2024屆北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2北京市石景山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，解得，所以，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，則，故選：B.3.展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式=,,令即,∴展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.4.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，故選：C．6.直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，半徑為，若直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，，符合題意的只有.故選：A7.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由于，所以，所以.故選：C.8.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B.9.設(shè)函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減〖答案〗D〖解析〗的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：D.10.在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗A〖解析〗選項(xiàng)A，正方體中，顯然有，連接延長(zhǎng)，如果直線交棱于點(diǎn)（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點(diǎn)（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；選項(xiàng)B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當(dāng)平面，平面時(shí)，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，過(guò)的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點(diǎn)只能在棱上，與已知不符，D錯(cuò)．故選：A．第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得，所以的定義域?yàn)?故〖答案〗為：12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以雙曲線的離心率.故〖答案〗為：13.某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為_(kāi)______，若全校學(xué)生參加同樣的測(cè)試，估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開(kāi)_________（每組成績(jī)用中間值代替）.〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖中總面積為，即，解得，，故可估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?故〖答案〗為：；.14.已知命題：若，則．能說(shuō)明為假命題的一組的值為_(kāi)_____，_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，若，則，所以為假命題.所以一組的值為（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）；（〖答案〗不唯一）15.數(shù)列中，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則一定是遞減數(shù)列；②若，則一定是遞增數(shù)列；③若，，則對(duì)任意，都存在，使得；④若，，且對(duì)任意，都有，則的最大值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．〖答案〗②③④〖解析〗依題意，，①若，則，如，則是擺動(dòng)數(shù)列，所以①錯(cuò)誤.②若，則，，構(gòu)造函數(shù)，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以一定是遞增數(shù)列，②正確.③若，，則，，，，當(dāng)時(shí)，，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，且每次遞增都超過(guò)，所以對(duì)任意，都存在，使得，③正確.④若，，則，對(duì)任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正確.故〖答案〗為：②③④三、解答題16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)槠矫?，所以平面；因?yàn)槠矫?，所以．?）解：由（1）知，平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以設(shè)平面法向量為，則即令，則，，于是．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋裕深}知二面角為銳角，所以其余弦值為．17.設(shè)函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：時(shí)，的值域是；條件③：是的一條對(duì)稱軸．解：（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）選①，∵，∴函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不合題意；選②，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，的值域是，所以，.此時(shí)，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．因?yàn)椋?選③，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以.所以，即，解得.由，可知.18.某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為區(qū)和區(qū)，每一個(gè)球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒(méi)有投進(jìn)得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，沒(méi)有投進(jìn)得0分.學(xué)生甲在，兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計(jì)如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立．