奧數(shù)行程之鐘表問(wèn)題張林 (附答案)

奧數(shù)行程之鐘表問(wèn)題

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

1.基礎(chǔ)知識(shí)：

時(shí)鐘是我們?nèi)粘Ｉ钪胁豢扇鄙俚挠?jì)時(shí)工具。生活中也時(shí)常會(huì)遇到與時(shí)鐘相關(guān)的問(wèn)題。

整個(gè)鐘面為360度，上面有12個(gè)大格，每個(gè)大格為30度；60個(gè)小格，每個(gè)小格為6

度。

鐘面上按“時(shí)”分為12大格，按“分”分為60小格。每小時(shí)，時(shí)針走1大格合5小格

30度，分針走12大格合60小格360度；每分鐘時(shí)，時(shí)針?biāo)俣龋好糠昼娮呓裥「瘢琗

6=0.5度，每分鐘走0.5度，分針?biāo)俣龋好糠昼娮?小格，每分鐘走6度。每分鐘分針比時(shí)

針多走，或是6度-0.5度=5.5度；這是速度差，是恒定不變的。而它們的速度

113

和是1垣不，或是6度+0.5度=6.5度，這也是恒定不變的。

每秒鐘，秒針每秒鐘走1小格,6度;分針每60秒鐘走1小格，則分針每秒鐘走七格，

1159

而X6=0.1度；每秒鐘秒針比分針多走『而云格，或是6度-0.1度=5.9度。

秒針每秒走1小格，6度；時(shí)針60X60=3600秒走5小格，則時(shí)針每秒走義格，義

I乙UI乙U

11719111

X6=TT度；每秒鐘秒針比時(shí)針多走節(jié)正格，或是6度-3度二5行度

1.乙(乙乙UJL乙JL乙

時(shí)鐘問(wèn)題可以看做是一個(gè)特殊的圓形軌道上2人追及或相遇問(wèn)題，不過(guò)這里的兩個(gè)“人”

分別是時(shí)鐘的分針和時(shí)針。時(shí)鐘問(wèn)題有別于其他行程問(wèn)題是因?yàn)樗乃俣群涂偮烦痰亩攘糠?/p>

式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小時(shí)，而是2個(gè)指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘

走多少小格”。而它們的速度差和速度和是固定不變的.

2.基本類(lèi)型：

一是求某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角，二是求時(shí)針、分針的追及問(wèn)題，主要有：兩針重合，

兩針垂直，兩針成直線等類(lèi)型。三是求時(shí)針、分針的相遇問(wèn)題，四是求“怪鐘”，或者是“壞

了的鐘”，它們的時(shí)針和分針每分鐘走的度數(shù)會(huì)與常規(guī)的時(shí)鐘不同，這就需要我們要學(xué)會(huì)對(duì)

不同的問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立的分析。

一、某一時(shí)刻時(shí)針與分針的夾角

鐘表上的時(shí)針、分針你追我趕，始終圍繞中心按各自恒定的速度旋轉(zhuǎn)，兩針?biāo)傻膴A角

也隨著時(shí)間的變化而變化。

如何來(lái)計(jì)算兩針的夾角呢？通常我們以兩針各自正對(duì)鐘表面上“12”時(shí)為起始位置，以

所計(jì)算角度時(shí)刻時(shí)針、分針暫停的位置為終止位置,兩針各自旋轉(zhuǎn)的角度之差為兩針的夾角。

由于我們常說(shuō)的角都是小于180度的，當(dāng)兩針夾角大于180度時(shí)，應(yīng)用周角360度減去兩針

所所旋轉(zhuǎn)的夾角差為兩針的夾角。

時(shí)針旋轉(zhuǎn)一圈是12小時(shí)，從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置旋轉(zhuǎn)了360度，1小時(shí)旋轉(zhuǎn)了30

度，1分鐘旋轉(zhuǎn)了0.5度；分針旋轉(zhuǎn)一?圈是60分鐘，從起始位置旋轉(zhuǎn)到終止位置是360度，

1分鐘旋轉(zhuǎn)了6度。

(1)普通鐘表相當(dāng)于圓，其時(shí)針或分針走一圈均相當(dāng)于走過(guò)360°角；(2)鐘表上的

360°360°

每一個(gè)大格對(duì)應(yīng)的角度是:=30°；(3)時(shí)針每走過(guò)1分鐘對(duì)應(yīng)的角度應(yīng)為:

1212X60

=0.5。；⑷分針每走過(guò)1分鐘對(duì)應(yīng)的角度應(yīng)沏b=6。。

（-）整點(diǎn)兩針夾角的計(jì)算

例1.3點(diǎn)整時(shí)針?lè)轴樀膴A角是多少度？

分析：如圖1,時(shí)針從0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到2點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)了2X30°=60°；分針沒(méi)有旋轉(zhuǎn)，從0

