《線性代數(shù)及其應(yīng)用》 測試題及答案 李庶民

PAGEPAGE10線性代數(shù)線上測試題匯編第1章 線性方程組與矩陣一、判斷題：AB為n（√）25.等式(AB)2A22ABB2成立.（×）26.等式(AE)212AA2成立.（×）27.等式(AE)nEC1AC2A2CnAn成立.（√）n n n28.若AXAY,且A0,則XY.（×）29.等式(AB)(AB)A2B2成立.（×）30.等式(AE)(AE)A2E成立.（√）31.若ABBA,則(AB)nC0BnC1ABn1CnAn成立.（√）n n n32.若A20,則A0.（×）33.若A20,且A為對稱陣,則A0.（√）34.若A2A,則A0或AE.（×）35.若AB0,則A0或B0.（×）36.等式(AB)AB成立.（×）37.等式(AB)BA成立.其中A為A的伴隨矩陣,且A,B均可逆.（√）38.若BC且A0,則必有ABAC.（×）39.若P1APB,則有P1(A2E)PB2E.（√）40.當(dāng)A可逆時(shí),等式(A)A,(A1)1A,(A)A均成立.（×）設(shè)A,B為n階矩陣：41.AA為對稱矩陣.（√）42.A為對稱矩陣.（×）43.A為反對稱矩陣.（×）44.AB為對稱矩陣.（√）45.AB為對稱矩陣.（×）46.若A為對稱矩陣,m為正整數(shù),則Am也為對稱陣.（√）47.設(shè)A,B為對稱矩陣,則AB也為對稱矩陣.（√）48.設(shè)A,B為對稱矩陣,則AB也為對稱矩陣.（×）49.設(shè)A為反對稱矩陣,則AA為零矩陣.（√）50.設(shè)A為反對稱矩陣,為正整數(shù),則Am為反對稱陣.（×）51.任意n階矩陣A一定為某對稱陣與反對稱矩陣之和.（√）56.若A為對稱矩陣,B為反對稱矩陣,則ABBA亦為對稱矩陣.（×）57.若A為對稱矩陣,B為反對稱矩陣,則ABBA亦為反對稱矩陣.（×）58.若A,B為n階對稱矩陣,且ABBA,則AB為對稱矩陣.（√）59.若A,B為n階反對稱矩陣,且ABBA,則AB為反對稱矩陣.（×）60.設(shè)A為反對稱矩陣,k為任意常數(shù),則kA亦為反對稱矩陣.（√）61.若A為對稱矩陣,則A的伴隨矩陣A亦為對稱矩陣.（√）62.若A為對稱矩陣,且A1存在,則A1亦為對稱矩陣.（√）63.若A為反對稱矩陣,則A的伴隨矩陣A亦為反對稱矩陣.（×）64.若A為反對稱矩陣,且A1存在,則A1亦為反對稱矩陣.（√）65.若An階對稱矩陣,如果對任一nXX（√）89.若矩陣A,B都是冪零矩陣,則AB也是冪零矩陣.（×）90.若A為冪零矩陣,且A,B相似,則B也是冪等矩陣.（√）91.B也是冪等矩陣.（√）92.若A為冪等矩陣,且A,B相似,則B也是冪等矩陣.（√）93.若A為冪等矩陣,k為任意常數(shù),則kA亦為冪等矩陣.（×）設(shè)A,B為n階矩陣.94.若A2可逆,則A一定可逆.（√）95.A可逆,則Am)1A1mm為正整數(shù)).（√）96.若A可逆,則A*也可逆.（√）97.若矩陣A,B都可逆,則AB也可逆且(AB)1A1B1.（√）

0,則A為零矩陣.98.若A,B之積AB可逆,則A,B均可逆.（√）99.若AB不可逆,則A,B都不可逆.（×）100.若A,B都可逆,則AB也可逆.（×）101.若A,B都不可逆,則AB也不可逆.（×）102.若AB可逆,則A,B中至少有一個可逆.（×）103.矩陣A逆的轉(zhuǎn)置等于A的轉(zhuǎn)置矩陣之逆陣,即(A1)(A)1.（√）104.B,C都可逆,則A*BC11C(B1A1)*.（√）105.若A20,則A可逆.（×）106.若A30,則EA可逆且(EA)1EAA2.（√）107.若A40,則EA可逆且(EA)1EAA2A3.（×）0

A1 0108.A

A1A1A11

.（√）0 A 1 2

0 A 20

0

2 A1109.A

A1A1A1

1.（×）A 0 1 2

A1 02 2 110.AAPj

jt)為初等陣.（√）二、單項(xiàng)選擇題：以下結(jié)論或等式正確的是（ 若ABAC,且A0，則BC B．若AB0，則AB0C.若B均為零矩陣，則有AB D．對角矩陣是對稱矩陣答案：D設(shè)B為同階可逆矩陣，且A是對稱矩陣，則下列等式不成立的是（ .TB1B1A1C．ABT1B1TA1

