2023年考研數(shù)學(xué)(二)真題(試卷+答案)

2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

2023年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（-）試題

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)

是符合題目要求的.

（1）函數(shù)y=xln（e+」-）的漸近線(xiàn)為（）

x-1

（A）y=x+e.

（B）y=x+—.

e

（C）y=x.

（D）y=x--.

e

i-------,x?0

(2)/(X)=<Jl+f的一個(gè)原函數(shù)為()

(x+1)cosx,x>0

1H(A/1+x2-x),x<01H(A/1+x2-x)+1,x<0

(A)F(x)=(B)F(x)=■

(x+1)cosx-sinx,x>0(x+l)cosx-sinx,x>Q

+x2-x),x<0ln(Jl+%之+%)+1,%<0

(C)F(x)=(D)R(x)=<

(x+1)sinx+cosx,x>Q(x+1)sinx+cosx,x>0

（3）設(shè)數(shù)列{%},{%}滿(mǎn)足=%+i=sinx“，以+1=才，當(dāng)"f8時(shí)（

（A）無(wú)“是先的高階無(wú)窮小

（B）y”是的高階無(wú)窮小

（C）尤“是力的等價(jià)無(wú)窮小

（D）乙是%的同階但非等價(jià)無(wú)窮小

（4）微分方程y"+ay'+勿=0的解在（-0。,+8）有界，則。力的取值范圍為（）

(A)a<0,b>0

(B)a>0,b>0

數(shù)學(xué)（二）試題第1頁(yè)（共4頁(yè)）

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(C)

(D)a=0,b<0

.、(x=2t+\t\

(5)〃/)由〈3」確定，則()

[y=Iqsmi

(A)/(%)連續(xù)，/'(0)不存在

(B)/'⑼存在，/'(x)在x=0處不連續(xù)

(C)/'(%)連續(xù)，/“(0)不存在

(D)尸⑼存在，尸⑺在x=0處連續(xù)

(6)若函數(shù)-------在若a=4處取得最大值，則為是()

x(\nx)a+

(A)-

InIn2

(B)-InIn2

(C)，

In2

(D)In2

(7)設(shè)函數(shù)f(%)=(%2+a)e[若/(%)無(wú)極值點(diǎn)，但有拐點(diǎn)，則a的取值范圍為(

(A)[0,1)

(B)[1,+co)

(C)[1,2)

(D)[2,+00)

(8)已知4,5都為〃階矩陣，E為〃階單位矩陣，M*為矩陣M的伴隨矩陣，貝日人刊

(0B

為()

數(shù)學(xué)(二)試題第2頁(yè)(共4頁(yè))

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1A|B*-BA1A|B*-AB

(A)(B)

|B|A*|B|A*

<°7<°

\\

1B[A*-BA[B|A*-AB

(C)(D)

|A|B*|A|B*

<°7<°7

（9）設(shè)二次型/（占,々,當(dāng)）=（七+々）2+（為+%3）2一4（々—％3）2,則該二次型的規(guī)范形為

（）

（A）式+￡

⑻片-￡

（C）片+只一4%

（D）片+￡-￥

,7既可由藥、%線(xiàn)性表示，也可由

用、分線(xiàn)性表示，則/為（）

，3、

(B)k5,keR

J。，

卜1)

(C)k1,keR

2

數(shù)學(xué)（二）試題第3頁(yè)（共4頁(yè)）

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二、填空題：11?16小題,每小題5分，共30分.

(11)設(shè)f(x)=ax+bx2+ln(l+x),g(x)=ex-cos%,且/(%)與g(%)為等價(jià)

無(wú)窮小，則aZ?=.

(12)設(shè)y(%)=用-干出,則此曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)為_(kāi)________.

J-小

(14)3%2=29+確定y=>(%),則y=y(%)在％=1處的法線(xiàn)斜率為.

f2-3

(15)函數(shù)y(x)滿(mǎn)足"％+2)—/(x)=x，L"x)6左=0,則］/(x)dx=L

ax+$=1

xa011a1

x+ax,+電=0-

(16)方程組<123有解，已知1a1=4,貝ij12a

玉+2X+ax=0

2312aab0

axx+bx2=2

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

(17)(本題目滿(mǎn)分10分)

設(shè)曲線(xiàn)L:y=y(x)(x>e)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(e?,。)，L上任一點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸距離等于該點(diǎn)處的切

線(xiàn)在y軸上的截距.

⑴求y(x)；

(2)在L上求一點(diǎn)使該點(diǎn)處的切線(xiàn)與兩坐標(biāo)軸所圍三角形的面積最小并求此最小面積.

(18)(本題滿(mǎn)分12分)

r2

求函數(shù)f(x,y)=xecosy+—的極值.

(19)(本題滿(mǎn)分12分)

己知平面區(qū)域D={(x,y)|0<y<—

xy/1+x2

(1)求平面區(qū)域。的面積；

(2)求。繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體體積.

(20)(本題滿(mǎn)分12分)

設(shè)平面有界區(qū)域D位于第一象限，曲線(xiàn)必+/—孫=1,f+,2—孫=2,〉=氐，y=0

數(shù)學(xué)(二)試題第4頁(yè)(共4頁(yè))

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圍成，求PSI，

（21）（本題滿(mǎn)分12分）

函數(shù)/'（X）在［-①刈上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù).證明：

（1）若/'（0）=0,則存在Je（—。,。）使得了〃（專(zhuān)）=，［/'（。）+/'（—。）］.

（2）若/'（x）在（―。,。）取極值，則存在776（—0,。）使得了（〃）卜..』？|/'（4）+了（—。）|.

（22）（本題滿(mǎn)分12分）

(X]+%+%、

己知Ax2=2x1-x2+x3對(duì)所有x均成立.

（1）求矩陣A;

（2）求可逆矩陣尸和對(duì)角陣A,使得pTAP=A.

數(shù)學(xué)（二）試題第5頁(yè)（共4頁(yè)）

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參考答案

一、選擇題

12345678910

BDBCCACDBD

二、填空題

(11)【答案】—2

(12)【答案】-7r+y/3

3

(13)【答案】

2

(14)【答案】—口

9

(15)【答案】1

2

(16)【答案】8

三、解答題

212

22

(17)【答案】(1)y(x)=-xinx+2x,(2)(e,—e),Smin=e