（1）試分別估計(jì)甲在區(qū)，區(qū)投籃命中概率；（2）若甲在區(qū)投個(gè)球，在區(qū)投個(gè)球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；（3）若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫(xiě)出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）解：（1）甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為.（2）據(jù)題意，甲在區(qū)進(jìn)球的概率估計(jì)為，在區(qū)投籃進(jìn)球的概率估計(jì)為.設(shè)事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個(gè)球，得分可能是，在區(qū)投個(gè)球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計(jì)為.（3）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，設(shè)甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計(jì)為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是次．19.已知橢圓，離心率為，短軸長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸重合的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為．求證：為直角三角形．（1）解：由題意知，解得,所以橢圓的方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，交橢圓于，，由題意知，所以，直線的方程為，聯(lián)立，消去得，，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，，所以，因?yàn)樵谥?，，所以．所以，即，所以為直角三角?20.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)實(shí)數(shù)使得對(duì)恒成立，求的取值范圍．（1）解：，故，又，故有，即，故切線方程為；（2）證明：令，則，由，故，故在上單調(diào)遞減，所以，即當(dāng)時(shí)，；（3）解：當(dāng)時(shí)，，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立；當(dāng)時(shí)，令，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞增，，不合題意，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，則時(shí)，，不合題意，綜上，的取值范圍是.21.對(duì)于項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，若數(shù)列滿足，，其中，表示數(shù)集中最大的數(shù)，則稱數(shù)列是的數(shù)列.（1）若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫(xiě)出所有的數(shù)列；（2）證明：若數(shù)列中存在使得，則存在使得成立；（3）數(shù)列是的數(shù)列，數(shù)列是的數(shù)列，定義其中．求證：為單調(diào)遞增數(shù)列的充要條件是為單調(diào)遞增數(shù)列．（1）解：由題意，各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列的數(shù)列是，寫(xiě)出所有的數(shù)列為：，，，（2）證明：由題意，假設(shè)不存在使得成立，根據(jù)數(shù)列定義可知，，所以，則，即，所以，所以，這與已知矛盾，故若此數(shù)列中存在使得，則存在使得成立．（3）解：由題意，必要性：，，，則．因?yàn)闉閱握{(diào)遞增數(shù)列，所以對(duì)所有的，或，否則．因此，所有的同號(hào)或?yàn)椋?，所以為單調(diào)遞增數(shù)列．充分性：因?yàn)闉閱握{(diào)遞增數(shù)列，，且，所以只能，所以同號(hào)或?yàn)椋詫?duì)所有的，或，所以．所以，即為單調(diào)遞增數(shù)列．北京市石景山區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第一部分（選擇題）一、選擇題1.已知集合，，則（）A. B.C D.〖答案〗A〖解析〗，解得，所以，所以.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意得在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，則，故選：B.3.展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由展開(kāi)式的通項(xiàng)公式=,,令即,∴展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為.故選:B.4.已知向量，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由題意，，∴，∵，∴，解得：，故選：B.5.已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以，故選：C．6.直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗圓，即，所以圓心為，半徑為，若直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則，，符合題意的只有.故選：A7.設(shè)函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，由于，所以，所以.故選：C.8.在中，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依題意，，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是銳角，且.故選：B.9.設(shè)函數(shù)，則是（）A.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增B.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減C.偶函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且在區(qū)間單調(diào)遞減〖答案〗D〖解析〗的定義域?yàn)椋?，所以是奇函?shù)，AC選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知在區(qū)間單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確.故選：D.10.在正方體中，點(diǎn)在正方形內(nèi)（不含邊界），則在正方形內(nèi)（不含邊界）一定存在一點(diǎn)，使得（）A. B.C.平面 D.平面平面〖答案〗A〖解析〗選項(xiàng)A，正方體中，顯然有，連接延長(zhǎng)，如果直線交棱于點(diǎn)（圖1），則作交于，連接，則是梯形，作交于，則平面，如果直線交棱于點(diǎn)（圖2），則直接連接，在三角形內(nèi)作交于，也有平面，因此A正確；選項(xiàng)B，正方體中易知平面，因此與垂直的直線都可能平移到平面內(nèi)，而當(dāng)平面，平面時(shí)，直線與平面相交，不可能平移到平面內(nèi)，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知與不可能垂直，因此與平面也不可能垂直，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，過(guò)的平面只有平面與平面平行，因此要使得平面平面，則平面與平面重合，從而點(diǎn)只能在棱上，與已知不符，D錯(cuò)．