2017-2018學年安徽省馬鞍山二中高二（上）期末數(shù)學試卷（理科）

2017-2018學年安徽省馬鞍山二中高二（上）期末數(shù)學試卷（理

科）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.（5分）設i是虛數(shù)單位，如果復數(shù)（a+1）+（-a+7）i的實部與虛部相等，那么實數(shù)。

的值為（）

A.4B.3C.2D.1

2.（5分）（2017秋?馬鞍山期末）下列四個命題中錯誤的是（）

A.若直線a、b互相平行，則直線a、b確定一個平面

B.若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線

C.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面

3.（5分）命題p：G[0,夕，使得sin。=V3"；命題q：eR,函數(shù)=%+$勺

最小值為4”.則四個命題pAq,Lp）Vq,pVLq）,"p）ALq）中，正確命題

的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

4.（5分）“f=-1”是“直線x+（2-1）尹2=0與直線（f+4）x+y+3=0垂直”的（）

條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.既不充分又不必要D.充要

5.（5分）設棱長為1的正方體ACi中的8個頂點所成集合為向量的集合P=｛端=“2，

P「P2eM｝,則P中模長為百的向量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.8

6.（5分）若｛a,b,c｝構(gòu)成空間的一組基底，則（）

A.b+c,b—c,a不共面B.b+c,b—c,2b不共面

C.b+c,a,a+b+c不共面D.a+c,a—2c,c不共面

7.（5分）如圖所示，在正方體ACi中，棱長為2,點M在DDi上，點N在面ABCO上，

MN=2,點P為腦V的中點，則點P的軌跡與正方體的面圍成的幾何體的體積為（）

8.（5分）（2013?天津）已知過點P（2,2）的直線與圓（冗-1）2+『=5相切，且與直線

QX-y+l=0垂直，則〃=（）

11

A.—B.1C.2D.—

22

9.（5分）過拋物線『=8x焦點的直線/交拋物線于尸（xi,yi）,Q（12,>2）兩點，若為十%2

=4,則|PQ=()

A.9B.8C.7D.6

10.（5分）已知橢圓C：鳥+瑪=l（a>b>0）（a>0,6>0）的長軸為8,離心率為三.則

a乙b4

。的方程為（）

%2y2%2y2

A.—+—=1B.—+—=1

167169

x2y2%2y2

C.—+—=1D.—+—=1

64286436

%2y2

11.（5分）（2015?深圳一模）已知尸i,尸2分別是雙曲線C：———=1（?,Z?>0）的左、

右焦點，點尸在C上，若尸尸」四尸2,且尸M=M?2,則C的離心率是（）

V5+1

A.V2-1C.V2+1D.V5-1

12.（5分）（2019?天河區(qū)二模）如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABC。為矩形,

E,尸分別為E4,的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論:

①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AE異面；

③直線EF〃平面尸BC；④平面BCE_L平面B4D

其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

4

13.（5分）已知復數(shù)z=l+iM是虛數(shù)單位），則--z2的共軌復數(shù)是.

Z

14.（5分）命題）：'勺xoCR,InxQ-xo<O",則一為.

15.（5分）已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為2,底面邊長為2,則該

球的體積為.

16.（5分）已知直線/與拋物線>=/交于A,B兩點，且48|=2,設線段AB的中點為M,

當直線I運動時，則點M的軌跡方程為.

三、解答題（本大題共6小題，其中第17題滿分70分，第18?22題每題滿分均為12分，

共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（10分）設命題p：函數(shù)/（無）=（a-獷在R上單調(diào)遞減，命題g：函數(shù)g（x）=/

-2x-1在［0,a］上的值域為［-2,-1］,若“pAq”為假命題，“pVq”為真命題.求實

數(shù)a的取值范圍.

18.（12分）（2018秋?汕頭期中）矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2,1）,邊所

在直線的方程為x-2y-4=0,點T（-1,0）在AO邊所在直線上.