分到0分，轉(zhuǎn)了0°。所以兩針的夾角為60°-0。=60°。

解：3義30°-0X6°=90°

總結(jié)：一般情況下，時(shí)針與分針的夾角最大為180°,即所求的夾角都是較

小的夾角。整點(diǎn)時(shí)，因?yàn)榉轴樖冀K指向刻度12（0）,即分針沒(méi)有旋轉(zhuǎn)角度，所

以我們只需要看時(shí)針與分針之間相差了多少大格，1大格對(duì)應(yīng)30°。

如果時(shí)針刻度在W6的時(shí)候，時(shí)針與分針的夾角=整點(diǎn)數(shù)X30°；

如果時(shí)針刻度在＞6時(shí)，時(shí)針與分針的夾角=360°-整點(diǎn)數(shù)X30°=（12-整

點(diǎn)數(shù)）X3O0

練習(xí)1：早上6點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

早上8點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

早上10點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

早上11點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

中午12點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

下午13點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

下午15點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

下午19點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

下午14點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

下午22點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針?lè)轴樀膴A角是（）度

（二）非整點(diǎn)兩針夾角的計(jì)算

例1.如圖1所示，當(dāng)時(shí)間為7：55時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°

的角）。

解析一：此題中按順時(shí)針?lè)较蚩捶轴樤诤竺?，時(shí)針在前面，時(shí)針靠向分針；依據(jù)常識(shí),

我們應(yīng)該以時(shí)針、分針均在12點(diǎn)時(shí)為起始點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。由于分針在時(shí)針前面，我們可以先

算出分針走過(guò)的角度，再減去時(shí)針走過(guò)的角度，即可求出時(shí)針與分針夾角的度數(shù)。

分針走過(guò)的角度為：55X6°=330°

時(shí)針走過(guò)的角度為:7X30°+55X0.5°=237.5°

則時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為：330°-237.5°=92.5°

綜合算式：夾角=分針時(shí)間X6°-（時(shí)針時(shí)間X30°+分針時(shí)間義0.5°）=分針時(shí)間X

5.5°-時(shí)針時(shí)間X30°

解析二：假設(shè)時(shí)針固定在7不動(dòng)，則時(shí)針?lè)轴樀膴A角為：（55-7X5）X6°=120°

因?yàn)闀r(shí)針要移動(dòng)，所以最后夾角是：120°-生X30°=92.5°

y分針時(shí)間

綜合算式：夾角=（分針時(shí)間-時(shí)針時(shí)間X5）X6。一互需!-』X30°

oU

小練習(xí)1：當(dāng)時(shí)間為6：45時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

綜合算式1：夾角=分針時(shí)間X6°-（時(shí)針時(shí)間X30°+分針時(shí)間X0.5°）=分針時(shí)間X

5.5°-時(shí)針時(shí)間X30°

分針時(shí)間

綜合算式2：夾角=（分針時(shí)間-時(shí)針時(shí)間X5）X6°—?dú){產(chǎn)X3O0

bU

小練習(xí)2：當(dāng)時(shí)間為2：30時(shí);計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

小練習(xí)3：當(dāng)時(shí)間為5：50時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180。的角）。

例2.如圖2所示，當(dāng)時(shí)間為7：15時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°

的角）。

解析一：此題中按順時(shí)針?lè)较蚩?，時(shí)針在分針的后面，與上題不同。我們應(yīng)該先算出

時(shí)針走過(guò)的角度，再去減去分針走過(guò)的角度，即可求出時(shí)針與分針夾角的度數(shù)。

時(shí)針走過(guò)的角度為：7x300+15x0.5°=217.5°

分針走過(guò)的角度為：15x6°=90°

則時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為：217$°-90。=127.5°

綜合算式：夾角=（時(shí)針時(shí)間義30°+分針時(shí)間X0.5°）-分針時(shí)間X6°=時(shí)針時(shí)間X

30°-分針時(shí)間X5.5°

解析二：假設(shè)時(shí)針固定在7不動(dòng)，則時(shí)針?lè)轴樀膴A角為：（7X5-15）X6°=120°

15

因?yàn)闀r(shí)針要移動(dòng)，所以最后夾角是：120°X30°=127.5°

60

分針時(shí)間

綜合算式：夾角=（時(shí)針時(shí)間X5-分針時(shí)間）X6。+萬(wàn)蟹X30°

小練習(xí)1：當(dāng)時(shí)間為8：20時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

綜合算式1：夾角=（時(shí)針時(shí)間X30°+分針時(shí)間X0.5°）-分針時(shí)間義6°=時(shí)針時(shí)間X

30°-分針時(shí)間X5.5°

綜合算式2：夾角=（時(shí)針時(shí)間X5-分針時(shí)間）X6°但瞥區(qū)X3O0

0U

小練習(xí)2：當(dāng)時(shí)間為3：15時(shí),計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

小練習(xí)3：當(dāng)時(shí)間為5：30時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

小練習(xí)4：當(dāng)時(shí)間為9：40時(shí);計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

