第五章-形函數(shù)與等參單元課件

第五章形函數(shù)與等參單元1可編輯課件PPT內(nèi)容回顧通過前面的學(xué)習(xí)認(rèn)識到了形函數(shù)在有限單元法中的重要性，形函數(shù)作為單元的內(nèi)插函數(shù)，在單元的位移模式中有重要作用，對單元剛度的推導(dǎo)，外力的節(jié)點等效起著關(guān)鍵作用；推導(dǎo)原理和過程明確，但是推導(dǎo)繁瑣，只能適應(yīng)簡單的少節(jié)點單元（常應(yīng)變?nèi)切螁卧龋凰甲儯盒魏瘮?shù)僅是單元內(nèi)部的位移插值函數(shù)（利用節(jié)點位移達(dá)到內(nèi)部位移），可考慮利用數(shù)學(xué)中的“插值函數(shù)”方法，直接給出形函數(shù)。從而避開繁瑣的推導(dǎo)2可編輯課件PPT一．面積坐標(biāo)

對于三角形單元，用面積坐標(biāo)代替一般的直角坐標(biāo)，不僅可以簡化應(yīng)力矩陣、剛度矩陣和載荷矩陣等的運算，而且它不隨三角形單元形狀和方位改變，對于計算機(jī)的應(yīng)用也十分有利。如圖所示的三角形單元ijm，任意一點P(x,y)的位置，可以用如下三個比值來確定式中為三角形ijm的面積，分別是三角形Pjm、Pmi、Pij的面積。這三個比值稱為P點的面積坐標(biāo)（節(jié)點的對向三角形面積）。

（5-1）5.1面積坐標(biāo)與自然坐標(biāo)1．面積坐標(biāo)的定義3可編輯課件PPT（i）三個面積坐標(biāo)并不完全是獨立的，只有兩個是獨立的所以（iv）

根據(jù)面積坐標(biāo)的定義，不難看出，在平行jm邊的直線上的所有各點，都有相同的Li坐標(biāo)，并且這個坐標(biāo)就等于“該直線至jm邊的距離”與“結(jié)點i至jm邊的距離”的比值。圖中示出了Li的一些等值線。。（5-2）

（5-3）；2．面積坐標(biāo)的性質(zhì)（ii）三角形的三個頂點處（iii）三角形的三條邊上4可編輯課件PPT3面積坐標(biāo)和直角坐標(biāo)之間的關(guān)系于是（5-5a）（5-4）類似5-5b）三角形Pjm的面積是5可編輯課件PPT

它們的矩陣形式可寫為

與(5-4)式對比，可見前述三角形常應(yīng)變單元中的形函數(shù)Ni、Nj、Nm就等于面積坐標(biāo)Li、Lj、Lm。

（5-6）

則三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)可以寫成面積坐標(biāo)的表達(dá)式6可編輯課件PPT

將式（5-6）求逆，可得到同理有以及以上三式就是面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的變換公式。設(shè)Li、Lj為獨立變量，則Lm=1－Li－Lj，變換式可以把平面上的任意三角形ijm變換為LiLj平面上的三角形i1,j1,m1。7可編輯課件PPT4面積坐標(biāo)的求導(dǎo)和積分當(dāng)面積坐標(biāo)的函數(shù)對直角坐標(biāo)求導(dǎo)時，可以應(yīng)用下列公式可寫為8可編輯課件PPT

求面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形單元上的積分時，可以應(yīng)用積分公式

式中為整函數(shù)。求面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在三角形某一邊的積分值時，可以應(yīng)用積分公式式中l(wèi)為該邊的長度?？傻玫?/p>

