小學(xué)奧數(shù)模塊教程四年級杯賽備戰(zhàn)講義-巧求面積

巧求面積巧求面積上課日期：上課時(shí)間：教師姓名：知識(shí)框架知識(shí)框架知識(shí)點(diǎn)一：格點(diǎn)面積正方形格點(diǎn)問題在一張紙上，先畫出一些水平直線和一些豎直直線，并使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規(guī)定是1個(gè)單位)，這樣在紙上就形成了一個(gè)方格網(wǎng)，其中的每個(gè)交點(diǎn)就叫做一個(gè)格點(diǎn)．在方格網(wǎng)中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形叫做格點(diǎn)多邊形，例如，右圖中的鄉(xiāng)村小屋圖形就是一個(gè)格點(diǎn)多邊形．那么，格點(diǎn)多邊形的面積如何計(jì)算？它與格點(diǎn)數(shù)目有沒有關(guān)系？如果有，這兩者之間的關(guān)系能否用計(jì)算公式來表達(dá)？下面就讓我們一起來探討這些問題吧！用N表示多邊形內(nèi)部格點(diǎn)，L表示多邊形周界上的格點(diǎn)，S表示多邊形面積，請同學(xué)們分析前幾個(gè)例題的格點(diǎn)數(shù)．我們能發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．這個(gè)規(guī)律就是畢克定理．畢克定理畢克定理若一個(gè)格點(diǎn)多邊形內(nèi)部有N個(gè)格點(diǎn)，它的邊界上有L個(gè)格點(diǎn)，則它的面積為．三角形格點(diǎn)問題1、定義：所謂三角形格點(diǎn)多邊形是指：每相鄰三點(diǎn)成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等邊三角形．規(guī)定它的面積為1，以這樣的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫出的多邊形為三角形格點(diǎn)多邊形．2、公式：關(guān)于三角形格點(diǎn)多邊形的面積同樣有它的計(jì)算公式：如果用S表示面積，N表示圖形內(nèi)包含的格點(diǎn)數(shù)，L表示圖形周界上的格點(diǎn)數(shù)，那么有，就是格點(diǎn)多邊形面積等于圖形內(nèi)部所包含格點(diǎn)數(shù)的2倍與周界上格點(diǎn)數(shù)的和減去2．知識(shí)點(diǎn)二：圖形剪拼本講中很多類型的題目還要求同學(xué)們?nèi)?dòng)手嘗試．通過本講知識(shí)的學(xué)習(xí)，讓同學(xué)們了解不同圖形的分割、拼合、剪拼的方法，鍛煉同學(xué)們的平面想象能力以及增強(qiáng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力．把一個(gè)幾何圖形按某種要求分成幾個(gè)圖形，就叫做圖形的分割．反過來，按一定的要求也可以把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)完美的圖形，就叫做圖形的拼合．將一個(gè)或者多個(gè)圖形先分割開，再拼成一種指定的圖形，則叫做圖形的剪拼．我們在圖形的分割、拼合和剪拼的過程中，都要結(jié)合所提供的圖形特點(diǎn)來思考．如果把一個(gè)圖形分割成若干個(gè)大小、形狀相等的部分，那么就要想辦法找圖形的對稱點(diǎn)，把圖形先分少，再分多．圖形中，如果有數(shù)量方面的要求，可以先從數(shù)量入手，找出平分后每塊上所含數(shù)量的多少，再結(jié)合數(shù)量來分割圖形．如果是要把幾個(gè)圖形拼合成一個(gè)大圖形，要特別注意每條邊的長度，把相等的邊長拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼圖形，要抓住“剪、拼前后圖形的面積相等”這個(gè)關(guān)鍵，根據(jù)已知條件和圖形的特點(diǎn)，通過分析推理和必要的計(jì)算，確定剪拼的方法．解題關(guān)鍵：分割其實(shí)就是運(yùn)用特殊的三角形（等角直角三角形、等邊三角形等）、正方形、等邊圖形的特殊性質(zhì)進(jìn)行分割而得，所以分割的關(guān)鍵是利用了特殊圖形的關(guān)系解題。