2023-2024學年浙江省寧波市北侖區(qū)高考適應性考試數(shù)學試卷含解析

2023-2024學年浙江省寧波市北侖區(qū)高考適應性考試數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知雙曲線的實軸長為，離心率為，、分別為雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線上運動，若為銳角三角形，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A． B．C． D．5．阿基米德（公元前287年—公元前212年），偉大的古希臘哲學家、數(shù)學家和物理學家，他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形，為紀念他發(fā)現(xiàn)“圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，且球的表面積也是圓柱表面積的”這一完美的結論.已知某圓柱的軸截面為正方形，其表面積為，則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A． B． C． D．6．已知為實數(shù)集，，，則（）A． B． C． D．7．若集合，，則下列結論正確的是（）A． B． C． D．8．若集合，，則（）A． B． C． D．9．已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，，平面平面ABCD，當點C到平面ABE的距離最大時，該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．110．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．函數(shù)（）的圖像可以是（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)（是虛數(shù)單位），則________14．已知是偶函數(shù)，則的最小值為___________.15．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.16．根據(jù)如圖所示的偽代碼，輸出的值為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是拋物線：的焦點，點在上，到軸的距離比小1.（1）求的方程；（2）設直線與交于另一點，為的中點，點在軸上，.若，求直線的斜率.18．（12分）已知中，角，，的對邊分別為，，，已知向量，且．（1）求角的大??；（2）若的面積為，，求．19．（12分）已知函數(shù).（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，對，恒有成立，求實數(shù)的最小值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和和通項滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的前項和.21．（12分）如圖，在中，點在上，，，.（1）求的值；（2）若，求的長.22．（10分）已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項和．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結果的值.【詳解】滿足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖的計算，解題時要根據(jù)算法框圖計算出算法的每一步，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.2、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計算得到答案.【詳解】因為所以.故選：.【點睛】本題考查了分段函數(shù)計算，意在考查學生的計算能力.3、A【解析】

由已知先確定出雙曲線方程為，再分別找到為直角三角形的兩種情況，最后再結合即可解決.【詳解】由已知可得，，所以，從而雙曲線方程為，不妨設點在雙曲線右支上運動，則，當時，此時，所以，，所以；當軸時，，所以，又為銳角三角形，所以.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其應用，本題的關鍵是找到為銳角三角形的臨界情況，即為直角三角形，是一道中檔題.4、B【解析】

選B.考點：圓心坐標5、D【解析】

設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,由圓柱的表面積求出,代入圓柱的體積公式求出其體積,結合題中的結論即可求出該圓柱的內(nèi)切球體積.【詳解】設圓柱的底面半徑為,則其母線長為,因為圓柱的表面積公式為，所以,解得,因為圓柱的體積公式為,所以,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的，所以所求圓柱內(nèi)切球的體積為.故選:D【點睛】本題考查圓柱的軸截面及表面積和體積公式;考查運算求解能力;熟練掌握圓柱的表面積和體積公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.6、C【解析】

求出集合，，，由此能求出．【詳解】為實數(shù)集，，，或，．故選：．【點睛】本題考查交集、補集的求法，考查交集、補集的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7、D【解析】

由題意，分析即得解【詳解】由題意，故，故選：D【點睛】本題考查了元素和集合，集合和集合之間的關系，考查了學生概念理解，數(shù)學運算能力，屬于基礎題.8、B【解析】

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A，由集合性質(zhì)表示形式即可求得，進而可知滿足.【詳解】依題意，；而，故，則.故選：B.【點睛】本題考查了集合關系的判斷與應用，集合的包含關系與補集關系的應用，屬于中檔題.9、B【解析】

過點E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面ABE，所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設，將表示成關于的函數(shù)，再求函數(shù)的最值，即可得答案.【詳解】過點E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形，，所以.因為平面ABE，所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設，則，.因為，所以，所以，當時，等號成立.此時EH與ED重合，所以，.故選：B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運算求解能力，求解時注意輔助線及面面垂直的應用.10、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關系即可得到答案.【詳解】若，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，可得；若，根據(jù)線面平行的判定定理，可得.故選：C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理，屬于基礎題.11、B【解析】

