數(shù)學(xué)故事省公開課一等獎全國示范課微課金獎?wù)n件

數(shù)學(xué)故事第1頁“±1”妙用桌上放著8只茶杯，全部杯口朝上，每次翻轉(zhuǎn)其中4只，只要翻轉(zhuǎn)兩次，就把它們?nèi)挤杀诔拢偃鐚栴}中8只改為6只，每次依然翻轉(zhuǎn)其中4只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)把它們?nèi)糠杀诔拢?/p>

請動手試驗一下．這時你會發(fā)覺經(jīng)過三次翻轉(zhuǎn)就能夠到達目標．說明以下：

用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，這三次翻轉(zhuǎn)過程能夠簡單地表示以下：

初始狀態(tài)：＋1，＋1，＋1，＋1，＋1，＋1

第一次翻轉(zhuǎn)：－1，－1，－1，－1，＋1，＋1

第二次翻轉(zhuǎn)：－1，＋1，＋1，＋1，－1，＋l

第三次翻轉(zhuǎn)：－1，－1，－1，－1，－1，－1第2頁“±1”妙用假如再將問題中8只改為7只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)（每次4只）把它們?nèi)糠杀诔?

幾經(jīng)試驗，你將發(fā)覺，無法把它們?nèi)糠杀诔拢?/p>

是你“翻轉(zhuǎn)”能力差，還是根本無法完成?

“±1”將告訴你：不論你翻轉(zhuǎn)多少次，總是無法使這7只杯口朝下．

道理很簡單．用＋1表示杯口朝上，－1表示杯口朝下，問題就轉(zhuǎn)變成：“把7個＋1每次改變其中4個符號，若干次后能否把它們都變成－1？”考慮這7個數(shù)乘積，因為每次都改變4個數(shù)符號，所以它們乘積永遠不變（即永為＋1），而全部杯口朝下時7個數(shù)乘積等于－1，這是不可能．第3頁“±1”妙用道理竟是如此簡單，證實竟是如此巧妙，這要歸功于“±1”語言．

中國象棋中馬走日字，在對弈時你發(fā)覺下面這種現(xiàn)象沒有？

馬自某個位置跳起，假如再想回到原來位置，一定經(jīng)過偶次步．

“±1”語言也可幫你證實這個結(jié)果：象棋盤共有9×10＝90個位置，相鄰位置用符號不一樣數(shù)（＋與－1）來表示（圖中全部實心圓點位置用＋1表示，余者用－1表示），那么象棋馬從任何一個位置，每走一步就要改變符號．就是說，棋子馬要想不變符號，必須走偶步．而馬自某個位置跳起，再回到原來位置，符號不變，故得結(jié)論：馬自某個位置跳起，假如再想回到原來位置，一定經(jīng)過偶次步．第4頁阿凡提巧懲高利貸者一天，阿凡提來到一個集市，恰好遇見一個高利貸者在叫喊，“放金幣嘍！放金幣嘍！我金幣可是個寶，只要你把它埋在地里一天一夜，就會變成1000金幣。”阿凡提：“我借一個金幣！”阿凡提決心處罰這個愚弄百姓，貪得無厭家伙，為民除害。高利貸者：“那你天天得還我1000個金幣?！?/p>

阿凡提：“好，一言為定。我將連續(xù)15天借金幣，第1天借1個金幣，以后天天都是前一天2倍。15天以后我還給你金幣，假如這15天之內(nèi)，你后悔了，那么我借金幣就不能還給你了。”

高利貸者一計算，馬上眉開眼笑，滿口答應(yīng)。前幾天，高利貸者還得意洋洋?？墒遣坏?5天，這個貪得無厭高利貸者就破產(chǎn)了。聰明同學(xué)，你知道他是怎樣破產(chǎn)嗎？假如他不破產(chǎn)，他又賠了多少金幣呢？阿凡提15天向他借金幣個數(shù)依次是：1（20）,2（21），4（22）,8（23）,16（24）,32（25）,64（26）……16384（215）這么，阿凡提借金幣一共是：1+2+4+8+…+16384=32767（個）。阿凡提15天應(yīng)該還給他金幣是：1000×15=15000（個），照這么計算，高利貸者還賠了17767個金幣。第5頁物以類聚與合并同類項

