廣東省肇慶市封川中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省肇慶市封川中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，，若，則(

)A.

B.

C.0

D.1參考答案：C=,=,解方程=得0.選C.2.直線過點(diǎn)且與直線垂直，則直線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D3.設(shè)雙曲線(a>0,b>0)的左、右兩焦點(diǎn)分別為F1、F2，P是雙曲線上一點(diǎn)，點(diǎn)P到雙曲線中心的距離等于雙曲線焦距的一半，且，則雙曲線的離心率是A.

B.

C.

D.參考答案：A不妨設(shè)點(diǎn)在雙曲線的右支上，則.因?yàn)?，所以?由點(diǎn)到雙曲線中心的距離等于雙曲線焦距的一半可知，，所以，即，得.所以雙曲線的離心率.故選A.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（

）A．

B．

C．

D．1參考答案：C5.已知，，且，那么的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A6.如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”．執(zhí)行該程序框圖，若輸入a，b分別為14，18，則輸出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14參考答案：B【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的a，b的值，當(dāng)a=b=2時(shí)不滿足條件a≠b，輸出a的值為2．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得a=14，b=18滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=4滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=10滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=6滿足條件a≠b，滿足條件a＞b，a=2滿足條件a≠b，不滿足條件a＞b，b=2不滿足條件a≠b，輸出a的值為2．故選：B．7.為正實(shí)數(shù)，是虛數(shù)單位，，則（

）(A) (B) (C) (D)參考答案：B8.（2009湖南卷文）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A．（2，0）

B．（-2，0）

C．（4，0）

D．（-4，0）參考答案：解析:由,易知焦點(diǎn)坐標(biāo)是，故選B.9.一個(gè)幾何體的三視圖如圖2所示(單位：cm)，則該幾何體的體積是（A）

（B）

（C）

（D）7參考答案：A該幾何體是棱長為2的正方體截去一個(gè)三棱錐后所得的多面體，其體積為10.函數(shù)的部分圖象如圖所示,設(shè)是圖象的最高點(diǎn),是圖象與軸的交點(diǎn),記,則的值是（）A．

B． C．

D．參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，圓的直徑為6，為圓周上一點(diǎn)，，過作圓的切線，過作的垂線，垂足為，則

．參考答案：12.設(shè)，若，則的最小值為__________．參考答案：4

【知識點(diǎn)】基本不等式；等比數(shù)列的性質(zhì)．D3E6解析：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的最小值為．故答案為4.【思路點(diǎn)撥】由條件a+b=1,利用基本不等式求出它的最小值．13.在△中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知，，，則

。參考答案：14.設(shè)a∈（0，]，則點(diǎn)f（a）=（cosx﹣sin2x）dx取最大值時(shí)，則a=．參考答案：【考點(diǎn)】定積分．【分析】先根據(jù)定積分的定義表示出∫0a（cosx﹣sin2x）dx，然后利用三角函數(shù)中輔助角公式進(jìn)行化簡，即可求出最值，從而求出此時(shí)的a的值．【解答】解：∫0a（cosx﹣sin2x）dx=（sinx+cos2x）|0a=sina+cos2a﹣（sin0+cos0）=sina+（1﹣2sin2a）﹣=﹣sin2a+sinα=﹣（sina﹣）2+，當(dāng)a=時(shí)，∫0a（cosx﹣sin2x）dx取最大值．故答案為：15.已知函數(shù)若方程恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的最大值是______．參考答案：【分析】不妨設(shè)，則，令，可得，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】作出函數(shù)圖象如圖所示，由，可得，即，不妨設(shè)，則，令，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上遞增；當(dāng)時(shí)，，在上遞減；當(dāng)時(shí)，取得最大值,故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查方程的根與圖象交點(diǎn)的關(guān)系，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及求函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)極值與最值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)判斷在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.16.設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則_________.參考答案：０17.已知向量與的夾角為120°，且，則______________參考答案：13三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某市近10年的煤氣消耗量與使用煤氣戶數(shù)的歷史資料如下：年份1993199419951996199719981999200020012002x用戶（萬戶）11.21.61.822.53.244.24.5y（百萬立方米）679.81212.114.5202425.427.5（1）檢驗(yàn)是否線性相關(guān)；（2）求回歸方程；（3）若市政府下一步再擴(kuò)大5千煤氣用戶，試預(yù)測該市煤氣消耗量將達(dá)到多少.參考答案：解析：用計(jì)算機(jī)Excel軟件作出散點(diǎn)圖（如下圖），