根據(jù)，可排除，然后采用導數(shù)，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，可得結果.【詳解】由題可知：，所以當時，，又，令，則令，則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的圖像，可從以下指標進行觀察：（1）定義域；（2）奇偶性；（3）特殊值；（4）單調(diào)性；（5）值域，屬基礎題.12、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當，，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題，用數(shù)形結合的方法研究.【詳解】當時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B【點睛】本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

直接根據(jù)復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則計算即可．【詳解】，．【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式四則運算法則的應用．14、2【解析】

由偶函數(shù)性質(zhì)可得，解得，再結合基本不等式即可求解【詳解】令得，所以，當且僅當時取等號.故答案為：2【點睛】考查函數(shù)的奇偶性、基本不等式，屬于基礎題15、【解析】

求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標為（1，0），

則函數(shù)在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，根據(jù)導數(shù)和切線斜率之間的關系是解決本題的關鍵.16、7【解析】

表示初值S=1,i=1，分三次循環(huán)計算得S=10>0,輸出i=7.【詳解】S=1,i=1第一次循環(huán)：S=1+1=2,i=1+2=3；第二次循環(huán)：S=2+3=5,i=3+2=5；第三次循環(huán)：S=5+5=10,i=5+2=7；S=10>9,循環(huán)結束，輸出：i=7.故答案為：7【點睛】本題考查在程序語句的背景下已知輸入的循環(huán)結構求輸出值問題，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由拋物線定義可知，解得，故拋物線的方程為；（2）設直線：，聯(lián)立，利用韋達定理算出的中點，又，所以直線的方程為，求出，利用求解即可.【詳解】（1）設的準線為，過作于，則由拋物線定義，得，因為到的距離比到軸的距離大1，所以，解得，所以的方程為（2）由題意，設直線方程為，由消去，得，設，，則，所以，又因為為的中點，點的坐標為，直線的方程為，令，得，點的坐標為，所以，解得，所以直線的斜率為.【點睛】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系等基礎知識，考查學生的運算求解能力.涉及拋物線的弦的中點，斜率問題時，可采用韋達定理或“點差法”求解.18、（1）;（2）．【解析】試題分析：（1）利用已知及平面向量數(shù)量積運算可得，利用正弦定理可得，結合，可求，從而可求的值；（2）由三角形的面積可解得，利用余弦定理可得，故可得.試題解析：（1）∵，，，∴，∴，即，又∵，∴，又∵，∴．（2）∵，∴，又，即，∴，故．19、（1）（2）【解析】

（1）求得，根據(jù)已知條件得到在恒成立，由此得到在恒成立，利用分離常數(shù)法求得的取值范圍.（2）構造函數(shù)設，利用求二階導數(shù)的方法，結合恒成立，求得的取值范圍，由此求得的最小值.【詳解】（1）因為在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，當時，上式成立，當，有，需，而，，，，故綜上，實數(shù)的取值范圍是（2）設，，則，令，，在單調(diào)遞增，也就是在單調(diào)遞增，所以.當即時，，不符合；當即時，，符合當即時，根據(jù)零點存在定理，，使，有時，，在單調(diào)遞減，時，，在單調(diào)遞增，成立，故只需即可，有，得，符合綜上得，，實數(shù)的最小值為【點睛】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查分類討論的數(shù)學思想方法，屬于難題.20、（1）；（2）【解析】

（1）當時，利用可得，故可利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項.（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，①，②所以，即，又因為，故，所以，所以是首項，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由得：數(shù)列為等差數(shù)列，公差，，，.【點睛】本題考查數(shù)列的通項與求和，注意數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式，如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和，則用分組求和法；如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積，則用錯位相減法；如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差，那么用裂項相消法；如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn)，則用并項求和法.21、(1)；（2）.【解析】

（1）由兩角差的正弦公式計算；（2）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．【詳解】（1）因為，所以.因為，所以，所以.（2）在中，由，得，在中，由余弦定理可得，所