2019年江蘇卷、浙江卷數(shù)學高考試題含答案

絕密★啟用前

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)

數(shù)學I

注意事項

考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求

1.本試卷共4頁，均為非選擇題(第1題~第20題，共20題)。本卷滿分為160分，考試時間為120分鐘。

考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一片交回。

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位

置。

3.請認真核對監(jiān)考員從答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。

4.作答試題，必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效。

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗。

參考公式：

1n)1n

樣本數(shù)據(jù)石,工2,…,毛的方差S2=—2(%—可一，其中亍=—Z%.

n/=1幾/=1

柱體的體積丫=%，其中5是柱體的底面積，力是柱體的高.

錐體的體積V=」S/7,其中S是錐體的底面積，〃是錐體的高.

3

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

1.已知集合4={-1,0,1,6},8={x[x>O,xeR},則AB=▲

2.已知復數(shù)(a+2i)(l+i)的實部為0,其中i為虛數(shù)單位，則實數(shù)a的值是▲.

3.下圖是一個算法流程圖，則輸出的S的值是

(第3崖)

4.函數(shù)y=sjl+6x-x2的定義域是▲.

5.已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是一4^.

6.從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的

概率是▲.

2

7.在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線/—芯=lg>0)經(jīng)過點(3,4),則該雙曲線的漸近線方程是

8.已知數(shù)列{q}(〃eN")是等差數(shù)列，S“是其前n項和.若a2?3=0,S9=27,則S8的值是▲.

9.如圖，長方體—的體積是“O,E為CG的中點，則三棱錐E-BCD的體積是▲.

4

10.在平面直角坐標系xOy中，P是曲線y=x+—(x>0)上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的

x

最小值是一▲.

11.在平面直角坐標系中，點A在曲線上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點(~e,-l)(e為自然

對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標是」

12.如圖，在△A3C中，。是BC的中點,E在邊A8上與CE交于點。.若AC=6AO?EC,

AR

則絲■的值是▲

AC

,tana2皿?(cK),,_?,

13.已知-7--------c-=—，則sin2aH—的值正▲,

，兀、3I4)

14.設(shè)/(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù)，/(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且/(x)是奇函數(shù).

Z:(x+2),0<x<l

當xe(0,2]時，f(x)=71-U-1)2,g(x)=41,其中Q0.若在區(qū)間(0,9]±,關(guān)

——,1<x<2

I2

于X的方程f(x)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，則k的取值范圍是▲.

二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程

或演算步驟.

15.(本小題滿分14分)

在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c.

(1)若n=3c,V2,cosB=—,求c的值；

3

,、?sinAcos84…兀、-

(2)若-----=------,求sin(Bd—)的值.

a2b2

16.(本小題滿分14分)

如圖，在直三棱柱ABC—4SG中，D,E分別為BC,AC的中點，AB=BC.

求證：(1)為囪〃平面OEG；

(2)BEA.QE.

17.(本小題滿分14分)

2y2

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：r%+==l(a>b〉0)的焦點為Q(-1、0),

a~b~

F2(1,0).過出作x軸的垂線/,在x軸的上方，/與圓F2：(x—l)2+y2=4/交于點A,與橢圓c

交于點D連結(jié)AFt并延長交圓F2于點B,連結(jié)BF2交橢圓C于點E,連結(jié)DF\.

5

已知DFt=-.

2

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)求點E的坐標.

18.(本小題滿分16分)

如圖，一個湖的邊界是圓心為。的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路/，湖上有橋AB(A8是圓。的直徑).規(guī)

劃在公路/上選兩個點P、Q,并修建兩段直線型道路PB、QA.規(guī)劃要求：線段PB、QA上的所有點

到點。的距離均不小于嗯。的半徑.已知點A、B到直線/的距離分別為AC和BO(C、D為垂足)，

測得4B=10,4C=6,BD=U(單位：百米).