（I）求邊所在直線的方程；

（II）求矩形ABCD外接圓的方程；

19.（12分）如圖，已知直四棱柱ABCQ-A向Ci》中，A4i=2,底面ABC。是直角梯形，

/A為直角，AB//CD,AB=4,AD=2,DC=2.

（1）求線段BCi的長度；

（〃）異面直線BCi與。C所成角的余弦值.

20.（12分）（2017春?晉中期末）如圖，已知等邊AABC中，E,尸分別為AB,AC邊的中

點，N為2C邊上一點，且CN=JgC,將△AE尸沿所折到AA'EP的位置，使平面A'

E7LL平面EP-CB,M為所中點.

（1）求證：平面A'MNJ_平面A'BF-,

（2）求二面角E-A'尸-2的余弦值.

21.（12分）已知馬、及分別是橢圓1+>2=1的左、右焦點.

（I）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，PFr-PF2=-1,求點尸的坐標；

（II）設過定點M（0,3）的直線/與橢圓交于不同的兩點A、B,且/AOB為銳角（其

中O為坐標原點），求直線I的斜率k的取值范圍.

22.（12分）已知拋物線Ci：/=4x和C2：W=2py（p>0）的焦點分別為Fi,Fz,Ci,

C2交于。，A兩點（。為坐標原點），且尸1放，。4

（1）求拋物線C2的方程；

（II）過點O的直線交C1的下半部分于點M,交C2的左半部分于點N,點尸（-1,-

1）,求△PMN面積的最小值.

2017-2018學年安徽省馬鞍山二中高二（上）期末數(shù)學試

卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.（5分）設i是虛數(shù)單位，如果復數(shù)（a+1）+（-?+7）i的實部與虛部相等，那么實數(shù)。

的值為（）

A.4B.3C.2D.1

【考點】A5：復數(shù)的運算.

【專題】34：方程思想；40：定義法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

【分析】直接由已知列關(guān)于a的方程求解.

【解答】解：：復數(shù)（a+1）+（-a+7）i的實部與虛部相等，

'.a+\=-a+7,即a=3.

故選：B.

【點評】本題考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

2.（5分）（2017秋?馬鞍山期末）下列四個命題中錯誤的是（）

A.若直線a、b互相平行，則直線。、匕確定一個平面

B.若四點不共面，則這四點中任意三點都不共線

C.若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線

D.兩條異面直線不可能垂直于同一個平面

【考點】LJ：平面的基本性質(zhì)及推論；LN：異面直線的判定.

【專題】14：證明題.

【分析】根據(jù)公理2以及推論判斷A和B,由線線位置關(guān)系的定義判斷C,利用線面垂

直的性質(zhì)定理和異面直線的定義判斷D.

【解答】解：4由兩條直線平行確定一個平面判斷正確，故A不對；

B,根據(jù)三棱錐的四個頂點知，任意三點都不共線，故B不對；

C、若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線異面或平行，故C對；

D,根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理知，這兩條直線平行，即不可能，故。不對.

故選：C.

【點評】本題考查了的內(nèi)容多，涉及到公理2以及推論、由線線位置關(guān)系的定義、線面

垂直的性質(zhì)定理和異面直線的定義，難度不大，需要掌握好基本知識.

3.(5分)命題p：'勺。G[0,夕，使得sin。=V3"；命題q：uVxeR,函數(shù)=x+g的

最小值為4”.則四個命題pAq,Lp)Vq,pVLq),"p)ALq)中，正確命題

的個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【考點】2E：復合命題及其真假.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應用；56：三角函數(shù)的求值；59：不等式的解法及應用；5L：

簡易邏輯.

【分析】對于命題P：根據(jù)sinOWl,即可判斷出真假.對于命題q：由于x<0時，f(x)

<0,即可判斷出真假，再根據(jù)復合命題真假的判定方法即可得出.

【解答】解：命題p：..'sineWl,e[0,夕，使得sin。=百"，是假命題；

命題g：?.”<()時，/⑴<0,因此“VxCR,困翁(x)=刀+三的最小值為4”，是假

命題.