（5-7）（5-8）9可編輯課件PPT二．四邊形自然坐標(biāo)（歸一化處理）(-1,1)(-1,-1)O1(1,1)(1,-1)234(1,-1)(-1,-1)4(-1,1)321(1,1)OO母體單元實際單元以兩對邊中點建立局部坐標(biāo)系，并且規(guī)定坐標(biāo)值的有效范圍0→±1,正方形內(nèi)部的任意一點位置可由其局部坐標(biāo)來定義,即四節(jié)點任意四邊形,按照上述方法(兩對邊中點)定義局部坐標(biāo)系，顯然在這種局部坐標(biāo)系下,二者是等同的,二者之間有映射關(guān)系,這種基于四邊形自然形狀而定義的坐標(biāo)系成為“自然坐標(biāo)系”二者之間可通過一定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換10可編輯課件PPT優(yōu)點該種坐標(biāo)系下,無論四邊形的大小和形狀如何,其坐標(biāo)特征是相同的,因此可用統(tǒng)一的表達(dá)式描述,可以推導(dǎo)統(tǒng)一的有限元公式;以局部坐標(biāo)系導(dǎo)出的公式,有利于數(shù)值積分運算,可克服高精度單元的單剛矩陣、等效節(jié)點力矩陣等因無法導(dǎo)出顯式而必須進(jìn)行積分所遇到的困難；對高精度單元，單元邊界可以使直線/曲線，能更好的逼近實際物體的邊界。11可編輯課件PPT六節(jié)點三角形單元具有12個節(jié)點自由度，位移函數(shù)采用如下的完全二次多項式：

（5-9）i(1,0,0)j(0,1,0)m(0,0,1)1

(0,1/2,1/2)2

(1/2,0,1/2)2

(1/2,1/2,0)xy1.位移函數(shù)三六節(jié)點三角形單元12可編輯課件PPT

待定常數(shù)a1～a6可由六個節(jié)點水平位移分量確定，a7～a12可由六個節(jié)點垂直位移分量確定。a1、a2、a3和a7、a8、a9反應(yīng)了剛體位移和常應(yīng)變。由于位移函數(shù)采用了二次曲線，所以在任意兩個單元的相鄰邊界上，位移分量是按拋物線變化的。拋物線的形狀由三個系數(shù)確定，而邊界上三個節(jié)點的水平位移u與垂直位移v完全可以分別確定三個系數(shù)值，從而保證了邊界上位移的連續(xù)性。因此上述位移函數(shù)可以滿足解答的收斂性條件。

為了計算簡便起見，把邊界上的節(jié)點取在三角形三條邊的中點，分別以1，2，3表示，如圖所示。位移函數(shù)可表示為

（5-10）13可編輯課件PPT式中的Ni，…和N1是用面積坐標(biāo)表示的形函數(shù)角點：邊中點：

（5-12）

（5-11）14可編輯課件PPT利用上述形函數(shù)可將位移函數(shù)用矩陣形式表示為式中（5-13）15可編輯課件PPT

利用式（5-11）與式（5-12），并將六個節(jié)點的面積坐標(biāo)依次代入式（5-10），將得出u分別等于ui，uj，um，u1，u2，u3；v分別等于vi，vj，vm，v1，v2，v3。同時由式（5-6）可見，面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)是線性相關(guān)的，因而式（5-10）中的形狀函數(shù)即是面積坐標(biāo)的二次式，也是直角坐標(biāo)的二次式，都能在六個節(jié)點處給出六個節(jié)點位移，因此式（5-10）與式（5-9）是等同的，同樣都能保證解答的收斂性。16可編輯課件PPT根據(jù)應(yīng)變公式2．單元的應(yīng)變與應(yīng)力由于形函數(shù)是面積坐標(biāo)的函數(shù)，而面積坐標(biāo)又是坐標(biāo)x,y的函數(shù)。因此上述求導(dǎo)需按照復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則進(jìn)行17可編輯課件PPT

可導(dǎo)出用節(jié)點位移表示單元應(yīng)變的表達(dá)式式中18可編輯課件PPT從而得

（5-14）同理可得

（5-15）19可編輯課件PPT

（5-16）寫成矩陣形式為20可編輯課件PPT式中（5-17）21可編輯課件PPT而22可編輯課件PPT

由上述各式可知，應(yīng)變分量是面積坐標(biāo)的一次式，因而也是直角坐標(biāo)的一次式。故應(yīng)變是按線性變化的。單元的應(yīng)力為式中（5-18）23可編輯課件PPT而

