專題7 最大整數(shù)與最小整數(shù)問題（模擬+真題）2024高考總復(fù)習(xí)壓軸題《數(shù)學(xué)》函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解析版

第第頁專題7最大整數(shù)與最小整數(shù)問題1．已知．（1）若函數(shù)在上有1個零點，求實數(shù)的取值范圍．（2）若關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)判斷即可；（2）由可得，令，則，由關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，即方程有兩個不同的實數(shù)解，令，求出函數(shù)的最值，即可得解.（1）解：，，，所以，當(dāng)時，，所以在，單調(diào)遞增，又因為，所以在，上無零點；當(dāng)時，，使得，所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因為，，所以若，即時，在，上無零點，若，即時，在，上有一個零點，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞減，在，上無零點，綜上當(dāng)時，在，上有一個零點；（2）解：由，即，即，則有，令，則，，所以函數(shù)在上遞增，所以，則有，即，因為關(guān)于的方程有兩個不同的實數(shù)解，則方程有兩個不同的實數(shù)解，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值問題，考查了分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想及同構(gòu)思想，難度較大.2．已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）請在下列兩問中選擇一問作答，答題前請標(biāo)好選擇.如果多寫按第一個計分.①若恒成立，求的取值范圍.②若僅有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）選擇①時，；選擇②時，【分析】（1）把代入，然后對求定義域，求導(dǎo)，利用求出求的值，觀察出是個增函數(shù)進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對進行同構(gòu)變形，然后構(gòu)造新函數(shù)求的取值范圍（1）定義域為，，在處取得極值，則，所以，此時，可以看出是個增函數(shù)，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）①選擇若恒成立，若恒成立，即，整理為，即設(shè)函數(shù)，則上式為：因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以所以，令，.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值，，故1，解得：故當(dāng)時，恒成立.②選擇若僅有兩個零點，即有兩個根，整理為，即設(shè)函數(shù)，則上式為：因為恒成立，所以單調(diào)遞增，所以=所以只需有兩個根，令，.，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在處取得極大值，，要想有兩個根，只需，解得：，所以的取值范圍為【點睛】同構(gòu)變形是一種處理含有參數(shù)的函數(shù)常用方法，特別是指對同構(gòu)，對不能參變分離的函數(shù)可以達到化簡后可以參變分離的效果，非常的好用3．已知函數(shù).（1）選擇下列兩個條件之一：①；②；判斷在區(qū)間是否存在極小值點，并說明理由；（2）已知，設(shè)函數(shù)若在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【分析】（1）若選擇①，則，由于在上單調(diào)遞增，且，從而可求出求出的單調(diào)區(qū)間，進而可求出的最小值非負(fù)，則無極值；若選擇②，則，由在上單調(diào)遞增，且，可得的單調(diào)區(qū)間，從而得其最小值小于0，進而可判斷函數(shù)的極值，（2）令，則可得，令，即轉(zhuǎn)化為有解，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)可得由唯一零點，從而將問題轉(zhuǎn)化為在有解，即，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域可得的范圍，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】解：（1）若選擇①，則，由在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，有，則在上單調(diào)遞增，不存在極小值點.若選擇②，則，由在上單調(diào)遞增，且，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，有，而，所以存在極小值點.（2）令，有，又，所以，令，即轉(zhuǎn)化為有解，設(shè)，則由可得，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，而，所以由唯一零點.若在區(qū)間存在零點，即為在有解.整理得：，設(shè)，由知，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，所以，故有.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決零點問題，解題的關(guān)鍵是由可得，令，將問題轉(zhuǎn)化為有解，構(gòu)造利用導(dǎo)數(shù)討論其解的情況即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題4．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性與極值；(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為，求使得上的整數(shù)k的值（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，）.【答案】(1)單調(diào)性見解析，極大值為，無極小值(2)【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，并對a的取值范圍進行分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值即可求解；（2）對函數(shù)求導(dǎo)，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點、函數(shù)值域即可求解.(1)，.當(dāng)，即時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)，即時，令，即，解得，當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，且極大值為.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在處，取得極大值，且極大值為，無極小值.(2)依題意，當(dāng)時，，.因為，所以.令，，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增.又，，所以存在，使得，即，則當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的最大值.又因為，所以，.令，，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以.因為，，所以，又，所以整數(shù).5．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，恒成立，求b的范圍；(2)若在處的切線為，且，求整數(shù)m的最大值．【答案】(1);(2)2【解析】【分析】（1）求出當(dāng)時，只需要；（2）先根據(jù)切線的條件求出參數(shù)，在類似（1）中用恒成立的方式來處理.(1)由，當(dāng)時，得．當(dāng)時，，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，由恒成立，得，所以，即b的范圍是．