則四個命題p/\q,Lp)Vq,pVLq),"p)ALq)中，正確命題為：Lp)V

q,pVLq),Lp)ALq),個數(shù)為3.

故選：C.

【點評】本題考查了三角函數(shù)的值域、函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法、不等式的

解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

4.(5分)“f=-1”是“直線尤+(2「1)y+2=0與直線(什4)尤+y+3=0垂直”的()

條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.既不充分又不必要D.充要

【考點】29：充分條件、必要條件、充要條件.

【專題】38：對應思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5B：直線與圓.

【分析】利用充分條件和必要條件的定義進行判斷.

【解答】解：當t=-l時，兩直線為x-3y+2=0與3尤+y+3=0,此時兩直線垂直.

若直線x+(2r-1)y+2=0與直線G+4)x+y+3=0垂直，

則f+4+2L1=0,

解得t=-1.

at=-1"是"直線x+（2r-1）y+2=0與直線（什4）x+y+3=0垂直”的充要條件.

故選：D.

【點評】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷和應用，要熟練掌握直線垂直的充要

條件，是基礎題.

5.（5分）設棱長為1的正方體ACi中的8個頂點所成集合為向量的集合P=｛端=雄2,

P2eM｝,則P中模長為百的向量的個數(shù)為（）

A.1B.2C.4D.8

【考點】91：向量的概念與向量的模.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5H：空間向量及應用.

—>—>—>—>—>—>―>—>

【分析】P中模長為皆的向量的為AC],CrA,BD1，D]B,&C,CX1；DB「BrD,從而

集合P中模長為百的向量的個數(shù)為8.

【解答】解：???棱長為1的正方體AG中的8個頂點所成集合為

向量的集合P=｛布=「小2,P2GM｝,

則P中模長為8的向量的為：

AC],BD],D]B,C,C,DB1,B、D,

，集合尸中模長為舊的向量的個數(shù)為8.

【點評】本題考查滿足條件的向量的個數(shù)的求法，考查正方體的性質(zhì)、結(jié)構(gòu)特征等基礎

知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題.

T—T.

6.（5分）若｛*b,c｝構(gòu)成空間的一組基底，則（）

A.b+c,b—c,a不共面B.b+c,b—c,2b不共面

C.b+c,a,a+b+c不共面D.a+c,a—2c,c不共面

【考點】M8：空間向量基本定理、正交分解及坐標表示.

【專題】34：方程思想；5A：平面向量及應用；5H：空間向量及應用.

【分析】由｛乙b,”｝構(gòu)成空間的一組基底，根據(jù)空間向量基本定理、平面向量共面定理

即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)｛乙b,晶構(gòu)成空間的一組基底，則SD中的向量為共面向量.

對于C.由x(b+1)+ya+z(a+b+c)=0,可得｛:郎:二解得尤=y=-z,存

在非零解，

因此(b+c),a,a+b+c共面，不正確.

-T-TT-任+y=0

對于A.由x(b+c)+y(b-c)+za=0,可得％-y=0,解得x=y=z=0,不存在

、z=0

非零解，

TTTTT

因此b+c,b-c,a不共面，正確.

故選：A.

【點評】本題考查了空間向量基本定理、平面向量共面定理、方程組的解法，考查了推

理能力與計算能力，屬于基礎題.

7.(5分)如圖所示，在正方體ACi中，棱長為2,點M在。5上，點N在面ABCD上，

MN=2,點P為的中點，則點尸的軌跡與正方體的面圍成的幾何體的體積為()

【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LG：球的體積和表面積.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何.

【分析】不論△MDN如何變化，P點到。點的距離始終等于1,從而尸點的軌跡是一個

以。為中心，半徑為1的球的%由此能求出結(jié)果

【解答】解:如圖可得，端點N在正方形ABC。內(nèi)運動，連接N點與。點,

由ND,DM,MN構(gòu)成一個直角三角形，

設尸為MN的中點，

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半，

得不論如何變化，P點到D點的距離始終等于1.