小練習(xí)5：當(dāng)時(shí)間為10：50時(shí)，計(jì)算時(shí)針與分針夾角的度數(shù)（不考慮大于180°的角）。

總結(jié)規(guī)律：

從上述兩例我們可以總結(jié)出規(guī)律如下：當(dāng)分針在時(shí)針前面，可以先算出分針走過(guò)的角度,

再減去時(shí)針走過(guò)的角度，即可求出時(shí)針與分針夾角的度數(shù)；當(dāng)分針在時(shí)針后面，可以先算出

時(shí)針走過(guò)的角度，再減去分針走過(guò)的角度，即可求出時(shí)針與分針夾角的度數(shù)。

用字母和公式表示：

當(dāng)時(shí)間為m點(diǎn)n分時(shí)，其時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為：

（1）分針在時(shí)針前面：

綜合算式1：夾角=分針時(shí)間X6。-（時(shí)針時(shí)間X30°+分針時(shí)間X0.5°）=分針時(shí)間X

5.5°-時(shí)針時(shí)間X30°

分針時(shí)間

綜合算式2：夾角=(分針時(shí)間-時(shí)針時(shí)間義5)X6°-為X30°

OU

(2)分針在時(shí)針后面：

綜合算式1：夾角=(時(shí)針時(shí)間X30°+分針時(shí)間X0.5°)-分針時(shí)間X6°=時(shí)針時(shí)間X

30°-分針時(shí)間X5.5°

綜合算式2：夾角=(時(shí)針時(shí)間X5-分針時(shí)間)X6°嚴(yán)分針導(dǎo)時(shí)間2X3O0

oU

依據(jù)此公式可以求出任意時(shí)刻時(shí)針與分針夾角的度數(shù)，計(jì)算起來(lái)非常便捷。如果題目中

涉及到秒，我們可以先把秒換算為分，再套用上述規(guī)律和公式進(jìn)行計(jì)算即可。

綜合以上可得：

當(dāng)時(shí)間為m點(diǎn)n分時(shí)，其時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為：

I時(shí)針時(shí)間X30°-分針時(shí)間X5.5°|

當(dāng)I時(shí)針時(shí)間X30°-分針時(shí)間X5.5°|結(jié)果大于180°時(shí)，時(shí)針與分針夾角的度數(shù)為

360°-I時(shí)針時(shí)間X30°-分針時(shí)間X5.5°

(三)已知兩針的夾角，求時(shí)間

例3.4點(diǎn)過(guò)多少時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直？

分析：存在兩種情況：(1)當(dāng)時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度大于分針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖3,時(shí)針?lè)轴?/p>

互相垂直；(2)當(dāng)分針旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖1,時(shí)針?lè)轴樆ハ啻怪薄?/p>

(1)當(dāng)時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度大于分針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖3,

解法一：設(shè)4點(diǎn)過(guò)x分鐘時(shí)兩針互相垂直。由題得：

(4X30+0.5x)—6x=90

120+0.5x—6x=90

5.5x=30

5

x=5五

解法二：因?yàn)樗狞c(diǎn)整時(shí)，分針與時(shí)針相差路程(4X5)小格，而后來(lái)成90°相差90°

4-360°X60=15小格，即分針追及的路程為：(4X5-90°4-360°X60),所以追及時(shí)間=

追及路程+速度差

15

(4X5-90°4-360°X60)4-(1--)=5言(分)

(2)當(dāng)分針旋轉(zhuǎn)角度大于時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度時(shí)，如圖2,設(shè)4點(diǎn)過(guò)y分鐘時(shí)兩針互相垂直。

由題得：

6y-(4X30+0.5y)=90

6y-120-0.5y=90

5.5y=210

2

y=387T

解法二：因?yàn)樗狞c(diǎn)整時(shí)，分針與時(shí)針相差路程(4X5)小格，分針追上時(shí)針，還超過(guò)了

90°,相差90°4-360°X60=15小格，即分針追及的路程為：(4X5+90°4-360°X60),

所以追及時(shí)間=追及路程+速度差

（4X5+90°+360°X60）+（1-紜）=38看

52

答：4點(diǎn)過(guò)5—分或4點(diǎn)38—分時(shí)，時(shí)針與分針互相垂直。

總結(jié)：（1）從順時(shí)針角度看，時(shí)針在分針的后面，當(dāng)時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度大于分針旋轉(zhuǎn)角度

時(shí)。

解法一：設(shè)整點(diǎn)過(guò)x分鐘時(shí)兩針成相應(yīng)角度。由題得：6x-（整點(diǎn)X30+0.5x）=后來(lái)

度數(shù)

解法二：（整點(diǎn)X5-度數(shù)+360。X60）4-（1-專(zhuān)）

（2）當(dāng)分針追上時(shí)針，并超越這角度時(shí)。

解法一：設(shè)整點(diǎn)過(guò)x分鐘時(shí)兩針成相應(yīng)角度。由題得：（整點(diǎn)X30+0.5x）—6x=后來(lái)

度數(shù)

