導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)幾何意義

關(guān)于導(dǎo)數(shù)的概念,導(dǎo)數(shù)幾何意義自由落體運(yùn)動中，物體在不同時(shí)刻的速度是不一樣的。平均速度不一定能反映物體在某一時(shí)刻的運(yùn)動情況。物體在某一時(shí)刻的速度稱為瞬時(shí)速度。第2頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例1、自由落體運(yùn)動的運(yùn)動方程為s=-gt2，計(jì)算t從3s到3.1s，3.01s

，3.001s

各段時(shí)間內(nèi)的平均速度（位移的單位為m）。12解：設(shè)在[3，3.1]內(nèi)的平均速度為v1，則△t1=3.1-3=0.1(s)△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m)第3頁,共37頁，2024年2月25日，星期天所以同理第4頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例1是計(jì)算了[3，3+△t]當(dāng)t=0.1,t=0.01,t=0.001時(shí)的平均速度。上面是計(jì)算了△t>0時(shí)的情況下面再來計(jì)算△t<0時(shí)的情況解：設(shè)在[2.9，3]內(nèi)的平均速度為v4，則△t1=3-2.9=0.1(s)△s1=s(3)-s(2.9)=0.5g×32-0.5g×2.92=0.295g(m)第5頁,共37頁，2024年2月25日，星期天所以設(shè)在[2.99，3]內(nèi)的平均速度為v5，則設(shè)在[2.999，3]內(nèi)的平均速度為v6，則第6頁,共37頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)△t→0時(shí)，物體的速度趨近于一個(gè)確定的值3g△t>0

v△t<0v0.13.05g-0.12.95g0.013.005g-0.012.995g0.0013.0005g-0.0012.9995g--

各種情況的平均速度第7頁,共37頁，2024年2月25日，星期天在t=3s

這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度等于在3s

到(3+△t)s

這段時(shí)間內(nèi)的平均速度當(dāng)△t→0的極限，第8頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)物體的運(yùn)動方程是s=s(t),物體在時(shí)刻t

的瞬時(shí)速度為v,一般結(jié)論就是物體在t

到t+△t

這段時(shí)間內(nèi),當(dāng)△t→0時(shí)平均速度的極限，即第9頁,共37頁，2024年2月25日，星期天讓我們再來看一個(gè)例子第10頁,共37頁，2024年2月25日，星期天P相切相交再來一次例２、第11頁,共37頁，2024年2月25日，星期天PPnoxyy=f(x)割線切線T當(dāng)點(diǎn)Pn沿著曲線無限接近點(diǎn)P即Δx→0時(shí),割線PPn趨近于確定的位置，這個(gè)確定位置的直線PT稱為點(diǎn)P處的切線.第12頁,共37頁，2024年2月25日，星期天切線Pl

能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫曲線過該點(diǎn)的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。不能xyo直線與圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，直線叫做圓的切線。所以，不能用直線與曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來定義曲線的切線。第13頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

圓的切線定義并不適用于一般的曲線。通過逼近的方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線（交點(diǎn)可能不惟一）適用于各種曲線。所以，這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。

第14頁,共37頁，2024年2月25日，星期天xoyy=f(x)P(x0,y0)Q(x1,y1)M△x△y割線與切線的斜率有何關(guān)系呢？

即：當(dāng)△x→0時(shí)，割線PQ的斜率的極限，就是曲線在點(diǎn)P處的切線的斜率，第15頁,共37頁，2024年2月25日，星期天一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是第16頁,共37頁，2024年2月25日，星期天上式稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)記作：或即注意：1、函數(shù)應(yīng)在點(diǎn)的附近有定義，否則導(dǎo)數(shù)不存在。

第17頁,共37頁，2024年2月25日，星期天2、在定義導(dǎo)數(shù)的極限式中，△x趨近于0可正、可負(fù)，但不為0，而△y可能為0。3、導(dǎo)數(shù)是一個(gè)局部概念，它只與函數(shù)在x0及其附近的函數(shù)值有關(guān)，與△x無關(guān)。4、若極限不存在，則稱函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。第18頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率是.

故曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程是:導(dǎo)數(shù)的幾何意義第19頁,共37頁，2024年2月25日，星期天導(dǎo)數(shù)可以描述任何事物的瞬時(shí)變化率．瞬時(shí)變化率除了瞬時(shí)速度，切線的斜率還有：點(diǎn)密度，國內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的增長率，經(jīng)濟(jì)學(xué)上講的一切邊際量等．第20頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例1、將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第xh時(shí)，原油的溫度(單位：℃)為f(x)=x2-7x+15(0

x8).計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義。解：第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬進(jìn)變化率就是f'(2)和f'(6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：第21頁,共37頁，2024年2月25日，星期天所以，同理可得

f

'(6)=5f(x)=x2-7x+15第22頁,共37頁，2024年2月25日，星期天

f

'(6)=5說明在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速度上升；說明在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速度下降；第23頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)1、以初速度為v0(v0>0)作豎直上拋運(yùn)動的物體，t秒時(shí)的高度為h(t)=v0t--gt2,求物體在時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度。12第24頁,共37頁，2024年2月25日，星期天所以物體在時(shí)刻t0處的瞬時(shí)速度為v0-gt0.第25頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習(xí)2、質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)=at2+1做直線運(yùn)動(位移單位：m,時(shí)間單位：s).若質(zhì)點(diǎn)在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度為8m/s,求常數(shù)a的值。a=2第26頁,共37頁，2024年2月25日，星期天由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法是：(2)求平均變化率(3)取極限,得導(dǎo)數(shù)(1)求函數(shù)的增量第27頁,共37頁，2024年2月25日，星期天例2:求曲線y=f(x)=x2+1在點(diǎn)P(1,2)處的切線方程.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用第28頁,共37頁，2024年2月25日，星期天二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：第29頁,共37頁，2024年2月25日，星期天（3）函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)在x=x0處的函數(shù)值，即。這也是求函數(shù)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的方法之一。小結(jié):（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是指某一區(qū)間內(nèi)任意點(diǎn)x而言的,

就是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)。（1）函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常數(shù)，不是變數(shù)。

弄清“函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)”、“導(dǎo)函數(shù)”、“導(dǎo)數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系。第30頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練習(xí):如圖,已知曲線,求:

(1)點(diǎn)P處的切線的斜率;(2)點(diǎn)P處的切線方程.

yx-2-112-2-11234OP即點(diǎn)P處的切線的斜率等于4.

(2)在點(diǎn)P處的切線方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.第31頁,共37頁，2024年2月25日，星期天練：設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù),且滿足條件,

求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率.故所求的斜率為-2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用第32頁,共37頁，2024年2月25日，星期天xoyy=f(x)PQ1Q2Q3Q4T繼續(xù)觀察圖像的運(yùn)動過程，還有什么發(fā)現(xiàn)？第33頁,共37頁，2024年2月25日，星期天第34頁,共37頁，2024年2月25日，星期天第35頁,共37頁，2024