《新編高等數(shù)學(xué)》課件4高等數(shù)學(xué)-第四章 中值定理及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1中值定理2洛必達(dá)法則3函數(shù)的單調(diào)性、極值4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)5函數(shù)圖形的描繪第一節(jié)中值定理3導(dǎo)數(shù)是刻劃函數(shù)在一點(diǎn)處變化率的數(shù)學(xué)模型，反映的是函數(shù)在一點(diǎn)處的局部變化性態(tài)。

中值定理揭示了函數(shù)在某區(qū)間上的整體性質(zhì)與該區(qū)間內(nèi)部某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。中值定理既是利用微分學(xué)知識(shí)解決應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)模型，又是解決微分學(xué)自身發(fā)展的一種理論性數(shù)學(xué)模型。在理論研究和實(shí)際應(yīng)用中，常需要把握函數(shù)在某區(qū)間上的整體變化性態(tài)，那么函數(shù)的整體變化性態(tài)與局部變化性態(tài)有何關(guān)系呢？中值定理正是對(duì)這一問題的理論詮釋。4一、羅爾定理羅爾定理設(shè)函數(shù)f(x)

滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a

,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得（3）f(a)=f(b)幾何意義：

如果連續(xù)曲線的兩個(gè)端點(diǎn)是等高的（即縱坐標(biāo)相等），且除端點(diǎn)外處處有不垂直于x

軸的切線，則在曲線上至少存在一點(diǎn)C

，使得曲線在該點(diǎn)的切線是水平的。

5一、羅爾定理例4-1驗(yàn)證下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否滿足羅爾定理。

解（1）函數(shù)在上連續(xù)，因此，滿足羅爾定理；且，在開區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)，（2）函數(shù)在上連續(xù)，且而當(dāng)時(shí)，因此，不滿足羅爾定理。6二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)f(x)

滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得或幾何意義：

如果連續(xù)曲線除兩個(gè)端點(diǎn)A

與B

外處處有不垂直于x

軸的切線，則在曲線上至少存在一點(diǎn)C，使得曲線在該點(diǎn)的切線平行于兩個(gè)端點(diǎn)的連線AB。

7二、拉格朗日中值定理例4-2函數(shù)在區(qū)間上是否滿足拉格朗日中值定理的條件？如果滿足，找出使定理結(jié)論成立的

值。解函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，因此，滿足拉格朗日中值定理的條件，即存在一點(diǎn)，使得解得

推論如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I

上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么f(x)在區(qū)間I

上是一個(gè)常數(shù)。在區(qū)間上可導(dǎo)，8三、柯西中值定理柯西中值定理設(shè)函數(shù)f(x)和

g(x)滿足：（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)；則在

(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)

，使得（2）在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于任意的

有

，

微分中值定理的核心是拉格朗日（Lagrange）中值定理，羅爾定理是它的特例，柯西定理是它的推廣。第二節(jié)洛必達(dá)法則10定理設(shè)

（1）當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f(x)與

g(x)都趨于零，即一、洛必達(dá)法則Ⅰ

這種在一定條件下，通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則。

（2）在點(diǎn)a的附近（或當(dāng)|x|>N時(shí)），與

都存在且；

（3）存在（或?yàn)闊o窮大），則11一、洛必達(dá)法則Ⅰ例4-3

求極限解例4-4

求極限解12一、洛必達(dá)法則Ⅰ如果仍為型未定式，且與滿足洛必達(dá)法則中的條件，則可繼續(xù)使用該法則，即例4-5

求極限解13一、洛必達(dá)法則Ⅰ例4-6

求極限解在反復(fù)應(yīng)用洛必達(dá)法則的過程中，要注意所求極限是不是未定式，如上例中已不是未定式，故不可再使用該法則。14一、洛必達(dá)法則Ⅰ例4-7

求極限應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)，及時(shí)利用等價(jià)無窮小的代換可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。

時(shí)，解當(dāng)

x→0時(shí)，，可以先利用等價(jià)無窮小替換原則再使用洛必達(dá)法則，即15二、洛必達(dá)法則Ⅱ定理設(shè)

