一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

精華名師輔導(dǎo)教學(xué)內(nèi)容：一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)【基礎(chǔ)知識精講】一、一次函數(shù)的圖像1.正比例函數(shù)y=kx(k≠0,k是常數(shù))的圖像是經(jīng)過O（0，0）和M（1，k）兩點(diǎn)的一條直線（如圖13-17）.（1）當(dāng)k＞0時，圖像經(jīng)過原點(diǎn)和第一、三像限；（2）k＜0時，圖像經(jīng)過原點(diǎn)和第二、四像限.2.一次函數(shù)y=kx+b(k是常數(shù)，k≠0)的圖像是經(jīng)過A（0,b）和B（-，0）兩點(diǎn)的一條直線，當(dāng)kb≠0時，圖像（即直線）的位置分4種不同情況：（1）k＞0,b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、三像限，如圖13-18A（2）k＞0,b＜0時，直線經(jīng)過第一、三、四像限，如圖13-18B（3）k＜0,b＞0時，直線經(jīng)過第一、二、四像限，如圖13-18C（4）k＜0,b＜0時，直線經(jīng)過第二、三、四像限，如圖13-18D3.一次函數(shù)的圖像的兩個特征（1）對于直線y=kx+b(k≠0),當(dāng)x=0時,y=b即直線與y軸的交點(diǎn)為A（0,b）,因此b叫直線在y軸上的截距.（2）直線y=kx+b(k≠0)與兩直角標(biāo)系中兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A（0，b）和B（-，0）.設(shè)直線與x的夾角為α，則tgα=||=|k|，由于角α：0＜α＜90°，tgα＞,因此|k|=tgα.4.一次函數(shù)的圖像與直線方程（1）一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像是一條直線，因此y=kx+b(k≠0)也叫直線方程.但直線方程不一定都是一次函數(shù).（2）與坐標(biāo)軸平行的直線的方程.①與x軸平行的直線方程形如：y=a（a是常數(shù)）.a＞0時，直線在x軸上方；a=0時，直線與x軸重合；a＜0時，直線在x軸下方.（如圖13-19）②與y軸平行的直線方程形如x=b（b是常數(shù)），b＞0時，直線在y軸右方，b=0時，直線與y軸重合；b＜0時，直線在y軸左方，(如圖13-20).二、兩條直線的關(guān)系1.與坐標(biāo)軸不平行的兩條直線l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b,若l1若l2相交，則k1≠k2;若k1≠k2，則l1與l2不平行，其交點(diǎn)是聯(lián)立這兩條直線的方程，求得的公共解.三、一次函數(shù)的增減性1.增減性如果函數(shù)當(dāng)自變量在某一取范圍內(nèi)具有函數(shù)值隨自變量的增加（或減少）而增加（或減少）的性質(zhì)，稱為該函數(shù)當(dāng)自變量在這一取值范圍內(nèi)具有增減性，或稱具有單調(diào)性.2.一次函數(shù)的增減性一次函數(shù)y=kx+b在x取全體實數(shù)時都具有如下性質(zhì)：（1）k＞0時，y隨x的增加而增加；（2）k＜0時，y隨x的增加而減小.3.待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式：若已知一次函數(shù)的圖像（即直線）經(jīng)過兩個已在點(diǎn)A（x1，y1）和B(x2，y2)求這個一次函數(shù)的解析式，其方法和步驟是：（1）設(shè)一次函數(shù)的解析式：y=kx+b(k≠0)（2）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入所設(shè)函數(shù)的解析式，得兩個方程：y1=k1x1+b①y2=k2x2+b2②（3）聯(lián)立①②解方程組，從而求出k、b值.這一先設(shè)系數(shù)k、b，從而通過解方程求系數(shù)的方法以稱為待定系數(shù)法.【重點(diǎn)難點(diǎn)解析】例1已知一次函數(shù)y=(m+3)x+(4-n),(1)m為何值時，y隨x的增大而減小；（2）n為何值時，函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)x軸下方；（3）m、n為何值時，函數(shù)圖像與y=x+2的圖像平行.解：（1）當(dāng)m+3＜0,即m＜-3時，y隨x的增大而減?。