高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版必修二）第29講 8.4.1 平面（教師版）

第06講8.4.1平面課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①了解平面的表示方法，點(diǎn)、直線與平面的位置關(guān)系。②掌握關(guān)于平面基本性質(zhì)的三個(gè)基本事實(shí)。③會(huì)用符號(hào)表示點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。1.認(rèn)識(shí)新的幾何元素“平面”及其性質(zhì)；2.讓學(xué)生經(jīng)歷將自然語言轉(zhuǎn)化為圖形語言和符號(hào)語言的過程；3.讓學(xué)生在直觀感受的基礎(chǔ)上形成三個(gè)基本事實(shí)和三個(gè)推論，初步體會(huì)歐幾里得公理化體系；知識(shí)點(diǎn)01：平面的概念與畫法（1）平面的概念幾何里所說的“平面”,是從課桌面、黑板面、海面這樣的一些物體中抽象出來的.幾何里的平面是無限延展的.平面是絕對(duì)平的；平面是無限延展的，不可度量；平面沒有厚度.（2）平面的畫法①水平放置的平面通常畫成一個(gè)平行四邊形,用平行四邊形表示平面,平行四邊形的銳角通常畫成,且橫邊長(zhǎng)等于其鄰邊長(zhǎng)的2倍.如圖(1).②如果一個(gè)平面被另一個(gè)平面遮擋住,為了增強(qiáng)它的立體感,把被遮擋部分用虛線畫出來.如圖(2).（3）平面的表示平面通常用希臘字母等表示，如平面、平面等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面、平面等.知識(shí)點(diǎn)02：點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系（是點(diǎn)，、是直線，、是平面）文字語言表達(dá)圖形語言表達(dá)符號(hào)語言表達(dá)點(diǎn)在直線上點(diǎn)在直線外點(diǎn)在平面內(nèi)點(diǎn)在平面外直線在平面內(nèi)直線在平面外平面,相交于知識(shí)點(diǎn)03：平面的基本性質(zhì)（1）基本事實(shí)1①過不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；②圖形語言：③應(yīng)用：確定平面的依據(jù)；判斷兩個(gè)平面是否重合；證明點(diǎn)線共面.④說明：對(duì)于基本事實(shí)1中的“有且只有一個(gè)”，這里的“有”是說圖形存在,“只有一個(gè)”是說圖形唯一,本公理強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性兩個(gè)方面,因此“有且只有一個(gè)”,必須完整地使用,不能僅用“只有一個(gè)”來代替“有且只有一個(gè)”.否則就沒有表達(dá)存在性.確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有一個(gè)”的同義詞,也就是存在性和唯一性這兩個(gè)方面的,這個(gè)術(shù)語今后學(xué)習(xí)中會(huì)經(jīng)常出現(xiàn).（2）基本事實(shí)2①如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)；②符號(hào)語言和圖形語言符號(hào)語言：，，且，③應(yīng)用：判斷直線或點(diǎn)是否在平面內(nèi)的依據(jù).④說明：基本事實(shí)2表明，可以用直線的“直”刻畫平面的“平”，用直線的“無限延伸”刻畫平面的“無限延展”.如圖,由基本事實(shí)勝于雄辯,給定不共線的三點(diǎn),它們可以確定一個(gè)平面;連接,,,由基本事實(shí)2.這三條直線都在平面內(nèi)，進(jìn)而連接這三條直線上任意兩點(diǎn)所得直線也都在平面內(nèi),所有這些直線可以編織成一個(gè)“直線網(wǎng)”，這個(gè)“直線網(wǎng)”可以鋪滿平面.組成“直線網(wǎng)”的直線的“直”和向各個(gè)方向無限延伸，說明了平面的“平”和“無限延展”.（3）基本事實(shí)3①如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線②符號(hào)語言和圖形語言，且③應(yīng)用：判斷兩平面是否相交及確定交線的依據(jù)；證明三點(diǎn)共線；證明三線共點(diǎn)；作兩平面的交線.④說明：基本事實(shí)3告訴我們，如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面一定相交于過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線.兩個(gè)平面相交成一條直線的事實(shí)，使我們進(jìn)一步認(rèn)識(shí)了平面的“平”和“無限延展”.