（1）當(dāng)x→a（或x→∞）時(shí)，函數(shù)f(x)與

g(x)都趨于無窮大，即

（2）在點(diǎn)a的附近（或當(dāng)|x|>N時(shí)），與

都存在且；

（3）存在（或?yàn)闊o窮大），則16二、洛必達(dá)法則Ⅱ例4-8

求極限解：例4-9

求極限解例4-10

求極限解17三、其他類型的未定式例4-11

求極限解未定式除前面討論的兩種基本類型外，還有型、型、型、

型、型等類型，它們都可以先化為型或型兩種基本類型后，再運(yùn)用洛必達(dá)法則來計(jì)算。18三、其他類型的未定式例4-12

求極限解時(shí)，19三、其他類型的未定式例4-13

求極限解由于所以20三、其他類型的未定式例4-14

求極限解因?yàn)橛捎谒?1需要注意的是，洛必達(dá)法則只在存在（或?yàn)闊o窮大）時(shí)適用，如果不存在，仍然可能存在，此時(shí)該法則失效。例如雖然極限不存在，但是22洛必達(dá)法則第三節(jié)函數(shù)的單調(diào)性、極值24函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，研究函數(shù)時(shí)，了解函數(shù)的增與減、增減的快與慢、以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的。通過研究函數(shù)的這些性質(zhì)，我們可以對(duì)函數(shù)的變化規(guī)律有一個(gè)基本的了解。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，從中體會(huì)導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用。25一、函數(shù)單調(diào)性的判定若y=f(x)

在區(qū)間(a,

b)上單調(diào)增加若y=f(x)

在區(qū)間(a,

b)上單調(diào)減少26一、函數(shù)單調(diào)性的判定定理

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

I

內(nèi)可導(dǎo)，則定理的理論基礎(chǔ)就是拉格朗日中值定理。

（1）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

I

上單調(diào)增加的充要條件是：在區(qū)間

I內(nèi)，

（等號(hào)僅在有限個(gè)點(diǎn)處成立）；（2）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

I

上單調(diào)減少的充要條件是：在區(qū)間

I內(nèi)，

（等號(hào)僅在有限個(gè)點(diǎn)處成立）；在區(qū)間I內(nèi)任取兩點(diǎn)x1，x2，并設(shè)x1<x2，由拉格朗日中值公式得：則>0>0>0（f(x)↗）<0>0<0（f(x)↘）27一、函數(shù)單調(diào)性的判定例4-15判定函數(shù)y=x

–cosx

在[0,2

]上的單調(diào)性。

解因?yàn)樗院瘮?shù)y=x–cosx在[0,2

]上是單調(diào)增加的。

例4-16討論函數(shù)y=3x

–x3

的單調(diào)性。

解函數(shù)y=3x–x3的定義域?yàn)?–∞,+∞)，導(dǎo)數(shù)為于是當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)時(shí)，

，函數(shù)單調(diào)增加。28一、函數(shù)單調(diào)性的判定x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,+∞)y′－0＋0－y↘↗↘區(qū)間(–1,1)

叫做該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，區(qū)間(–∞,

–1)

和(1,+∞)

叫做該函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，二者統(tǒng)稱為單調(diào)區(qū)間。可以更簡(jiǎn)捷地將上述討論過程及結(jié)論用表格的形式來表示：注意到，在例題中點(diǎn)x=0和x=1是該函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，此時(shí)該點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0。

29一、函數(shù)單調(diào)性的判定例4-17討論函數(shù)y=x3

的單調(diào)性。

解

令定義若，則x0

稱為函數(shù)f(x)

的駐點(diǎn)。

，得駐點(diǎn)x=0

結(jié)論：對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)來說，單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，而駐點(diǎn)不一定是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)的駐點(diǎn)并不是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。由于在定義域(–∞,

+∞)內(nèi)，且僅在x=0處，因此函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)增加。30一、函數(shù)單調(diào)性的判定例4-18討論函數(shù)

的單調(diào)性。

可見

x=0是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是不存在的。↗↘y–y′0x+不存在解

函數(shù)為定義域(–∞,

+∞)，當(dāng)x≠0時(shí)，，當(dāng)x=0時(shí)，不存在，用x=0劃分定義域(–∞,

+∞)，列表討論：31一、函數(shù)單調(diào)性的判定例4-19討論函數(shù)

的單調(diào)性。

在本例中，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)不是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)。解

函數(shù)為定義域(–∞,

+∞)，當(dāng)x≠0時(shí)，，當(dāng)x=0時(shí)，不存在，但是由于，所以函數(shù)在(–∞,

+∞)內(nèi)單調(diào)增加。結(jié)論：對(duì)于只在個(gè)別點(diǎn)處不可導(dǎo)的函數(shù)來說，單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)一定是函數(shù)的不可導(dǎo)的點(diǎn)；不可導(dǎo)的點(diǎn)不一定是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)?？傊?，函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)一定是該函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)，反之則不一定。32二、函數(shù)的極值在函數(shù)單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)的兩側(cè)附近函數(shù)的單調(diào)性是不同的，此時(shí)在分界點(diǎn)處，函數(shù)值就會(huì)成為一個(gè)局部范圍內(nèi)的最大值或最小值。