解題思想：這其實(shí)就是一種化整為零的思想，各位同學(xué)不僅要學(xué)會(huì)幾何題中的這種方法，更要細(xì)細(xì)體味這種思想在解決各種問題中的妙用。知識(shí)點(diǎn)三：等高模型三角形等高模型我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積底高從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積．如果三角形的底不變，高越大(小)，三角形面積也就越大(小)；如果三角形的高不變，底越大(小)，三角形面積也就越大(小)；這說明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化．但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化．比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉淼?倍，底變?yōu)樵瓉淼模瑒t三角形面積與原來的一樣．這就是說：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化．同時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個(gè)不同的形狀．在實(shí)際問題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；如左圖③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖；反之，如果，則可知直線平行于．④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等(長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形)；⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比．例題精講例題精講模塊一基本圖形剪拼一個(gè)長方形的紙折成三等份后變成了一個(gè)正方形，正方形的周長是40cm,求原來長方形的面積是多少？一個(gè)長方形折成四等份后變成了一個(gè)正方形，已知正方形的周長是25平方厘米，求原來長方形的面積是？如圖，一個(gè)正方形被分成了4個(gè)相同的長方形．每個(gè)長方形的周長都是20厘米．則這個(gè)正方形的面積是________平方厘米．如圖，一個(gè)正方形分割成六個(gè)長方形，這六個(gè)長方形的周長和是多少？從一塊正方形土地上，劃出一塊寬為10米的長方形土地（如右圖），剩下的長方形土地面積是1575平方米．那么，劃出的長方形土地的面積是多少？從一塊正方形土地上，劃出一塊寬為4米的長方形土地（如下圖），剩下的長方形土地面積是60平方米．那么，劃出的長方形土地的面積是多少？在長方形的一條邊上任意取一點(diǎn)，連接這點(diǎn)和對邊的兩個(gè)端點(diǎn)得到一個(gè)三角形，這個(gè)三角形的面積比長方形的面積少25平方分米，則三角形的面積是多少平方分米？在長方形的一條邊上任意取一點(diǎn)，連接這點(diǎn)和對邊的兩個(gè)端點(diǎn)得到一個(gè)三角形，長方形面積比這個(gè)三角形面積多30平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？正方形的面積為30，一個(gè)含有45°角的直角三角板的直角邊的長度是正方形邊長的3倍，這個(gè)三角板的面積是多少平方厘米？正方形的面積為40，一個(gè)含有45°角的直角三角板的直角邊的長度是正方形邊長的2倍，這個(gè)三角板的面積是多少平方厘米？將面積為36的正方形按圖1的方式分成4個(gè)周長相等的正方形，則圖中陰影長方形的面積為__________．一塊正方形的鋼板，先截去一個(gè)寬5分米的長方形，又截去一個(gè)寬8分米的長方形(如圖)，面積就比原來正方形減少181平方分米．原正方形的邊長是多少分米？學(xué)校校園里有一塊長方形的地長18米，寬12米，想種上紅花、黃花和綠草，一種設(shè)計(jì)方案如右圖，那么其中紅花的面積是____________平方米．