高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題專題01 集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式（新定義高數(shù)觀點(diǎn)壓軸題）（教師版）

專題01集合、常用邏輯用語(yǔ)、不等式（新定義，高數(shù)觀點(diǎn)，壓軸題）目錄TOC\o"1-2"\h\u一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題 2①乘法運(yùn)算封閉 2②“群”運(yùn)算 2③“SKIPIF1<0”運(yùn)算 4④“SKIPIF1<0”運(yùn)算 5⑤戴德金分割 7⑥“類” 9⑦差集運(yùn)算 10⑧“勢(shì)” 12⑨“好集” 13二、邏輯推理 15①充分性必要性 15②邏輯推理 17三、不等式 19①作差法 19②基本不等式 20一、集合的新定義（高數(shù)觀點(diǎn)）題①乘法運(yùn)算封閉1．（2023春·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)⊕是R上的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集C．有理數(shù)集 D．無理數(shù)集【答案】C【詳解】因?yàn)橛欣頂?shù)集中元素加減乘除四則運(yùn)算后的結(jié)果還是有理數(shù)，因而有理數(shù)集是封閉的.2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）非空集合SKIPIF1<0關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0滿足：①對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；②存在SKIPIF1<0使對(duì)一切SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0是關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0的融洽集，現(xiàn)有下列集合及運(yùn)算：①SKIPIF1<0是非負(fù)整數(shù)集，SKIPIF1<0運(yùn)算：實(shí)數(shù)的加法；②SKIPIF1<0是偶數(shù)集，SKIPIF1<0運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；③SKIPIF1<0是所有二次三項(xiàng)式組成的集合，SKIPIF1<0運(yùn)算：多項(xiàng)式的乘法；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0運(yùn)算：實(shí)數(shù)的乘法；其中為融洽集的是【答案】①④【詳解】①對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0仍為非負(fù)整數(shù),即SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故①符合題意；②對(duì)于任意偶數(shù)SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0仍為偶數(shù),即SKIPIF1<0；但是不存在SKIPIF1<0,使對(duì)一切SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0,故②不符合題意；③對(duì)于SKIPIF1<0是所有二次三項(xiàng)式組成的集合,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0不再是二次三項(xiàng)式,故③不符合題意；④對(duì)于SKIPIF1<0,設(shè)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；取SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故④符合題意,故答案為:①④②“群”運(yùn)算1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“群”是代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的概念，它的定義是：設(shè)SKIPIF1<0為某種元素組成的一個(gè)非空集合，若在SKIPIF1<0內(nèi)定義一個(gè)運(yùn)算“*”，滿足以下條件：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0②如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；③在SKIPIF1<0中有一個(gè)元素SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的單位元；④SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中存在唯一確定的SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的逆元．此時(shí)稱（SKIPIF1<0，*）為一個(gè)群．例如實(shí)數(shù)集SKIPIF1<0和實(shí)數(shù)集上的加法運(yùn)算“SKIPIF1<0”就構(gòu)成一個(gè)群SKIPIF1<0，其單位元是SKIPIF1<0，每一個(gè)數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為一個(gè)群B．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為一個(gè)群C．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為一個(gè)群D．SKIPIF1<0{平面向量}，則SKIPIF1<0為一個(gè)群【答案】B【詳解】A.SKIPIF1<0，兩個(gè)有理數(shù)的和是有理數(shù)，有理數(shù)加法運(yùn)算滿足結(jié)合律，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的單位元，逆元為它的相反數(shù)，滿足群的定義，則SKIPIF1<0為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；B.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的單位元，但是SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，不存在唯一確定的SKIPIF1<0，所以不滿足④，則SKIPIF1<0不為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.SKIPIF1<0，滿足①②，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的單位元滿足③，SKIPIF1<0是-1的逆元，1是1的逆元，滿足④，則SKIPIF1<0為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確；D.SKIPIF1<0{平面向量}，滿足①②，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的單位元，逆元為其相反向量，則SKIPIF1<0為一個(gè)群，所以該選項(xiàng)正確.故選：B2．（多選）（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若非空集合G和G上的二元運(yùn)算“SKIPIF1<0”滿足：①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：③SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0構(gòu)成一個(gè)群.下列選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的SKIPIF1<0構(gòu)成一個(gè)群的是（