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I

內(nèi)有定義，x0

是

I

內(nèi)一點(diǎn)，若對(duì)于任意點(diǎn)x∈U(x0

,

)，均有（f(x)≥

f(x0)）f(x)≤

f(x0)則稱f(x0)是函數(shù)f(x)

的一個(gè)極大值（極小值），點(diǎn)x0

是函數(shù)f(x)

的一個(gè)極大值點(diǎn)（極小值點(diǎn)）。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值；極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。33二、函數(shù)的極值

極值是一個(gè)局部性的概念。極值不一定是其定義區(qū)間上的最值。如圖，函數(shù)y=f(x)有兩個(gè)極大值f(x2)

，f(x5)；三個(gè)極小值f(x1)

，f(x4)，f(x6)。極值之間沒有必然的大小關(guān)系，圖中極小值f(x6)比極大值f(x2)還要大。34二、函數(shù)的極值定理（極值存在的必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)

在點(diǎn)x0

處取得極值，那么點(diǎn)x0

一定是函數(shù)的駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)。我們通常把駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)稱為函數(shù)的可能極值點(diǎn)。駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn)。（1）若在點(diǎn)x0

左側(cè)附近而在點(diǎn)x0

右側(cè)附近（2）若在點(diǎn)x0

左側(cè)附近而在點(diǎn)x0

右側(cè)附近f(x0)為極大值f(x0)為極小值

定理（極值存在的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f

(x)

在點(diǎn)x0

的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且在點(diǎn)x0

處滿足，或

不存在，則35二、函數(shù)的極值例4-20求函數(shù)

的極值。

解

所給函數(shù)的定義域?yàn)?–∞,

+∞)，用這三個(gè)駐點(diǎn)劃分定義域(–∞,

+∞)，列表討論：令，得–101+0–0–0+xy↗↗↘↘極大值非極值極小值36二、函數(shù)的極值例4-21求函數(shù)

的極值。

解所給函數(shù)的定義域?yàn)?–∞,

+∞)，而且x=0時(shí)函數(shù)不可導(dǎo)，列表討論：令得xy不存在極大值0＋＋–↗↗↘極小值0037二、函數(shù)的極值

如果函數(shù)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)存在，我們還可以用下述定理來判斷極值。

定理（極值存在的第二充分條件）設(shè)函數(shù)f

(x)

在點(diǎn)x0

滿足，且存在，則

（1）若，則函數(shù)f

(x)

在點(diǎn)x0

處取得極大值f(x0)；

（2）若，則函數(shù)f

(x)

在點(diǎn)x0

處取得極小值f(x0)；

（3）若，則不能判斷。x0y導(dǎo)函數(shù)單調(diào)減少，則x0y導(dǎo)函數(shù)單調(diào)增加，則38二、函數(shù)的極值例4-22求函數(shù)

的極值。

解令，得x1=–1，x2=3，而由

，可知有極大值f(–1)=6；

由

，可知有極小值f(3)=–26。

對(duì)于極值存在的第二充分條件，滿足條件時(shí)很好用，但是局限性較大，而極值存在的第一充分條件可以判斷所有的可能極值點(diǎn)。39三、函數(shù)的最大值與最小值

若函數(shù)f(x)

在[a,b]上連續(xù)，除個(gè)別點(diǎn)外處處可導(dǎo)，且至多有有限個(gè)導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，則函數(shù)f(x)

在[a,b]上一定有最大值和最小值。一般地，函數(shù)f(x)

的最值只在極值點(diǎn)處或端點(diǎn)處取得，因此，只需比較這些點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大的是

f(x)

的最大值，最小的是

f(x)

的最小值。40三、函數(shù)的最大值與最小值求函數(shù)f(x)

在[a,b]上的最大值與最小值的步驟：

（1）求函數(shù)f(x)在(a,b)

上的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；

（2）將

f(x)

各駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)、

f(b)

比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值，得出函數(shù)f

(x)

在[a,b]上的最值。例4-23求函數(shù)

在區(qū)間[–2,4]

的最值。

解令，得駐點(diǎn)x1=–1，x2=3，計(jì)算得：

因此，該函數(shù)的最大值為f(–1)=6，最小值為f(3)=–2641三、函數(shù)的最大值與最小值函數(shù)“最值”與“極值”的區(qū)別和聯(lián)系：

（1）“最值”是整體概念，是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的，具有絕對(duì)性；而“極值”是個(gè)局部概念，是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的，具有相對(duì)性。

（2）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒有一個(gè)。

（3）極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得。42三、函數(shù)的最大值與最小值生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題。