唬?）當(dāng)4-n＜0,即n＞4時，函數(shù)的圖像與y軸的交點(diǎn)在x下方；（3）當(dāng)m+3=1且4-n≠2時，即m=-2,n≠2時，函數(shù)的圖像是一條與y=x+2平行的直線.例2當(dāng)a、b＞0，ac＜0，直線ax+by+c=0不通過哪個像限.解：∵b≠0∴由原函數(shù)式變形得：y=-x-∴ab＞0∴-＜0又∵ac＜0,∴-＞0直線ax+by+c=0不通過第三像限.例3直線l1:y1=k1x+b1與y=2x平行且通過A（3，4），直線l2:y2=k2x+b2通過B（1，3），C（-1，5），求l1和l2的解析式.解：∵y1=k1x+b1與y=2x平行且通過A（3，4）∴解這個方程組得：∴l(xiāng)1的解析式為:y=2x-2∵y2=k2x+b2通過B（1，3）和C（-1，5）兩點(diǎn)，將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得：∴l(xiāng)2的解析式為：y=-x+4例4已知一個正比例函數(shù)和一個一次函數(shù)，它們的圖像都經(jīng)過P（-2，1），且一次函數(shù)在y軸上的截距為3.（1）求這兩個函數(shù)的解析式；（2）在同一坐標(biāo)系中，分別畫出兩個函數(shù)的圖像；（3）求這兩個函數(shù)的圖像與y軸圍成的三角形的面積.解：（1）設(shè)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式分別為y=k1x和y=k2x+b.由y=k1x過點(diǎn)（-2，1）得1=-2k1∴k1=-由y=k2x+b過點(diǎn)（-2，1），截距為3得：b=3-2k2+b=1解得：k2=1b=3(2)過點(diǎn)O（0，0）、P（-2，1）兩點(diǎn)畫一條直線，即得函數(shù)y=-x的圖像.經(jīng)過A（0，3）和P（-2，1）畫一條直線即得y=x+3的直線，如圖13-21（3）直線y=x+3與y軸交于點(diǎn)A（0，3）過P作PH⊥y軸，則OA=3，PH=|-2|=2，而函數(shù)與y軸所圍成的三角形面積即是△APO的面積.S△APO=·AO·PH=×3×2=3例5已知y-(m-3)與x（m是常數(shù)）成正比例，且x=6時，y=1；x=-4時，y=-4.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在直角坐標(biāo)系中，畫出這個函數(shù)的圖像；（3）求出這個函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)之間的距離.解：∵y-(m-3)與x成正比例∴可設(shè)y-(m-3)=kx,即y=kx+m-3①故所求函數(shù)關(guān)系式為：y=x-2(2)經(jīng)過A（6，1）和B（-4，-4）畫直線即是函數(shù)y=x-2的圖像.如圖13-22（3）當(dāng)x=0時：y=×0-2=-2當(dāng)y=0時，0=x-2x=4∴C（4，0），D（0，-2）|CD|=綜上所述5例可見，本節(jié)重點(diǎn)為：①根據(jù)直線所通過的點(diǎn)的條件求直線方程；②根據(jù)直線方程求作直線的圖像；③根據(jù)增減性、截距求直線方程；④根據(jù)兩直線的位置關(guān)系求直線方程；本節(jié)的難點(diǎn)是求直線圍成的圖形的面積.解決重難點(diǎn)的方法是運(yùn)用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合的方法.【難題巧解點(diǎn)撥】例6已知函數(shù)y=|x-a|+|x+19|+|x-a-96|，其中a為常數(shù)，且滿足19＜a＜96,當(dāng)自變量x的取值范圍為a≤x≤96時，求y的最大值.解：∵19＜a＜96,a≤x≤96∴x-a≥0,x+19＞10,x-a-96＜0則y=x-a+x+19+a+96-x=115+x函數(shù)y=15+x是一次函數(shù)，其增減性表明y隨x的增大而增大.∴在a≤x≤96的x取值范圍內(nèi)，當(dāng)x=96時，y取最大值，即：ymax=96+115=211說明：含絕對值的函數(shù)首先要討論絕對值的式子的正負(fù)性質(zhì)，再根據(jù)絕對值定義化簡，從而得到一次函數(shù)；討論在某一自變量的取值范圍內(nèi)最大值或最小值要根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和自變量x范圍的兩端點(diǎn)取值來求.