時間價值在到期日，所有期權(quán)的時間價值都為零，期權(quán)價值變?yōu)閮?nèi)在價值。13第二節(jié)期權(quán)定價一.期權(quán)定價導言2.期權(quán)價值的決定因素（股票期權(quán)）（1）股票價格（2）執(zhí)行價格（3）股票價格波動率：由于期權(quán)持有者最多損失有限的期權(quán)費，但可能在股票價格的大幅波動中獲利豐厚。所以期權(quán)價值會隨著股票價格波動率的上升而增加。（4）到期期限：對美式期權(quán)和歐式期權(quán)的影響不同。由于到期期限長的美式期權(quán)包含了到期期限短的美式期權(quán)的獲利機會，而且還有到期期限短的美式期權(quán)所沒有的獲利機會，所以期期限長的美式期權(quán)價值總是不低于到期期限短的美式期權(quán)的價值。而歐式期權(quán)由于只能到期執(zhí)行，到期期限的增加不一定能增加其價值。14第二節(jié)期權(quán)定價一.期權(quán)定價導言2.期權(quán)價值的決定因素（股票期權(quán)）(P411)（5）無風險利率當利率增加時，股票價格的預期增長率也傾向于增加；同時期權(quán)持有者收到的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值會減少。這兩種效應(yīng)都會減少看跌期權(quán)的價值，看跌期權(quán)價值會減少。對看漲期權(quán)，前者增加其價值，后者減少其價值，可以證明前一個效應(yīng)起主導作用，所以看漲期權(quán)價值會增加。（6）股票預期收益（紅利）紅利發(fā)放會降低股票價格，因此減少看漲期權(quán)價值，增加看跌期權(quán)價值。15變量歐式看漲期權(quán)歐式看跌期權(quán)美式看漲期權(quán)美式看跌期權(quán)股票價格+-+-執(zhí)行價格-+-+股票波動率++++到期期限？？++無風險利率+-+-紅利-+-+16第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征假定不存在套利機會。記號同前，無風險利率記為股票價格波動率記為。

[t,T]上無風險利率的折現(xiàn)因子記為。

B類套利：假如在一個市場中，人們可以身無分文入市，進行資產(chǎn)的買賣，能夠保證最終不欠債，且有正概率的機會獲得贏利。此類套利稱為B類套利。即投資者的成本非正，但卻有機會獲得正的收益。一個例子是免費的彩票。17第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征1.期權(quán)價值絕不為負。否則，買入期權(quán)，會存在B類套利機會。2.具有相同執(zhí)行價格的美式期權(quán)的價值總不低于歐式期權(quán)的價值18

第二節(jié)期權(quán)定價

二.期權(quán)價格的特征2.具有相同執(zhí)行價格的美式期權(quán)的價值總不低于歐式期權(quán)的價值。

證明：反證法。假如至少對某個則投機者可以在時刻t賣空一份歐式看漲期權(quán)，獲得現(xiàn)金c(t)；同時買入一份美式看漲期權(quán)，支出現(xiàn)金C(t),再將余款c(t)-C(t)>0存入銀行（利率

）,中途不執(zhí)行美式看漲期權(quán)。在到期時刻T,可以將持有的美式看漲期權(quán)沖抵歐式看漲期權(quán)的空頭平倉?？偣搏@得無風險收益為[c(t)-C(t)]>0,這與市場無套利矛盾。故。同理可證看跌期權(quán)。19第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征3.(看漲期權(quán)的價值上限)看漲期權(quán)的價值總不高于標的股票自身的價值。證明：反證法。假如至少對某個則投機者可以在時刻t買入一股股票，支出現(xiàn)金S(t),同時賣出一份相應(yīng)股票的看漲期權(quán)，獲得現(xiàn)金C(t),將凈收入C(t)-S(t)>0存入銀行,并持有該股票及美式看漲期權(quán)空頭。這樣在未來任何情況下都可以套利。如果該期權(quán)在某個時刻則他可以將持有的股票沖抵，獲得現(xiàn)金X，從而共獲得利潤[C(t)–S(t)]>0;如果該期權(quán)最終沒有執(zhí)行，則在時刻T，他出售手中股票后獲利[C(t)–S(t)]+S(T)>0。與市場無套利矛盾。故。20第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征4.(看漲期權(quán)的價值下限)假定在[0,T]上，標的股票無紅利配發(fā)，則有：（1）歐式看漲期權(quán)價值下限：在到期時刻T，有：（2）美式看漲期權(quán)價值下限：證明（1）反證法。賣空股票，買入歐式看漲期權(quán)，將凈收入存入銀行。這樣在未來任何情況下都可以套利。21第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征5.(看跌期權(quán)的價值上限)看跌期權(quán)的價值總不高于執(zhí)行價格，有：（1）（2）證明:(1)反證法。若至少對某個t∈[0,T]，有這樣套利者可以在時刻t出售一份歐式看跌期權(quán)，獲期權(quán)費p(t),將收入存入銀行。在時刻T，存款變p(t);另一方面，當該看跌期權(quán)將會被執(zhí)行，套利者支付現(xiàn)金X購買股票,并賣出得市價S(T),最終獲利