解法二：（整點(diǎn)X5+度數(shù)+360。X60）4-（1-白）

練習(xí)1.11點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為30度？

（提示：也存在兩種情況，一種是時(shí)針比分針旋轉(zhuǎn)角度大30度，另一種是時(shí)針比分針

旋轉(zhuǎn)角度大360°-30°=330°）

練習(xí)2.3點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為60度？

練習(xí)3.5點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為120度？

練習(xí)4.8點(diǎn)過(guò)多少分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角為60度？

二、時(shí)針、分針的追及問(wèn)題

新課標(biāo)提倡，數(shù)學(xué)走進(jìn)生活，教科書(shū)中出現(xiàn)了與日常生活密切相關(guān)的鐘表問(wèn)題。追及問(wèn)

題主要有以下兩種解法：

1111

一、格數(shù)法：分針與時(shí)針的速度差=1、=7?；秒針與分針的速度差：1-正任格;

12oUbU

5i

秒針每秒走1小格，時(shí)針60X60=3600秒走5小格，則時(shí)針每秒走訪；弓而格，秒針與

obUU/ZU

時(shí)針的速度差是151/719格。

II4U

二、度數(shù)法：

每分鐘時(shí)，時(shí)針?biāo)俣龋好糠昼娮呒嬓「?，紜X6=0.5度，每分鐘走0.5度，分針?biāo)俣龋?/p>

每分鐘走1小格，每分鐘走6度。每分鐘分針與時(shí)針的速度差6度-0.5度=5.5度。

每秒鐘，秒針每秒鐘6度；分針每60秒鐘走1小格，則分針每秒鐘走上格，1X

6=0.1度；每秒鐘秒針與分針的速度差=6度-0.1度=5.9度。

秒針每秒走1小格，6度；時(shí)針60X60=3600秒走5小格，則時(shí)針每秒走劣格，/

，乙IU，乙U

X6』度；每秒鐘秒針與時(shí)針?biāo)俣炔?度』度=5號(hào)度

，乙1.乙J.乙

追及問(wèn)題主要有重合，成平角，（這兩種情況又叫成一條直線），成直角，或成相應(yīng)角度。

示例：在3點(diǎn)和4點(diǎn)之間的哪個(gè)時(shí)刻，鐘表的時(shí)針與分針：（1）重合；（2）成平角；（3）

成直角：（4）成60度。許多同學(xué)面對(duì)此題，束手無(wú)策，不知如何解決。實(shí)際上，因?yàn)榉轴?/p>

旋轉(zhuǎn)的速度快，時(shí)針旋轉(zhuǎn)的速度慢，而旋轉(zhuǎn)的方向卻是一致的。因此上面這類(lèi)問(wèn)題也可看做

追及問(wèn)題。通常有以下兩種解法：

鐘表面的外周長(zhǎng)被分為60個(gè)“分格”即60個(gè)小格，時(shí)針1小時(shí)走5個(gè)分格，所以時(shí)針

一分鐘轉(zhuǎn),分格，分針一分鐘轉(zhuǎn)1個(gè)分格。分針與時(shí)針的速度差=1-白片，因此可以利

用時(shí)針與分針旋轉(zhuǎn)的“分格”數(shù)來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。而從度數(shù)法來(lái)看：每分鐘分針與時(shí)針的速

度差6度-0.5度=5.5度。

Y

解析（1）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針重合，則分針走x個(gè)分格，時(shí)針走上個(gè)分格。

12

因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻，時(shí)針在分針前15分格處，所以當(dāng)分針與時(shí)針在3點(diǎn)與4點(diǎn)之間重合

時(shí)，分針比時(shí)針多走15個(gè)分格即90度，于是得

x4

方程一x------=15,解得：/=16—o

1211

4

方程二6x—05x=90,解得x=16y。

、14

或：154-（1-）=16—

4

所以3點(diǎn)16一分時(shí)，時(shí)針與分針重合。

11

（2）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻，時(shí)針在分針前15小格

處，而在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成一平角時(shí)，分針必須先追上時(shí)針再多行30小格，

此時(shí)分針比時(shí)針多走了45小格，此時(shí)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了90。+180。=270。。于是得

x1

方程一x--=45,解得X=49—。

1211

方程二6x-（）5x=270,WWx=49—o

11

或者：（15+30）4-（1-^）=49yj-

所以3點(diǎn)49,分時(shí)，時(shí)針與分針成平角。

11

（3）設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。此時(shí)分針在時(shí)針前15小格處，所以在3點(diǎn)到

4點(diǎn)之間，時(shí)針與分針成直角時(shí)，分針先追上時(shí)針并比時(shí)針再多走15小格，共多走了30小

格，此時(shí)分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)了9(尸+90P=1盼，于是得

YQ

方程一X-t=30,解得X=32、。

1211

Q

方程二6x-05x=180,解得x=32y。

?8

或者：(15+15)4-(1--)=32—

Q

所以3點(diǎn)32；■分時(shí)，時(shí)針與分針成直角。

(4)此題有兩種情況，第一種情況，按順時(shí)針?lè)较蚩?，時(shí)針在分針前。因?yàn)樵?點(diǎn)這

一時(shí)刻，時(shí)針在分針前15小格即90度處，而后來(lái)分針距離時(shí)針60度即10小格才相遇，所

以分針比時(shí)針多走(15-10)個(gè)小格，此時(shí)分針比時(shí)針多走了90度-60度=30度

設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成60度，則分針走x個(gè)分格，時(shí)針走三個(gè)分格。于是得

