關注向量與解析幾何的交匯

精品文檔-下載后可編輯關注向量與解析幾何的交匯數(shù)學高考命題重視知識的交互滲透，往往在知識網(wǎng)絡的交匯點上設計試題.平面向量作為代數(shù)和幾何的紐帶,素有“與解幾交匯,與立幾聯(lián)姻,與代數(shù)牽手”之美稱,它與解析幾何一脈相承,都涉及到數(shù)和形，對于解析幾何中圖形的重要位置關系(如平行、相交、三點共線、三線共點等)和數(shù)量關系(如距離、面積、角等)，都可以通過向量的運算而得到解決.

一、用向量法解決解析幾何問題

向量具有“數(shù)”和“形”的雙重身份，其坐標形式和運算拉近了向量和解析幾何之間的關系．應用向量的數(shù)量積、模、線性運算、坐標表示等知識，再結合“設而不求，整體思維”的方略，往往能簡化解幾運算.

例1橢圓

x29+y24=1的焦點為F1,F2點P為其上的動點,當∠F1PF2為鈍角時,點P橫坐標的取值范圍是.

解:不妨設F1為橢圓的左焦點，設

P(x0,y0)，則

x209+y204=1①

F1P=(x0+5,y0),

F2P=(x0-5,y0).

由制約條件∠F1PF2為鈍角，得

PF1?PF2

x20-5+y20

由①、②消去y0得，5x20

-355

355.

例2如圖1，設A、B為拋物線y2=4px上原點O以外的兩個動點，已知

OAOB,OMAB于M,求點M的軌跡方程，并說明軌跡表示什么曲線.

解:設

OA=

(y214p,y1)，

OB=

(y224p,y2)，

OM=(x,y)

，且y1y2≠0,y1≠y2.

由OA?OB

=y214p?y22

4p+y1y2=0,得

y1y2=-16p2①

由OM?AB=

x(y224p-

y214p)+y(y2-y1)=0,得

x?y1+y24p+y=0②

由OM?AM=

x(x-y214p)+y(y-y1)=0,得

x2+y2-x?y214p-yy1=0③

由①、②消去y2得

x?y214p+yy1=4px④

由③、④得(x-2p)2+y2=4p2(x≠0).

所求軌跡為以(2p,0)為圓心，2p為半徑的圓(除去原點).

二、解決與向量有關的解析幾何問題

解決與向量有關的解析幾何問題時，對于向量條件的運用，有兩個基本思路:⑴利用向量及運算的幾何意義，從圖形的角度展開探索(如下面例3、例4、例6①);⑵利用向量的坐標形式，將問題轉化為方程(或方程組)、不等式等代數(shù)問題予以解決(如下面例5、例6②、例7).

例3如圖2，在ABC中，AC?AB|AB|=12，

BC?BA

|BA|=32,

3BE=2EC，

建立適當?shù)淖鴺讼?，求以A、B為焦點，且經過C、E的雙曲線方程.

解：如圖3，以AB的垂直平分線y軸，直線AB為x軸，建立直角坐標系xoy.

作CHAB,由題設得AH=12,BH=32,

所以c=1,xC=-12,xE=25.

因為3BE=2EC，所以

2|CB|=5|EB|,所以

-2(-12e-a)=5

(25e-a),

即1a+2a=

2a-5a，所以a2=

17,b2=

67.

故所求雙曲線方程為

7x2-7y26=1.

例4如圖4，已知橢圓x2a2

+y2b2=1(a>b>0),A(2,0)是長軸的一個端點，弦BC

過橢圓的中心O，且AC?BC

=0，|OC-OB|

=2|BC-BA|.

（1）求橢圓的方程；

（2）若AB上的一點D滿足

BO-2OA+3OD

=0,求證：CD平分∠BCA.

分析：本題中向量條件不僅較多而且形式復雜多樣.結合圖形，簡化復雜的形式，并弄清各個向量條件之間的關系是解題的突破口.

解：（1）因為

AC?BC=0，所以

ACBC，∠ACB=90°.

因為|OC-OB|=

2|BC-BA|，所以

|BC|=2|AC|，|OC|=

|AC|.

所以AOC是等腰直角三角形.因為A(2,0)，所以C(1,1)，而點C在橢圓上,

所以1a2+1b2=1,a=2,所以b2=43

.故所求橢圓方程為

x24+

3y24=1.

(2)因為C(1,1)，弦BC過橢圓的中心O，所以B(-1,-1).