1

故尸點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的J

其體積片恭為底戶弁.

ODO

故選：B.

【點評】本題考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng).

8.（5分）（2013?天津）已知過點P（2,2）的直線與圓（x-1）2+/=5相切，且與直線

ax-y+l=0垂直，貝！J。=（）

11

A.-4B.1C.2D.-

22

【考點】IJ：直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；J9：直線與圓的位置關(guān)系.

【專題】5B：直線與圓.

【分析】由題意判斷點在圓上，求出尸與圓心連線的斜率就是直線"-y+l=0的斜率,

然后求出G的值即可.

【解答】解：因為點尸（2,2）滿足圓（尤-1）2+》2=5的方程，所以P在圓上，

又過點尸（2,2）的直線與圓（x-l）2+y2=5相切，且與直線依-y+]=0垂直，

所以切點與圓心連線與直線ax-y+1=0平行，

7—0

所以直線ax-y+1—0的斜率為：〃==2.

故選：c.

【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線與直線的垂直，考查轉(zhuǎn)化數(shù)學與計算能力.

9.（5分）過拋物線y=8x焦點的直線/交拋物線于P（xi,yi）,Q（也，>2）兩點，若xi+%2

=4,則|尸。|=（）

A.9B.8C.7D.6

【考點】K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；40：定義法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】根據(jù)拋物線方程，算出焦點為尸（2,0）,準線方程為x=-2.利用拋物線的定

義，得到|尸引+|。尸尸（X1+X2）+4,結(jié)合條件，計算可得所求弦長.

【解答】解：由拋物線方程為/=8x,可得益=8,即。=2,

拋物線的焦點為尸（2,0）,準線方程為x=-2.

根據(jù)拋物線的定義，得|尸川=羽+g=尤1+2,\QF\=x2+l=x2+2,

\PF\+\QF\=（xi+2）+（X2+2）=（xi+%2）+4,

又,.,p。經(jīng)過焦點F且X1+X2=4,

A\PQ\^\PF\+\QF]=（xi+%2）+4=4+4=8.

故選：B.

【點評】本題考查經(jīng)過拋物線的焦點的弦尸。，在已知尸、。橫坐標之和的情況下求尸。

的長.著重考查了拋物線的定義與標準方程的知識，屬于基礎題.

223

10.（5分）已知橢圓C：+l（a>b>0）（a>0,b>0）的長軸為8,離心率為一.則

a/V4

C的方程為（）

x2y2x2y2

A?一+—=1B.—+—=1

167169

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

64286436

【考點】K4：橢圓的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

c3

【分析】由已知可得：2a=8,-=〃2=廬+02,聯(lián)立解出即可得出.

a4

c3

【解答】解：由已知可得：2a=8,-=。2=必+。2,

a4

聯(lián)立解得：。=4,c=3,02=7.

XV

，橢圓。的方程為：—-b—=1.

167

故選：A.

【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、方程組的解法，考查了推理能力計算能

力，屬于中檔題.

11.（5分）（2015?深圳一模）已知尸1，尸2分別是雙曲線C：———=1Ca,b>0）的左、

（22y

右焦點，點尸在C上，若PFIJ_FLF2，且「g=尸聲2，則C的離心率是（）

/—^5+1（―1—

A.V2-1B.-------C.V2+1D.V5-1

2

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì).

【專題】11：計算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】運用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，結(jié)合離心率公式，計算即可得到.

【解答】解：可設乃尼=2°,則尸尸I=2C,

在直角三角形乃乃中，PF=

P2JPF/+FI//22=2V2C,

由雙曲線的定義可得，PF?-PF\=2a,

即2（V2-1）c=2a,

則,=（=法不=1+迎?

故選：C.

【點評】本題考查雙曲線的定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，考查運算能力，屬于基礎

題.