此類問題在數(shù)學(xué)上往往可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題。

解決優(yōu)化問題的核心是建立目標(biāo)函數(shù)，再通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì)，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決。

在大量的實(shí)際問題的解決過程中，我們發(fā)現(xiàn)一般情況下函數(shù)均只有一個(gè)駐點(diǎn)，而該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是所求的最值。43三、函數(shù)的最大值與最小值設(shè)截去的小正方形邊長(zhǎng)為x，

由實(shí)際意義可知該問題的最大值存在，由于駐點(diǎn)唯一，因此，

例4-24將一塊邊長(zhǎng)為a

的正方形板材，四角各截去一個(gè)相同的小正方形，折起四邊后做一個(gè)無蓋的方盒，問截多少可使方盒的容積最大？解xa則方盒的容積為令得：，（舍去）當(dāng)時(shí)容積取得最大值。44三、函數(shù)的最大值與最小值解設(shè)矩形場(chǎng)地的正面長(zhǎng)為x

米，另外一邊長(zhǎng)為y

米，矩形場(chǎng)地面積為xy=150

，所以，則所用材料費(fèi)用為

令例4-25現(xiàn)欲圍建一個(gè)面積為150平方米的矩形場(chǎng)地，正面所用材料每米造價(jià)40元，其余三面所用材料每米造價(jià)20元，問場(chǎng)地的長(zhǎng)、寬各是多少時(shí)，才能使所用材料費(fèi)用最少？

因此，場(chǎng)地正面長(zhǎng)為10米、另外一邊長(zhǎng)為15米時(shí)，所用材料費(fèi)用最少。，得駐點(diǎn)：x1=10，x2=–10（舍）45三、函數(shù)的最大值與最小值解設(shè)房租為每月x

元，租出去的房子有套，則每月總收入為令例4-26某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租,當(dāng)租金定為每月1800

元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去。當(dāng)租金每月增加100元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)200元的整修維護(hù)費(fèi)。試問房租定為多少可獲得最大收入？因此，每月每套租金為3500元時(shí)收入最高，最大收入為108900元。,解得x=3500第四節(jié)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)47問題：如何研究曲線的彎曲方向?圖形上任意弧段位于所在弦的上方圖形上任意弧段位于所在弦的下方ABMN48凹?。呵€上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的下方。凸?。呵€上任意一點(diǎn)切線都在曲線弧的上方。單調(diào)遞增單調(diào)遞減定理

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

I上有定義且具有二階導(dǎo)數(shù)，那么

（1）曲線y=f(x)在區(qū)間

I

上是凹弧的充要條件是

（2）曲線y=f(x)在區(qū)間

I

上是凸弧的充要條件是

49例4-27判定曲線

的凸凹性。解，，列表討論

可見，該曲線在部分區(qū)間上是凹弧，部分區(qū)間上是凸弧，二者的分界點(diǎn)是點(diǎn)(0,0)

，在該點(diǎn)處自變量的值使得二階導(dǎo)數(shù)為0。定義

曲線上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。

例4-28判定曲線

的凹凸性。解

，，由于，故曲線是凹弧，無拐點(diǎn)?！龋ò蓟。?/p>

∩（凸弧）y–x+0050例4-29確定曲線

的拐點(diǎn)。解

當(dāng)x≠0時(shí)，，，列表討論

由表可知，點(diǎn)

(0,0)

就是曲線的拐點(diǎn)。由此可見，若函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)存在，則在拐點(diǎn)處自變量的值使得二階導(dǎo)數(shù)為0，但使二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定都對(duì)應(yīng)著曲線的拐點(diǎn)。就是說使二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)有可能對(duì)應(yīng)著曲線的拐點(diǎn)?！龋ò蓟。?/p>

∩（凸?。﹜+x–0不存在51

例4-30確定曲線

的拐點(diǎn)。解

當(dāng)x≠0時(shí)，，，但是，由于故該曲線是凸弧，無拐點(diǎn)。綜上，曲線的拐點(diǎn)產(chǎn)生于橫坐標(biāo)使二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)或使二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，但這兩種點(diǎn)是不是對(duì)應(yīng)曲線的拐點(diǎn)，還要視該點(diǎn)兩側(cè)曲線的凹凸性而定，凹凸性不同時(shí)，才對(duì)應(yīng)著曲線的拐點(diǎn)。令，得x=0，x=2，列表討論52例4-31判斷曲線的凹凸性并求拐點(diǎn)。

解，xy0拐點(diǎn)(0,6)++–∪∪∩拐點(diǎn)(2,–10)00令，得，而x=