(2)由得，且．由題意得，所以，又在切線上．所以，所以，即．因為，所以有．令，則等價于，即，從而．設(shè)，則．易知在上單調(diào)遞增，且．所以，由函數(shù)零點存在性定理知，存在唯一的使得，即，則．當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．從而．而在上是減函數(shù)，所以．因此的最小值．從而整數(shù)m的最大值是2．6．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝0時，若存在使得關(guān)于x的不等式成立，求k的最小整數(shù)值．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)答案見解析；(2)0.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分，，三種情況討論的符號求解作答.（2）構(gòu)造函數(shù)，求出的最小值取值范圍，再由不等式成立求整數(shù)k的最小值作答.(1)函數(shù)的定義域R，求導(dǎo)得：，若，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若，則對任意都有，則在R上單調(diào)遞增，若，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．(2)當(dāng)a=0時，令，則，令，則，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，因，，則存在，使得，即，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，又當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，于是，，．若存在使得關(guān)于x的不等式成立，且k為整數(shù)，得，所以k的最小整數(shù)值為0.【點睛】結(jié)論點睛：函數(shù)的定義區(qū)間為，若，使得成立，則；若，使得成立，則.7．（2021·陜西·銅川市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)2【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分別解不等式，可得；（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，通過二次求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得最值，然后可得.(1)，由解得，由解得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(2)當(dāng)時，所以記，則記因為當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以存在，記，則…①所以當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞增所以當(dāng)時，由最小值…②將①代入②可得所以，因為a為整數(shù)，所以a的最大值為2.8．已知函數(shù)，.（1）若，討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點個數(shù)；（2）若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)的最大值.【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為3.【分析】（1）求，計算方程的，分別討論和時的單調(diào)性，由單調(diào)性可得極值點的個數(shù)；（2）先求出，再計算，再構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性以零點存在定理可判斷的單調(diào)性，進而可得的最小值，只需，再結(jié)合是整數(shù)即可求解.【詳解】（1）的定義域為；且，因為方程的，①當(dāng)，即時，恒成立，此時對于恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故極值點個數(shù)為；②當(dāng)，即時，設(shè)方程的兩根分別為和，則，，所以，，設(shè)，則，，由即可得：或，由即可得：所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故極值點個數(shù)為2；綜上所述，當(dāng)時，極值點個數(shù)為，當(dāng)時，極值點個數(shù)為2.（2）時，，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，而，，所以存在，使，即，故，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，；即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以，因為，即的最大值為3.【點睛】方法點睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)時，（1）可對不等式變形，分離參數(shù)，根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的最值，進而可求出結(jié)果；（2）可根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié)果.9．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）令，若在恒成立，求整數(shù)a的最大值．參考數(shù)據(jù)：，【答案】（1）答案見解析；（2）3.【分析】求得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)對a進行討論求解單調(diào)性；由題設(shè)可得，將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最小值，由即可求整數(shù)a的最大值．【詳解】的定義域為且，①當(dāng)時，由得：，∴時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為，②當(dāng)時，令得：或，∴的增區(qū)間為和減區(qū)間為③當(dāng)時，恒成立，此時的增區(qū)間為，無遞減區(qū)間：④當(dāng)時，令得：或，∴的遞增區(qū)間為和，減區(qū)間為．，則恒成立．令，則，令，，知在上遞增且，，∴，使，即在遞減，在遞增，∴，∴由知：整數(shù)a的最大值為3．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，將題設(shè)問題轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值，求參數(shù).10．已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求整數(shù)的最大值．【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）-1．【分析】（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a分類討論，即可求解；（2）由原不等式恒成立，分離參數(shù)可得，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可求解.【詳解】（1）的定義域為，，（1）當(dāng)時，，由得，由得，．∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）當(dāng)時，，由得或，由得，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和（3）當(dāng)時，，在上恒成立，∴單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；（4）當(dāng)時，，由得或，由得，∴的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；當(dāng)時，單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）設(shè)，則．