12.（5分）（2019?天河區(qū)二模）如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形為矩形，

E,歹分別為E4,的中點，在此幾何體中，給出下面4個結(jié)論：

①直線與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；

③直線EF〃平面PBC；④平面BCE_L平面朋D

其中正確的結(jié)論個數(shù)為（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【考點】L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征；LN：異面直線的判定；LS：直線與平面平行；LY：平

面與平面垂直.

【專題】15：綜合題.

【分析】幾何體的展開圖，復原出幾何體，利用異面直線的定義判斷①，②的正誤；

利用直線與平面平行的判定定理判斷③的正誤；

利用直線與平面垂直的判定定理判斷④的正誤；

【解答】解：畫出幾何體的圖形，如圖，

由題意可知，①直線BE與直線CF異面，不正確，

因為E,尸是E4與尸。的中點，可知

所以EF〃BC,直線BE與直線CF是共面直線；

②直線BE與直線異面；滿足異面直線的定義，正確.

③直線EV〃平面PBC；由E,尸是也與尸。的中點，可知所以EF〃BC,

PBC,BCu平面尸BC,所以判斷是正確的.

④因為△必8與底面ABC。的關(guān)系不是垂直關(guān)系，BC與平面RW的關(guān)系不能確定，所

以平面BC￡_L平面E4D不正確.

故選：C.

【點評】本題是基礎題，考查空間圖形中直線與直線、平面的位置關(guān)系，考查異面直線

的判斷，基本知識與定理的靈活運用.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）

4

13.（5分）已知復數(shù)z=l+i（i是虛數(shù)單位）,則--z2的共軌復數(shù)是2+4i.

z

【考點】A5：復數(shù)的運算.

【專題】38：對應思想；4A：數(shù)學模型法；5N：數(shù)系的擴充和復數(shù).

4

【分析】把Z=l+i代入--z2,再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.

Z

【解答】解：；z=l+i,

444(l-i)

--Z?=-；-(1+y?=--_--2i=2-4L

z1+ii)

4

--z2的共輾復數(shù)是2+4工

Z

故答案為：2+4/.

【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復數(shù)的基本概念，是基礎題.

14.（5分）命題p："mxoER,歷xo-xoVO”,則—為VxER,Inx-.

【考點】2J：命題的否定.

【專題】38：對應思想；40：定義法；5L：簡易邏輯.

【分析】直接寫出特稱命題的否定即可.

【解答】解：:命題p："mxoER,Inxo-xo<Ov,

"VxCR,Inx-

故答案為：VxGR,Inx-x^O.

【點評】本題考查命題的否定，關(guān)鍵是明確特稱命題的否定為全稱命題，是基礎題.

15.（5分）已知正四棱錐的頂點都在同一球面上，且該棱錐的高為2,底面邊長為2,則該

,97T

球的體積為一.

2

【考點】L3：棱錐的結(jié)構(gòu)特征；LG：球的體積和表面積.

【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5U：球.

【分析】正四棱錐P-ABC。的外接球的球心在它的高尸E上，求出球的半徑，由此能求

出球的體積.

【解答】解：如圖，正四棱錐尸-ABCD中，PE為正四棱錐的高，

根據(jù)球的相關(guān)知識可知，正四棱錐的外接球的球心O必在正四棱錐的高線PE所在的直

線上，

延長PE交球面于一點凡連接AE,AF,

由球的性質(zhì)可知△女!尸為直角三角形且AELPR

根據(jù)平面幾何中的射影定理可得以2=PF?PE,

'：AE=V2,

側(cè)棱長PA=V4T2=V6,PF=2R,

；.6=2RX2,解得氏=會

該球的體積為V=軸3=與.

、97T

故答案為：—.

【點評】本題考查球的體積的求法，考查球的內(nèi)接幾何體問題等基礎知識，考查運算求

解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題.

16.（5分）已知直線/與拋物線y=f交于A,B兩點,且閆3|=2,設線段A3的中點為

當直線I運動時，則點M的軌跡方程為為丫=/+?。?