觀察呈線性正相關(guān)，并求出回歸方程.用計(jì)算機(jī)Excel軟件求回歸方程時(shí)，點(diǎn)選“顯示r2的值”可進(jìn)一步得到相關(guān)系數(shù).（1）r=0.998>0.632=r0.05，線性相關(guān)；（2）=0.08+6.06x；（3）x0=4.5+0.5=5，代入得=30.38，所以煤氣量約達(dá)3038萬立方米.19.（12分）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）記恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由。參考答案：解析：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，

…………2分又，

…………3分是正項(xiàng)等比數(shù)列，，

…………4分公比，

…………5分?jǐn)?shù)列

…………6分

（2）解法一：，由

…………8分，當(dāng)，

…………10分又故存在正整數(shù)M，使得對一切M的最小值為2…………12分

（2）解法二：，令，

…………8分由，函數(shù)…………10分對于故存在正整數(shù)M，使得對一切恒成立，M的最小值為2…………1220.某校為了豐富學(xué)生的課余生活，決定在每周的星期二、星期四的課外活動期間同時(shí)開設(shè)先秦文化、趣味數(shù)學(xué)、國學(xué)和網(wǎng)絡(luò)技術(shù)講座，每位同學(xué)參加每個(gè)講座的可能性相同．若參加講座的人數(shù)達(dá)到預(yù)先設(shè)定的人數(shù)時(shí)稱為滿座，否則稱為不滿座，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表明，各講座的概率如表：星期先秦文化趣味數(shù)學(xué)國學(xué)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)星期二星期四根據(jù)上表：（1）求趣味數(shù)學(xué)講座在星期二、星期四都不滿座的概率；（2）設(shè)星期四各講座滿座的科目為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；互斥事件的概率加法公式；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：（1）由圖表可得星期二、星期四滿座的概率，然后由對立事件及相互獨(dú)立事件的概率得答案．（2）由題意可知ξ的所有取值為：0，1，2，3，4．然后利用相互獨(dú)立事件和互斥事件的概率求得概率，列出頻率分布表，再由期望公式求得期望．解答： 解：（1）設(shè)趣味數(shù)學(xué)講座在星期二、星期四都不滿座為時(shí)間A，則P（A）=．（2）由題意可知ξ的所有取值為：0，1，2，3，4．P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=．∴ξ的分布列為：ξ01234P故ξ的期望為Eξ=0×．點(diǎn)評：本小題主要考查概率、概率與統(tǒng)計(jì)等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力及應(yīng)用意識，屬中檔題．21.如圖，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．（1）證明：平面ACD⊥平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點(diǎn)E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值.參考答案：（1）見解析；（2）.試題分析：（1）利用題意證得二面角的平面角為90°，則可得到面面垂直；（2）利用題意求得兩個(gè)半平面的法向量，然后利用二面角的夾角公式可求得二面角D–AE–C的余弦值為.試題解析：（1）由題設(shè)可得，，從而.又是直角三角形，所以.取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO,則DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形，故.所以為二面角的平面角.在中，.又，所以，故所以平面ACD⊥平面ABC.（2）由題設(shè)及（1）知，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則.由題設(shè)知，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，即E為DB的中點(diǎn)，得.故.設(shè)是平面DAE的法向量，則即可取.設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可取.則.所以二面角D-AE-C的余弦值為.【名師點(diǎn)睛】（1）求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.（2）設(shè)m，n分別為平面α，β的法向量，則二面角θ與互補(bǔ)或相等，故有.求解時(shí)一定要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.22.已知函數(shù)，函數(shù)，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若不等式在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求證不等式成立.參考答案：（1）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)椋?，所?當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)