）A．集合G為自然數(shù)集，“SKIPIF1<0”為整數(shù)的加法運(yùn)算B．集合G為正有理數(shù)集，“SKIPIF1<0”為有理數(shù)的乘法運(yùn)算C．集合SKIPIF1<0(i為虛數(shù)單位)，“SKIPIF1<0”為復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算D．集合SKIPIF1<0，“SKIPIF1<0”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)【答案】BCD【詳解】A．SKIPIF1<0時(shí)，不滿足③，若SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則在SKIPIF1<0中設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不能構(gòu)成群；B．G為正有理數(shù)集，①任意兩個(gè)正有理數(shù)的積仍然為正有理數(shù)，②顯然SKIPIF1<0，對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③對(duì)任意正有理數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也是正有理數(shù)，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，④有理數(shù)的乘數(shù)滿足結(jié)合律，B中可構(gòu)造群；C．SKIPIF1<0(i為虛數(shù)單位)，①可驗(yàn)證SKIPIF1<0中任意兩數(shù)（可相等）的乘積仍然屬于SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，滿足任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，滿足任意SKIPIF1<0，存在SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，實(shí)質(zhì)上有SKIPIF1<0；④復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足結(jié)合律，C中可構(gòu)造群；D．SKIPIF1<0，①任意兩個(gè)整數(shù)的和不是整數(shù)，它除以7的余數(shù)一定屬于SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，滿足對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0除以7余數(shù)為0；④加法滿足交換律，又SKIPIF1<0除以7的余數(shù)等于SKIPIF1<0除以7的余數(shù)加SKIPIF1<0除以7的余數(shù)的和再除以7所得余數(shù)，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D中可構(gòu)造群；故選：BCD．3．（2018·北京·高三開學(xué)考試）設(shè)SKIPIF1<0是一個(gè)非空集合,SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的一個(gè)運(yùn)算,如果同時(shí)滿足下述四個(gè)條件：（i）對(duì)于SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0;（ii）對(duì)于SKIPIF1<0,都有SKIPIF1<0;（iii）對(duì)于SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0;（iv）對(duì)于SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0（注：“SKIPIF1<0”同（iii）中的“SKIPIF1<0”）.則稱SKIPIF1<0關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0構(gòu)成一個(gè)群,現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：SKIPIF1<0SKIPIF1<0是整數(shù)集合,SKIPIF1<0為加法;

SKIPIF1<0SKIPIF1<0是奇數(shù)集合,SKIPIF1<0為乘法;SKIPIF1<0SKIPIF1<0是平面向量集合,SKIPIF1<0為數(shù)量積運(yùn)算;

SKIPIF1<0SKIPIF1<0是非零復(fù)數(shù)集合,SKIPIF1<0為乘法.其中SKIPIF1<0關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0構(gòu)成群的序號(hào)是（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）.【答案】SKIPIF1<0【詳解】若SKIPIF1<0是整數(shù)集合，則SKIPIF1<0兩個(gè)整數(shù)相加仍為整數(shù)，SKIPIF1<0整數(shù)加法滿足結(jié)合律；SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在整數(shù)集合中存在唯一一個(gè)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，故整數(shù)集合關(guān)于運(yùn)算*構(gòu)成一個(gè)群；SKIPIF1<0是奇數(shù)集合，SKIPIF1<0為乘法，則SKIPIF1<0，不滿足SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是平面向量集合，SKIPIF1<0為數(shù)量積運(yùn)算，則不滿足SKIPIF1<0；SKIPIF1<0是非零復(fù)數(shù)集合，SKIPIF1<0為乘法，則SKIPIF1<0兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相乘仍為非零復(fù)數(shù)；SKIPIF1<0非零復(fù)數(shù)相乘符合結(jié)合律；SKIPIF1<0，則）SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中存在唯一一個(gè)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．故答案為③“SKIPIF1<0”運(yùn)算1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0上的定義運(yùn)算SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0的解集為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0，故選：B2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)U為全集，對(duì)集合X，Y，定義運(yùn)算“*”，SKIPIF1<0．對(duì)于任意集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由題意知：∵SKIPIF1<0．