2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊(cè) 二面角及平面與平面垂直的判定定理 學(xué)案

8.6.3平面與平面垂直第1課時(shí)二面角及平面與平面垂直的判定定理學(xué)習(xí)任務(wù)1．理解二面角及其平面角的概念，會(huì)作二面角的平面角，會(huì)求簡(jiǎn)單的二面角的平面角．(數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)2．了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)如圖所示，筆記本電腦在打開的過程中，會(huì)給人以面面“夾角”變大的感覺．你認(rèn)為應(yīng)該怎樣刻畫面面“夾角”呢？知識(shí)點(diǎn)1二面角1．定義：從一條直線出發(fā)的__________所組成的圖形．2．相關(guān)概念：(1)這條直線叫做二面角的__，(2)兩個(gè)半平面叫做__________．3．畫法：4．記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.5．二面角的平面角：若有(1)O∈l；(2)OA?α，OB?β；(3)OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是________．6．平面角是直角的二面角叫做________，二面角的平面角α的取值范圍是__________________．1．二面角的平面角的大小，是否與角的頂點(diǎn)在棱上的位置有關(guān)？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，構(gòu)成二面角的平面角的三要素是什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知識(shí)點(diǎn)2平面與平面垂直1．定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個(gè)平面互相垂直．2．畫法：3．記作：______．4．判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的____，那么這兩個(gè)平面垂直．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面α和β分別過兩條互相垂直的直線，則α⊥β. ()(2)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)兩條平行線，則α⊥β. ()(3)兩平面垂直時(shí)，其二面角是直二面角. ()類型1二面角的計(jì)算問題【例1】如圖，四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.(1)求二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)；(2)求二面角B-PA-D的平面角的大?。?3)求二面角B-PA-C的平面角的大?。甗嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求二面角的平面角的大小的步驟(1)作：作出平面角，一般在交線上找一特殊點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)向交線作垂線．(2)證：證明所作的角滿足定義，并指出二面角的平面角．(3)求：將作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小．(4)結(jié)論．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P-BC-A的大小．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2平面與平面垂直的判定定義法判定平面與平面垂直【例2】如圖，在四面體ABCD中，BD＝2a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.求證：平面ABD⊥平面BCD.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________判定定理法判定平面與平面垂直【例3】(源自湘教版教材)如圖，已知△ABC中，AD是邊BC上的高，以AD為折痕折疊△ABC，使∠BDC為直角．求證：平面ABD⊥平面BDC，平面ADC⊥平面ABD.[嘗試解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________證明面面垂直常用的方法(1)定義法：即說明兩個(gè)半平面所成的二面角是直二面角．(2)判定定理法：在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直，即把問題轉(zhuǎn)化為線面垂直．(3)性質(zhì)法：兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于此平面．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．如圖，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點(diǎn)，求證：平面BDE⊥平面ABCD._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．自二面角棱l上任選一點(diǎn)O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件()A．AO⊥BO，AO?α，BO?βB．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?βD．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β2．對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是()A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?αC．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β3．若一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別平行于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的大小關(guān)系是()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于________．回顧本節(jié)知識(shí)，自主完成以下問題：1．如何求二面角的平面角的大小？2．如何證明兩個(gè)平面垂直？8.6.3平面與平面垂直第1課時(shí)二面角及平面與平面垂直的判定定理[必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知]知識(shí)點(diǎn)11.兩個(gè)半平面2.(1)棱二面角的面5.∠AOB6.直二面角0°≤α≤180°思考1提示：無關(guān)．如圖，根據(jù)等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點(diǎn)的位置無關(guān)，只與二面角的大小有關(guān)．思考2提示：三要素是“棱上”“面內(nèi)”“垂直”．即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直．知識(shí)點(diǎn)21.直二面角3.α⊥β4.垂線課前自主體驗(yàn)(1)×(2)×(3)√[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：(1)∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.又四邊形ABCD為正方形，∴CD⊥AD.PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又CD?平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.∴二面角A-PD-C的平面角的度數(shù)為90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD為二面角B-PA-D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，∴二面角B-PA-D的平面角的度數(shù)為90°.(3)∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角．又四邊形ABCD為正方形，∴∠BAC＝45°，即二面角B-PA-C的平面角的度數(shù)為45°.跟進(jìn)訓(xùn)練1．解：由已知PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC，∴PC⊥BC.又∵BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角．由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P-BC-A的大小是45°.例2解：因?yàn)椤鰽BD與△BCD是全等的等腰三角形，所以取BD的中點(diǎn)E，連接AE，CE，則AE⊥BD，BD⊥CE，則∠AEC是二面角A-BD-C的平面角．在△ABD中，AB＝a,BE＝12BD＝22所以AE＝AB2-B同理CE＝22a在△AEC中，AE＝CE＝22a，AC＝a因?yàn)锳C2＝AE2＋CE2，所以AE⊥CE，即∠AEC＝90°，所以二面角A-BD-C為直二面角，所以平面ABD⊥平面BCD.例3證明：因?yàn)锳D⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BDC.因?yàn)锳D?平面ABD，所以平面ABD⊥平面BDC.已知∠BDC為直角，所以BD⊥DC.又AD∩DC＝D，因此BD⊥平面ADC.因?yàn)锽D?平面ABD，所以平面ADC⊥平面ABD.跟進(jìn)訓(xùn)練2．證明：連接AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接OE.因?yàn)镺為AC的中點(diǎn)，E為PA的中點(diǎn)，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因?yàn)镋O?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.[學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)