四川省瀘州市瀘縣第四中學高三二模數(shù)學（理科）試題

瀘縣四中2020級高三第二次診斷性模擬考試數(shù)學（理工類）注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.考試結(jié)束后，請將答題卡交回.第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分別求得集合，，結(jié)合集合并集的運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，，根據(jù)集合并集的運算，可得.故選：A.2.圖中網(wǎng)格紙的小正方形的邊長是1，復平面內(nèi)點所表示的復數(shù)滿足，則復數(shù)A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題得：，所以3.甲?乙兩臺機床生產(chǎn)同一種零件，根據(jù)兩臺機床每天生產(chǎn)零件的次品數(shù)，繪制了如下莖葉圖，則下列判斷錯誤的是（）A.甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) B.甲的眾數(shù)大于乙的眾數(shù)C.甲的方差大于乙的方差 D.甲的性能優(yōu)于乙的性能【答案】D【解析】【分析】A.利用平均數(shù)公式求解判斷；B.利用眾數(shù)的定義求解判斷；C.利用方差的公式求解判斷；D.根據(jù)方差判斷.【詳解】A.甲的平均數(shù),乙的平均數(shù)，故正確；B.甲的眾數(shù)是15，乙的眾數(shù)是12，故正確；C.甲的方差，乙的方差，故正確；D.由甲的方差大于乙的方差，得甲的性能劣于乙的性能，故錯誤；故錯誤；故選：D4.已知某幾何體的三視圖如圖所示（圖中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1），則該幾何體的體積為（）A. B.15 C. D.20【答案】C【解析】【分析】由三視圖得到該幾何體為棱臺，利用棱臺的體積公式即得.【詳解】由題可得該幾何體為底面分別為邊長為2、4的正方形，高為2的正棱臺，故該幾何體的體積為.故選：C.5.已知是第四象限角，，則A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)的正弦值和角所在的象限，求得的值，根據(jù)兩角差的正切公式求得所求表達式的值.【詳解】因為，且為第四象限角，則，，故選D.所以.【點睛】本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查兩角差的正切公式，屬于基礎(chǔ)題.6.設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【詳解】試題分析：當時，不是遞增數(shù)列；當且時，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點：等比數(shù)列7.在如圖所示的計算程序框圖中，判斷框內(nèi)應填入的條件是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意結(jié)合流程圖所要實現(xiàn)的功能確定判斷框內(nèi)應填入的條件即可.【詳解】由題意結(jié)合流程圖可知當時，程序應執(zhí)行，，再次進入判斷框時應該跳出循環(huán)，輸出的值；結(jié)合所給的選項可知判斷框內(nèi)應填入的條件是.故選：A.8.已知函數(shù)，其中.若函數(shù)的最小正周期為，且當時，取最大值，是A.在區(qū)間上是減函數(shù) B.在區(qū)間上是增函數(shù)C.在區(qū)間上是減函數(shù) D.在區(qū)間上是增函數(shù)【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題目所給已知條件求得的解析式，然后求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由此得出正確選項.【詳解】由于函數(shù)的最小正周期為，故，即，.所以.由，解得，故函數(shù)的遞增區(qū)間是，令，則遞增區(qū)間為，故B選項正確.所以本小題選B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)解析式的求法，考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.9.若，則A. B.C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因，，由已知得，故所以考點：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)10.已知函數(shù)在上單調(diào)，且函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，若數(shù)列是公差不為的等差數(shù)列，且，則的前項的和為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，可知函數(shù)關(guān)于對稱，函數(shù)在上單調(diào)，所以在上也單調(diào)，由，可以得到，進而可以求出的前項的和.【詳解】因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)關(guān)于對稱，又因為函數(shù)在上單調(diào)，所以在上也單調(diào)，由，可以得到，，故本題選C.【點睛】本題考查了抽象函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求前項和問題.11.已知點是雙曲線的左焦點，過且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點，且點在拋物線上，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】如圖,設(shè)拋物線的準線為l,作PQ⊥l于Q,設(shè)雙曲線的右焦點為F′,P(x,y).由題意可知FF′為圓的直徑，∴PF′⊥PF,且，滿足，將①代入②得，則，即,(負值舍去)代入③,即再將y代入①得,即e2=.故選D.