;當期權(quán)將不被執(zhí)行，套利者最終獲利

。與無套利矛盾。故（1）成立。22第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征6.(看跌期權(quán)的價值下限)假定在[0,T]上，標的股票無紅利配發(fā)，則有：（1）歐式看跌期權(quán)價值下限：在到期時刻T，有：（2）美式看跌期權(quán)價值下限7.距失效日時間長的美式期權(quán)的價值絕不低于距失效日時間短的同一個美式期權(quán)的價值。23第二節(jié)期權(quán)定價二.期權(quán)價格的特征8.不分紅股票的美式看漲期權(quán)不可能提前執(zhí)行?？礉q期權(quán)不應(yīng)提前執(zhí)行的原因之一是由于期權(quán)提供保險。股票價格的上漲沒有上限，而下跌是有下限的。當持有看漲期權(quán)而不是持有股票本身時，看漲期權(quán)保證持有者在股票價格下降到執(zhí)行價格之下時不受損失。一旦該期權(quán)被執(zhí)行，股票價格取代了執(zhí)行價格，這種保險就消失了。另一個原因與貨幣的時間價值有關(guān)。越晚支付執(zhí)行價格越好。9.提前執(zhí)行不付紅利股票的美式看跌期權(quán)可能是明智的。(P414例子)可以證明：當股票價格下降到一個很低的水平時，提前執(zhí)行不付紅利股票的美式看跌期權(quán)24第二節(jié)期權(quán)定價三.不分紅股票的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的關(guān)系1.歐式買權(quán)與賣權(quán)之間的平價關(guān)系(P397，金72)假定在[0,T]上，標的股票無紅利配發(fā)，則(具有同一執(zhí)行價格和到期日的)歐式買權(quán)與賣權(quán)的價格滿足下述關(guān)系：這個重要的關(guān)系稱為歐式買權(quán)與賣權(quán)之間的平價關(guān)系。證明：考慮兩個組合，組合1：一份歐式買權(quán)和數(shù)額為的現(xiàn)金組合2：一份歐式賣權(quán)和一股標的股票25第二節(jié)期權(quán)定價三.不分紅股票的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的關(guān)系1.歐式買權(quán)與賣權(quán)之間的平價關(guān)系(P397，金72)注：（1）平價關(guān)系也可寫為（2）平價關(guān)系表明：當標的股票價格、執(zhí)行價格和無風險利率已知時，相應(yīng)的歐式買權(quán)和賣權(quán)的價格可以相互導出，只要求得其中一個，就可得到另一個。26第二節(jié)期權(quán)定價三.不分紅股票的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的關(guān)系2.不分紅股票的美式買權(quán)與賣權(quán)之間的無套利均衡價格限定關(guān)系(金73)證明：對第一個不等式，考慮兩個組合，組合1：一份美式買權(quán)和數(shù)額為