∴對(duì)于任意集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*”，具有以下三條性質(zhì)：（1）對(duì)任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）對(duì)任意a，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（3）對(duì)任意a，b，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.給出下列三個(gè)結(jié)論：①SKIPIF1<0；②對(duì)任意a，b，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③存在a，b，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【詳解】①SKIPIF1<0，錯(cuò)誤；②SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，正確；③當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0成立，正確.故選：C④“SKIPIF1<0”運(yùn)算1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,規(guī)定SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；運(yùn)算“SKIPIF1<0”為：SKIPIF1<0，運(yùn)算“SKIPIF1<0”為：SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】解：由（1，2）?（p，q）＝（5，0）得SKIPIF1<0，所以（1，2）⊕（p，q）＝（1，2）⊕（1，﹣2）＝（2，0），故選D．2．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）定義集合運(yùn)算：A⊙B＝﹛z|z=xy(x+y)，x∈A,y∈B﹜.設(shè)集合A=﹛0，1﹜，B=﹛2，3﹜，則集合A⊙B的所有元素之和為（）A．0 B．6 C．12 D．18【答案】D【詳解】SKIPIF1<0，選D.3．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，定義運(yùn)算⊕如下：①當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0奇偶性相同時(shí)，SKIPIF1<0；②當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0奇偶性不同時(shí)，SKIPIF1<0．若集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的元素個(gè)數(shù)為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是正偶數(shù)時(shí)，則集合SKIPIF1<0中含有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共SKIPIF1<0個(gè)元素；當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都是正奇數(shù)時(shí)，則集合SKIPIF1<0中含有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共SKIPIF1<0個(gè)元素；當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0一個(gè)為正偶數(shù)，一個(gè)為正奇數(shù)，則集合SKIPIF1<0中含有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0共SKIPIF1<0個(gè)元素；所以SKIPIF1<0的元素共有SKIPIF1<0個(gè).故答案為：SKIPIF1<04．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）非空集合G關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0滿足：（1）對(duì)任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0；（2）存在SKIPIF1<0，使得對(duì)一切SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則稱G關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0為“融洽集”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①SKIPIF1<0{非負(fù)整數(shù)}，SKIPIF1<0為整數(shù)的加法；②SKIPIF1<0{偶數(shù)}，SKIPIF1<0為整數(shù)的乘法：③SKIPIF1<0{平面向量}，SKIPIF1<0為平面向量的加法；④SKIPIF1<0{二次三項(xiàng)式}，SKIPIF1<0為多項(xiàng)式的加法；⑤SKIPIF1<0{虛數(shù)}，SKIPIF1<0為復(fù)數(shù)的乘法其中G關(guān)于運(yùn)算SKIPIF1<0為“融洽集”的是．（寫出所有“融洽集”的序號(hào)）【答案】①③【詳解】對(duì)于①，SKIPIF1<0{非負(fù)整數(shù)}，SKIPIF1<0為整數(shù)的加法；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都為非負(fù)整數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0通過加法運(yùn)算還是非負(fù)整數(shù)，且存在一整數(shù)SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，所以①為“融洽集”；對(duì)于②，SKIPIF1<0{偶數(shù)}，SKIPIF1<0為整數(shù)的乘法，由于任意兩個(gè)偶數(shù)的積仍是偶數(shù)，故滿足條件（1),但不存在偶數(shù)SKIPIF1<0,使得一個(gè)偶數(shù)與SKIPIF1<0的積仍是此偶數(shù)，故不滿足條件（2),故不滿足“融洽集”的定義；對(duì)于③，SKIPIF1<0{平面向量}，SKIPIF1<0為平面向量的加法；若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面向量，兩平面向量相加仍然為平面向量，且存在零向量通過向量加法滿足條件（2）；所以③為“融洽集”；對(duì)于④，SKIPIF1<0{二次三項(xiàng)式}，SKIPIF1<0為多項(xiàng)式的加法；由于兩個(gè)二次三項(xiàng)式的和不一定是二次三項(xiàng)式，如SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的和為SKIPIF1<0,不滿足條件（1),故不滿足“融洽集”的定義；對(duì)于⑤，SKIPIF1<0{虛數(shù)}，SKIPIF1<0為復(fù)數(shù)的乘法；兩個(gè)虛數(shù)相乘得到的可能不是虛數(shù)，例如：SKIPIF1<0，故不滿足“融洽集”的定義；故答案為：①③⑤戴德金分割1．（多選）（2022秋·山西運(yùn)城·高一山西省運(yùn)城中學(xué)校期中）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).將有理數(shù)集SKIPIF1<0劃分為兩個(gè)非空的子集M與N，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M中的每一個(gè)元素都小于N中的每一個(gè)元素，則稱SKIPIF1<0為戴德金分割.試判斷下列選項(xiàng)中，可能成立的是（