1+4%工

【考點】J3：軌跡方程；K8：拋物線的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】設A（xi,yl）,B（尤2,”），直線AB的斜率存在，設為匕直線A3的方程為

y=kx+t,代入拋物線的方程，運用判別式大于0,以及韋達定理，中點坐標公式，化簡

整理可得所求方程.

【解答】解：設A（尤1,yl）,B（&,>2）,

直線AB的斜率存在，設為k,直線AB的方程為〉=依+/,

代入y=f,可得履-f=0,

可得△=M+4r>0,xi+x2=k,X1X2=~t.

由\AB\=2,即V1+fc2?jQq+冷產(chǎn)—4%]%2

=+k27k2+4t=2,

2

可得仁白方1一k

i+r4

k.k2

可得中點“（一，什?）,

22

即有x=2,y=f+，-,

消去％,3可得尸擊+竽,

化為＞=/++'

故答案為：y=/+］+；/.

【點評】本題考查拋物線的方程和運用，注意聯(lián)立方程組，運用韋達定理，考查化簡整

理的運算能力，屬于中檔題.

三、解答題（本大題共6小題，其中第17題滿分70分，第18?22題每題滿分均為12分,

共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）

17.（10分）設命題小函數(shù)/（x）=（a-在R上單調(diào)遞減，命題q：函數(shù)g（x）=x2

-2x-1在［0,a］上的值域為［-2,-1］.若"pf\q"為假命題，"oVq"為真命題.求實

數(shù)a的取值范圍.

【考點】2E：復合命題及其真假.

【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應用；59：不等式的解法及應用；5L：簡易邏輯.

【分析】若命題p為真命題，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得：OVa-3<1.若命題q為真

命題，則g（x）=（尤-1）2-2在［0,可上的值域為［-2,-1］,數(shù)形結(jié)合由二次函數(shù)圖

象可得a的求值范圍.根據(jù)“pAq”為假命題，“pVq”為真命題.可得命題p和q為一

真一假.即可得出.

【解答】解：若命題p為真命題，則OVa—a1VI,即1:；VaV;3.

乙22

若命題g為真命題，則g（x）=（廠1）2-2在［0,0上的值域為［-2,-1］,數(shù)形結(jié)合

由二次函數(shù)圖象可知，lWaW2.

：“pAq”為假命題，為真命題.命題p和q為一真一假.

若p為真q為假，則32,即得到彳VaVI；

a<l^a>22

若q為真0為假，則［口<2或a2我即得到2<a<2.

11<a<22

綜上所述，a的取值范圍是{a|/VaVI或mWa<2}.

【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法、不等式的解法，考查了推理

能力與計算能力，屬于中檔題.

18.(12分)(2018秋?汕頭期中)矩形ABC。的兩條對角線相交于點M(2,1),AB邊所

在直線的方程為x-2y-4=0,點T(-1,0)在AD邊所在直線上.

(I)求AO邊所在直線的方程；

(II)求矩形ABCD外接圓的方程；

【考點】IG：直線的一般式方程與直線的性質(zhì).

【專題】34：方程思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5B：直線與圓.

【分析】(/)邊所在直線的方程為x-2y-4=0,且與AB垂直，直線AO的斜

率為-2.又點7(-1,0)在直線上，利用點斜式即可得出.

(〃)由。解得點A的坐標為(0，-2),矩形ABCD兩條對角線的交

12%+y+Z=0

點為M(2,0).M為矩形外接圓的圓心.可得|AM.從而矩形ABC。外接圓的方程.

【解答】解：(D邊所在直線的方程為x-2y-4=0,且AD與AB垂直，

直線AD的斜率為-2.又?.?點7(-1,0)在直線AO上，

：.AD邊所在直線的方程為y-0=-2(x+1).即2x+y+2=0.

由q—］。解得點A的坐標為(0，-2),

(2%+y+2=0

?.?矩形A3CD兩條對角線的交點為M(2,0).

為矩形外接圓的圓心.