X的現(xiàn)金組合2：一份美式賣權(quán)和一股標的股票不論美式賣權(quán)是否提前執(zhí)行，總有組合1的價值不低于組合2的價值。27第二節(jié)期權(quán)定價三.不分紅股票的看漲期權(quán)與看跌期權(quán)之間的關(guān)系3.標的股票分紅對期權(quán)價格的影響（1）歐式與美式看漲期權(quán)的上、下限均減小。（2）歐式與美式看跌期權(quán)的上限不變，下限增大。4.標的股票分紅對是否提前執(zhí)行美式期權(quán)的影響如果紅利數(shù)額較大，那么美式看漲期權(quán)有可能提前執(zhí)行；而美式看跌期權(quán)有可能推遲執(zhí)行。28第二節(jié)期權(quán)定價四.期權(quán)定價的二叉樹方法——動態(tài)復制技術(shù)1.動態(tài)完全市場如果未來只出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)，那么只需兩項相互獨立的證券就可以復制出所有其他的證券。但實際市場不可能只有兩種可能狀態(tài)，于是需要更多的相互獨立的證券才能動態(tài)的復制其他證券，這就是市場的動態(tài)完全性問題。29第二節(jié)期權(quán)定價四.期權(quán)定價的二叉樹方法——動態(tài)復制技術(shù)2.二叉樹方法對期權(quán)定價的意義要對期權(quán)定價，需要對它進行復制，這涉及動態(tài)完全市場。但期權(quán)的定價問題有點特殊,它是衍生品，與其標的資產(chǎn)（股票)有高度的相關(guān)性，復制相對比較容易，如教材例子。期權(quán)的價值應(yīng)當能夠由標的股票和無風險證券動態(tài)復制出來。二叉樹方法對期權(quán)定價是適用的。30第二節(jié)期權(quán)定價四.期權(quán)定價的二叉樹方法——動態(tài)復制技術(shù)3.不分紅股票的歐式買權(quán)1個時期的二叉樹定價(金77)假設(shè)用△份標的股票和價值為L的無風險證券的組合來復制這一歐式買權(quán)，由其期末價值相同解出未知的△和L，從而由復制組合的價值求出歐式買權(quán)的價值。31第二節(jié)期權(quán)定價四.期權(quán)定價的二叉樹方法——動態(tài)復制技術(shù)4.歐式買權(quán)二叉樹定價的一般模型（1）記號（2）模型及定價用△份標的股票和價值為-L的無風險證券的組合來復制歐式買權(quán),解出32第二節(jié)期權(quán)定價五.風險中性假設(shè)1.假想的風險中性的世界：對風險采取無所謂的態(tài)度。要求收益率為無風險收益率。無風險利率是折現(xiàn)率。2.風險中性假設(shè)如果對一個問題的分析與投資者的風險偏好無關(guān)，則可以將此問題放到一個假想的風險中性的世界里進行分析，所得的結(jié)果在真實的世界里也應(yīng)當成立。33第二節(jié)期權(quán)定價五.風險中性假設(shè)3.利用風險中性假設(shè)的歐式買權(quán)的二叉樹定價（1）風險中性概率34第二節(jié)期權(quán)定價五.風險中性假設(shè)3.利用風險中性假設(shè)的歐式買權(quán)的二叉樹定價（1）風險中性概率如果把p和1-p作為概率的話，上式就表明：買權(quán)的市場均衡價值相當于期末買權(quán)價值的預期值用無風險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。一般說來，p和1-p不是真實世界里的概率。但在風險中性世界里，上式就順理成章。p和1-p是風險中性世界里的概率，稱為風險中性概率。35第二節(jié)期權(quán)定價五.風險中性假設(shè)3.利用風險中性假設(shè)的歐式買權(quán)的二叉樹定價（2）風險中性假設(shè)打開了期權(quán)定價二叉樹方法的技術(shù)之門36第二節(jié)期權(quán)定價六.布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型是連續(xù)計算收益率的股票在單位時間內(nèi)的預期收益率37（完）38

如果把p和1-p作為概率的話，上式就表明：買權(quán)的市場均衡價值相當于期末買權(quán)價值的預期值用無風險利率折現(xiàn)后的現(xiàn)值。一般說來，p和1-p不是真實世界里的概率。但在風險中性世界里，上式就順理成章。而p和1-p是風險中性世界里的概率，稱為風險中性概率。（2）風險中性假設(shè)打開了期權(quán)定價二叉樹方法的技術(shù)之門五.布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型是連續(xù)計算收益率的股票在單位時間內(nèi)收益的預期收益率39402.期權(quán)價值的決定因素（股票期權(quán)）（1）股票價格（2）執(zhí)行價格（3）股票價格波動率：由于期權(quán)持有者最多損失有限的期權(quán)費，但可能在股票價格的大幅波動中獲利豐厚。所以期權(quán)價值會隨著股票價格波動率的上升而增加。（4）到期期限：對美式期權(quán)和歐式期權(quán)的影響不同。由于到期期限長的美式期權(quán)包含了到期期限短的美式期權(quán)的獲利機會，而且還有到期期限短的美式期權(quán)所沒有的獲利機會，所以期期限長的美式期權(quán)價值總是不低于到期期限短的美式期權(quán)的價值。而歐式期權(quán)由于只能到期執(zhí)行，到期期限的增加不一定能增加其價值。41二.期權(quán)價格的特征假定不存在套利機會。記號同前，無風險利率記為股票價格波動率記為。