俗話說“物以類聚”．意思是說，同一個類型東西能夠聚集在一起．當(dāng)然，不一樣類型東西，就不能隨意聚集．比如，收拾房間時，書放在書架上，衣服放進衣櫥，碗盤放在碗櫥……．不能把碗朝衣櫥里放，衣服堆到書架上，……到動物園參觀，老虎與老虎關(guān)在一個籠子里，熊貓與熊貓關(guān)在另一個籠子里．不能把熊貓與老虎關(guān)在一起，不然熊貓要被老虎吃光了．這就是“物以類聚”．在數(shù)學(xué)里，也慣用到這種同類相聚思想．

以名數(shù)為例，3元和2元單位都是元，能夠加，等于5元．3元8角和2元3角也能夠加，但要注意元只能跟元加，角只能跟角加，元不能跟角加，答案應(yīng)該是6元l角．不一樣名數(shù)，假如能夠化為相同名數(shù)，必須化相同以后再加；假如不能化成同名數(shù)，就不能加．比如，3千克和6元表示不一樣量，這兩個單位不論怎樣也不能化為相同，所以不能相加．

第6頁整數(shù)加減法法則，為何要強調(diào)“數(shù)位對齊”？因為數(shù)位對齊以后，同數(shù)位上數(shù)字單位相同，能夠相加減．一樣，小數(shù)加減法強調(diào)“小數(shù)點對齊”，因為一旦小數(shù)點對齊了，整數(shù)部分和分數(shù)部分數(shù)位也都對齊了，于是便能夠相加減．

再看看分數(shù)加減法．同分母分數(shù)單位相同，能夠直接相加減；異分母分數(shù)單位不一樣，不能直接相加減，必須先通分．通分實質(zhì)就是把不一樣單位分數(shù)化成相同單位分數(shù)．分數(shù)單位相同，才能相加減．

現(xiàn)在，我們看看合并同類項問題，這是代數(shù)式加減法基礎(chǔ)．3x2與5x2能相加，單位能夠看成是x2．3x2能夠了解為3個x2，5x2能夠了解為5個x2，合并起來應(yīng)該是8個x2，即3x2＋5x2＝8x2

．

同理，6ab減去4ab，能夠把單位看成是ab,6個ab減去4個ab，得2個ab，即6ab－4ab=2ab．

所以，對多項式加減法而言，同類項才能合并，不是同類項不能合并．總而言之，物以類聚，在進行代數(shù)加減法時，要注意“同類”這個特點．物以類聚與合并同類項

第7頁靈感與數(shù)學(xué)靈感我國著名科學(xué)家錢學(xué)森說：“靈感，也就是人在科學(xué)或藝術(shù)創(chuàng)作中高潮，突然出現(xiàn)、瞬時即逝短暫思維過程．”唯物論者也認可靈感，但它不是上帝恩賜，而是人們在實踐活動中逐步形成或培養(yǎng)出來一個不一樣常人高效率、大跨度創(chuàng)造性思維表現(xiàn)．靈感是擔(dān)心創(chuàng)造性活動和長久艱辛勞動結(jié)果．?dāng)?shù)學(xué)靈感是人腦對數(shù)學(xué)對象結(jié)構(gòu)關(guān)系一個突發(fā)性領(lǐng)悟．在解答數(shù)學(xué)難題時，通常會碰到這么情況：盡管從多角度、用各種方法去進行探索，但百思不得其解．可正在“山窮水盡疑無路”之際，靈感出現(xiàn)了，從而創(chuàng)造了“柳暗花明又一村”美境界．

靈感與創(chuàng)造思維、靈感與數(shù)學(xué)發(fā)覺終究有何聯(lián)絡(luò)？我們可看看下面幾位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)靈感與數(shù)學(xué)發(fā)覺情況．

法國數(shù)學(xué)家笛卡兒，早就有把相互獨立代數(shù)與幾何結(jié)合起來愿望，經(jīng)過長時期思索，但未找到適當(dāng)方法．1619年隨軍服務(wù)時他仍在思索．11月9日，在多瑙河畔諾伊堡，他幾天來整日沉迷在思索之中而不得其解，入睡后連作數(shù)夢，夢中迷迷糊糊地想到引入直角坐標系方法．第二天，也即是11月10日清晨，醒后馬上將夢中所得加以整理，終于創(chuàng)造了解析幾何學(xué)，笛卡爾取得了成功，但他醞釀時間為1617～1619年，約為兩年時間．

