高中數(shù)學(xué)橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)案例

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)目標(biāo)：理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及a，b，c三者的關(guān)系教學(xué)重點(diǎn)：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)難點(diǎn)：標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)教學(xué)過(guò)程：引入我們上兩節(jié)課學(xué)習(xí)了方程與曲線的關(guān)系，一條曲線滿足某個(gè)方程，我們就知道滿足這個(gè)方程的點(diǎn)一定在這條曲線上，這條曲線上的點(diǎn)一定能滿足這個(gè)方程，我們同時(shí)還學(xué)習(xí)了求一條曲線的方程一般步驟：建系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)的集合，建立方程，化簡(jiǎn)方程，檢驗(yàn)。曲線在我們是生活中到處可見(jiàn)，其中有不少都是非常有規(guī)則的，具有一些特殊性質(zhì)的曲線，今天我們將要學(xué)習(xí)一種特殊的曲線，在學(xué)習(xí)之前我們先來(lái)看一段小視頻。這個(gè)是我們神六飛行的一些片段，通過(guò)這個(gè)視頻同學(xué)們可以看到神六繞地飛行的軌跡是一個(gè)橢圓，我們知道除了神六，我們太陽(yáng)系里的行星繞太陽(yáng)飛行的軌跡也是橢圓，橢圓在我們的生活中也是隨處可見(jiàn)。既然橢圓在生活中是如此的常見(jiàn)，人們是怎么準(zhǔn)確的畫(huà)出橢圓的呢？在畫(huà)橢圓之前同學(xué)們回憶一下我們是怎樣畫(huà)圓的？定出圓心，半徑長(zhǎng)，繞著圓心畫(huà)一圈就可以了，對(duì)比圓，橢圓會(huì)不會(huì)有相似的畫(huà)法呢？把細(xì)繩兩端拉開(kāi)一段距離，固定，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，同學(xué)們想想，在這個(gè)過(guò)程中什么是不變的？（繩子長(zhǎng)）橢圓定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。問(wèn)：為什么這個(gè)常數(shù)要大于|F1F2|？如果沒(méi)有這個(gè)限制會(huì)出現(xiàn)什么樣的情況呢？然后讓學(xué)生來(lái)演示，我們可以看到當(dāng)?shù)扔趞F1F2|是軌跡是線段F1F2，當(dāng)小于|F1F2|時(shí)，這樣的M點(diǎn)不存在。F1，F(xiàn)2兩個(gè)點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，而這兩點(diǎn)的距離叫做是橢圓的焦距。為了書(shū)寫(xiě)方便我們規(guī)定|F1F2|=2c，MF1+MF2=2a，橢圓也是一條曲線，他有沒(méi)有方程呢?再回憶一下求曲線方程的一般步驟。請(qǐng)學(xué)生回答求曲線方程的步驟現(xiàn)在我們要求橢圓的方程，第一步就是要建系，我們應(yīng)該怎樣來(lái)建立坐標(biāo)系呢？讓同學(xué)們討論，最后得出以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，最后選定方案，如圖2-27，推導(dǎo)出方程．以F1，F(xiàn)2所在直線為y軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，如圖2-26；我們選擇方案一來(lái)推導(dǎo)橢圓的方程解

1)建系：以F1，F(xiàn)2所在直線為x軸，線段F1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，并設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x，y)，設(shè)兩定點(diǎn)坐標(biāo)為：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)，2)則M滿足：|MF1|+|MF2|=2a，4)化簡(jiǎn)．我們要化簡(jiǎn)方程就是要化去方程中的根式，你學(xué)過(guò)什么辦法？化去方程中的根式應(yīng)該用移項(xiàng)平方、再移項(xiàng)再平方的辦法．下面我們就一起來(lái)完成這部分計(jì)算．(師生共同完成)a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)．師：到此我們已經(jīng)推導(dǎo)出了橢圓的方程，但此形式還不夠簡(jiǎn)潔，且x，y的系數(shù)形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，我們應(yīng)該如何將方程進(jìn)行變形呢？學(xué)生此時(shí)可能還不理解，教師可啟發(fā)學(xué)生觀察圖形如圖2-28，看看a與c的關(guān)系如何？請(qǐng)結(jié)合圖形找出方程中a、c的關(guān)系．根據(jù)橢圓定義知道a2＞c2，且如圖所示，a與c可以看成Rt△MOF2的斜邊和直角邊．那我們不妨令b2=a2-c2，則方程就變形為b2x2+a2y2=a2b2，如果再化簡(jiǎn)，你會(huì)得到什么形式的方程呢？其中a與b的關(guān)系如何？為什么？a＞b＞0，因?yàn)閍與b分別是Rt△MOF2的斜邊、直角邊．教師指出(*)式就是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后說(shuō)明：1)方程中條件a＞b＞0不可缺少(結(jié)合圖形)，當(dāng)a=b＞0時(shí)，就化成圓心在原點(diǎn)的圓的方程2)b的選取雖然是為了方程形式簡(jiǎn)潔與和諧，但也有實(shí)際的幾何意義，即：b2=a2-c2；3)請(qǐng)學(xué)生猜想：若用方案二(即焦點(diǎn)在y軸上)，得到的方程形式又如何呢？如果此處學(xué)生不能給出，教師將自行給出師：請(qǐng)同學(xué)們課后進(jìn)行推導(dǎo)驗(yàn)證．師：此時(shí)方程中a與b的關(guān)系又如何？(結(jié)合圖形請(qǐng)學(xué)生將條件a＞b＞0補(bǔ)上．)師：像這種焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上建立起來(lái)的橢圓的方程，我們稱(chēng)之為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。師：下面我們來(lái)對(duì)比一下，橢圓兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程的異同

定義

|MF1|+|MF2|=2a(2a>

圖形

方程

焦點(diǎn)

a,b,c之間的關(guān)系

結(jié)論：教師引導(dǎo)學(xué)生得出：（1）在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．（2）在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有a>b>0(3)橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上,如焦點(diǎn)在X軸上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(c,0)，(-c,0)；如焦點(diǎn)在Y軸上，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c)，(0,-c)（4）a,b,c始終滿足關(guān)系式a2-b2=c2例題與練習(xí)例1：平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫(xiě)出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程．解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過(guò)點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y∵2a=10，2c=8．∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2練習(xí)1下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是[]由學(xué)生口答，答案為D．例2：已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（-2，0）（2，0），