[t,T]上無風險利率的折現(xiàn)因子記為。

B類套利：假如在一個市場中，人們可以身無分文入市，進行資產(chǎn)的買賣，能夠保證最終不欠債，且有正概率的機會獲得贏利。此類套利稱為B類套利。即投資者的成本非正，但卻有機會獲得正的收益。一個例子是免費的彩票。1.期權(quán)價值絕不為負。否則，買入期權(quán)，會存在B類套利機會。2.具有相同執(zhí)行價格的美式期權(quán)的價值總不低于歐式期權(quán)的價值42（6）是否可以提前執(zhí)行：如果期權(quán)合約賦予的權(quán)利可以在到期日前的任何時間行使，稱為美式期權(quán)；如果期權(quán)合約賦予的權(quán)利只能在到期日行使，稱為歐式期權(quán)。歐式期權(quán)比美式期權(quán)簡單，美式期權(quán)的一些性質(zhì)可以從歐式期權(quán)中推導出來。（7）合約規(guī)模：標準的期權(quán)合約上都標明有可以購買或出售的標的資產(chǎn)的數(shù)量。美國的一份期權(quán)合約的規(guī)模為100股股票。（8）期權(quán)費（期權(quán)價格）：是買方為獲取權(quán)利而向賣方支付的費用，它是期權(quán)合約中的唯一變量，也就是期權(quán)的市場價格，其大小取決于期權(quán)合約的性質(zhì)、到期期限及執(zhí)行價格等各種因素，其確定頗費周折。注意，不管期權(quán)有沒有被執(zhí)行，賣方始終持有期權(quán)費。439.場內(nèi)期權(quán)的結(jié)束方式第一，對沖平倉。期權(quán)持有者賣出所持有的期權(quán)平倉或期權(quán)出售者買入售出期權(quán)平倉。第二，期權(quán)買方在有效期內(nèi)履行合約。第三，期權(quán)買方到期放棄權(quán)利。三.期權(quán)策略閱讀四.類似期權(quán)的證券閱讀五.新型期權(quán)閱讀444.(看漲期權(quán)的價值下限)假定在[0,T]上，標的股票無紅利配發(fā)，則有：（1）歐式看漲期權(quán)價值下限：在到期時刻T，有：（2）美式看漲期權(quán)價值下限：證明（1）反證法。賣空股票，買入歐式看漲期權(quán)，將凈收入存入銀行。這樣在未來任何情況下都可以套利。455.(看跌期權(quán)的價值上限)看跌期權(quán)的價值總不高于執(zhí)行價格，有：（1）（2）證明:(1)反證法。否則，至少對某個t∈[0,T]，有這樣套利者可以在時刻t出售一份歐式看跌期權(quán)，獲期權(quán)費p(t),將收入存入銀行。在時刻T，存款變?yōu)閜(t);另一方面，當該看跌期權(quán)將會被執(zhí)行，套利者支付現(xiàn)金X購買股票,并賣出得市價S(T),最終獲利>0;當期權(quán)將不被執(zhí)行，套利者最終獲利>0。與無套利矛盾。故（1）成立。463.(看漲期權(quán)的價值上限)看漲期權(quán)的價值總不高于標的股票自身的價值。證明：反證法。假如至少對某個則投機者可以在時刻t買入一股股票，支出現(xiàn)金S(t),同時賣出一份相應(yīng)股票的看漲期權(quán)，獲得現(xiàn)金C(t),將凈收入C(t)-S(t)>0存入銀行,并持有該股票及美式看漲期權(quán)空頭。這樣在未來任何情況下都可以套利。如果該期權(quán)在某個時刻，則他可以將持有的股票沖抵，獲得現(xiàn)金X，從而共獲得利潤[C(t)–S(t)]>0;如果該期權(quán)最終沒有執(zhí)行，則在時刻T，他出售手中股票后獲利[C(t)–S(t)]+S(T)>0。與市場無套利矛盾。故。477.期權(quán)的價值狀態(tài)（在期權(quán)有效期內(nèi)變化）如果期權(quán)立即執(zhí)行，期權(quán)持有者具有正值的現(xiàn)金流，則期權(quán)處于實值狀態(tài)，稱為實值期權(quán)；如果期權(quán)立即執(zhí)行，期權(quán)持有者具有負值的現(xiàn)金流，則期權(quán)處于虛值狀態(tài)，稱為虛值期權(quán)；如果期權(quán)立即執(zhí)行，期權(quán)持有者的現(xiàn)金流為零，則期權(quán)處于兩平狀態(tài)，稱為兩平期權(quán)。8.期權(quán)到期時的價值（不考慮期權(quán)費）（1）買權(quán)多頭：C(T)或c(T)=max(S(T)-X,0)（2）買權(quán)空頭：-max(S(T)-X,0)（3）賣權(quán)多頭：P(T)或p(T)=max(X-S(T)