知識(shí)點(diǎn)04：基本事實(shí)1和基本事實(shí)2的三個(gè)推論（1）推論1:經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（2）推論2:經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面（3）推論3:經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）有下列四個(gè)判斷：①兩條相交直線確定一個(gè)平面；②兩條平行直線確定一個(gè)平面；③三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；④一條直線和一點(diǎn)確定一個(gè)平面.正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】?jī)蓷l相交直線確定一個(gè)平面，兩條平行直線確定一個(gè)平面，①②正確.在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，③錯(cuò)誤.直線和直線上一點(diǎn)不能確定一個(gè)平面，④錯(cuò)誤.所以正確的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：B題型01文字語言、符號(hào)語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】A【詳解】由題意用符號(hào)表示“點(diǎn)A不在直線上，直線在平面內(nèi)”，即，，故選：A【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示，點(diǎn)，線，面之間的數(shù)學(xué)符號(hào)語言關(guān)系為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】B【詳解】由圖可知：，故選：B【典例3】（2023下·高一課時(shí)練習(xí)）已知，為不重合的兩個(gè)平面，A，B，M，N為空間中不同的四個(gè)點(diǎn)，a為直線，則下列推理正確的是.（填序號(hào)）①，，，；②，，，；③，.【答案】①②【詳解】對(duì)于①，，，，，由基本事實(shí)：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)，可知，故①正確；對(duì)于②，由，，可知，同理，，所以，故②正確；對(duì)于③，若，，則，由基本事實(shí)：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線，可知是經(jīng)過點(diǎn)A的一條直線而不是點(diǎn)A，故③不正確.故答案為：①②【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如果A點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)在內(nèi)，可以用集合語言和符號(hào)表示為（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【詳解】A點(diǎn)在直線上，而直線在平面內(nèi)，點(diǎn)B在內(nèi)，表示為：，，．故選：B.【變式2】（2023上·新疆阿克蘇·高二校考階段練習(xí)）用集合符號(hào)表示下列語句：(1)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上；(2)平面與平面相交于過點(diǎn)的直線．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【詳解】（1）點(diǎn)在直線上，點(diǎn)不在直線上可表示為：（2）平面與平面相交于過點(diǎn)的直線可表示為：題型02平面性質(zhì)基本事實(shí)及推論的應(yīng)用【典例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長(zhǎng)為．故選：A．【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖所示的正方體中，是棱上的一點(diǎn)，試說明、、三點(diǎn)確定的平面與平面相交，并畫出這兩個(gè)平面的交線.【答案】答案見解析【詳解】解：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則平面與平面的交線為，證明如下：因?yàn)椋矫?，則平面，，平面，平面，又因?yàn)闉槠矫婧推矫娴墓颤c(diǎn)，則平面與平面的交線為.【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)平面與平面相交于直線,直線，直線,,則M（用符號(hào)表示）．【答案】【詳解】因?yàn)椋本€，直線，所以，又平面與平面相交于直線，所以點(diǎn)在直線上，即.故答案為：.【變式2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體，P為棱的中點(diǎn)，畫出由，，P三點(diǎn)所確定的平面與長(zhǎng)方體表面的交線．