(1)若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長；

(2)在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在。處？并說明理由；

(3)在規(guī)劃要求下，若道路P8和的長度均為d(單位：百米).求當4最小時，尸、。兩點間的距

離.

19.(本小題滿分16分)

設(shè)函數(shù)/1(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,6,cwR、/(x)為/(x)的導函數(shù).

(1)若斫b=c,f(4)=8,求a的值；

(2)若aWb,6=c，且f(x)和r(x)的零點均在集合｛-3,1,3｝中，求/(x)的極小值;

4

(3)若。=(),0<0，l,c=l,且/(x)的極大值為M,求證:MW—.

27

20.(本小滿分16分)

定義首項為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M—數(shù)列”.

(1)已知等比數(shù)列｛斯｝(〃eN*)滿足：。24=%，4—44+4。4=0,求證：數(shù)列｛斯｝為“M—數(shù)列”；

I22

(2)已知數(shù)列｛6”)(〃eN")滿足："=1,——=--------,其中S,為數(shù)列2“)的前附項和.

Snh,,心1

①求數(shù)列｛歷,｝的通項公式；

②設(shè)〃?為正整數(shù)，若存在“M—數(shù)列”｛c,｝(〃eN"),對任意正整數(shù)上當kWnt時，都有c掇"ck+i

成立，求機的最大值.

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江蘇卷)

數(shù)學I?參考答案

一、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識、基本運算和基本思想方法.每小題5分，共計70分.

1.{1,6}2.23.54.[-1,7]5.—6.-7.y=±5/2x

310,

12.613端14-[pvj

8.169.1010.411.(e,1)

二、解答題

15.本小題主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系、誘導公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.

滿分14分.

2

解：(1)因為a=3c,Z?=0,cos8=一,

3

〃2"2,22(3C)2+C2-(@21

由余弦定理COSB=E^——,得—=-----------------,即c=—.

2ac32x3cxc3

所以c=@.

3

/、—sinAcos3

(2)因為-----=——,

a2b

,TrALE。bcosB_sirrfl所以cos8=2sin8.

由正弦定理-----=-----,得——

sinAsinB2bb

從而cos?8=(2sin8)2,即cos?B=4(l-cos?3),故cos?6=1

2/S

因為sin8>0,所以cos3=2sinB>0,從而cosB=----.

5

因此sin(B+])=cosB=^^.

16.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力和推

理論證能力.滿分14分.

證明：（1）因為。，E分別為BC,AC的中點，

所以ED//AB.

在直三棱柱ABC-481cl中，AB//A\B\,

所以AIBI〃ED

又因為EQu平面￡>￡G，平面QECi，

所以45〃平面DEC\.（第16題）

（2）因為AB=BC,E為AC的中點，所以BE_LAC.

因為三棱柱ABC乂8G是直棱柱，所以CC」平面ABC.

又因為BEu平面ABC,所以CCiJ_BE.

因為GCu平面4ACG，ACu平面ANCG，QCQAC^C,

所以BE,平面44CG.

因為CiEu平面ApACCi，所以BE_LC|E

17.本小題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.滿分14分.

解：（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.

因為Q（T，0）,巳（1，0）,所以Q&=2,c-1.

3

又因為AF2，X軸，所以。尸2=—，

22

因此2a-DF\+DFi^4,從而。=2.

由人'“'/,得/=3.

22

因此，橢圓C的標準方程為二+匕=1.

43

(2)解法一:

r2v2

由(1)知，橢圓C：——+2_=1,0=2,

43

因為AF2，x軸，所以點A的橫坐標為1.

將尸1代入圓尸2的方程(XT)2+)?=16,解得產(chǎn)土4.

因為點4在x軸上方，所以A(l,4).

又B(T,0),所以直線AQ：y=2x+2.

y=2x+2

由，,,、22'得5/+6x—l1=°，

(%-1)+/=16

解得x=l或x=-段.