例7如圖13-23在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（0，3），⊙O′與y軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，又B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，-2）、（4，0）、（x，0），且0＜x＜4.（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O′有哪幾種位置關(guān)系？（3）求出直線BE與⊙O′每種位置關(guān)系時，x的取值范圍.分析：直線與圓有三種位置關(guān)系，從直線與圓相切這種特殊情形，用運(yùn)動變化的觀點(diǎn)尋求結(jié)論成立的條件是解本題的關(guān)鍵.解：（1）∵O′（0，3）∴⊙′的半徑為：OO′=3，∴OA=2·OO′=2×3=6，∴A（0，6）（2）∵點(diǎn)B在⊙O′外，BE與⊙O′有三種位置關(guān)系：相離、相切、相交；（3）當(dāng)直線BE與⊙O′相切于D點(diǎn)時，連結(jié)O′D，則△O′BD是Rt△.O′D=3,O′B=5,BD=4,OB=2,OE=x∵△O′BD∽△EBO∴即，解得：x=故當(dāng)＜x＜4時，直線BE與⊙O′相離；當(dāng)x=時，直線BE與⊙O′相切.當(dāng)0＜x＜時，直線BE與⊙O′相交.例8如圖13-24，某航空公司托運(yùn)行李的費(fèi)用與托運(yùn)行李重量的關(guān)系為一直線，由圖中可知行李的重量不超過多少公斤，就可以免費(fèi)托運(yùn)？解：設(shè)直線方程為：y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）由圖可知：x=20時，y=330；x=40時，y=630;把x,y的對應(yīng)取值代入直線方程，得：解這個方程組，得：k=30,b=-570∴直線方程為:y=30x-570若y=0時，30x-570=0,∴x=19答：只要行李重量不超過19公斤時，就可免費(fèi)托運(yùn).【命題趨勢分析】由于一次函數(shù)是最基本的函數(shù)內(nèi)容，是初中重點(diǎn)之一，在實際中應(yīng)用十分廣泛，因此是中考熱點(diǎn)考題.有關(guān)一次函數(shù)考試主要是概念、圖像、性質(zhì)三個基本內(nèi)容和待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法兩種數(shù)學(xué)方法.【典型熱點(diǎn)考題】例9填空題：已知直線l:y=-3x+2，現(xiàn)在4個命題：①點(diǎn)P（1，-1）在直線l上；②若直線l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB=；③若點(diǎn)M（，1），N（a、b）都在直線l上，且a＞,則b＞1;④若點(diǎn)Q到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且點(diǎn)Q在l上，則點(diǎn)Q在第一或第四像限.其中正確的命題是.（注意：在橫線上填上你認(rèn)為正確的命題序號）（2000年廈門市中考題）分析：檢驗①：只需將x=1,y=-1代入函數(shù)式看是否適合，當(dāng)x=1時，y=-3+2=-1,即P（1，-1）在直線y=-3x+2上，①命題正確；檢驗②；當(dāng)y=0時，求得x=,即A（，0），當(dāng)x=0時，y=2，即B（0，2），∴AB=，命題②正確；檢驗③，若M（，1），N(a,b)都在y=-3x+2上，根據(jù)直線的性質(zhì)，k=-3＜0,y隨x的增加而減小，∴a＞時，應(yīng)該有b＜0,因此b＞1錯誤，即命題③錯誤；檢驗④，∵Q到兩坐標(biāo)軸的距離相等，設(shè)Q（m、n），則|m|=|n|,且n=-3m+2,由此解得：或因此Q點(diǎn)在第一或第四像限，命題④正確.因此，選①、②、④填空.例10某居民小區(qū)按照分期付款的形式福利售房，政府給予一定的貼息，小明家購得一套現(xiàn)價為120000元的房子，購房時首期（第一年）付款30000元，從第二年起，以后每年應(yīng)付房款5000元與上一年剩余欠款利息的和，設(shè)剩余欠款年利率為0.4%.（1）若第x（x≥2）年小明家交付房款y元，求年付款y（元）與x（年）的函數(shù)關(guān)系式；（2）將第三年，第十年應(yīng)付房款填入下列表格中：（2000年大連市中考題）年份第一年第二年第三年……第十年交房款（元）300005360……分析：首期付款后共余120000-30000=90000元房款，以后每年付款應(yīng)為5000，與上一年所欠余款×0.4%，即余款的利息之和.