點睛：本題主要考查雙曲線的漸近線、離心率及簡單性質(zhì)，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點也是難點，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．本題中，12.關(guān)于x的不等式對任意x>1恒成立，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將對任意x>1恒成立，轉(zhuǎn)化為對任意x>1恒成立，由單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為對任意x>1恒成立求解.【詳解】因為對任意x>1恒成立，即對任意x>1恒成立，令，則，所以單調(diào)遞增，則對任意x>1恒成立，即對任意x>1恒成立，令，則，當時，，遞減，當時，，遞增，所以取得最大值，所以，解得，故選：B第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題：本大題共4個小題，每小題5分，共20分.13.曲線在處的切線方程為_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義即得.【詳解】因為，所以，當時，，，故切線方程為：，即.故答案為：.14.3名女生和4名男生隨機站成一排，則每名女生旁邊都有男生的概率為______．【答案】【解析】【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再分女生都不相鄰和有兩個女生相鄰兩種情況討論，求出符合題意的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型的概率公式計算可得；【詳解】解：依題意基本事件總數(shù)為，若女生都不相鄰，首先將4個男生全排列，再將3個女生插入所形成的5個空中的3個空，則有種排法，若有兩個女生相鄰，首先從3個女生中選出2個作為一個整體，將4個男生全排列，再將整體插入中間3個空中的1個，再將另一個女生插入4個空中的1個空，則有種排法，故每名女生旁邊都有男生的概率故答案為：15.若實數(shù)滿足，且，則的最大值為______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)可得xy＝2，再根據(jù)基本不等式即可求【詳解】實數(shù)x、y滿足x＞y＞0，且log2x+log2y＝1，則xy＝2，則，當且僅當x﹣y，即x﹣y＝2時取等號故的最大值為，故答案．【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，考查了對數(shù)的運算，其中對代數(shù)式進行變形與靈活配湊，是解本題的關(guān)鍵，屬于中等題．16.如圖，在四邊形中，，，，，，點是線段上的一個動點，則的最小值為___________．【答案】【解析】【分析】以為坐標原點，建立直角坐標系,求出四點的坐標,設(shè),求出的坐標,用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出的表達式,利用二次函數(shù)的知識,求出的最小值.【詳解】設(shè),建立如下圖所示的直角坐標系：所以,設(shè)，因為，所以，，所以，.【點睛】本題考查求向量數(shù)量積最值問題，建立直角坐標系，利用向量的數(shù)量積的坐標表示，構(gòu)建函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值，是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必做題：共60分.17.已知正項等比數(shù)列的前項和為，若成等差數(shù)列，．（1）求與；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和記為，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可構(gòu)造關(guān)于的方程組，解方程組可得，由等比數(shù)列通項和求和公式可求得；（2）由（1）可得，采用錯位相減法可求得.【小問1詳解】成等差數(shù)列，；設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，則，解得：，，.【小問2詳解】由（1）得：，，，，.18.某超市從2014年甲、乙兩種酸奶的日銷售量（單位：箱）的數(shù)據(jù)中分別隨機抽取100個，并按[0，10]，（10，20]，（20，30]，（30，40]，（40，50]分組，得到頻率分布直方圖如下：假設(shè)甲、乙兩種酸奶獨立銷售且日銷售量相互獨立．（1）寫出頻率分布直方圖（甲）中的的值；記甲種酸奶與乙種酸奶日銷售量（單位：箱）的方差分別為，，試比較與的大??；（只需寫出結(jié)論）（2）估計在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰有一個高于20箱且另一個不高于20箱的概率；（3）設(shè)表示在未來3天內(nèi)甲種酸奶的日銷售量不高于20箱的天數(shù)，以日銷售量落入各組的頻率作為概率，求的數(shù)學期望．【答案】（1），；（2）0．42；（3）0．9．【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）由各個小矩形的面積和為1，先求出，由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較分散，而乙較為集中，由此可得出與的大小關(guān)系；（Ⅱ）首先設(shè)事件：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱；然后分別求出事件和事件的概率，最后由相互獨立事件的概率乘法計算公式即可得出所求的結(jié)果；（Ⅲ）首先由題意可知的可能取值為0，1，2，3，然后運用相互獨立重復試驗的概率計算公式分別計算相應的概率，最后得出其分布列即可．試題解析：（Ⅰ）由各小矩形面積和為1可得：，解之的；由頻率分布直方圖可看出，甲的銷售量比較分散，而乙較為集中，主要集中在箱，故．（Ⅱ）設(shè)事件：在未來的某一天里，甲種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，乙種酸奶的銷售量不高于20箱；事件：在未來的某一天里，甲、乙兩種酸奶的銷售量恰好一個高于20箱且另一個不高于20箱．則，．所以．（Ⅲ）由題意可知，的可能取值為0，1，2，3．，，，．所以分布列為