1112

將x=---代入y=2x+2,得y=——,

11123

因此3(一■----).又F2(1,0),所以直線BF2：y=—(x—1).

554

y=7(x-1)

413

由,22，得7尤2—6x—13=0,解得X=-1或工=了.

土+匕=1

43

又因為E是線段與橢圓的交點，所以x=-1.

333

將x=T代入y=；(xT),得'=J.因此E(TJ).

解法二:

r22

由(1)知，橢圓C一十二v二1.如圖，連結(jié)

43

因為8尸2=2小EFi+EF2=2a,所以EF產(chǎn)EB,

從而NBFiE=NB.

因為所以/A=NB,

所以/A=NBFiE,從而EF"/F2A.

因為軸，所以尤軸.

x=-l

3

因為F](T,0),由＜x2V得戶±亍

—+—=12

143

3

又因為E是線段與橢圓的交點，所以》=一］.

因此4一1,一|）.

18.本小題主要考查三角函數(shù)的應用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學建模及運用數(shù)學

知識分析和解決實際問題的能力.滿分16分.

解：解法一：

（1）過4作AELBD,垂足為E.

由已知條件得，四邊形4CDE為矩形，DE=BE=AC=6,AE=CD=S：

因為PB_LA8,

84

所以cosNPBD=sinZABE=-=

105

BD12

所以P8=15.

cosZPBD~4

5

因此道路PB的長為15（百米）.

（第18題）

（2）①若P在。處，由（1）可得E在圓上，則線段BE上的點（除8,E）到點。的距離均小于圓。的半徑,

所以「選在。處不滿足規(guī)劃要求.

②若Q在。處，連結(jié)A。，由（1）知AD=,A￡2+E￡>2=IO,

A￡）2+AB?-B￡）27八口-,,,工

從而cos/BAD=-----------------=——>0,所以/BAD為銳角.

2ADAB25

所以線段AZ）上存在點到點。的距離小于圓。的半徑.

因此，。選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

（3）先討論點P的位置.

當NOBP<90。時，線段PB上存在點到點O的距離小于圓。的半徑，點P不符合規(guī)劃要求；

當NOB也90。時，對線段P8上任意一點凡OF>OB,即線段尸8上所有點到點。的距離均不小于圓O的半

徑，點尸符合規(guī)劃要求.

設(shè)片為/上一點，且片8_LAB,由（1）知，［8=15,

3

此時4。=耳8sin/耳臺。=<8cosNEBA=15x|=9；

當NOBQ90。時，在△P《B中，PB><B=15.

由上可知，d>15.

再討論點。的位置.

由（2）知，要使得QAN15,點Q只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，

C2=JQA-At=V152-62此時，線段Q4上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當PB1.AB,點Q位于點C右側(cè)，且CQ=3x/iT時，4最小，此時P,Q兩點間的距離

PQ=PD+CD+CQ=17+3>721.

因此，d最小時，P,。兩點間的距離為17+3萬（百米）.

解法二：

（1）如圖，過。作OH_U,垂足為H.

以。為坐標原點，直線0”為），軸，建立平面直角坐標系.

因為80=12,AC=6,所以。4=9,直線/的方程為）=9,點4,B的縱坐標分別為3,-3.

因為A8為圓。的直徑，AB=10,所以圓。的方程為f+）?=25.

3

從而A（4,3）,B（-4,-3）,直線AB的斜率為一.

4

4

因為所以直線總的斜率為-一，

3

425

直線的方程為y=

所以P（T3,9）,PB=7（-*3+4）2+（9+3）2=15.

因此道路PB的長為15（百米）.

(2)①若P在。處，取線段8。上一點E(-4,0),則EO=4<5,所以P選在。處不滿足規(guī)劃要求.

②若。在。處，連結(jié)AD,由(1)知。(-4,9),又A(4,3),

3

所以線段AD：y=——x+6(—4別；4).

4

在線段AO上取點M(3,y),因為。<V32+42=5,

所以線段AD上存在點到點0的距離小于圓。的半徑.