12

xS

方程一x--=15-10,解得：x=5—

12110

5

方程二6x—5.5%=30,解得：x=5yy

-15

或：(15T0)4-(1--)=5—

第二種情況，按順時(shí)針?lè)较蚩?，分針在時(shí)針前60度。因?yàn)樵?點(diǎn)這一時(shí)刻，時(shí)針在分

針前15小格即90度處，而后來(lái)分針追上時(shí)針并超越了60度即10小格，所以分針比時(shí)針多

走(15+10)個(gè)小格,此時(shí)分針比時(shí)針多走了90度+60度=150度。

x

設(shè)3點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成60度，則分針走x個(gè)分格，時(shí)針走一個(gè)分格。于是得

12

Y3

方程一：x-----=15+10,解得：x=27—o

1211

3

方程二：6x-5.5x=150,解得：x=27—

13

或：(15+10)4-(1--)二27■

所以3點(diǎn)分或者是3點(diǎn)27』分鐘時(shí)，時(shí)針與分針重合。

練一練

1.鐘表上9點(diǎn)到10點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針重合？

2.鐘表上5點(diǎn)到6點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針互相垂直？

3.鐘表上3點(diǎn)到4點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針成40°的角？

4.鐘表上2點(diǎn)到3點(diǎn)之間，什么時(shí)刻時(shí)針與分針成一直線？

（參考答案：1.9點(diǎn)49,分；2.5點(diǎn)43工或5點(diǎn)1（）3分；3.3點(diǎn)9,分

1111II11

77

或3點(diǎn)23,分；4.2點(diǎn)43一分。）

11II

例題1：有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10時(shí)整。那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；

再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？

解析：在10點(diǎn)時(shí)，時(shí)針?biāo)谖恢脼榭潭?0,分針?biāo)谖恢脼榭潭?2；當(dāng)兩針重合時(shí),

分針必須追上50個(gè)小刻度，分針與時(shí)針的速度差=1』丹，是需要時(shí)間：

LCi1.u

50^-（1--）=54—

12II

從第一次重合到第二次重合，分針必須比時(shí)針多走一圈，即60小格，所以需要時(shí)間為：

15

604-（1--）=65—分鐘。

JL乙XJL

標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)鐘，從第一次重合到第二次重合，依次類(lèi)推，每隔65令分鐘，時(shí)針與分針重

合一次。

小練習(xí)1：有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示8：30?那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；

再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？

第一次相遇所需時(shí)間有兩種解法：

解法一：分針追上時(shí)針的刻度為：（8+髭）X5-30=12.5格，所需時(shí)間：

60

3017

［（8+盂）X5-30］4-（1--）=13—（分鐘）

解法二：從8：00開(kāi)始分針追上時(shí)針?biāo)钑r(shí)間-30分鐘=8：30分開(kāi)始分針追上時(shí)針的時(shí)

間：

177

8X54-（1-—）-30=43--30=13—（分鐘）

分鐘數(shù)11

公式：重合所需時(shí)間=［（整點(diǎn)數(shù)+笠產(chǎn)）X5-分鐘數(shù)］）=整點(diǎn)數(shù)義5+（1。）

OU1Z1Z

一分鐘數(shù)

15

第二次重合所需時(shí)間：60+（1-）=65—分鐘。

答：

小練習(xí)2：有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10：20。那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；

再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合?

小練習(xí)3.中午12點(diǎn)，時(shí)針與分針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針重合

多少次？

析：時(shí)針與分針重合后再追隨上，只可能分針追及了60格，則分針追趕時(shí)針一次，耗

時(shí)60/11/12=720/11分鐘，而12小時(shí)能追隨及12*60分鐘/720/11分鐘/次=11次，

第11次時(shí)，時(shí)針與分針又完全重合在12點(diǎn)。如果不算中午12點(diǎn)第一次重合的次數(shù)，應(yīng)

為11次。如果題目是到下次12點(diǎn)之前，重合幾次，應(yīng)為11-1次，因?yàn)椴凰阕詈笠淮沃?/p>

合的次數(shù)。

172011

12X604-[604-（1--）]=7204——=720X—=11（次）

1.乙1.J.?乙U

答：

小練習(xí)4.中午12點(diǎn)，秒針與分針完全重合，那么到下午1點(diǎn)時(shí)，兩針重合多少次？

析：秒針與分針重合，秒針走比分針快，重合后再追上，只可能秒針追趕了60格，則

秒針追分針一次耗時(shí),60格/59/60格/秒=3600/59秒。而到1點(diǎn)時(shí)，總共有時(shí)間3600秒,

則能追趕，3600秒/3600/59秒/次=59次。第59次時(shí)，共追趕了，59次*3600/59秒/

次=3600秒，分針走了60格，即經(jīng)過(guò)1小時(shí)后，兩針又重合在12點(diǎn)。則重合了59次。

1、360059、一、

60X604-[r604-（1--）]=36004-7—=3600X——=59（次）

60593600

小練習(xí)5：中午12點(diǎn)，秒針與時(shí)針完全重合，那么到下次12點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與秒針重合