又BO-2OA+3OD

=0，所以

BO+OD=2OA

-2ODBD=2DA.

又|BC|=2|AC|，所以

|BC||AC|

=|BD||AD|，所以ＣD平分∠BCA.

例5已知拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點為F，定點A（4，0）.設M、N為拋物線C上的兩動點，且總存在一個實數(shù)λ,使得FA

=λFM+(1-λ)FN,若|OM+

ON|=|OM-ON|，求拋物線C的方程.

解：因為FA=λFM

+(1-λ)FN

,所以NA

=λNM.

所以M、N、A三點共線，又|OM+ON|=|OM-ON|

,所以OM?ON=0.

設M（x1,y1),N(x2,y2),則y21=2px1,y22=2px2.

設直線MN的方程為x=my+4,代入y2=2px,

得y2-2pmy-8p=0,所以y1y2=-8p.

由y21y22=4p2x1x2,得64p2=4p2x1x2,所以x1x2=16.

因為OM?ON=0，所以x1x2+y1y2=0,所以16-8p=0,解得p=2.

故拋物線C的方程為y2=4x.

例6若F1、F2分別為雙曲線y2a2

-x2b2

=1下、上焦點，O為坐標原點，

P在雙曲線的下支上，點M在上準線上，且滿足：F2O

=MP,F1M

=λ(F1P|F1P|

+F1O|F1O|

)(λ>0).又N（3，2）在雙曲線上.

（1）求雙曲線的方程；（2）雙曲線的虛軸端點分別B1，B2（B2在x軸正半軸上），點A、B在雙曲線上，且B2A=μB2B，求B1A

B1B時，直線AB的方程.

解：

（1）F2O

=MP

OF1=MP,所以PF1OM為平行四邊形.又F1M

=λ(F1P|F1P|+

F1O|F1O|，

所以M在∠PF1O的角平分線上，所以四邊形PF1OM為菱形，且邊長為

|PF1|=|F1O|=c.

所以|PF2|

=2a+|PF1|=2a+c,由雙曲線第二定義

|PF2||PM|

=e,即2a+cc

=e,解得e=2.

所以c=2a,即b2=3a2,雙曲線方程為y2a2

-x23a2=1.又N(3,2)在雙曲線上，可得雙曲線的方程為

y23

-x29=1.

(2)由B2A

=μB2B，知AB過點B2.當ABx軸時，AB1與BB1不垂直.

設AB的方程為y=k(x-3),代入y23

-x29=1,得(3k2-1)x2-18k2x+27k2-9=0.

由題知3k2-1≠0且Δ>0,即k2>16

且k2≠13.

設交點A（x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=

18k23k2-1,x1x2=9,

B1A=(x1+3,y1),

B1B=(x2+3,y2).

因為B1AB1B,所以9+3（x1+x2）+x1x2+y1y2=0.

所以y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2

［x1x2-3(x1+x2)+9］=k2［18-

54k23k2-1］=-

18k23k2-1.

所以9+3?18k23k2-1+9

-18k23k2-1=0,解得k=±

55.所以AB的方程為y=±

55(x-3).

例7在直角坐標平面中，ABC的兩個頂點A、B的坐標分別為A（-1，0）.B（1，0），平面內兩點G、M同時滿足下列條件：①GA

+GB+GC=0;②

|MA|=|MB|=

|MC|;③GM∥AB.

(1)求ABC的頂點C的軌跡方程；

（2）過點P（3，0）的直線l與（1）中軌跡交于E、F兩點，求PE?PF的取值范圍.

解：（1）設C（x,y),G(x0,y0),M(xM,yM),

因為GA+GB

+GC=0，所以G為ABC的重心，所以y0=

y3.因為GM∥

AB,所以yM=

y3.

因為|MA|=|MB|,所以M點在線段AB的中垂線上，又A（-1，0）、B（1，0），所以xM=0.

因為|MB|=|MC|，所以

(0-1)2

+(y3-0)2=

(0-x)2+(y3-y)2,

故頂點C的軌跡方程為x2+y23=1(y≠0).

(2)設直線l方程為y=k(x-3),E(x1,y1),F(x2,y2),由y=k(x-3)

x2+y23=1

,消去y得

(k2+3)x2-6k2x+9k2-3=0(*)

所以x1+x2=6k2k2+3,x1x2

=9k2-3k2+3,而ＰＥ?PF

=|PE|?|PF|?cos

0°=|PE|?|PF|

=1+k2|3-x1|?

1+k