因此。選在。處也不滿足規(guī)劃要求.

綜上，P和。均不能選在。處.

(3)先討論點P的位置.

當NOBP<90。時，線段尸8上存在點到點O的距離小于圓。的半徑，點尸不符合規(guī)劃要求；

當/O8P290。時，對線段P8上任意一點F,OF>OB,即線段PB上所有點到點。的距離均不小于圓O的

半徑，點尸符合規(guī)劃要求.

設(shè)4為/上一點，且由(1)知，48=15,此時［(-13,9)；

當NOBP>90。時，在中，PB>F^B=\5.

由上可知，於15.

再討論點。的位置.

由(2)知，要使得04N15,點。只有位于點C的右側(cè)，才能符合規(guī)劃要求.當QA=15時，設(shè)Q(a,9),

由AQ=J(a—4—+(9—39=15(.〉4),得a=4+3呵，所以。(4+3721,9),此時，線段QA

上所有點到點。的距離均不小于圓。的半徑.

綜上，當尸(-13,9),Q(4+3石'，9)時，d最小，此時P,Q兩點間的距離

PQ=4+3V^1-(-13)=17+3?.

因此，d最小時，P,。兩點間的距離為17+3e(百米).

19.本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運用數(shù)學思想方法分析與解決問題以及邏輯推理

能力.滿分16分.

解：(1)因為。=b=c,所以/(x)=(x—Q)(X-Z?)(X-C)=(X-Q)3.

因為/(4)=8,所以(4一。)3=8,解得。=2.

(2)因為B=c,

所以f(x)=(x—a)(x—b)2=x3—(a+2h)x2+h(2a+b)x—ab1,

從而廣⑴=3（x-份（x-笆也

.令/，(x)=0,得x=b或x=

因為。，仇黨—,都在集合｛—3,1,3｝中，且

所以41土b=1,Q=3,。=—3.

3

此時/O)=(X-3)(X+3)2,r(x)=3(x+3)(x—1).

令廣（x）=0,得％=-3或x=l.列表如下:

X(一8,-3)-3(-3,1)1(1,+°0)

f'M+0-0+

/(幻極大值極小值

所以/(x)的極小值為/(1)=(1-3)(1+3)2=-32.

(3)因為a=O,c=l,所以/(x)=x(x-A)(x-l)=%3-S+l)f+bx,

f'(x)=3x2-2(b+V)x+b.

因為0<。41,所以/=43+1)2—1力=(處-1)2+3>0,

則/'(X)有2個不同的零點，設(shè)為乙,馬(不</).

2

1r,(>,△俎b+l—\lb~—b+\b+\+\/b—b+l

由/(x)=0,得％=---------------,%,=----------------.

列表如下：

Xy,3)x\（%，九2）冗2a，+oo）

/'（X）+0-0+

f(x)極大值極小值

所以了（%）的極大值/=/（%）.

解法一：

M=/(玉)=邸一(。+1)片+如

29?+1)伙》土I)

[3%12—2(b+1)%|+b]X]+

99

-2伊-8+1)S+1)+0s+i)

-b+\\

279

2727

〃S+1)244

<------+——<—.因止匕MW—.

27272727

解法二：

因為0<b?l,所以與e(O,l).

當xe(O,l)時,f(x)=x(x—b)(x-1)<x(x—I)2.

令g(x)=x(x-1)2,XG(0,1),則g，(x)=3x—(x—1).

3J

令g'(x)=0,得x=；.列表如下:

1(京)

X(o,1)

3

g'(x)+0-

g(x)極大值

fl4

所以當x時，g(x)取得極大值，且是最大值，故g(x)x=g

1ra527

44

所以當xw(0,1)時，/(%)<<?(%)<—,因此芯.

20.本小題主要考查等差和等比數(shù)列的定義、通項公式、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜

合運用數(shù)學知識探究與解決問題的能力.滿分16分.