）A．SKIPIF1<0滿足戴德金分割B．M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素C．M沒有最大元素，N沒有最小元素D．M有一個(gè)最大元素，N有一個(gè)最小元素【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0滿足戴德金分割的定義，A正確；對(duì)于B,取SKIPIF1<0，符合戴德金分割，M沒有最大元素，N有一個(gè)最小元素，B正確；對(duì)于C，取SKIPIF1<0滿足戴德金分割的定義，M沒有最大元素，N沒有最小元素，C正確；對(duì)于D，假設(shè)M有一個(gè)最大元素m，N有一個(gè)最小元素n,根據(jù)戴德金分割定義，必有SKIPIF1<0，則無法滿足SKIPIF1<0，D錯(cuò)誤，故選：SKIPIF1<0.2．（多選）（2023春·浙江寧波·高一寧波市北侖中學(xué)?？奸_學(xué)考試）19世紀(jì)戴德金利用他提出的分割理論，從對(duì)有理數(shù)集的分割精確地給出了實(shí)數(shù)的定義，并且該定義作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)實(shí)數(shù)理論的基礎(chǔ)之一可以推出實(shí)數(shù)理論中的六大基本定理.若集合A、B滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的二劃分，例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的一個(gè)二劃分，則下列說法正確的是（

）A．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的二劃分B．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的二劃分C．存在一個(gè)SKIPIF1<0的二劃分SKIPIF1<0，使得對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．存在一個(gè)SKIPIF1<0的二劃分SKIPIF1<0，使得對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0不為SKIPIF1<0的二劃分，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的二劃分，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，存在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，使得對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故D正確.故選：BCD.3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·高一揚(yáng)州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）1872年德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時(shí)代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集SKIPIF1<0劃分為兩個(gè)非空的子集SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中的每一個(gè)元素都小于SKIPIF1<0中的每一個(gè)元素，則稱SKIPIF1<0為戴德金分割．則下列關(guān)于戴德金分割SKIPIF1<0的說法一定不成立的是（

）A．SKIPIF1<0中有最大元素，SKIPIF1<0中有最小元素B．SKIPIF1<0中沒有最大元素，SKIPIF1<0中有最小元素C．SKIPIF1<0中有最大元素，SKIPIF1<0中沒有最小元素D．SKIPIF1<0中沒有最大元素，SKIPIF1<0中沒有最小元素【答案】A【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，滿足戴德金分割，此時(shí)M沒有最大元素，N也沒有最小元素，所以滿足D選項(xiàng)，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足B選項(xiàng)；設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則滿足C選項(xiàng)；故A選項(xiàng)一定不成立，其他三個(gè)選項(xiàng)可能成立.故選：A4．（2022秋·高一課時(shí)練習(xí)）戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個(gè)非空子集A與B，且滿足SKIPIF1<0Q，SKIPIF1<0，A中的每一個(gè)元素都小于B中的每一個(gè)元素．請(qǐng)給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割．【答案】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（答案不唯一）【詳解】解：以無理數(shù)分界寫出一組即可，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（答案不唯一）；故答案為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（答案不唯一）⑥“類”1．（多選）（2023秋·吉林·高一長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為SKIPIF1<0的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．以下判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，則整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0屬同一類【答案】ACD【詳解】A選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，A正確；B選項(xiàng)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，全體整數(shù)被5除的余數(shù)只能是0,1,2,3,4，故SKIPIF1<0，C正確；D選項(xiàng)，由題意可知SKIPIF1<0能被5整除，故SKIPIF1<0分別被5除的余數(shù)相同，故整數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0屬同一類，D正確.故選：ACD2．（2021秋·高一課時(shí)練習(xí)）在整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成的一個(gè)集合稱為“類”，記為[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．給出如下四個(gè)結(jié)論：①2013∈[3];②-2∈[2];③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];④若整數(shù)a，b屬于同一“類”，則a-b∈[0]．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】對(duì)于①，SKIPIF1<0，結(jié)論①正確；對(duì)于②，SKIPIF1<0，結(jié)論②錯(cuò)誤;對(duì)于③，對(duì)于任意一個(gè)整數(shù)，它除以5的余數(shù)可能是0，1，2，3，4，SKIPIF1<0，結(jié)論③正確;對(duì)于④，整數(shù)a，b屬于同一“類”，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)論④正確；故選：C．