【答案】畫圖見解析【詳解】如圖，由于P是上的點(diǎn)，所以平面，且平面，所以平面平面=，同理，平面平面=，平面平面=，所以平面與長(zhǎng)方體表面的交線是，，.作法：連接，，，它們就是平面與長(zhǎng)方體表面的交線（如圖）．

題型03四點(diǎn)共面問題【典例1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正方體中，、、、分別是該點(diǎn)所在棱的中點(diǎn)，則下列圖形中、、、四點(diǎn)共面的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，如下圖，點(diǎn)、、、確定一個(gè)平面，該平面與底面交于，而點(diǎn)不在平面上，故、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)，連結(jié)底面對(duì)角線，由中位線定理得，又，則，故、、、四點(diǎn)共面對(duì)于選項(xiàng)C，顯然、、所確定的平面為正方體的底面，而點(diǎn)不在該平面內(nèi)，故、、、四點(diǎn)不共面；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖，取部分棱的中點(diǎn)，順次連接，得一個(gè)正六邊形，即點(diǎn)、、確定的平面，該平面與正方體正面的交線為，而點(diǎn)不在直線上，故、、、四點(diǎn)不共面．故選：B【典例2】（多選）（2023上·山西大同·高三大同一中?？茧A段練習(xí)）已知正方體中，為的中點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三點(diǎn)共線 B．四點(diǎn)共面C．四點(diǎn)共面 D．四點(diǎn)共面【答案】ABC【詳解】

連接，，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，平面平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以點(diǎn)是平面和平面的交點(diǎn)，所以，，，三點(diǎn)共線，故A正確；因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，，，四點(diǎn)共面，，，，四點(diǎn)共面，故BC正確；取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，由題意得，，所以，即為的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，，不共線，平面，平面，為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)平面，，，，四點(diǎn)不共面，故D錯(cuò).故選：ABC.【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)為正方形的中心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A．、、、四點(diǎn)共面，且與平行B．、、、四點(diǎn)共面，且與相交C．、、、四點(diǎn)共面，且與平行D．、、、四點(diǎn)不共面【答案】C【詳解】連接，因?yàn)闉檎叫蔚闹行?，則為的中點(diǎn)，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，故、、、四點(diǎn)共面，且與相交，連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，故選：C.【變式2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在四面體ABCD中，H、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，E、F分別是AB、BC邊上的點(diǎn)，且.求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面；【答案】證明見解析【詳解】連接，因?yàn)镠、G分別是AD、CD的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以，所以E、F、G、H四點(diǎn)共面.【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在空間四面體中，分別是，的中點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且.求證：（1）四點(diǎn)共面；【詳解】（1）連接，，分別是的中點(diǎn)，.又，，，四點(diǎn)共面.題型04三點(diǎn)共線問題【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，在平面外，三邊AB，AC，BC所在直線分別交平面于P，Q，R三點(diǎn)．求證：P，Q，R三點(diǎn)在同一直線上．【答案】證明見解析【詳解】由，可知點(diǎn)，且平面ABC，可知點(diǎn)平面ABC，又，所以點(diǎn)P在平面ABC與平面的交線上，同理可得：點(diǎn)Q，R均在平面ABC與平面的交線上，所以P，Q，R三點(diǎn)共線．【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且．設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)椋裕梢阎傻?，平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，所以平面ABC．同理，平面ADC，平面ADC．所以為平面ABC與平面ADC的一個(gè)公共點(diǎn)．又平面平面，所以，所以P，A，C三點(diǎn)共線．【變式1】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）在正方體中，棱長(zhǎng)，M，N，P分別是，，的中點(diǎn)．(1)直線交PN于點(diǎn)E，直線交平面MNP于點(diǎn)F，求證：M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：，，，則平面，平面MPN又，平面，又平面PMN，平面平面，平面，平面PMN，平面，點(diǎn)F在直線ME上，則M，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．（2）解：，又，【變式2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知△ABC在平面α外，其三邊所在的直線滿足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如圖所示，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線.【答案】證明見解析【詳解】證明：法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB?平面ABC，∴P∈平面ABC.∴由基本事實(shí)3可知：點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線上，同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線上.∴P，Q，R三點(diǎn)共線.法二：∵AP∩AR＝A，∴直線AP與直線AR確定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈平面APR，C∈平面APR，∴BC?平面APR.∵Q∈BC，∴Q∈平面APR，又Q∈α，∴Q∈PR，∴P，Q，R三點(diǎn)共線.題型05三線共點(diǎn)問題【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知直四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，分別為，的中點(diǎn)．

(1)求證：直線、、交于一點(diǎn)；(2)若，求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接、，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以且．因?yàn)槭侵彼睦庵?，且底面是正方形，所以，且，即四邊形是平行四邊形，所以且，所以，且，所以四邊形為梯形，所以與交于一點(diǎn)，記為，即，且平面，平面，所以平面，平面，又因?yàn)槠矫嫫矫妫瑒t直線，所以直線、、交于一點(diǎn).（2）連接，由題意可得：.