,0)（4）賣權(quán)空頭：-max(X-S(T)

,0)9.場內(nèi)期權(quán)的結(jié)束方式48（5）無風險利率當利率增加時，股票價格的預期增長率也傾向于增加；同時期權(quán)持有者收到的未來現(xiàn)金流的現(xiàn)值會減少。這兩種效應(yīng)都會減少看跌期權(quán)的價值，看跌期權(quán)價值會減少。對看漲期權(quán)，前者增加其價值，后者減少其價值，可以證明前一個效應(yīng)起主導作用，所以看漲期權(quán)價值會增加。（6）股票預期收益（紅利）紅利發(fā)放會降低股票價格，因此減少看漲期權(quán)價值，增加看跌期權(quán)價值。496.(看跌期權(quán)的價值下限)假定在[0,T]上，標的股票無紅利配發(fā)，則有：（1）歐式看跌期權(quán)價值下限：在到期時刻T，有：（2）美式看跌期權(quán)價值下限50（4）看漲期權(quán)（買權(quán)）和看跌期權(quán)（賣權(quán)）看漲期權(quán)是這樣一份合約：看漲期權(quán)持有者有權(quán)利在期權(quán)到期日以內(nèi)或在到期日向期權(quán)出售者以執(zhí)行價格購買一定數(shù)量的標的資產(chǎn)。買權(quán)持有者之所以要購買這一權(quán)利，是因為他對標的資產(chǎn)的價格看漲?？吹跈?quán)是這樣一份合約：看跌期權(quán)持有者有權(quán)利在期權(quán)到期日以內(nèi)或在到期日向期權(quán)出售者以執(zhí)行價格出售一定數(shù)量的標的資產(chǎn)。賣權(quán)持有者之所以要購買這一權(quán)利，是因為他對標的資產(chǎn)的價格看跌。6.期權(quán)的常用記號（股票期權(quán)）（出售一股標的資產(chǎn)）執(zhí)行價格:X

；到期時刻：T；t時刻標的資產(chǎn)價格：S(t)

t時刻美式看漲期權(quán)（買權(quán)）價格記為C(t)t時刻美式看跌期權(quán)（賣權(quán)）價格記為P(t)t時刻歐式看漲期權(quán)（買權(quán)）價格記為c(t)t時刻歐式看跌期權(quán)（賣權(quán)）價格記為p(t)514.期權(quán)與股票的比較（1）相似之處：都是掛牌的證券；可以通過買入價和賣出價進行交易；投資者都可以追蹤實時交易信息。（2）區(qū)別：股票可以無限期持有，而期權(quán)都有到期日；股票有固定的數(shù)目，而期權(quán)沒有固定的數(shù)目，其流通量僅僅取決于樂意接受和賦予這些權(quán)利的買方和賣方的數(shù)量；股票給予持有者分享公司的所有權(quán)、股利等，而期權(quán)持有者分享的僅僅是股票價格波動可能帶來的潛在收益。5.期權(quán)的分類（1）歐式期權(quán)和美式期權(quán)（2）商品期權(quán)和金融期權(quán)（3）場內(nèi)交易期權(quán)和場外交易期權(quán)523.不分紅股票的歐式買權(quán)1個時期的二叉樹定價假設(shè)用△份標的股票和價值為L的無風險證券的組合來復制這一歐式買權(quán)，由其期末價值相同解出未知的△和L，從而由復制組合的價值求出歐式買權(quán)的價值。4.歐式買權(quán)二叉樹定價的一般模型（1）記號（2）模型及定價用△份標的股票和價值為-L的無風險證券的組合來復制歐式買權(quán),解出53四.期權(quán)定價的二叉樹方法——動態(tài)復制技術(shù)1.動態(tài)完全市場如果未來只出現(xiàn)兩種可能的狀態(tài)，那么只需兩項相互獨立的證券就可以復制出所有其他的證券。但實際市場不可能只有兩種可能狀態(tài)，于是需要更多的相互獨立的證券才能動態(tài)的復制其他證券，這就是市場的動態(tài)完全性問題。2.二叉樹方法對期權(quán)定價的意義要對期權(quán)定價，需要對它進行復制，這涉及動態(tài)完全市場。但期權(quán)的定價問題有點特殊,它是衍生品，與其標的資產(chǎn)（股票)有高度的相關(guān)性，