．ABTBTA．ABT1A1B1T答案：D設(shè)A為34矩陣，B為43矩陣，則下列運(yùn)算中可以進(jìn)行的是（ A.AB

B．AB

C．B

D．ABT答案：B A

1，若線性方程組無解，則的取值是（ A.2

B．2

2 1 0C．12

D．12答案：D設(shè)非零陣A滿足等式A30,則下列說法正確的是（ AEAE均可逆AEAE不可逆AEAE可逆AEAE均不可逆答案：A三、填空題：1．設(shè)都是n階方陣，則等式A+BABA2B2成立的充分必要條件是 ．答案：ABBA．2 32.設(shè)矩陣2,2,E是2階單位矩陣，則2 3 答案：

3 64 5 4 5 1 1 3.設(shè)矩陣2,1,矩陣AT,則 1 1 1 1 1 1 1 答案：472 2 2 1 1 1 4 0 0 4.設(shè)矩陣A1 3 0，則A2E1 0 0 4 1 0 02 答案：1 1 0 2 10 0 2 a11

a12

5.當(dāng)可逆陣P時(shí)，等式Pa a a

a

2a a

2a a

2a

成立．21 22 23 21 31 22 32 23 33a a a

a a a 31 32 33 31 32 33 1 0 0答案：P=0 1 2 0 0 1 第2章 方陣的行列式一、判斷題：1.Bn階矩陣，則ABAB.（×）2.An階矩陣，則AE

1

A.(E為單位矩陣).（×）3.Bn階矩陣，則AB

AB.（√）4.An階矩陣，則A-1

A1(A1)m

Amm為正整數(shù)).（√）5.設(shè)A為n階矩陣，則kAkA,(數(shù)k0).（×）6.設(shè)A為n階矩陣，則AAA2.（√）7.若A為n階對稱矩陣，則A0.（×）8.AnA

A.（×）9.A為奇數(shù)階反對稱矩陣（TAA0.（√）10.An（2AA1A0.（√）11.若存在正整數(shù)k，使AkO，稱A為冪零矩陣.若A0,則A為冪零陣.（×）12.

0,則A與B均不可逆.（×）13.AAA

An2.（×）17.若A的秩r(A)n,則A0.（×）18.若矩陣A的行列式A0,則A的第一行可由其余各行線性表出.（×）21.ABA

B.（×）24.A為mn矩陣,且mnAA0.（√）二、單項(xiàng)選擇題：a100a100b10a2b200b3a30b400a4A．

的值等于（ B．C．D．(a2a3答案：D2.若1,2,312都是4維列向量,且41,2,31

m，1,2,2,3

n，則43,2,112

（ A．mn

B．nm

C．mn

D．mnB均為n階方陣，且

A1B22B12

（ A．1 B．1

C．2 D．12答案：BB為3階方陣,A3,

B2,

A1B2,AB1

（ A．2 B．2 C．3 D．3答案：C5.設(shè)1,2,3都是3A1,2,,12，如果A1，B（

B12123A．2 B．2

C．12

D．12答案：A三、填空題：a b c1.a ab abc

．a(chǎn) 2ab 3a2bc答案：a31 2 2 32.設(shè)行列式D1 2 4 1,則AA

A3A

．0 3 1 22 1 3 1

12 22 32 42答案：221aa00011aa003.5階行列式D011aa0 ．0011aa00011a答案：1aa2a3a4a5．1 34.設(shè)矩陣A3 2，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E，則B1 3 答案：2第3章 線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、判斷題：14.若A為正交矩陣，則A1.（×）設(shè)A,B為n階矩陣：66.若A的行(列)向量兩兩正交,則A為正交矩陣.（×）67.若AAE,則A為正交矩陣.（√）68.若A為正交矩陣,則A1存在且也是正交矩陣.（√）69.若A為正交矩陣,k為任意常數(shù),則kA亦為正交矩陣.（√）70.若A為正交矩陣,m為正整數(shù),則Am也為正交矩陣.（√）71.若A為正交矩陣,則A也為正交矩陣.（√）m72.若A為正交矩陣,則A也為正交矩陣.（√）m73.AAfA)a0（×）