【典例2】（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）如圖，在正四棱臺(tái)中，．(1)求正四棱臺(tái)的體積；(2)若分別為棱的中點(diǎn)，證明：相交于一點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）連接，取分別為和的中點(diǎn)，因?yàn)闉檎睦馀_(tái)，所以，且為的高，因?yàn)?，所以，所以正四棱臺(tái)的體積為；（2）因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，所以，，所以，所以為梯形，則與必相交，設(shè)，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面平面，所以，所以交于一點(diǎn).【變式1】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，E，G分別為BC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，點(diǎn)H在AD上，且有DF∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3.求證：EF，GH，BD交于一點(diǎn)．【答案】證明見解析【詳解】證明連接GE，HF.因?yàn)镋，G分別為BC，AB中點(diǎn)，所以.因?yàn)镈F∶FC＝1∶3，DH∶HA＝1∶3，所以.從而GE∥HF且，故G，E，F(xiàn)，H四點(diǎn)共面且四邊形為梯形，因?yàn)镋F與GH不能平行，設(shè)EF∩GH＝O，則O∈平面ABD，O∈平面BCD.而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EF，GH，BD交于一點(diǎn)．【變式2】（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，不共面的四邊形ABB'A'，BCC'B'，CAA'C'都是梯形．求證：三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．【答案】證明見解析【詳解】因?yàn)樵谔菪蜛BB'A'中，A'B'∥AB，所以AA'，BB'在同一平面A'B內(nèi)．設(shè)直線AA'，BB'相交于點(diǎn)P，如圖所示．同理BB'，CC'同在平面BC'內(nèi)，CC'，AA'同在平面A'C內(nèi)．因?yàn)镻∈AA'，AA'?平面A'C，所以P∈平面A'C．同理點(diǎn)P∈平面BC'，所以點(diǎn)P在平面A'C與平面BC'的交線上，而平面A'C∩平面BC'=CC'，故點(diǎn)P∈直線CC'，即三條直線AA'，BB'，CC'相交于一點(diǎn)．A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）三個(gè)平面不可能將空間分成（

）個(gè)部分A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】分三個(gè)平面互相平行，三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，三個(gè)平面交于一條直線，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，五種情況討論即可.【詳解】若三個(gè)平面互相平行，則可將空間分為4個(gè)部分；若三個(gè)平面有兩個(gè)平行，第三個(gè)平面與其它兩個(gè)平面相交，則可將空間分為6個(gè)部分；若三個(gè)平面交于一條直線，則可將空間分為6個(gè)部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線平行，則可將空間分為7部分；若三個(gè)平面兩兩相交且三條交線交于一點(diǎn)，則可將空間分為8部分故n的取值為4，6，7，8，所以n不可能是5.故選：A.2．（2024·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列各圖符合立體幾何作圖規(guī)范要求的是（）A．直線在平面內(nèi) B．平面與平面相交 C．直線與平面相交 D．兩直線異面【答案】D【分析】直接根據(jù)立體幾何作圖規(guī)范要求依次判斷即可.【詳解】若直線在平面內(nèi)，應(yīng)將直線畫在平面內(nèi)，A錯(cuò)誤；平面與平面相交時(shí)，兩個(gè)平面相交于直線，而不是點(diǎn)，B錯(cuò)誤；直線與平面相交，看不到的部分應(yīng)當(dāng)畫虛線，C錯(cuò)誤；兩直線異面滿足作圖規(guī)范.故選：D3．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）下列圖形表示兩個(gè)相交平面，其中畫法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】按照畫法原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，圖中沒有畫出平面與平面的交線，故A不正確；對(duì)B，C，圖中的虛實(shí)線沒有按照畫法原則去畫，故B，C不正確；對(duì)D，符合畫法原則，故D正確，故選：D4．（2023下·湖北黃岡·高一校考階段練習(xí)）若點(diǎn)A在平面內(nèi)，直線l在平面內(nèi)，點(diǎn)A不在直線l上，下列用集合表示這些語句的描述中，正確的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)線面的關(guān)系結(jié)合元素和集合、集合與集合的關(guān)系直接寫出即可.【詳解】因?yàn)橹本€和平面都是由點(diǎn)形成的，所以根據(jù)元素與集合的關(guān)系知，點(diǎn)A在平面內(nèi)表示為，點(diǎn)A不在直線l上表示為，根據(jù)集合與集合的關(guān)系知，直線l在平面內(nèi)可表示為.故選：B5．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下面表述與結(jié)論都正確的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)在線上，；線在平面內(nèi)，；點(diǎn)在平面內(nèi)，，和公理1依次判斷可得答案．【詳解】解：對(duì)，，，所以直線在平面內(nèi)，即，故錯(cuò)誤；對(duì)，直線在平面內(nèi)，應(yīng)為，故錯(cuò)誤；對(duì)，，，，故正確；對(duì)，，，有可能，故錯(cuò)誤．故選：．6．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列命題是真命題的是（