第8頁法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊在談到他發(fā)覺富克斯函數(shù)變換方法時回想說：“1880年有一次我離開當(dāng)初居住卡昂去作一次由礦業(yè)學(xué)校主辦地質(zhì)考查旅行．旅途奔走使我忘記了我數(shù)學(xué)工作，抵達庫特塞斯后，我們乘公共馬車到各處去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，正當(dāng)我跨上踏板瞬間，腦子里突然出現(xiàn)了一個想法，即我曾用來定義富克斯函數(shù)諸變換跟非歐幾何中諸變換是一致．”龐加萊回到住址后，馬上把這一結(jié)果加以證實．這是在長時間擔(dān)心工作之后，思想放松時靈感突然閃現(xiàn)，是經(jīng)過了約一年時間苦思之后才取得成功．

被稱為數(shù)學(xué)王子高斯為證實某一算術(shù)定理，曾苦思冥想達兩年之久，以后突然得到一個想法，使他取得成功．高斯回想說：“終于在兩天前我成功了……像閃電一樣，謎一下解開了．我自己也說不清楚是什么導(dǎo)線把原先知識和我成功東西連接起來．”盡管解開這個謎想法是突然來，但高斯本人經(jīng)過兩年艱辛努力才為這個成功到來做好了準備．

第9頁由以上對三位數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)靈感出現(xiàn)而造成數(shù)學(xué)發(fā)覺描述，能夠看出這種在長時期連續(xù)勞動后某時刻出現(xiàn)“突然領(lǐng)悟”是一個非邏輯高層次創(chuàng)造活動，亦即靈感思維活動．

靈感是不能靠偶然機遇、守株待兔式消極等候能夠得到．必須是執(zhí)著追求、鍥而不舍、百折不撓，才能有成功一天．所謂“觸景生情”“靈機一動”“眉頭一皺，計上心來”，都是經(jīng)過長久堅持不懈地創(chuàng)造性勞動而“偶然得之”．巴斯加說：“機遇只偏愛有準備頭腦．”恰恰道出了此中真諦．第10頁學(xué)數(shù)學(xué)要一絲不茍

我們常聽到同學(xué)說：“老師，我這題只錯了一個符號，怎么算全錯？”或者說：“小數(shù)點錯了一位，為何扣那么多分？”看來，有些同學(xué)對數(shù)學(xué)學(xué)科一個特點──準確性，缺乏足夠認識．一篇作文，主題明確，中心突出，構(gòu)思嚴謹，文字優(yōu)美，雖說有一兩個錯例字，是缺點，但也無傷大雅．仍不失為一篇好文章．?dāng)?shù)學(xué)則不然，不但解題思緒要正確，詳細解題過程也不能犯錯，差之毫厘，往住失之千里．

這里介紹兩則真實故事．1962年，美國發(fā)射了一艘飛往金星“航行者一號”太空飛船．依據(jù)預(yù)測，飛船起飛44分以后，9800個太陽能裝置會自動開始工作；80天后電腦完成對航行矯正工作；10天以后，飛船就能夠圍繞金星航行，開始拍照．可是，出人意科是，飛船起飛不到四分鐘，就一頭栽進大西洋里．這是什么原因呢？以后經(jīng)過詳細調(diào)查，發(fā)覺當(dāng)初在把資料輸入電腦時，有一個數(shù)據(jù)前面負號給遺漏了，這么就使得負數(shù)變成了正數(shù)，以致影響了整個運算結(jié)果，使飛船計劃失?。粋€小小負號，竟使得美國航天局白白浪費了一千萬美元以及大量人力和時間．

第11頁從前，醫(yī)生常推薦兒童和康復(fù)病人多吃菠菜，聽說它里面含有大量鐵質(zhì)，有養(yǎng)血、補血功效．可是以后，化學(xué)家在研究化肥對蔬菜有害作用時，無意中卻發(fā)覺，菠菜實際含鐵量并不像書上所講那么高，只有所宣傳數(shù)據(jù)十分之一！化