解：（1）y=5000+[90000-5000(x-2)]×0.4%=5400-20x（x≥2）（2）當(dāng)x=3時，y=5340，當(dāng)x=10時，y=5200，因此第三年應(yīng)付款5340元，第十年應(yīng)付款5200元.例11已知直線x-2y=-k+6和x+3y=4y+1，若它們的交點(diǎn)在第四像限內(nèi)，（1）求k的取值范圍，（2）若k為非負(fù)整數(shù)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)P在直線x-2y=-k+6上，求使△PAO為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo).（2000年西安市中考題）解：（1）依題意：解這個方程組，得：x=k+4,y=k-1∵兩直線的交點(diǎn)在第四像限∴k+4＞0,且k-1＜0解不等式組得：-4＜k＜1（2）∵k為非負(fù)整數(shù)，∴k=0∴直線x-2y=-k+6即為：y=-3設(shè)P（a，b）為直線y=-3上一點(diǎn)，作PE⊥x軸，垂足為E，若使PO=PA，則應(yīng)有OE=AE，即E（1，0）∵a=1,∴b=-∴P1(1,-)若使PO=OA=2，則a2+b2=4,a2+(a-3)2=4,a2-3a+5=0,△=9-25＜0此方程無解.若使PA=OA=2，則（2-a）2+b2=4,(2-a)2+(a-3)2=4,∴a2-7a+9=0,a1=2,a2=,當(dāng)a1=2時，b1=-2，當(dāng)a2=時,b2=-.∴P2(2,-2)或P3（，）綜合上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-），（2，-2），（，-）如圖13-25.【同步達(dá)綱練習(xí)】（時間：45分鐘，滿分：100分）一、選擇題（10分×6=60分）（1）一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)(m,-1)和點(diǎn)(1,m)，其中，m＜-1,則k和b滿足的條件是（）A.k＜0,b＜0B.k＞0,b＞0C.k＜0,b＞0D.k＞0,b＜0（2）若一次函數(shù)y=(1-2k)x-k（x為自變量）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，且此函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二像限，則k的取值范圍是（）A.k＜B.k＞0C.0＜k＜D.k＜0或k＞（3）當(dāng)mn＜0mp＞0時，一次函數(shù)y=的圖像不經(jīng)過的像限是（）A.第一像限B.第二像限C.第三像限D(zhuǎn).第四像限（4）一次函數(shù)y=kx+b的圖像如圖13-26,那么k、b應(yīng)滿足的條件是（）A.k＞0,b＞0B.k＞0,b＜0C.k＜0,b＞0D.k＜0,b＜0（5）已知函數(shù)y=的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，1），則函數(shù)y=kx+3的圖像是（）（6）直線y=kx+b與直線y=-x垂直，并且經(jīng)過點(diǎn)（-1，1），那么直線y=kx+b的解析式為（）A.y=-x-2B.y=x+2C.y=x-2D.y=-x+2三、解答題（10分×3=30分）（7）已知一次函數(shù)y=(3-k)x+2k+1.①如果它的圖像經(jīng)過（-1，2）點(diǎn)，求k的值；②如果它的圖像經(jīng)過第一、二、四像限，求k的取值范圍.（8）已知y+b與x-1（其中b是常數(shù)）成正比例.①證明：y是x的一次函數(shù)；②若這個一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)（，0），且與坐標(biāo)軸在第一像限內(nèi)圍成的三角形的面積為，求這個一次函數(shù)，并畫出它的圖像.（9）已知一次函數(shù)y=(p+3)x+(2-q).①p為什么實數(shù)時y隨x的增大而增大？②q為什么實數(shù)時，函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)在x軸的上方；③p、q為什么實數(shù)時，函數(shù)的圖像過原點(diǎn)？（10）如圖13-27，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（x1，-3）在第三像限，點(diǎn)B（x2,-1）在第四像限，線段AB與y軸交于點(diǎn)D，∠AOB=90°，①當(dāng)x2