）A．如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合B．若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線C．空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)D．三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成七個(gè)部分【答案】B【分析】A.這兩個(gè)平面可能相交或重合，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.該選項(xiàng)正確；C.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成八個(gè)部分，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.【詳解】A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面可能相交或重合，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若四點(diǎn)不共面，則其中任意三點(diǎn)不共線，所以該選項(xiàng)正確；C.空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線不一定在同一平面內(nèi)，如三棱錐,相交于同一點(diǎn)的三條直線不在同一平面內(nèi)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.三個(gè)不重合的平面最多可將空間分成八個(gè)部分，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B二、多選題7．（2023下·江蘇鎮(zhèn)江·高一江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？计谥校┫铝姓f法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面一定是矩形B．三個(gè)平面至多將空間分為3個(gè)部分C．圓臺(tái)可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成D．任意五棱錐都可以分成3個(gè)三棱錐【答案】CD【分析】利用斜棱柱的側(cè)面可判斷A選項(xiàng)；取三個(gè)兩兩相互垂直的平面可判斷B選項(xiàng)；利用圓臺(tái)的形成可判斷C選項(xiàng)；利用五棱錐的結(jié)構(gòu)特征可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，斜棱柱的側(cè)面不一定是矩形，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若三個(gè)平面兩兩垂直，則這三個(gè)平面可將空間分為個(gè)部分，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，圓臺(tái)可由直角梯形以高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，一個(gè)五邊形可分為三個(gè)三角形，所以，任意五棱錐都可以分成個(gè)三棱錐，D對(duì).故選：CD.8．（2023下·四川成都·高一樹德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面四個(gè)命題中，正確的為（

）A．相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi)．B．在平面外，其三邊延長(zhǎng)線分別和交于P，Q，R，則P，Q，R一定共線C．一個(gè)角的兩邊所在直線分別平行于另一個(gè)角的兩邊所在直線，則這兩角相等D．在三維空間中，三個(gè)平面最多把空間分成八部分．【答案】BD【分析】舉例說明判斷A；利用平面基本事實(shí)判斷B；利用等角定理判斷C；求出三個(gè)平面分空間所成部分?jǐn)?shù)的最大值判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，三棱錐的三條側(cè)棱所在直線交于同一點(diǎn)，而這三條直線不共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，所在平面與平面相交，由平面基本事實(shí)知，公共點(diǎn)都在交線上，B正確；對(duì)于C，一個(gè)角的兩邊所在直線分別平行于另一個(gè)角的兩邊所在直線，則這兩角相等或互補(bǔ)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，三個(gè)平面分空間成4部分；當(dāng)兩個(gè)平面平行，與第三個(gè)都相交或三個(gè)平面相交于一條直線時(shí)，三個(gè)平面分空間成6部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線平行時(shí)，三個(gè)平面分空間成7部分；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，有3條交線，且3條交線交于一點(diǎn)時(shí)，三個(gè)平面分空間成8部分，所以三個(gè)平面最多把空間分成8部分，D正確.故選：BD三、填空題9．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）一個(gè)平面把空間分為部分；兩個(gè)平面把空間分為部分；三個(gè)平面把空間分為部分．【答案】或或或或【分析】根據(jù)空間中平面與平面的位置關(guān)系判斷即可；【詳解】一個(gè)平面把空間分為部分；兩個(gè)平行平面將空間分成部分，兩個(gè)相交平面可以將空間分成部分，故兩個(gè)平面將空間分成或部分；當(dāng)三個(gè)平面互相平行時(shí)，將空間分成部分，如圖1所示；當(dāng)有兩個(gè)平面平行，第三個(gè)平面與這兩個(gè)面都相交，此時(shí)將空間分成部分，如圖2所示；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交于一條直線時(shí)，可以把空間分成部分，如圖3所示；當(dāng)三個(gè)平面兩兩相交，且三條直線互相平行時(shí)，將空間分成部分，如圖4所示；當(dāng)兩個(gè)平面豎著相交，第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，即三個(gè)平面兩兩相交于三條直線，且三條直線交于一點(diǎn)時(shí)，此時(shí)可將空間分成部分，如圖5所示；綜上可得三個(gè)平面把空間分為或或或部分.

