圓錐曲線綜合問題(一)教案

圓錐曲線綜合問題（一）定點、定值問題教學(xué)目標(biāo)：（1）理解并初步掌握圓錐曲線中的定點、定值問題的基本思維路徑和解題方法；（2）培養(yǎng)學(xué)生“設(shè)而不求，整體代換”等數(shù)學(xué)思想方法和技巧，簡化數(shù)學(xué)運算，達(dá)到直接、快速、準(zhǔn)確的解題效果，提升學(xué)生運算水平；（3）通過引導(dǎo)學(xué)生分析、思考解決圓錐曲線中的定點、定值問題，提升學(xué)生解答綜合問題的水平。重點：培養(yǎng)學(xué)生“設(shè)而不求，整體代換”等數(shù)學(xué)思想方法和技巧。難點：體會感悟解決定點、定值問題的基本思維路徑和解法。學(xué)情分析：圓錐曲線是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個重要交匯點，它常與函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列、平面向量等內(nèi)容交匯滲透，知識跨度大，題型新穎別致、解法靈活，思維抽象強(qiáng)，水平要求高，它既是高考的熱點題型，又是頗難解決的重點題型，在高考中占據(jù)著舉足輕重的地位。近年來，雖然高考對圓錐曲線的考查總體難度有所降低，但常因其綜合性強(qiáng)、運算水平要求高而成為考生望而生畏的難題。課時安排：兩課時。課題引入：【高考定位】圓錐曲線的綜合問題包括：探索性問題、定點與定值問題、范圍與最值問題等，一般試題難度較大．這類問題以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合使用函數(shù)與方程、不等式、平面向量等諸多知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學(xué)思想方法實行求解，對考生的代數(shù)恒等變形水平、計算水平等有較高的要求．【問題提出】在解析幾何中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題；對滿足一定條件的曲線上兩點連結(jié)所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點，這又構(gòu)成了過定點問題。定點、定值問題是每年高考中的熱點題型，也是高考中很多考生望而生畏的難題。所以我們下面來專題探尋定點、定值問題的基本思維路徑和方法。第一課時：定點問題教學(xué)過程：一、【考點整合】1．定點問題：在解析幾何中，有些含有參數(shù)的直線或曲線，不論參數(shù)如何變化，其都過某定點，這類

問題稱為定點問題．2．解答定點問題的基本思維方法：恒過定點問題，可設(shè)該直線(曲線)上兩點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)在直線(或曲線)上，建立點的坐標(biāo)滿足的方程(組)，求出相對應(yīng)的直線(或曲線)，然后再利用直線(或曲線)過定點的知識加以解決，主要以兩種形式表現(xiàn)：點斜式方程和過定點的直線系或曲線系方程。3.準(zhǔn)備知識：下列直線是否過定點？若過定點請寫出定點的坐標(biāo).(1)y=kx+4k+4； (-4,4) (2)4k(x-1)+(4一k2)(y+3)=0 (1,-3)(3)mx-2y-4m+16=0； (4,8) (4)4mx+4y-m2y-4m=0； (1,0)二、【典型例題】【例1-1】已知拋物線C：y2=4x，直線l：y=kx+b與C交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)直線OA，OB的傾斜角之和為450時，證明直線l過定點。Iy2=4x,證明：聯(lián)立V,,得ky2-4y+4b=0，依題意k豐0，Iy=kx+b.11224，則11224，則y；=4xi，y廠4x2，yi+y2=不，y1y2設(shè)直線OA，OB的傾斜角分別為a,P，斜率分別為《七，則a+P=450，k+k y4y4tan(a+P)=1，即—i 2-=1，其中k=—==一，k=~^==一1-kk 1xy2xyTOC\o"1-5"\h\z12 1 1 2 2代入上式整理得yy-16=4(代入上式整理得yy-16=4(y+y)，12 1 2\o"CurrentDocument"—16=，即b=4k+4，k k所以直線l的方程為y=kx+4k+4，整理得y-4=k(x+4)，所以直線l過定點(-4,4).點評：先設(shè)要證直線的方程(含參數(shù)k,b)，設(shè)交點坐標(biāo)(x,y),(x,y)，得出交點坐標(biāo)與11 22參數(shù)之間的關(guān)系式。再利用題目的條件要求，得出交點坐標(biāo)應(yīng)滿足的要求(等式)，從而得出直線方程中的參數(shù)要滿足的要求，減少要證直線方程中參數(shù)的個數(shù)。最后利用直線過定點的知識得出直線一定過定點。題目.交點坐標(biāo)應(yīng)滿足上設(shè)交點坐標(biāo).交點坐標(biāo)與參數(shù)之上設(shè)要證直線方程條件的要求、等式 (x,y),(x,y)間的等式關(guān)系 (含兩個參數(shù))11 22--->目標(biāo)：減少要證直線方程中參數(shù)的個數(shù)，得出直線方-- 程，利用直線過定點的知識得出直線一定過定點。