某校為了美化校園，準(zhǔn)備在一塊長32米、寬20米的長方形場地上修筑若干條等寬道路，余下部分作草坪，使草坪面積為540米2，并請全校同學(xué)參與設(shè)計(jì)，現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案（如圖），請你根據(jù)兩種設(shè)計(jì)方案各列出方程，求圖（1）、圖（2）中道路的寬分別是多少？如下圖，陰影小正方形的邊長為1分米，最大的正方形的邊長為3分米，求正方形ABCD的面積？如下圖，每個(gè)格子都是邊長為1cm的正方形，求陰影部分的面積。（可以多種方法求解）如圖，求梯形ABCD的面積．如果用虛線將梯形分成面積相等的兩部分，那么AE的長度是多少厘米？如圖是由邊長分別為10厘米、12厘米、8厘米的正方形構(gòu)成，有一條與AB邊平行的直線EF將此圖形分成面積相等的兩部分，那么BF的長度為多少厘米？模塊二差不變正方形與長方形如右圖放置，厘米，那么正方形的面積比長方形的面積大__________平方厘米．如右圖，大小兩個(gè)正方形部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積差是（）平方厘米。如圖所示，四個(gè)相疊的正方形，邊長分別是5、7、9、11．問灰色區(qū)與黑色區(qū)的面積的差是______．大小兩個(gè)正方形放置如圖，大正方形空白部分比小正方形空白部分大多少？一塊長方形的地分成如圖所示的兩個(gè)長方形，分別承包給甲、乙兩戶．甲戶的蔬菜大棚與乙戶的雞場面積相等，剩下的部分甲戶比乙戶的面積多96畝．已知，那么長方形的總面積是多少畝？(1).下圖中兩個(gè)完全一樣的三角形重疊在一起，求陰影部分的面積。（單位：厘米）(2)正方形的邊長是2(a+b)，已知圖中陰影部分B的面積是7平方厘米，求陰影部分A和C的和是多少平方厘米？模塊三等高模型一個(gè)大長方形被兩條平行于它的兩條邊的線段分成四個(gè)較小的長方形，其中三個(gè)長方形的面積如下圖所求，求第四個(gè)長方形的面積。下面一個(gè)長方形被分成六個(gè)小長方形，其中四個(gè)長方形的面積如圖所示（單位：平方厘米），求A和B的面積。如下圖，和都是長方形，如果長方形的面積是30平方厘米，那么陰影部分的面積是_________平方厘米．如果長方形ABCD的面積是56平方厘米，那么四邊形MNPQ的面積是多少？如圖，已知E．F分別是AB．BC的中點(diǎn)，陰影部分的面積為21，求長方形ABCD的面積。如圖，已知E．F分別是AB．BC的三等分點(diǎn)，陰影部分的面積為20，求長方形ABCD的面積。右圖中的正方形的邊長為10，則陰影部分的面積為（）．圖16-15中外側(cè)的四邊形是一邊長為10厘米的正方形，求陰影部分的面積．如圖，的面積為36，點(diǎn)在上，，點(diǎn)在上，，則的面積是________．如圖，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形ABC的面積是多少？如圖，四邊形是梯形，上底是8，下底是16，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，如果的面積是30，那么梯形的面積是__________．如圖，四邊形是梯形，上底是10，下底是20，點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)，如果的面積是40，那么梯形的面積是__________．模塊四方方模型如圖，在一大一小兩個(gè)正方形拼成的圖形中，陰影部分的面積是50平方厘米，則小正方形的面積是__________平方厘米．如圖中小正方形和大正方形的邊長分別是4厘米和6厘米．陰影部分的面積是多少平方厘米？如下圖，正方形的邊長為12厘米，正方形的邊長為8厘米，是正方形的中心（對角線的交點(diǎn)），那么陰影部分的面積是_________平方厘米．如圖所示，大、小兩個(gè)正方形ABCD和CEFG并排放在一起，已知AB=2EF，圖中陰影部分的面積為31平方厘米，那么小正方形CEFG的面積是多少平方厘米？如圖，有兩個(gè)小正方形和一個(gè)大正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，陰影部分三角形面積為240，請問三個(gè)正方形的面積和是_________．