故答案為：；或；或或或10．（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）空間不共線的四點(diǎn)，可能確定個(gè)平面．【答案】或【詳解】空間四點(diǎn)中，任意三點(diǎn)都不共線時(shí)，可確定個(gè)平面，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，可確定個(gè)平面，故空間不共線四點(diǎn)，可確定個(gè)或個(gè)平面．四、解答題11．（2023下·黑龍江大慶·高一?？计谥校?）直線和兩條異面直線都相交，畫出每?jī)蓷l相交直線所確定的平面，并標(biāo)上字母；（2）如圖，已知是空間四點(diǎn)，且點(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)不在直線上．求證：直線在同一平面內(nèi)．

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意直接畫圖即可，（2）根據(jù)平面基本性質(zhì)結(jié)合題意證明即可.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，畫出的圖形如圖所示：

直線和直線所確定的平面為，直線直線所確定的平面為．（2）證明：因?yàn)辄c(diǎn)在同一直線上，點(diǎn)不在直線上，所以點(diǎn)確定唯一的一個(gè)平面，設(shè)為，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，即直線在同一平面內(nèi)．

12．（2023下·高一單元測(cè)試）如圖，P是所在平面外一點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，試過點(diǎn)做平行于的平面，要求：

(1)畫出平面分別與平面，平面，平面的交線；(2)試對(duì)你的畫法給出證明．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析分析】（1）分別過點(diǎn)作交于E，過M點(diǎn)作交于F，連結(jié)，即為平面與平面，平面，平面的交線．（2）首先證明直線與共面，然后證明平面即為所求的平面．【詳解】（1）

過點(diǎn)作交于E，過M點(diǎn)作交于F，連結(jié)，則平面為平行于的平面，分別是平面與平面，平面，平面的交線．（2），．直線與共面，分別是平面與平面，平面，平面的交線．平面，平面，平面．∴平面為所求的平面．B能力提升1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（

）

A． B．9 C． D．【答案】A【分析】作出正方體的截面圖形，求出周長(zhǎng)即可.【詳解】

如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接GE，，．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以，，又，，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，所以用過點(diǎn)，E，的平面截正方體，所得截面為梯形，其周長(zhǎng)為．故選：A．2．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，正四棱臺(tái)中，上底面邊長(zhǎng)為3，下底面邊長(zhǎng)為6，體積為，點(diǎn)在上且滿足，過點(diǎn)的平面與平面平行，且與正四棱臺(tái)各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先過點(diǎn)作于點(diǎn)，結(jié)合已知得，由棱臺(tái)體積公式得，由勾股定理得，再求出的長(zhǎng)，最終根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得解.【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)椋?，則四棱臺(tái)的高為，則四棱臺(tái)的體積為，解得，所以側(cè)棱長(zhǎng)為.如圖所示：過于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，由對(duì)稱性可知，所以，而，所以，所以，同理，分別在棱上取點(diǎn)，使得，易得，所以截面多邊形的周長(zhǎng)為.故選：D.3．（多選）（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M為底面的中心，，，N為線段AQ的中點(diǎn)，則（

）

A．CN與QM共面B．三棱錐的體積跟的取