又MM=J(2—0)2+(1+2)2=V13.

從而矩形ABC。外接圓的方程為(尤-2)2+(y-1)2=13.

【點評】本題考查了圓的方程、兩點之間的距離公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系,

考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題.

19.(12分)如圖，已知直四棱柱ABC。-421CLDI中，AAi=2,底面ABC。是直角梯形,

NA為直角，AB//CD,AB=4,AD=2,DC=2.

(1)求線段2cl的長度；

(〃)異面直線8Q與QC所成角的余弦值.

【考點】LM：異面直線及其所成的角.

【專題】41：向量法；5G：空間角.

【分析】(/)以。為坐標原點，以D4、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立

如圖所示的空間直角坐標系.則A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,2,0),Ci(0,2,

2),即可求解后=(0,2,0),BC1=(-2,-2,2),\DC\=2,可得線段BCi的長度；

(II)由(/)可知，DC=(0,2,0),BC1=(-2,-2,2),利用向量的夾角公式即

可求解.

【解答】解：(/)以。為坐標原點，以D4、DC、。。所在直線分別為x軸，y軸，z軸

建立如圖所示的空間直角坐標系.則A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,2,0),Ci(0,

2,2),

—>—>—>—>_________

：.DC=(0,2,0),BCI=(-2,-2,2),|DC|=2,|BQ|=>4+4+4=2%.

(〃)由(/)可知，DC=(0,2,0),BCI=(-2,-2,2)

?―〈ARC1>-兒,成1_-4_-1_-V3

\DC\\BC1\2.2V3V3$

.?.異面直線DC與BCi所成的角的余弦值為手.

【點評】本題考查兩條異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，

注意空間思維能力的培養(yǎng).

20.(12分)(2017春?晉中期末)如圖，已知等邊△ABC中，E,尸分別為AB,AC邊的中

點，N為2C邊上一點，且CN=《BC,將△AEF沿EF折到AA'EP的位置，使平面A'

EF_L平面EP-CB,M為EF中點.

(1)求證：平面A'MML平面A'BF-,

(2)求二面角E-A'尸-2的余弦值.

【考點】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法.

【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5G：空間角.

【分析】(1)如圖所示，取BC的中點G,連接MG,則MGJ_EE利用面面與線面垂直

的性質(zhì)與判定定理可得：MG±A'M,又A'M±EF,因此可以建立空間直角坐標系.不

妨設BC=4.只要證明平面法向量的夾角為直角即可證明平面A'MN,平面A'BF.

(2)利用兩個平面的法向量的夾角即可得出.

【解答】(1)證明：如圖所示，取BC的中點G,連接MG,則MGLEF,

:平面A'EFCB,平面A'￡FHiF?EFCB=EF,

；.MG_L平面A'EF,：.MG±A'M,又NM±EF,

因此可以建立空間直角坐標系.不妨設BC=4.

M(0,0,0),A'(0,0,V3),N(-1,V3,0),

B(2,V3,0),F(-1,0,0).

MA'=(0,0,V3),MN=(-1,V3,0),

—>—>

FA'=(1,0,V3),FB=(3,V3,0).

設平面A'MN的法向量為益=（x,y,z）,

則護電，=0,即產(chǎn)z=2,

l六?MN=0X+73y=o

取藐=（V3,1,0）.

同理可得平面A'的法向量￡=（遮，一3,-1）.

Vm-n=3-3+0=0,Am1n,

???平面A'MALL平面A，BF.

（2）解：由（1）可得平面A'的法向量7=（百，-3,-1）.

取平面EA'尸的法向量％=（0,1,0）.

n-u-3_3V13

則

cosVn,u>=―>—>I=-^3-，

17111alJ3+3Z2+Ixl

由圖可知：二面角E-A'尸的平面角為銳角,

3y/13

???二面角E-A'的平面角的余弦值為

【點評】本題考查了利用平面法向量的夾角求出二面角的方法、向量夾角公式、數(shù)量積

運算性質(zhì)、空間位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

x2

21.（12分）已知尸1、尸2分別是橢圓丁+『=1的左、右焦點.