如圖，有兩個(gè)小正方形和一個(gè)大正方形，大正方形的邊長是小正方形邊長的2倍，陰影部分三角形面積為120平方厘米，請問三個(gè)正方形的面積和是_________．大、中、小三個(gè)正方形，邊長都是整數(shù)厘米，小正方形的周長比中正方形的邊長大，把這兩個(gè)正方形放在大正方形上（如圖），大正方形露出的部分的面積是20平方厘米（圖中陰影部分）．那么，大正方形的面積是（）平方厘米．大,中,小三個(gè)正方形,邊長都是整厘米數(shù),小正方形的周長比中正方形的邊長大.把這兩個(gè)正方形放在大正方形中,大正方形露出部分的面積是28平方厘米,大正方形的面積是多少平方厘米?模塊五格點(diǎn)面積如下圖，每條邊都相等，每個(gè)角都是直角，則根據(jù)信息，求下圖的面積為（）平方厘米．把大正三角形每邊八等份，組成如圖所示的三角形網(wǎng)。如果每個(gè)小三角形的面積都是1，求圖中粗線所圍成的三角形的面積。已知如圖，在正三角形網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)小正三角形的面積是1，請你在圖2中畫出一個(gè)三角形，使三角形的面積是圖1陰影部分面積的一半。正方形網(wǎng)絡(luò)中，每個(gè)小正方形的邊長為1，請你在圖2中畫出一個(gè)等腰三角形，使三角形的面積跟圖1陰影部分面積相等。圖2的“蝙蝠”圖案由若干個(gè)等腰直角三角形和正方形組成，已知陰影部分的面積為1，則“蝙蝠”圖案的面積是__________．下面小方格的邊長是1cm，方格中陰影的面積分別是多少？

．如右圖所示，網(wǎng)格中每個(gè)小正方格的面積都為1平方厘米．小明在網(wǎng)格紙上畫了一匹紅鬃烈馬的剪影（馬的輪廓由小線段組成，小線段的端點(diǎn)在格子點(diǎn)上或在格線上），則這個(gè)剪影的面積為_________平方厘米．如圖6-1，每一個(gè)小方格的面積都是l平方厘米，那么用粗線圍成的圖形的面積是多少平方厘米?右圖中，相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離為1，那么陰影部分的面積是_________．“鄉(xiāng)村小屋”的面積是多少？（相鄰兩點(diǎn)間距離是1）【答案】18模塊六正六邊形的分割和拼接如下圖，大正六邊形的面積是24平方厘米，其中放了三個(gè)一樣的小正六邊形。陰影面積是多少平方厘米？如下圖，有一個(gè)大正六邊形，連接對角線后取中點(diǎn)，連接后得到一個(gè)小正六邊形，已知陰影部分面積是36平方厘米，求大正六邊形的面積？如圖所示，三個(gè)正六邊形的面積均為6平方厘米，那么，陰影部分的面積是__________平方厘米．如圖，正六邊形的面積是24平方厘米，求陰影部分的面積．如圖，六邊形的各邊都相等，每個(gè)內(nèi)角都是120°，每兩條線的延長線交于一點(diǎn)，三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，若陰影部分的面積和是，則六邊形的面積是多少？如圖，六邊形的各邊都相等，每個(gè)內(nèi)角都是120°，每兩條線的延長線交于一點(diǎn)，三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，若正六邊形的面積和是，則陰影部分的面積是多少？下圖是一個(gè)正六邊形，面積是360平方厘米，、、、分別是四條邊的中點(diǎn)．那么，陰影部分的面積是_________平方厘米．如圖，六邊形ABCDEF的面積是16平方厘米，M，N，P，Q分別是AB，CD，DE，AF的中點(diǎn)，求圖中陰影部分的面積．模塊七重疊問題桌面上放有四張大小不同的正方形紙片，邊長分別為2、3、4、5．若分別取走邊長為2、3、4、5的正方形紙片中的一個(gè)，則剩下的三張紙片覆蓋的面積分別減少2、3、4、5．那么四張紙片覆蓋的面積為____________．用三種不同的色紙剪成大、小、中三個(gè)正方形，把它們部分疊合放在桌面上（如圖所示），遮蓋了桌面65平方厘米。如果大正方形的邊長為7厘米，中正方形的邊長為5厘米，小正方形的邊長為3厘米，且有兩層色紙遮蓋的部分分別為6平方厘米，4平方厘米、2平方厘米。那么有三層色紙遮蓋的部分面積為多少平方厘米？