0

1

2

3

0．343

0．441

0．189

0．027

所以的數(shù)學期望．考點：1、離散型隨機變量的均值與方差；2、相互獨立事件的概率乘法公式；3、頻率分布直方圖．【方法點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、離散型隨機變量的均值與方差和相互獨立事件的概率乘法公式，屬中檔題．這類題型是歷年高考的必考題型之一，其解題的關(guān)鍵有二點：其一是認真審清題意，掌握二項分布與幾何分布，并區(qū)分兩者的適用范圍；其二是掌握離散型隨機變量的分布列和均值的求法以及頻率分布直方圖的性質(zhì)的應用．19.如圖，，分別是圓臺上下底面的圓心，是下底面圓的直徑，，點是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個動點（點不在上）.（Ⅰ）求證：平面平面；（Ⅱ）若，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由底面，證得，再由點是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一點，得到，進而證得平面，即可證得平面平面；（2）以為原點，建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）由題意，分別是圓臺上下底面的圓心，可得底面，因為底面，所以，又由點是下底面內(nèi)以為直徑的圓上的一個動點，可得，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）以為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，則，，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，所以，又由，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，所以，所以，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】利用空間向量計算二面角的常用方法：1、法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小；2、方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.20.已知拋物線，直線，過點作直線與交于，兩點，當時，為中點.（1）求的方程；（2）作，，垂足分別為，兩點，若與交于，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意可得直線的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理、中點坐標公式可得，即可得解；（2）當時，由平面幾何的知識可得；當與不平行時，設(shè)與相交于，，，轉(zhuǎn)化條件為需要證明，設(shè)方程為，進而可得，聯(lián)立方程組結(jié)合韋達定理即可得證.詳解】（1）設(shè)，，當時，的方程為即,由可得，，∵為的中點，∴，∴，的方程為；（2）證明：當時，則四邊形為矩形，為的中點，由（1）可知為的中點，∴為的中位線，；當與不平行時，設(shè)與相交于，不妨設(shè)從左至右依次為點A、B、M，如圖，由題意顯然成立，只要證，即證，又，∴，∴只要證，即證，即證.設(shè)直線的方程為，則，由，解得.由可得，，∴，，∴，得證；綜上，.【點睛】本題考查了拋物線方程的求解及直線與拋物線的綜合應用，考查了運算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.21.已知函數(shù)有兩個零點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導，對參數(shù)分類討論，通過導數(shù)研究函數(shù)的零點情況，求得參數(shù)取值范圍；（2）方法一：由題意得，令，兩式相除得，欲證，即證，即證，記，通過導數(shù)研究函數(shù)的最值情況，即可證得不等式；方法二：令，代入化簡得，，將不等式轉(zhuǎn)化為，即證.記，通過求導，并對導數(shù)中的部分函數(shù)求導研究原函數(shù)的最值情況，證得不等式.【詳解】（1）解：的定義域為，.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，故至多有一個零點，不符合題意；②當時，令，得；令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以（i）若，則，故至多有一個零點，不符合題意；（ii）若，則，，由（i）知，∴，∴，.又∵，，故存在兩個零點，分別在，內(nèi).綜上，實數(shù)的取值范圍為.（2）證明：方法1：由題意得，令，兩式相除得，變形得.欲證，即證，即證.記，，故在上單調(diào)遞減，從而，即，所以得證.方法2：由題意得：由（1）可知，，令，則，則，兩式相除得，，，欲證，即證，即證.記，，令，，故在上單調(diào)遞減，則，即，∴在上單調(diào)遞減，從面，∴得證，即得證.【點睛】方法點睛：通過導數(shù)研究函數(shù)零點問題，帶參需要分類討論；對于雙變量問題，一般選擇另一個變量對雙變量進行代換，如本題中令或，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)最值情況.（二）選做題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題記分.選修44：坐標系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ＝2cosθ.（1）若曲線C1方程中的參數(shù)是α，且C1與C2有且只有一個公共點，求C1的普通方程；（2）已知點A（0，1），若曲線C1方程中的參數(shù)是t，0＜α＜π，且C1與C2相交于P，Q兩個不同點，求的最大值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）利用公式直接把極坐標方程化為直角坐標方程，利用圓與圓相切，可以得到等式，求出，進而得到結(jié)果；（2）把曲線參數(shù)方程代入曲線直角坐標方程，得到一個一元