了多少次？

析：重合后再追上，只可能是秒針追趕了時(shí)針60格，每秒鐘追719/720格，則要一次

要追60/719/720=43200/719秒。而12個(gè)小時(shí)有12*3600秒時(shí)間，則可以追

12*3600/43200/719=719次。此時(shí)重合在12點(diǎn)位置上，即重合了719次。

5、、12X60X60

12X60X60+[r60+（l-）]=12X60X604-—————=12X60X60X

6gn0xX/6g0n719

719

----------=719（次）

12X60X60

例題2.現(xiàn)在是10點(diǎn)，再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，時(shí)針與分針將第一次在一條直線上？什么時(shí)候

第二次在一條直線上？

解析：每分時(shí)針的速度是表格，0.5（度/分），分針的速度是1格，6（度/分），即分針

與時(shí)針的速度差是（1-七）京格，6-0.5=5.5（度/分），10點(diǎn)時(shí)，分針與時(shí)針距離是10

X5=50小格，夾角是300度。

第一次在一條直線時(shí)?，即分針與時(shí)針的距離是30小格，夾角是180度；即分針與時(shí)針

從50小格到30小格或從300度到180度經(jīng)過(guò)的時(shí)間為所求時(shí)間。

19

（10X5-30）+（1--）=21—（分）

9

（10X5X6°-180°）4-（6°-0.5°）=21—（分）

第二次成一條直線時(shí)，即分針追上時(shí)針與時(shí)針重合?追及路程為50小格或300度。

10X54-（七）=54-jj（分）

6

10X5X6°+（6°-0.5°）=54—（分）

96

答：第一次成直線時(shí)，是10點(diǎn)21五分，第二次成直線時(shí)，是10點(diǎn)54打分。

小練習(xí)1：有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示10：05。那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次成

一條直線；再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次成一條直線？

第一次成一條直線所需時(shí)間有兩種解法：

解法一：分針追上時(shí)針的刻度為：（10+6）X5-5-30=15方格，所需時(shí)間：

51g

[（10+—）X5-5-3034-（1--）=16寸（分鐘）

解法二:從10：00開(kāi)始分針追到時(shí)針之間的距離30小格所需時(shí)間-5分鐘=經(jīng)過(guò)的時(shí)間:

199

（10X5-30）+（1-）-5=21--5=16—（分鐘）

第一次成直線時(shí)的公式：

1.當(dāng)原來(lái)角度＞180度時(shí)，成直線所需時(shí)間工（整點(diǎn)數(shù)+筆坦）X5一分鐘數(shù)-30]+

bU

（1-^）=（整點(diǎn)數(shù)X5-30）4-（1-白）一分鐘數(shù)

J.乙

2.當(dāng)原來(lái)角度＜18°度時(shí)'成直線（重合）所需時(shí)間工（整點(diǎn)分?jǐn)?shù)鐘數(shù)+鬻）X5-分鐘數(shù)]

+（1-蚩）=整點(diǎn)數(shù)X5?（1-白）一分鐘數(shù)

X乙

第二次成一條直線時(shí),此時(shí)是重合，分針只要再追30小格就成了，再需時(shí)間為:

,1、8

30+（1-逐）=32石（分）

此時(shí)的時(shí)間是：分針從10：00開(kāi)始追到重合所需時(shí)間，追及路程為50小格或300度。

[6

10X54-（1--）=54~（分）

6

10X5X6°+(6°-0.5°)=54—(分)

或：32卷+16^-+5=54件（分）

小練習(xí)2：有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示3：15。那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次成一

條直線；再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次成一條直線？

小練習(xí)3：有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示9：10,那么，經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第一次成一

條直線；再經(jīng)過(guò)多少分鐘，分針與時(shí)針第二次成一條直線？

例題3.鐘表的時(shí)針與分針在8點(diǎn)多少分第一次垂直？什么時(shí)候第二次垂直？

解析:此題屬于追及問(wèn)題，但是追及路程是40-15=25格（由原來(lái)的40格變?yōu)?5格），

速度差是1--!-=□,所以追及時(shí)間是：25+旦=27』（分）。第二次垂直時(shí)，追及路程

12121211

在整點(diǎn)數(shù)加15格，即5X8+15格，所以追及時(shí)間是：（5X8+15）4-（1-^）=60（分）。

13

第一次垂直：（5X8-15）+（1--）=27J（分）

第二次垂直：（5X8+15）+（1-^）=60（分）

答：時(shí)針與分針在8點(diǎn)27打分，第二次垂直是在9點(diǎn)。

小練習(xí)1：鐘表的時(shí)針與分針在7點(diǎn)10時(shí)，再過(guò)多少分第一次垂直？什么時(shí)候第二次

垂直？

第一次垂直再經(jīng)過(guò)時(shí)間：（整點(diǎn)數(shù)X5-15）+（1義）-分鐘數(shù)