解:(1)設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為夕，所以可并,#0.

a2a4=a5畋=牝，解得q=i

由，.八，得<

A「2

a3-4a2+4。]=0aq_4qq+4q=0

因此數(shù)列｛4｝為“M—數(shù)列”.

122

(2)①因為丁=二所以

s?b?%

122

由4=1忑=%得-及，則d=2.

由S“h?a'得"2(%—〃)’

hhbb

當〃22時,由"STt，得八忒、-五力,

整理得%+加=2仇.

所以數(shù)列｛瓦｝是首項和公差均為1的等差數(shù)列.

因此，數(shù)列｛兒｝的通項公式為為=〃(〃eN,).

②由①知，仇"，攵eN*.

因為數(shù)列｛G,｝為“M-數(shù)列”，設(shè)公比為q,所以C|=l,q>0.

因為qW次3>+i，所以qi〈左<T，其中七1,2,3,…，m.

當%=1時，有g(shù)》l；

當上2,3,…，加時，有13%wjq4一」.

kk-l

』，、Inxi“、1-lnx

設(shè)/(x)=——(zX>1X),則/(x)=——；—.

XX

令/'(尤)=0,得4e.列表如下:

Xd,e)e(e,+8)

/㈤+0-

等極大值

f(x)4

ln2In81n9ln3

因為三二不<工=亍'所以/?max=/(3)

\nk〔

取4=冷，當依1，2,3,4,5時,-Inq,即

經(jīng)檢驗知人也成立.

因此所求相的最大值不小于5.

若根次，分別取代3,6,得3斗、且從而/七243,且，上216,

所以q不存在.因此所求機的最大值小于6.

綜上，所求，〃的最大值為5.

數(shù)學n(附加題)

21.【選做題】本題包括A、B、C三小題，請選定其中兩小題，并在相應的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做，則

按作答的前兩小題評分.解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

A.［選修4-2：矩陣與變換］(本小題滿分10分)

'31一

已知矩陣4=

22

(1)求不；

(2)求矩陣A的特征值.

B.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］(本小題滿分10分)

在極坐標系中，已知兩點直線/的方程為psin(6+：)=3.

(1)求4,8兩點間的距離；(2)求點B到直線/的距離.

C」選修4-5：不等式選講］(本小題滿分10分)

設(shè)xeR,解不等式|M+|2x-l|>2.

【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字

說明、證明過程或演算步驟.

22.(本小題滿分10分)設(shè)(1+x)”=q)+++43”,〃..4,,6>1*.已知。；=242。4.

(1)求〃的值；(2)設(shè)(1+6)"=。+氏兩，其中般N*,求--3從的值.

23.(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點集A={(0,0),(1,0),(2,0),…,(〃,0)}

B"={(0,1),(〃,1)}，G={(0,2),(1,2),(2,2),,(〃2)},〃GN*.

令",,=A,B,C”.從集合中任取兩個不同的點，用隨機變量X表示它們之間的距離.

(1)當〃=1時，求X的概率分布;

(2)對給定的正整數(shù)〃(?>3),求概率尸(X<n)(用"表示).

數(shù)學n(附加題)參考答案

21.【選做題】

人.［選修4-2：矩陣與變換］

本小題主要考查矩陣的運算、特征值等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.滿分10分.

31

解：(1)因為4=

22

1][31

所以4?=2_||_22

3x3+lx23xl+lx25

2x3+2x22xl+2x26

(2)矩陣4的特征多項式為

A—3—1

/(A)==矛一5/1+4.

,—24—2

令F(/l)=0,解得A的特征值4=1,4=4.

15.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］

本小題主要考查曲線的極坐標方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力.滿分10分.

解：(1)設(shè)極點為。.在△048中，A(3,：),B(&,y),

由余弦定理，得AB=,32+(收)2-2X3X0XCOS(］—：)=逐.

1T

(2)因為直線/的方程為夕sin(6+—)=3,

4

則直線/過點(3J5,5),傾斜角為?.