【例1-2】已知橢圓C：x2+b2=1(4>b>0)的短軸長為2,離心率為W，過點M(2,0)的直a2 2線l與橢圓C相交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點.(1)求橢圓C的方程；(2)若B點關(guān)于x軸的對稱點是N，證明：直線AN恒過一定點.c\；2解：(1)由題意知b=1,e=4=2，得a2=2c2=2a2—2b2,故a2=2.x2故所求橢圓C的方程為：x■+y2=1.(2)證明：設(shè)直線l的方程為y=k(x-2),y=k(x-2)，則由<x2 得(1+2k2)x2—8k2x+8k2—2=0.[g+y2=1，設(shè)A(x設(shè)A(x1,y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=8k2

1+2k28k2—2x「x2=1+2k2.由對稱性可知N(x2，—y2)，且定點應(yīng)在x軸上，直線AN：y—y1=~^—^(x—x1).令y=0得:=x-x—x2)xj?+x?y2kxx—2k(x1+x?)x-x1 yi+y2―yi+y2— k(xi+x令y=0得:16k2—4 16k2—2xx—2(X]+xj 1+2k2 1+2k2x1+x2—4故直線AN恒過定點(1,0).點評：先設(shè)題目條件中給出的點的坐標(biāo)(x,y),(x,y),得出點的坐標(biāo)應(yīng)滿足的要求(等11 22式)。再根據(jù)設(shè)的點的坐標(biāo)表示出要證直線上的點的坐標(biāo)，從而寫出要證直線的方程(含參數(shù))，利用已得出的點的坐標(biāo)應(yīng)滿足的要求(等式)，減少要證直線方程中參數(shù)的個數(shù)。最后利用直線過定點的知識得出寫出的直線一定過定點。題目w(交)點坐標(biāo)應(yīng)滿「設(shè)(交)點坐標(biāo).求出卜要證直線上寫出「要證直線方條件“足的要求、等式1r(x,y),(x,y) "點的坐標(biāo)7呈(含參數(shù))1 1 2 2『,、, 目標(biāo)：減少要證直線方程中參數(shù)的個數(shù)，得出直線方X 程，利用直線過定點的知識得出直線一定過定點。三、【探究提高】⑴動直線l過定點問題，解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y=k+1由題設(shè)條件將t用k表題目.交點坐標(biāo)應(yīng)滿足.設(shè)交點坐標(biāo)交點坐標(biāo)與參數(shù)之■設(shè)要證直線方程