故選：A．第二部分（非選擇題）二、填空題11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗依題意，，解得，所以的定義域?yàn)?故〖答案〗為：12.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為_(kāi)__________．〖答案〗〖解析〗由于雙曲線的一條漸近線方程為，即，所以雙曲線的離心率.故〖答案〗為：13.某學(xué)校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生作為樣本進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)試，記錄他們的成績(jī)，測(cè)試卷滿分100分，將數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右頻率分布直方圖，則圖中的值為_(kāi)______，若全校學(xué)生參加同樣的測(cè)試，估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)開(kāi)_________（每組成績(jī)用中間值代替）.〖答案〗〖解析〗由頻率分布直方圖中總面積為，即，解得，，故可估計(jì)全校學(xué)生的平均成績(jī)?yōu)?故〖答案〗為：；.14.已知命題：若，則．能說(shuō)明為假命題的一組的值為_(kāi)_____，_______．〖答案〗（〖答案〗不唯一）（〖答案〗不唯一）〖解析〗，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，若，則，所以為假命題.所以一組的值為（〖答案〗不唯一）.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）；（〖答案〗不唯一）15.數(shù)列中，，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則一定是遞減數(shù)列；②若，則一定是遞增數(shù)列；③若，，則對(duì)任意，都存在，使得；④若，，且對(duì)任意，都有，則的最大值是．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是___________．〖答案〗②③④〖解析〗依題意，，①若，則，如，則是擺動(dòng)數(shù)列，所以①錯(cuò)誤.②若，則，，構(gòu)造函數(shù)，在區(qū)間上，單調(diào)遞減，在區(qū)間上，單調(diào)遞增，所以，所以，所以一定是遞增數(shù)列，②正確.③若，，則，，，，當(dāng)時(shí)，，所以是單調(diào)遞增數(shù)列，且每次遞增都超過(guò)，所以對(duì)任意，都存在，使得，③正確.④若，，則，對(duì)任意，都有，，，恒成立，所以，所以的最大值是，④正確.故〖答案〗為：②③④三、解答題16.如圖，在三棱錐中，平面平面，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?；因?yàn)椋?；因?yàn)槠矫妫云矫?；因?yàn)槠矫妫裕?）解：由（1）知，平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，，，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以設(shè)平面法向量為，則即令，則，，于是．又因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋裕深}知二面角為銳角，所以其余弦值為．17.設(shè)函數(shù)．（1）若，求的值；（2）已知在區(qū)間上單調(diào)遞減，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使函數(shù)存在，求的值．條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；條件②：時(shí)，的值域是；條件③：是的一條對(duì)稱軸．解：（1）因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?）選①，∵，∴函數(shù)的圖象不可能經(jīng)過(guò)點(diǎn)，不合題意；選②，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，的值域是，所以，.此時(shí)，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，故．因?yàn)?，所?選③，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，解得．因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以.所以，即，解得.由，可知.18.某學(xué)校體育課進(jìn)行投籃練習(xí)，投籃地點(diǎn)分為區(qū)和區(qū)，每一個(gè)球可以選擇在區(qū)投籃也可以選擇在區(qū)投籃，在區(qū)每投進(jìn)一球得2分，沒(méi)有投進(jìn)得0分；在區(qū)每投進(jìn)一球得3分，沒(méi)有投進(jìn)得0分.學(xué)生甲在，兩區(qū)的投籃練習(xí)情況統(tǒng)計(jì)如下表：甲區(qū)區(qū)投籃次數(shù)得分假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且學(xué)生甲每次投籃相互獨(dú)立．（1）試分別估計(jì)甲在區(qū)，區(qū)投籃命中概率；（2）若甲在區(qū)投個(gè)球，在區(qū)投個(gè)球，求甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率；（3）若甲在區(qū)，區(qū)一共投籃次，投籃得分的期望值不低于分，直接寫(xiě)出甲選擇在區(qū)投籃的最多次數(shù)．（結(jié)論不要求證明）解：（1）甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為，甲在區(qū)投籃次，投進(jìn)次，所以估計(jì)甲在區(qū)投籃進(jìn)球的概率為.（2）據(jù)題意，甲在區(qū)進(jìn)球的概率估計(jì)為，在區(qū)投籃進(jìn)球的概率估計(jì)為.設(shè)事件為“甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分”甲在區(qū)投個(gè)球，得分可能是，在區(qū)投個(gè)球，得分可能是.則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的情況有：區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，區(qū)分區(qū)分，概率估計(jì)為，則甲在區(qū)投籃得分高于在區(qū)投籃得分的概率估計(jì)為.（3）甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，甲在區(qū)投籃一次得分的期望估計(jì)是，設(shè)甲在區(qū)投籃次，則甲在區(qū)投籃次，則總的期望值估計(jì)為，解得，則甲選擇在區(qū)投籃的次數(shù)最多是