又B(a,V),所以點B到直線/的距離為(372-&)Xsin(---)=2.

242

C.［選修4-5：不等式選講J

本小題主要考查解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解和推理論證能力.滿分10分.

解：當x<0時，原不等式可化為一x+l—2x>2,解得犬<--；

3

當OSrS—時，原不等式可化為x+l-2x>2,即x<-l,無解;

2

當時，原不等式可化為x+2x-l>2,解得x>l.

2

綜上，原不等式的解集為{x|x<-；或X>1}.

22.【必做題】本小題主要考查二項式定理、組合數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查分析問題能力與運算求解能力，滿分

10分.

解：⑴因為（i+x）"=C+c5+ck+

所以

2o

71（71-1）（/?-2）（〃一3）

24

因為抬=2a2a4,

m>i?（?-l）（?-2）2°n（n-V）〃（〃-1）（〃一2）（〃一3）

所以［r-------------1=2x---x----------------

o224

解得“=5.

（2）由（1）知，n=5.

（1+G）"=（i+G）5

=C+C；6+G（百）2+C（百）3+C；（石）4+C（6）5

=a+by/?）'

解法一：

因為。力eN*,所以a=C+3C；+9C；=76,。=C；+3C；+9C；=44,

從而a2-3b2=762-3X442=-32.

解法二：

a-揚5=u+c；（-V§）+G（"）2+c；（-百y+cHy+GMy

=C-C6+G（6）2Y（6）3+C；（百）4-C（6）5.

因為a,bwN*,所以(1—6)5=。一匕6.

因此/—勁2=m+附)3=(1+Gy*(1_Gy=(_2)5=-32.

23.【必做題】本小題主要考查計數(shù)原理、古典概型、隨機變量及其概率分布等基礎(chǔ)知識，考查邏輯思維

能力和推理論證能力.滿分10分.

解：(1)當〃=1時，X的所有可能取值是石.

77廠44

X的概率分布為P(X=l)=k=”,P(X=.2)=k=”，

晨15諼15

22廠22

P(X=2)=r=—,P(X=V^)=F=一.

Co；15Co：15

(2)設(shè)A(a,b)和B(c,d)是從M“中取出的兩個點.

因為P(X<n)=l-P(X>n),所以僅需考慮X>n的情況.

①若b=d,則ABW〃，不存在X>〃的取法；

②若〃=0，d=l,則-8=J(a—c)2+l?J/+1,所以x>〃當且僅當A8=，〃2+I,此時

a=0,c=〃或a=〃，c=0,有2種取法；

③若b=O，d=2,則A8=J(a-cP+44J/?+4,因為當“23時，^(n-1)2+4<n.所以X>n

當且僅當A3=J"?+4，此時a=0，c=〃或a=〃，c=0,有2種取法；

④若。=l,d=2,則-8=J(a—c)2+lWJ/+1,所以x>“當且僅當A8=J〃2+I,此時

。=0,。=〃或。=〃，c=0,有2種取法.

綜上，當X>〃時，X的所有可能取值是J/+1和'.+4,且

P(X=V77T)=-^-,P(X=V?2+4)=-J-.

C“+4Ge

因此，P(XMM=1—P(X=，“2+I)—P(X=G2+4)=I一

絕密★啟用前

2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(浙江卷)

數(shù)學

本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分。全卷共4頁，選擇題部分1至2頁；非選擇題部分3至4頁。

滿分150分?？荚囉脮r120分鐘。

考生注意：

1.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填在試題卷和答題紙規(guī)定

的位置上。

2.答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的

作答一律無效。

參考公式：

若事件A,B互斥,則P(A+B)=尸(A)+P(B)柱體的體積公式￡=5〃

若事件A,8相互獨立,則尸(AB)=P(A)P(8)其中S表示柱體的底面積，%表示柱體的高

若事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p,則“次錐體的體積公式y(tǒng)=

3

獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率

其中S表示錐體的底面積，A表示錐體的高

匕(A)=CP"1—P)I(A;=0,1,2,,〃)球的表面積公式

臺體的體積公式丫=g(S1+J啊+S2)/7S=4兀箱

球的體積公式

其中，,與分別表示臺體的上、下底面積，〃表示

4.