3．（2022秋·廣東汕頭·高一汕頭市第一中學(xué)校考期中）在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為[k]，即[k]={4n+k︱n∈Z}，k=0，1，2，3.給出下列四個(gè)論①2025∈[1]；②SKIPIF1<02025∈[1]；③若a∈[1]，b∈[2]，則3a+b∈[3]；④若a∈[1]，b∈[3]，則aSKIPIF1<03b∈[0].其中正確的結(jié)論是.【答案】①④【詳解】因?yàn)?025被4除所得余數(shù)為1，所以①正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以②不正確；因?yàn)閍∈[1]，b∈[2]，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以③不正確；因?yàn)閍∈[1]，b∈[3]，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以④正確.故答案為：①④⑦差集運(yùn)算1．（多選）（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）我們知道，如果集合SKIPIF1<0，那么S的子集A的補(bǔ)集為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，類似地，對(duì)于集合A、B我們把集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，叫做集合A和B的差集，記作SKIPIF1<0，例如：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列解析正確的是（

）A．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0C．已知全集、集合A、集合B關(guān)系如上圖中所示，則SKIPIF1<0D．已知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】對(duì)于A：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由SKIPIF1<0SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正確；對(duì)于C：由韋恩圖知：SKIPIF1<0如下圖陰影部分，所以SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故D正確.故選：BD.2．（多選）（2022秋·貴州銅仁·高一校考階段練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過了集合的并、交、補(bǔ)等幾種基本運(yùn)算，而集合還有很多其他的基本運(yùn)算．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為兩個(gè)集合，稱由所有屬于集合SKIPIF1<0但不屬于集合SKIPIF1<0的元素組成的集合為集合SKIPIF1<0與集合SKIPIF1<0的差集，記為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．下列表達(dá)式一定正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，SKIPIF1<0，故A正確；對(duì)于B，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故B不正確；對(duì)于C，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：SKIPIF1<03．（2022秋·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義差集SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：B4．（2022秋·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）對(duì)于集合A，B，我們把集合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0叫做集合A與B的差集，記作SKIPIF1<0．若集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】根據(jù)差集的定義，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，上述不等式解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，顯然此時(shí)集合SKIPIF1<0沒有任何包含關(guān)系，不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，上述不等式化為SKIPIF1<0，顯然無解，即SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0不成立，不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，上述不等式解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以由數(shù)軸法可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；綜上：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：A.⑧“勢(shì)”1．（2022秋·上海浦東新·高一上海市進(jìn)才中學(xué)?？计谥校┰O(shè)全集SKIPIF1<0，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最?。虎诜强兆蛹脑卦蕉?，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推．若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第12位的子集是．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】元素個(gè)數(shù)為0的1個(gè)，SKIPIF1<0；元素個(gè)數(shù)為1的5個(gè)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；元素個(gè)數(shù)為2的10個(gè)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，排在第12位的子集是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.2．（2022秋·高一單元測(cè)試）設(shè)全集SKIPIF1<0，對(duì)其子集引進(jìn)“勢(shì)”的概念：①空集的“勢(shì)”最??；②非空子集的元素越多，其“勢(shì)”越大；③若兩個(gè)子集的元素個(gè)數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢(shì)”就越大，依次類推.若將全部的子集按“勢(shì)”從小到大的順序排列，則排在第SKIPIF1<0位的子集是.【答案】SKIPIF1<0【詳解】不含任何元素的子集個(gè)數(shù)有1個(gè)，含有一個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有5個(gè)，含有兩個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，含有3個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)有10個(gè)，因?yàn)?