設(shè)，則恒成立∴在上單調(diào)遞增，∵∴使得，時，從而，∴時，，在上為減函數(shù)，時，，從而，∴時，在上為增函數(shù)，∴，把代入得令，，則為增函數(shù)，∴，，∴∴整數(shù)的最大值為-1．【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用導(dǎo)數(shù)求出后，需要構(gòu)造函數(shù)，在利用函數(shù)的單調(diào)性求的最小值，是解題的關(guān)鍵，屬于難題.11．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上恒成立，求整數(shù)的最大值.(參考數(shù)據(jù)：，).【答案】（1）答案見解析；（2）最大值為3.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為，在恒成立，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，求出的最大值即可．【詳解】解：（1）的定義域為，.當(dāng)時，令，得，令，得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.當(dāng)時，恒成立，所以的減區(qū)間為；當(dāng)時，令，得，令，得，所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）由在上恒成立.可得：在上恒成立，令，則.令，∵與在上均單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，且，.∴，使得，此時，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，；∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，∴，∵在恒成立，∴，∴整數(shù)的最大值為3.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為，在恒成立,再利用導(dǎo)數(shù)求最值.12．已知偶函數(shù)滿足，，且當(dāng)，時，，關(guān)于的不等式在，上有且只有300個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：偶函數(shù)滿足滿足，，的周期為8，且的圖象關(guān)于直線對稱．由于，上含有50個周期，且在每個周期內(nèi)都是軸對稱圖形，關(guān)于的不等式在，上有3個整數(shù)解．當(dāng)，時，，在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，（1），（2）（3）（4），當(dāng)，2，3，時，，當(dāng)時，在，上有4個整數(shù)解，不符合題意，，由可得或．顯然在，上無整數(shù)解，故而在，上有3個整數(shù)解，分別為1，2，3．（4），（3），（1），．故選：．13．已知關(guān)于的不等式的解集為，其中，若該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍【解答】解：關(guān)于的不等式化為：，令，，則．令，在上單調(diào)遞增，因此存在，使得，，，（1），（2）．因此存在，使得，因此函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增．（1），（2）．關(guān)于的不等式的解集為，其中，該不等式在中有且只有一個整數(shù)解，實數(shù)的取值范圍是．另解：式子可化為，令，則必過，因為之間含一個整數(shù)解，那么這個整數(shù)解必須是1，且，，通過這個進一步可以確定的范圍．故選：．14．（2019?蘇州三模）已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實數(shù)，若不能，請說明理由；（Ⅱ）求最大的整數(shù)，使得對任意，，不等式恒成立．【解答】解：（Ⅰ）．假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，則有，即．顯然，，代入方程中得，．△，方程無解．故無論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切；（Ⅱ）依題意，恒成立．設(shè)，則上式等價于，要使對任意，恒成立，即使在上單調(diào)遞增，在上恒成立．（1），則，在上成立的必要條件是：．下面證明：當(dāng)時，恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，即，．那么，當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，恒成立．因此，的最大整數(shù)值為3．15.（2021?湛江三模）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論在區(qū)間內(nèi)極值點的個數(shù)；（2）若，時，恒成立，求整數(shù)的最小值．【解答】解：（1）由，得，令，則，，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即在區(qū)間內(nèi)無極值點，當(dāng)時，，，故，故在單調(diào)遞增，又，，故存在，使得，且時，，遞減，，時，，單調(diào)遞增，故為的極小值點，此時在區(qū)間內(nèi)存在1個極小值點，無極大值點；綜上：當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)無極值點，當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)存在1個極小值點，無極大值點．（2）若，時，恒成立，則，故，下面證明時，在，恒成立，，時，，故時，，令，，，故，令，則，在區(qū)間，單調(diào)遞增，又，故在，上單調(diào)遞減，又，，故存在，，使得，且，時，，遞增，，時，，單調(diào)遞減，故時，取得最大值，且，，，，故單調(diào)遞減，故，時，即成立，綜上，若，時，恒成立，則整數(shù)的最小值1．16．已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當(dāng)時，求證：函數(shù)圖象上任意一點處的切線斜率均大于；（2）若對于任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解答】解：（1）證明：時，，，設(shè)，則，令，解得：，故在區(qū)間遞減，在遞增，故的最小值是，即對任意恒成立，故函數(shù)圖象上任意一點處的切線斜率均大于；（2）先證對任意，，，，令，，令，解得：，故在區(qū)間遞增，在遞減，故，故，令，，，令，解得，故在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，故，故，遞增，故，故，，，對于任意，恒成立，，故，當(dāng)時，，即對于任意的，恒成立，綜上，的取值范圍是．17．函數(shù)．（1），求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在，上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）令函數(shù)，求證：．【解答】解：（1），，，當(dāng)，時，，當(dāng)，時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，，的單調(diào)遞減區(qū)間是，．（2）不等式恒成立等價于，令，則由，可得到，可以看作是關(guān)于的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，令，對于，，，恒成立，只需證明即可，，當(dāng)，，則，在上單調(diào)遞減，又，所以此時恒成立．當(dāng)時，恒成立；當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，所以在上存在唯一的，使得，當(dāng)時，，當(dāng)，時，，所以在時單調(diào)遞減，在，時單調(diào)遞增，，，，恒成立，故恒成立，．（3）證明：由（2）可知，，令，，，2，，8，可得到，從而，即得證．18．（Ⅰ）證明：，，；（Ⅱ）若在，上恒成立，求的取值范圍；（Ⅲ）已知函數(shù)，若正實數(shù)，滿足，證明：當(dāng)時，恒有．【解答】解：（1）令，當(dāng)，時，，故在區(qū)間，上單調(diào)遞增，從而，由于為偶函數(shù)，所以當(dāng)，時，，故，，．（2）結(jié)合（1）可知，所以，易證，故為原不等式成立的必要條件，下面證明充分性，當(dāng)時，，令，易知為偶函數(shù)．設(shè)，，則，令，則，故在，上單調(diào)遞減，即，故在，上單調(diào)遞減，，故當(dāng)時，原不等式在，上恒成立，綜上，的取值范圍為，．（3）當(dāng)時，，在（2）中令，，則有，下面證明即可，即證，解法一：，即，，，易知在處取得最小值1，則，又，所以．綜上，當(dāng)時，恒有．解法二：不妨令，在上，，則在上單調(diào)遞增，又（1），所以要使，則需，要證，即證，即證，又，所以即證，設(shè)，，，則，故在，上單調(diào)遞增，（1）（1），令，可得，所以，即，所以．綜上，當(dāng)時，恒有．