EAa2

A2a

Am也是正交矩陣.74.若A,B為正交矩陣,則AB也是正交矩陣.（×）75.若A,B為正交矩陣,則AB也是正交矩陣.（√）二、單項(xiàng)選擇題：設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是（ A.2,23,31 B．12,23,31C．1,2,3D．1,2,3答案：A設(shè)向量組Ⅰ：1,2, ,r可由向量組Ⅱ：1,2, ,s線性表示，則下列選項(xiàng)正確的是( )當(dāng)rs時(shí)，向量組Ⅱ必線相關(guān) B．當(dāng)rs時(shí)，向量組Ⅱ必線性相關(guān)C．當(dāng)rs時(shí)，向量組Ⅰ必線性相關(guān) D．當(dāng)rs時(shí)，向量組Ⅰ必線性相關(guān)答案：D設(shè)A，B為滿足AB0的任意兩個非零矩陣，則必有（ AB的行向量組線性相關(guān)AB的列向量組線性相關(guān)AB的行向量組線性相關(guān)AB的列向量組線性相關(guān)答案：A設(shè)1,2, ,s均為n維列向量，A是mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是（ A.1,2, ,s線性相關(guān),則,, ,線性相關(guān)B.1,2, ,s線性相關(guān),則,, ,線性無關(guān)C.1,2, ,s線性無關(guān),則,, ,線性相關(guān)D.1,2, ,s線性無關(guān),則,, ,線性無關(guān)答案：A5.設(shè),

,R3的一組基,則由基1

,1到基

,

,

的1 2 3過渡矩陣為( )．

12233

1 2 2 3 3 11 0 1 A.2 2 0 0 3 3

1 2 0 B．0 2 3 1 0 3 1 1

1

1 1 12 4 6 2 2 2 C．1 1 1

D．1 1 1 2 4 61 1 1

4 4 4 1 1 12 4 6

6 6 6 答案：A設(shè)f為有限維線性空間V上的線性變換，A，B為f在V的不同基下的矩陣，則下列說法不正確的是（ B有相同的特征值 B．B有相同的行列式C．B有相同的特征向量 D．B相似答案：C三、填空題：1 1 1 21.設(shè)12，21與0，23R2的兩個基，則從基到的 過渡矩陣為 ．

1 53 3答案： 2 13 32.已知兩個向量組1 0 1 1 1 30，1，1與1，2，4，并且向量組,

,不能由向1 2 3

1 2 3

1 2 31 1 01 3 a 1 1 01 3 a

量組1,2,3線性表示，則a．答案：51 2

2

a3.設(shè)3階矩陣A2 1 2，向量1

已知與線性無關(guān)，則a． 13 0 4 1答案：1 1 1

a4.設(shè)A0

1 0b1Axb存在2個不同的解，則 1 1 1 a．a(chǎn) 已知b為常數(shù)且向量組Vxx a ,其a，a，bR可以構(gòu)成一個向量空間， a

2 1 2 ab 則參數(shù)b= ．

1 2 答案:b01 0 0

1

1

1設(shè)向量在基

0,

1,

01

=0,

=0下有相同的坐標(biāo)，0 0 111 2 3 0 0 11

1 2 31則= ．1

1答案：,,kk1kR1 2 3

2 k1 k13 第4章 相似矩陣與二次型一、判斷題：15.若A為正定矩陣，則A0.（√）16.若A為正定矩陣，則A的各階主子式大于零.（√）19.ABA

B.（√）20.ABAkEBkEk為任意常數(shù)).（√）22.若A的某特征值為零,則A0.（√）23.若A0,則矩陣A的特征值均為正數(shù).（×）52.若A與B合同,且A為對稱矩陣,則B亦為對稱矩陣.（√）53.若A與B相似,且A為對稱矩陣,則B亦為對稱矩陣.（×）54.若A與B合同,且A為反對稱矩陣,則B亦為反對稱矩陣.（√）55.若A與B相似,且A為反對稱矩陣,則B亦為反對稱矩陣.（×）76.若A,B合同,則當(dāng)A為正交矩陣時(shí),B也是正交矩陣.（×）77.若A,B相似,則當(dāng)A為正交矩陣時(shí),B也是正交矩陣.（×）78.若A為正定矩陣,則A1存在且也是正定矩陣.（√）79.若A為正定矩陣,k為任意常數(shù),則kA亦為正定矩陣.（×）80.若A為正定矩陣,m為正整數(shù),則Am也為正定矩陣.（√）81.若A為正定矩陣,則A也為正定矩陣.（√）82.若A,B為正定矩陣,則AB也是正定矩陣.（√）83.若A,B為正定矩陣,則AB也是正定矩陣.（×）84.若A,B都是n階正定矩陣,則AB也是正定矩陣.（×）85.若A,B都是n階滿秩矩陣,則BB也是正定矩陣.（√）86.若A為正定矩陣,且A,B合同,則B也是正定矩陣.（√）87.若A為正定矩陣,且A,B相似,則B也是正定矩陣.（×）