4

——H

（I）若尸是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，PFr-PF2=-l，求點尸的坐標；

（II）設過定點M（0,3）的直線/與橢圓交于不同的兩點A、B,且NAOB為銳角（其

中。為坐標原點），求直線/的斜率左的取值范圍.

【考點】KL：直線與橢圓的綜合.

【專題】34：方程思想；48：分析法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】⑺由橢圓方程可得a,b,c,Fi(-V3，0),Fi(V3,0),設尸(x,y)(x>

0,y>0),由向量的數(shù)量積的坐標表示，解方程組可得所求P的坐標；

(〃)顯然x=0不滿足題意，所直線的斜率存在，可設/的方程為y=fcc+3,聯(lián)立橢圓方

程，可得判別式大于0和韋達定理，又/AOB為銳角，即后?法〉0,運用向量的數(shù)量

積的坐標表示，解不等式即可得到所求斜率范圍.

久2_____

【解答】解：(/)因為橢圓一+/=1,知。=2,b=\,c=V4^1=V3,

4

可得為(-V3,0),Fi(V3,0),設尸(x,y)(x>0,y>0),

22

則PR,PF2=(—V3_x,—y)-(V3—%,-y)=%+y-3=9,

又/+4/=4,

4

z2

X--

l9

解得

聯(lián)立

l8

2

ly-

-9

(〃)顯然1=0不滿足題意，所直線的斜率存在，可設/的方程為>=丘+3,

設A(xi，yi),B(尤2,丁2)，

2

(X2_i

22

聯(lián)立彳十y-=(4fc+1)X+24kx+32=0,

(.y=fcx+3

.,-24k32

??Xi+%2=n，Xi?%2=n,

4/+14/+I

MA=(24k)2-4?32?(4必+1)>0；.必>2,

又NAOB為銳角，：,0A-0BX),

xix2+yiy2>0，***xix2+(ta+3)(te+3)>0,

2

(1+k^x.x.+3k(/+*2)+9=(1+1)+3k■-+9=J>0,

4fc2+l4k2+14/+1

2V當，又?：k2>2,

：.2<k2<^,：.ke-V2)U(V2,浮).

【點評】本題考查橢圓方程的求法和直線斜率的范圍，考查向量的數(shù)量積的運用，考查

聯(lián)立方程組運用韋達定理和判別式大于0,以及運算能力和推理能力，屬于中檔題.

22.(12分)已知拋物線Ci：/=4戈和c2：*=2pyCp>0)的焦點分別為八，F(xiàn)2,Ci，

C2交于。，A兩點(。為坐標原點)，且FiELOA

（I）求拋物線C2的方程；

（II）過點O的直線交C1的下半部分于點M,交C2的左半部分于點N,點尸（-1,-

1）,求△PMN面積的最小值.

【考點】KN：直線與拋物線的綜合.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】（I）由已知條件推導出雄2=（—1，5，聯(lián)立二y，解得A點坐標，由

此能求出C2的方程.

44

（II）設過點O的直線為y=kx,聯(lián)立y2=4x得M（―,-）,聯(lián)立/=4y得N（4左，4於）

且太＜0,由此利用點到直線的距離公式，能求出△PMN面積取得最小值.

【解答】解：（I）設4（乙,%）（均＞0）有［為；=：”】，

=2pyr

由題意可知尸式1,0）,F2（0,1）,

???熊=（-L分

又

：.FrF2-OA=0,§P-x1+^y1=0,

解得pyi=2xi

聯(lián)立一可解出入i=4,yi=4,

lx=2py

2

所以p=2,C2：x=4y-----------------（4分）

（II）設過點O的直線為y=kx

44

聯(lián)立y2=4x得M-）,

k

聯(lián)立/=4y得N（4左，4合）且上＜0,

P（-1,-1）在直線y=x上