L乙

第二次垂直再經(jīng)過(guò)時(shí)間：（15+15）+（1』）

X乙

第二次垂直時(shí)的時(shí)間=（整點(diǎn)時(shí)間X5+15）+（1-今）

X4

小練習(xí)2：鐘表的時(shí)針與分針在9點(diǎn)20時(shí)，再過(guò)多少分垂直？

小練習(xí)3：鐘表的時(shí)針與分針在4點(diǎn)30時(shí)，再過(guò)多少分垂直？

基本練習(xí)：

1.晚上8點(diǎn)剛過(guò)，不一會(huì)小華開(kāi)始做作業(yè)，一看鐘，時(shí)針與分針正好成一條直線。做

完作業(yè)再看鐘，還不到9點(diǎn)，而且分針與時(shí)針恰好重合。小華做作業(yè)用了多長(zhǎng)時(shí)間？

2.某人下午六時(shí)多外出買(mǎi)東西，出門(mén)時(shí)看手表，發(fā)現(xiàn)表的時(shí)針和分針的夾角為110°,

七時(shí)前回家時(shí)又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是110°.那么此人外出多少分鐘？

3.小紅上午8點(diǎn)多鐘開(kāi)始做作業(yè)時(shí)，時(shí)針與分針正好重合在一起。10點(diǎn)多鐘做完時(shí)，

時(shí)針與分針正好又重合在一起。小紅做作業(yè)用了多長(zhǎng)時(shí)間？

1.解析：根據(jù)題意可知，從在一條直線上追到乖合，需要分針追30小格，180度。

818

180-r（6-0.5）=32-或：30+（I-）=32-（分）答：

2.解析：如下示意圖，開(kāi)始分針在時(shí)針左邊110°位置，后來(lái)追至?xí)r針右邊1100位置.于是，分針追上了110°+110°=220°,對(duì)

應(yīng)（110°+110°）4-6°格。所需時(shí)間為

（1100+110°）+（6°-0.5°）=40（分）或：（110°+110°）+6°+（1--）=40（分）答:。

3.8點(diǎn)多鐘時(shí),時(shí)針和分針重合的時(shí)刻為：8X5+（I-卜）=43^-（分）10點(diǎn)多鐘時(shí)，時(shí)針和分針重:合的時(shí)刻為：】0X5+

（七）=5哈（分）10時(shí)5哈分-8時(shí)4：白=2時(shí)1端，小紅做作業(yè)用了2時(shí)喏時(shí)間

4.星期天，小明在室內(nèi)陽(yáng)光下看書(shū)，看書(shū)之前，小明看了一眼掛鐘，發(fā)現(xiàn)時(shí)針與分針

正好處在一條直線上。看完書(shū)之后，巧得很，時(shí)針與分針又恰好在同一條直線上?？磿?shū)期

間，小明聽(tīng)到掛鐘一共敲過(guò)三下。（每整點(diǎn)，是幾點(diǎn)敲幾下；半點(diǎn)敲一下）請(qǐng)你算一算小明

從幾點(diǎn)開(kāi)始看書(shū)？看到幾點(diǎn)結(jié)束的？

5.從9點(diǎn)整開(kāi)始，經(jīng)過(guò)多少分，時(shí)針與分針第一次成直線?經(jīng)過(guò)多少分鐘時(shí)針成直角？

6.一個(gè)指在九點(diǎn)鐘的時(shí)鐘，分針追上時(shí)針需要多少分鐘？

4.分析：連半點(diǎn)敲聲在內(nèi)，一共敲了三下，說(shuō)明小明看書(shū)的時(shí)間是在中午12點(diǎn)以后-12點(diǎn)以后時(shí)針與分針：

111QQ

第一次成一條直線時(shí)刻是：（0+30）+）=30-?~=32｝（分），即12點(diǎn)32彳分。

11122

第二次成一條直線時(shí)刻是：（5X1+30）-T（1-）=354--=3877（分），即1點(diǎn)3下分。

1it1Ct11LL

11177

第三次成一條直線的時(shí)刻是：（5X2+30）+（1-）=40+石=43—（分），即2點(diǎn)43訂分。

JL4141JLX1.