模塊八最值問題將長為12厘米，寬為8厘米的長方形紙片剪去4個(gè)同樣大小的等腰直角三角形，剩余部分的面積至少是_________平方厘米．將長為14厘米，寬為10厘米的長方形紙片剪去4個(gè)同樣大小的等腰直角三角形，剩余部分的面積至少是_________平方厘米．右圖中的一個(gè)長方形紙板每個(gè)角上都被切掉了一個(gè)小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個(gè)1，四個(gè)2，兩個(gè)3和一個(gè)4，那么紙板剩下部分的面積最大是多少？下圖中的一個(gè)長方形紙板每個(gè)角上都被切掉了一個(gè)小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個(gè)1，三個(gè)3，兩個(gè)4和兩個(gè)5，那么紙板剩下部分的面積最大是多少？如圖，一個(gè)長方形被分成4個(gè)小長方形，其中長方形、、的周長分別是10厘米、12厘米、14厘米，那么長方形的面積最大是____________平方厘米．如圖，一個(gè)長方形被分成4個(gè)小長方形，其中長方形、、D的周長分別是12厘米、14厘米、17厘米，如果每個(gè)長方形的邊長都是整數(shù)，那么長方形A的面積最小是____________平方厘米．家庭作業(yè)家庭作業(yè)一個(gè)面積是16平方厘米的正方形紙，折成四等份，求每一份的面積？一個(gè)長方形的花壇被平均分成八個(gè)小正方形，已知每個(gè)小正方形的周長是15米，長方形花壇的周長是多少米？從一塊正方形土地中，畫出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形土地面積是15.75平方米如右圖，大小兩個(gè)正方形部分重合，兩塊沒有重合的陰影部分面積差是（）平方厘米。一個(gè)含有45°角的直角三角板的面積為40，正方形的邊長是這個(gè)三角板直角邊的邊長的2倍，這個(gè)正方形的面積是多少平方厘米？在長方形的一條邊上任意取一點(diǎn)，連接這點(diǎn)和對邊的兩個(gè)端點(diǎn)得到一個(gè)三角形，剩余部分面積比長方形面積少30平方厘米，則三角形的面積是多少平方厘米？如圖，已知E．F分別是AB．BC的中點(diǎn)，G是EF的三等分點(diǎn)，陰影部分的面積為1，求長方形ABCD的面積。下圖是由四個(gè)完全相同的正六邊形和一個(gè)長方形組成，已知大長方形和四個(gè)小正六邊形的面積之差是32平方厘米，求四個(gè)小正六邊形面積的和？如圖，六邊形的各邊都相等，每個(gè)內(nèi)角都是120°，每兩條線的延長線交于一點(diǎn)，三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形，若三角形1的面積是，則正六邊形的面積是多少？已知大的正六邊形面積是72平方厘米，按圖中不同方式切割（切割點(diǎn)均為等分點(diǎn)），形成的陰影部分面積各是多少平方厘米？如圖，大長方形形的面積是100平方厘米，其中放了四個(gè)一樣的小正六邊形．陰影面積是平方厘米．將長20厘米，寬為12厘米的長方形紙片剪去4個(gè)同樣大小的等腰直角三角形，剩余部分的面積至少是_________平方厘米．下圖中的一個(gè)長方形紙板每個(gè)角上都被切掉了一個(gè)小長方形（含正方形），如果被切掉的小長方形的8對對邊的長度分別是一個(gè)1，兩個(gè)2，三個(gè)3和兩個(gè)5，那么紙板剩下部分的面積最大是多少？如圖，一個(gè)長方形被分成4個(gè)面積不相等的小長方形，其中A、B、的面積分別是A=160，B=172，C=215，（單位：平方厘米）．原來大長方形的面積是平方厘米．如圖，陰影部分四邊形的外接圖形是邊長為厘米的正方形，則陰影部分四邊形的面積是多少平方厘米？在三角形ABC中，DC=2BD，CE=3AE，陰影部分的面積是20平方厘米，求三角形ABC的面積。如圖，在三角形ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E、F是AC的三等分點(diǎn)。已知三角形的面積是108平方厘米，求三角形CDE的面積。把下圖三角形的底邊BC四等分，在下面括號(hào)里填上“＞”、“＜”或“=”。甲的面積（）乙的面積。如圖，長方形AB