由于應(yīng)力矩陣[S]的元素都是面積坐標(biāo)的一次式，也是直線坐標(biāo)的一次式，因此單元中的應(yīng)力是按線性變化的，精度比常應(yīng)變單元精度高。24可編輯課件PPT對于六節(jié)點三角形單元，節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系仍然可寫成式中[k]為單元剛度矩陣，它是12×12的方陣。其通式仍為

（5-19）3．單元剛度矩陣25可編輯課件PPT

將式（5-57）轉(zhuǎn)置與式（5-58）相乘，根據(jù)式（5-47），應(yīng)用下列面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在單元上的積分公式：(i,j,m)（5-20）(i,j,m)（5-21）(i,j,m)（5-22）26可編輯課件PPT

對其中各元素進(jìn)行積分，再利用關(guān)系式bi

+bj

+bm=0和ci

+cj

+cm=0加以化簡，最后得

（5-23）27可編輯課件PPT式中(i,j,m)(i,j,m)

對于平面應(yīng)變問題，須在應(yīng)力矩陣及剛度矩陣的各個公式中，將E改換為

，將改換為。28可編輯課件PPT

由于位移函數(shù)是非線性的，非節(jié)點荷載的移置只能應(yīng)用普遍公式求載荷列陣。

1.分布體積力設(shè)單元重力為W，其體積力分量為移置到各個結(jié)點的體積力荷載列陣為（5-24）4．荷載移置29可編輯課件PPT

利用積分公式（5-8）、（5-11）、（5-12），可求得30可編輯課件PPT

將以上兩式代入式（5-64），得載荷列陣為即Xi=Xj=Xm=X1=X2=X3=0，Yi=Yj=Ym=0，Y1=Y2=Y3=也就是說，只須向節(jié)點1，2，3（而不是i,j,m）分別移置三分之一的重力。

（5-25）31可編輯課件PPTyxijm123lpα

2.分布面力

設(shè)單元在邊界上作用有沿x方向線性變化的面力，分布的面力在i點的密度為p，在j點為零，如圖所示。面積坐標(biāo)Li在i點為1，Xi

=Xj

=Xm=X1=X2=X3=0并沿邊界按線性變化。面力分量可表示為32可編輯課件PPT

移置到各個節(jié)點的面力荷載列陣為（5-26）由于分布面力僅作用在邊界上，所以；；N1=N2=Nm=0而33可編輯課件PPT代入式（5-26），并應(yīng)用面積坐標(biāo)的冪函數(shù)在單元邊界的積分公式（5-8），對其中各元素進(jìn)行積分得將積分結(jié)果代入式（5-26）得

（5-27）34可編輯課件PPT這就是說，只須把總面力的移置到節(jié)點i，移置到節(jié)點3。根據(jù)這一原則，可以應(yīng)用疊加原理求得邊界上受任意線性分布面力的荷載列陣。

整個彈性體的平衡方程仍然可取如下形式：式中[K]——總體剛度矩陣；{δ}——結(jié)點位移列陣；{R}——節(jié)點荷載列陣。采用六節(jié)點三角形單元進(jìn)行計算，精度比簡單三角形單元高，整理計算成果也較簡單，但由于節(jié)點較多，總體剛度矩陣的帶寬較大，所以計算時間稍長。35可編輯課件PPT5.2等參數(shù)單元一等參單元的基本概念在進(jìn)行有限元分析時，單元離散化會帶來計算誤差，主要采用兩種方法來降低單元離散化產(chǎn)生的誤差：1）提高單元劃分的密度，被稱為h方法（h-method）；2）提高單元位移函數(shù)多項式的階次，被稱為p方法（p-method）。。圖5-1整體坐標(biāo)系下四結(jié)點矩形單元同第四章的方法類似，將單元的位移模式選為（5-28）1整體坐標(biāo)系下：