V=-rt/?3

臺體的高3

其中R表示球的半徑

選擇題部分(共40分)

一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的。

1.已知全集。={-1,0,1,2,3},集合4={0J2},B={-1,0,1},則gAB=

A.{-1}B.{0,1}，

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

2.漸近線方程為x±y=O的雙曲線的離心率是

A.顯B.1

2

C.41D.2

\x-3y+4>0

3.若實數(shù)x,y滿足約束條件<3x—y—440,貝Uz=3x+2y的最大值是

x+”0

A.—1B.1

C.10D.12

4.祖昭是我國南北朝時代的偉大科學家.他提出的“幕勢既同，則積不容易”稱為祖胞原理，利用該原理可

以得到柱體體積公式丫柱體=S/z,其中S是柱體的底面積，〃是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示，則

該柱體的體積是

A.158B.162

C.182D.32

5.若。>0,b>0,貝I」“a+6W4"是"W4"的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

6.在同一直角坐標系中，函數(shù)y=L，y=log〃(x+L),(〃>0且。W0)的圖像可能是

a2

7.設(shè)則隨機變量X的分布列是

X0a1

p￡

733

則當a在（0,1）內(nèi)增大時

A.D(X)增大B.D(X)減小

C.D（X）先增大后減小D.D（X）先減小后增大

8.設(shè)三棱錐V-A8C的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱必上的點（不含端點），記直線PB與直線

AC所成角為a,直線P8與平面ABC所成角為夕，二面角尸-AC-B的平面角為y,則

A.P<y,a<yB.f｝<a,

C.p<a,y<aD.a<fi,y<p

x,x<0

9.己知cR函數(shù)/(x)=<1.1若函數(shù)y=/（X）一辦恰有三個零點，

—x--(6?+l)x9+CIX^X0

則

A.a<-1,b<0B.a<-\,b>0

C.a>-l,/?>0D.a>-l,b<0

10.設(shè)m數(shù)列｛斯｝中。產(chǎn)man+\=a?+b,OcN*,則

A.當t/io>10B.當〃=：,6fio>10

24

C.當力=2a1o>10D.當〃=4?IO>1O

非選擇題部分（共110分）

二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分。

11復數(shù)z==&為虛數(shù)單位），則以=-----------

12.已知圓C的圓心坐標是（0,利），半徑長是r.若直線2%一丁+3=0與圓相切于點4（—2,—1）,則〃/=

13.在二項式（、￡+x）9的展開式中，常數(shù)項是,系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是.

14.在△ABC中，ZABC=90°,AB=4,BC=3,點O在線段AC上，若NBOC=45。，則30=

cosZABD=.

15.已知橢圓工+±=1的左焦點為F,點尸在橢圓上且在X軸的上方，若線段PF的中點在以原點。為

95

圓心，|。目為半徑的圓上，則直線PF的斜率是.

16.已知aeR,函數(shù)/（x）=混—x,若存在feR,使得|/Q+2）—/（f）區(qū)|,則實數(shù)。的最大值是一

17.已知正方形ABCD的邊長為1,當每個40=1,2,3,4,5,6）取遍±1時，

I^AB+ACp+A必+義ACfA%?|的最小值是，最大值是.

三、解答題：本大題共5小題，共74分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

18.（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)/（x）=sinx,xeR.

（1）已知。e[0,2兀），函數(shù)/（x+6）是偶函數(shù)，求。的值；

（2）求函數(shù)y="（x+=）『+"（x+；）]2的值域.

124

19.（本小題滿分15分）如圖，已知三棱柱ABC—,平