條件 的要求、等式 (x,y),(x,y)間的等式關(guān)系(含兩個參數(shù))11 22

示為t=mk，得y=k（x+m），故動直線過定點（—m,0）.（2）動曲線C過定點問題，解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．題目,（交）點坐標(biāo)應(yīng)滿■設(shè)（交）點坐標(biāo).求出卜要證直線上、寫出■要證直線方條件”足的要求、等式1r（x,y）,（x,y） "點的坐標(biāo)7呈（含參數(shù)）11 22目標(biāo)：減少要證直線方程中參數(shù)的個數(shù)，得出直線方程，利用直線過定點的知識得出直線一定過定點。四、【課堂練習(xí)】y2【訓(xùn)練1-1】已知直線l與雙曲線C：x2——二1交于M、N兩點，A為C的左頂點，且4直線AM、AN的斜率為k,k滿足k-k=-1,求證直線l過定點，并求出此定點的AMAN AMAN坐標(biāo)。證明：（1證明：（1）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+b，聯(lián)立〈y—kx+b.得(4一k得(4一k2)x2—2kbx-b2一4-0，設(shè)M(x,y)，11N(x,y),222kbx+x- 1 2 4一k2一b一b2-4 8kxx- ，y+y 12 4一k2 1 24一k24b2一4k2yy ，由k-k--1，12 4一k2 AMAN得Ax2得Ax2+丁1y2+(\+x2H1-0，所以-b2-44b2-4k2 + 4-k2 4-k22kb+ 4-k2化簡整理得：b-k（舍去）或b--3k，從而直線l的方程為：y-k（x-3），可知直線l過定點（53,0）.TOC\o"1-5"\h\z（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，由雙曲線C的方程可設(shè)M（xr'4（x2-1）），0% 0\o"CurrentDocument"N（x，-J4（x2-1）），根據(jù)k-k--1得4（x2-1）-（x+1）2，即3x2-2x-5-0，解0^0 AMAN 0 0 0 0得x--1（舍去）或x-5，故直線l的方程為：x-5，所以直線l也過定點（5,0）。\o"CurrentDocument"0 03 3 3綜合（1）（2）知，直線l恒過定點（3,0）?！居?xùn)練1-2】已知拋物線C：y2=4x的焦點為F,A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B,交x軸的正半軸于點D,且有IFAHFDI.若直線l/〃，且l與11C有且只有一個公共點E，證明：直線AE過定點，并求出定點坐標(biāo)。證明：設(shè)A(x,y)(x豐0,y豐0)，D(x,0)(x>0)，由IFAI=IFDI得x=x+2，TOC\o"1-5"\h\z00 0 0 1 1 1 0y y y——―0-x+b,得直線AB的斜率k=-4.又由l//AB，可設(shè)l：y=-4x+b，聯(lián)立f 2AB2 1 1 2 /、y2=4x,得y2+—y———0，由題意知△=。，得b———，易知E(—,——).yy y y2 y0 0 0 00y2當(dāng)y2w4時，由y2=4x知A(少，y)，則直線AE的方程為：4y(x—1)+(4—y2)y=00 0 0 40 0 0「x—1=0,令《八知直線AE恒過定點F(1,0)；當(dāng)y2=4時，直線AE的方程為：x=1，直〔y=0, 0線AE也過定點F(1,0)，所以直線AE過定點F(1,0).五、【總結(jié)升華】1．定點問題的處理方法：圓錐曲線中的定點問題太多以證明題的形式給出，證明時一般來說從兩個方面來解決問題：(1)從特殊入手，求出定點，再證明這個點與變量無關(guān)；(2)直接推理、計算，將需要考察的相關(guān)量，用設(shè)定的或題中給出的參數(shù)表示出來，再將欲證的這些幾何量之間的關(guān)系式簡化為一個與參數(shù)無關(guān)的式子，從而得到定點。對于客觀題，通過特殊值法探求定點能達(dá)到事半功倍的效果．(1)一個注意點：直線的斜率是否存在。(2)兩種基本思路：(3)三種證明方法(技巧)：利用直線系方程(包括同一法)；利用對稱性；由特殊到一般。2.“設(shè)而不求，整體代換”等數(shù)學(xué)思想方法和技巧。六、【高考預(yù)測】【預(yù)測1】已知P是直線l：y=2x—8上的動點，過P作拋物線x2=4y的兩條切線，A，B分別為切點.求證：直線AB過定點.x2y2【預(yù)測2】已知橢圓二+一=1的左、右頂點分別為A,B,過直線x=4上的任意一點T43（T不在x軸上），做