在整體坐標(biāo)系中設(shè)四結(jié)點的矩形單元，如圖所示，該矩形單元在x及y方向的邊長分別為2a和2b，厚度為t，單元編號如圖（一）四節(jié)點平面矩形單元36可編輯課件PPT可得到（5-29）形態(tài)函數(shù)為（5-30）上述單元位移模式滿足位移模式選擇的基本要求：反映了單元的剛體位移和常應(yīng)變，單元在公共邊界上位移連續(xù)。在矩形單元的邊界上，坐標(biāo)x和y的其中一個取常量，因此在邊界上位移是線性分布的，由兩個結(jié)點上的位移確定。37可編輯課件PPT現(xiàn)選擇如下的局部坐標(biāo)系，單元局部坐標(biāo)系的原點取在中心，并以（x,y)坐標(biāo)作為位移插值函數(shù)，并將單元坐標(biāo)函數(shù)歸一化，采用無量綱坐標(biāo)。則有局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系如下因此，無論原單元的變長多大，其四個節(jié)點的分別為2單元局部坐標(biāo)系（a）注意（5-30）和（a）式的關(guān)系38可編輯課件PPT與三結(jié)點三角形單元相比，四結(jié)點矩形單元的位移模式是坐標(biāo)的二次函數(shù)，能夠提高計算精度，但也有顯著的缺點，兩種單元的比較如下。單元類型優(yōu)點缺點三結(jié)點三角形單元適應(yīng)復(fù)雜形狀，單元大小過渡方便計算精度低四結(jié)點矩形單元單元內(nèi)的應(yīng)力、應(yīng)變是線性變化的，計算精度較高不能適應(yīng)曲線邊界和非正交的直線邊界如果任意形狀的四邊形四結(jié)點單元仍采用矩形單元的位移模式，則在公共邊界上不滿足位移連續(xù)性條件。為了既能得到較高的計算精度，又能適應(yīng)復(fù)雜的邊界形狀，可以采用坐標(biāo)變換，即通過坐標(biāo)變換將局部坐標(biāo)中與四邊形方向無關(guān)的邊長為2的正方形（下圖b），變換為整體坐標(biāo)中的四邊形（下圖a）。3平面四節(jié)點等參單元39可編輯課件PPT圖5-2a整體坐標(biāo)下的任意四結(jié)點四邊形單元圖5-2b局部坐標(biāo)下的四結(jié)點正方形單元如上圖所示的任意四邊形單元上，用等分四條邊的兩族直線分割四邊形，以兩族直線的中心為原點，建立局部坐標(biāo)系沿和增大的方向作為和軸。由于可將局部坐標(biāo)系下的正方形單元變換為整體坐標(biāo)系的四邊形單元，對于局部坐標(biāo)下的正方形單元，可取如下的位移函數(shù)a平面四節(jié)點等參單元的形函數(shù)與坐標(biāo)變換40可編輯課件PPT參照矩形單元，四結(jié)點正方形單元的位移模式為其中式中是矩形單元四個節(jié)點的局部坐標(biāo)，其坐標(biāo)值分別為其中（5-31）（5-32）（5-34）上式可簡記為形態(tài)函數(shù)（5-33）母單元41可編輯課件PPT由式（5-31）的位移表達(dá)式以及式（5-34）可知，在單元的四條邊上，分別有，位移線性變化，固邊界上的位移呈線性變化，保證了單元公共邊界上位移的連續(xù)性。因此給出任意四邊形單元的結(jié)點位移就能得到整個單元上的位移，（5-31）的位移模式就是所要找的正確的位移模式。矩形單元的形函數(shù)具有與三角形單元形函數(shù)相類似的特點，既具有如下關(guān)系在單元的形心上42可編輯課件PPT對于母單元的計算，他本身并沒有太大的使用價值，但可以利用他得到實際的計算單元（整體坐標(biāo)下的單元），利用形函數(shù)（5-33）作如下的變換（5-35）使得圖5.2b中平面上的幾個角點分別映射為圖5.2a中平面上的四個角點。如果對實際的計算單元的位移函數(shù)仍然采用母單元的形函數(shù)，即可以證明他滿足完備性和協(xié)調(diào)性的要求，由于描述單元變形的函數(shù)和描述單元幾何形狀的函數(shù)相同，故稱計算單元為等參單元。采用等參單元，使我們可以在局部坐標(biāo)系中的規(guī)則單元上進(jìn)行單元分析，然后在映射笛卡爾坐標(biāo)系的實際單元上。等參單元同時具有計算精度高和適用性好的特點，是有限元程序中主要采用的單元形式（實際上就是等參變換）。43可編輯課件PPT將位移函數(shù)（5-35）代入幾何方程，可以得到位移場b平面四節(jié)點等參單元的幾何矩陣式中44可編輯課件PPT根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則記為J稱為Jacobi矩陣可得到45可編輯課件PPT可以得到應(yīng)力場單元剛度矩陣其子矩陣的計算公式為46可編輯課件PPT二四邊形八節(jié)點等參單元為了更好地反映物體內(nèi)的應(yīng)力變化，適應(yīng)曲線邊界，在彈性力學(xué)平面問題的分析中經(jīng)常使用四邊形八節(jié)點等參單元。如圖所示，由于每條邊上增加了一個結(jié)點，單元的邊是一條二次曲線，可以更好地適應(yīng)曲線邊界。圖四邊形八結(jié)點單元圖