O97

如果從12點(diǎn)3所分開(kāi)始，到1點(diǎn)3牟分，只敲2下，至IJ2點(diǎn)43下分，就共敲5下（不合題意）

2727

如果從1點(diǎn)38yj-分開(kāi)始到2點(diǎn)43yy分，共敲3下。因此，小明應(yīng)從1點(diǎn)3斫分開(kāi)始看書(shū)，到2點(diǎn)43—分時(shí)結(jié)束的。

5.分析：9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格。如果要第一次成直線，也就是兩者之

間間隔變?yōu)?0個(gè)小格,那么分針要比時(shí)針多走15個(gè)小格，成直角時(shí)，它們之間相隔15小格，追及路程是30小格。

成直線時(shí)：（9X5-30）+（]』）=1677分鐘。成直角時(shí)：（9X5-15）+）=32白分鐘

1Ct111411

答：

6.分析：9時(shí)整時(shí)，分針指向正上方，時(shí)針指向正右方，兩者之間間隔為45個(gè)小格°如果要分針追上時(shí)針，也就是兩者

之間間隔變?yōu)?。個(gè)小格，那么分針要比時(shí)針多走45個(gè)小格，此段時(shí)間為45/（11/12）=540/11分鐘。

9X54-（1-jTj）=49yp分鐘

7.時(shí)鐘的分針和時(shí)針現(xiàn)在恰好重合，那么經(jīng)過(guò)多少分鐘可以成一條直線？

8.分針和時(shí)針每隔多少時(shí)間重合一次？一個(gè)鐘面上分針和時(shí)針一晝夜重合幾次？

9.在4點(diǎn)與5點(diǎn)之間，時(shí)針與分針什么時(shí)候成直角？

7.分析：時(shí)針和分針重合，也就是兩者間隔為。個(gè)小格，如果要成一條直線，也就是兩者間隔變?yōu)?0個(gè)小格，那么分針

要比時(shí)針多走30個(gè)小格，此段時(shí)間為30/（11/12）=360/11分鐘。

j]]8

（0+30）4-（1-）=304--=32yy（分）

8.解析：分針：6度/分時(shí)針0.5度/分

當(dāng)兩針第?次重合到第二次重合，分針比時(shí)針多轉(zhuǎn)360度。所以兩針再次重合需要的時(shí)間為：360/（6-0.5）=720/11分，?晝

夜有：24X60=1440分，所以兩針在一晝夜重合的次數(shù)：1440分/（720/11）分/次=22次

24X604-[360+（6。5）卜22（次）或24X604-（604-（1-）卜22（次）

9.解析：整4點(diǎn)時(shí)，分針指向12,時(shí)針指向4。此時(shí)，時(shí)針領(lǐng)先分針20格。時(shí)，分兩針成直角，必須使時(shí)針領(lǐng)先分針15

1R

格，或分針領(lǐng)先時(shí)針15格。因此，在相同時(shí)間內(nèi)，分針將比時(shí)針多走（20-15）格或（20+15）格。（20-15）4-（1-）=5彳（分），

即4點(diǎn)5jp分，（20+15）+（1--）=38yj-分，即4點(diǎn)38yy分。

I5I9

（20-15）4-（1--）=5-（分）（20+15）4-（1--）=38~（分）

10.奶奶中午12點(diǎn)半開(kāi)始午睡，當(dāng)時(shí)針與分針第4次垂直時(shí)起床。奶奶睡了多長(zhǎng)時(shí)間?

11.在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間，時(shí)針與分針在什么時(shí)刻相互垂直？

10.分析：12：30到13：00垂直I次，13：00到14：00垂直2次，14：00后出現(xiàn)第4次垂直。

14點(diǎn)多第一次垂直：在順時(shí)針?lè)较颍?4點(diǎn)時(shí)，分針（落后）與時(shí)針差60。、10小格，分針要追上并超過(guò)90。、15小格，共

追及度數(shù)：（60。+90。），或追及格數(shù)：（2X5+15）這是一個(gè)分針追時(shí)針的追及問(wèn)題。所以，追及時(shí)間為：，

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（60。+90。H（6。-0.5。）=27}（分），或：（2X5+15）+（1—）=27寸（分）

奶奶睡覺(jué)時(shí)間為14點(diǎn)27.分-12點(diǎn)30分=1小時(shí)57得分。

11分析與解：7點(diǎn)時(shí)分針指向12,時(shí)針指向7（見(jiàn)右圖），分針在時(shí)針后面5X7=35（格）。時(shí)針與分針垂直，即時(shí)針與

分針相差15格，在7點(diǎn)與8點(diǎn)之間，有下圖所示的兩種情況：

（1）順時(shí)針?lè)较蚩?分針在時(shí)針后面15格。從7點(diǎn)開(kāi)始,分針要比時(shí)針多走35-15=20（格），需

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（5X7-15）+（1--）=21yp（分）

（2）順時(shí)針?lè)较蚩?，分針在時(shí)針前面15格。從7點(diǎn)開(kāi)始，分針要比時(shí)針多走35+15=50（格），需

（5X7+15）4-（1令）=54-^-（分）

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答：所求時(shí)刻是7點(diǎn)21—分或是54—分。

鐘表上的相遇問(wèn)題

鐘表相遇問(wèn)題主要表現(xiàn)為時(shí)針與分針交換位置，它們一共走了一圈360。，60小格；

還有就是在某點(diǎn)開(kāi)始，時(shí)針與分針在整點(diǎn)數(shù)兩邊角度相同，它們共同走了整點(diǎn)數(shù)X5小格。

每分鐘時(shí)，時(shí)針?biāo)俣龋好糠昼娮?小格，白X6°=0.5°,每分鐘走0.5°,