1．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的最小值為（

）．A． B．e C． D．【答案】C【分析】根據(jù)在上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出．【詳解】依題可知，在上恒成立，顯然，所以，設(shè)，所以，所以在上單調(diào)遞增，，故，即，即a的最小值為．故選：C．2．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點，轉(zhuǎn)化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當(dāng)時，，當(dāng)，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.3．（2015·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一的整數(shù)，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)使得滿足，求導(dǎo)可得出函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得且，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由題意知，函數(shù)在直線下方的圖象中只有一個點的橫坐標(biāo)為整數(shù)，，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)的最小值為.又，.直線恒過定點且斜率為，故且，解得，故選D.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.4．（2017·全國·高考真題）已知函數(shù)有唯一零點，則A． B． C． D．1【答案】C【詳解】因為，設(shè)，則，因為，所以函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)有唯一零點，則函數(shù)有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當(dāng)時，才滿足題意，即是函數(shù)的唯一零點，所以，解得.故選：C.【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.5．（2014·全國·高考真題）已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：當(dāng)時，，函數(shù)有兩個零點和，不滿足題意，舍去；當(dāng)時，，令，得或．時，；時，；時，，且，此時在必有零點，故不滿足題意，舍去；當(dāng)時，時，；時，；時，，且，要使得存在唯一的零點，且，只需，即，則，選C．考點：1、函數(shù)的零點；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；3、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．6．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①若，恰有2個零點；②存在負(fù)數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負(fù)數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當(dāng)直線過點時，，解得，所以，當(dāng)時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導(dǎo)得，由題意可得，解得，所以，當(dāng)時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質(zhì)都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉(zhuǎn)化，即通過構(gòu)造函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成所構(gòu)造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據(jù)函數(shù)的零點存在定理或結(jié)合函數(shù)的圖象列出關(guān)系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．7．（2019·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【答案】(1)見詳解；(2).【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)的范圍分情況討論函數(shù)單調(diào)性；(2)討論的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，最終求得的取值范圍.【詳解】(1)對求導(dǎo)得.所以有當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，區(qū)間上單調(diào)遞增，區(qū)間上單調(diào)遞減，區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為.而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)當(dāng)時從而單調(diào)遞減.而，所以.即的取值范圍是.若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為而，故所以區(qū)間上最大值為.所以，而，所以.即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【點睛】(1)這是一道常規(guī)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)不等式和綜合題，題目難度比往年降低了不少.考查的函數(shù)單調(diào)性，最大值最小值這種基本概念的計算.思考量不大，由計算量補充.8．（2019·北京·高考真題）已知函數(shù).（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：；（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時，求a的值．【答案】（Ⅰ）和.（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.【分析】(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點坐標(biāo)即可確定切線方程；(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.【詳解】（Ⅰ），令得或者.當(dāng)時，，此時切線方程為，即；當(dāng)時，，此時切線方程為，即；綜上可得所求切線方程為和.（Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；而，所以，即；同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，所以是中的較大者，若，即時，；若，即時，；所以當(dāng)最小時，，此時.【點睛】本題