八結(jié)點基本單元47可編輯課件PPT對于等參單元，先在圖所示的八結(jié)點基本單元上進(jìn)行分析。八結(jié)點單元一共有16個已知的結(jié)點位移分量，基本單元中取如下的位移模式：（5-36）該位移模式實際上是一個雙二次函數(shù)，待定系數(shù)由結(jié)點位移分量確定。在單元的每條邊上，局部坐標(biāo)位移是局部坐標(biāo)的二次函數(shù)，完全由邊上的三個結(jié)點的位移值確定，所以這個位移模式滿足位移連續(xù)性條件。實際單元內(nèi)的位移用形函數(shù)表示為，（5-37）48可編輯課件PPT其中的形函數(shù)為將形函數(shù)歸納為（5-38）49可編輯課件PPT形函數(shù)在單元的i結(jié)點上的值為1，在其它結(jié)點上的值均為0坐標(biāo)變換式采用如下相似的公式（5-39）代入公式（5-39），可以得到單元345邊在整體坐標(biāo)下的參數(shù)方程：（5-40）可見在整體坐標(biāo)系中，單元的邊是一條拋物線或退化為一條直線。50可編輯課件PPT如圖所示，ANSYS提供的PLANE82單元是一個四邊形八結(jié)點等參單元，局部坐標(biāo)定義為s和t，如圖所示。PLANE82單元可以退化為三角形六結(jié)點單元。ANSYS提供的Plane82單元Plane82的基本單元ANSYS理論手冊中給出的PLANE82單元的位移模式如圖5-8所示，位移模式與公式（5-18）展開后是一樣的。51可編輯課件PPT三等參單元的單元分析以平面問題的四邊形八結(jié)點等參單元為例，介紹構(gòu)造等參單元的單元剛度矩陣的基本過程。彈性力學(xué)平面問題的單元剛度矩陣為單元的應(yīng)變?yōu)閱卧慕Y(jié)點位移將形函數(shù)代入后，可以得到應(yīng)變的矩陣表達(dá)式（5-41）52可編輯課件PPT可得應(yīng)變矩陣的分塊矩陣（5-42）由于等參單元的形函數(shù)是局部坐標(biāo)的函數(shù)，因此應(yīng)變矩陣[B]也是局部坐標(biāo)的函數(shù)。形成等參單元的單元剛度矩陣需要在整體坐標(biāo)系中對局部坐標(biāo)的函數(shù)進(jìn)行積分，包括以下三個基本步驟：1）計算用局部坐標(biāo)表示的形函數(shù)對整體坐標(biāo)x、y的偏導(dǎo)數(shù)；2）將整體坐標(biāo)系中的面積積分轉(zhuǎn)換為在局部坐標(biāo)系中的面積積分；3）用數(shù)值積分計算出單元剛度矩陣中的元素。由于局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)之間存在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系，因此形函數(shù)Ni

是局部坐標(biāo)的函數(shù)，同時也可以看作是整體坐標(biāo)的函數(shù)。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得（一）計算形函數(shù)對整體坐標(biāo)x，y的偏導(dǎo)數(shù)53可編輯課件PPT（5-43）（5-44）定義或則有（5-45）矩陣[J]稱為雅可比矩陣（Jacobian