+5+10+10=26>23，故排在第SKIPIF1<0位的子集在含有3個(gè)元素的子集中，第26位的子集為SKIPIF1<0，第25位的子集為SKIPIF1<0，第24位的子集為SKIPIF1<0，第23位的子集為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0⑨“好集”1．（2016秋·山西·高一階段練習(xí)）如果集合SKIPIF1<0，同時(shí)滿足SKIPIF1<0,就稱有序集對(duì)SKIPIF1<0為“好集對(duì)”.這里有序集對(duì)SKIPIF1<0是指當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是不同的集對(duì)，那么“好集對(duì)”一共有個(gè)A．SKIPIF1<0個(gè) B．SKIPIF1<0個(gè)C．SKIPIF1<0個(gè) D．SKIPIF1<0個(gè)【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；所以滿足條件的“好集對(duì)”一共有SKIPIF1<0個(gè)，故選B.2．（2023秋·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)校考期末）定義：實(shí)數(shù)a，b，c，若滿足SKIPIF1<0，則稱a，b，c是等差的，若滿足SKIPIF1<0，則稱a，b，c是調(diào)和的．已知集合SKIPIF1<0，集合P是集合M的三元子集，即SKIPIF1<0，若集合P中的元素a，b，c既是等差的，又是調(diào)和的，稱集合P為“好集”，則集合P為“好集”的個(gè)數(shù)是．【答案】1010【詳解】由好集的定義得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故集合P為“好集”的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0.故答案為：10103．（2016·浙江嘉興·高三階段練習(xí)）若三個(gè)非零且互不相等的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是調(diào)和的；若滿足SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差的，若集合SKIPIF1<0中元素SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0既是調(diào)和的，又是等差的，則稱集合SKIPIF1<0為“好集”，若集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，則（1）“好集”SKIPIF1<0中的元素最大值為；（2）“好集”SKIPIF1<0的個(gè)數(shù)為．【答案】2012；1006.【詳解】解：由題意得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時(shí)，好集中的元素的最大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的所有可能值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，共SKIPIF1<0個(gè)，即好集的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故答案為：2012,1006.二、邏輯推理①充分性必要性1．（2023春·黑龍江佳木斯·高二富錦市第一中學(xué)?？计谀┤鬝KIPIF1<0、SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】若SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，此時(shí)有SKIPIF1<0，所以，若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”，即“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”；若“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”，若SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以，“SKIPIF1<0”SKIPIF1<0“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”.因此，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0或SKIPIF1<0”的充分不必要條件.故選：A.2．（2023春·遼寧·高二校聯(lián)考期末）“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0有實(shí)數(shù)解”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0無解，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0有實(shí)數(shù)解；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以方程SKIPIF1<0有實(shí)數(shù)解SKIPIF1<0；所以“SKIPIF1<0”是“方程SKIPIF1<0有實(shí)數(shù)解”的必要不充分條件．故選：B.3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”成立的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0的必要不充分條件，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的真子集，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：B4．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知不等式SKIPIF1<0成立的充分條件是SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】由題意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且等號(hào)不能同時(shí)成立，解得SKIPIF1<0.故選：D.5．（2023春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)校考期末）已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的充分非必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】SKIPIF1<0【詳解】由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，∵“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分非必要條件，∴SKIPIF1<0真包含于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0②邏輯推理1．（2023春·天津·高二天津市寧河區(qū)蘆臺(tái)第一中學(xué)校聯(lián)考期末）定義SKIPIF1<0，設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】命題SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0成立的否定為對(duì)SKIPIF1<0