人教版高中數(shù)學(xué)選修（1-1）3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)(周雪敏)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.核心素養(yǎng)

通過學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，并依據(jù)運(yùn)

算法則解決數(shù)學(xué)問題.

2.學(xué)習(xí)目標(biāo)

(1)理解利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的原理，掌握判斷函數(shù)單調(diào)性的方法及步驟.

(2)能探索并應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系求單調(diào)區(qū)間.

(3)能解決含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系逆推.

3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)

1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)

L探究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

2.如何用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，特別是含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用.

二、教學(xué)設(shè)計

(-)課前設(shè)計

1.預(yù)習(xí)任務(wù)

任務(wù)1

想一想：判斷函數(shù)的單調(diào)性有哪些方法？比如判斷＞=/一4》+3的單調(diào)性，如何進(jìn)行？有沒

有需要注意的地方？

任務(wù)2

閱讀教材P89—P90,并觀察下面函數(shù)的圖像，想一想，下列函數(shù)的單調(diào)性如何？

任務(wù)3

計算以上四個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，并說明導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號，觀察函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的

正負(fù)間關(guān)系.

任務(wù)4

閱讀教材P90—P93,找出疑惑之處.

2.預(yù)習(xí)自測

1.函數(shù)/(x)=2x-sinx在(-8,+8)上()

A.是增函數(shù)B.是減函數(shù)

C.在(0,+8)上增，在(一8,0)上增

D.在(0,+8)上減，在(一8,0)上增

解：Ar(x)=2-cosx>0在(一8,+8)上恒成立.

2.函數(shù)/(x)=x-lnx的單調(diào)遞減區(qū)間是.

解：(0,1)函數(shù)的定義域是(0,+QO),/'(x)=l-L=E1<0n0<x<l,.?.函數(shù)的單調(diào)遞

XX

減區(qū)間是(0,1).

3.若函數(shù)/(x)=x3+x2+mx+l是R上的增函數(shù)，則實數(shù)加的取值范圍是.

解：。+8)由已知可得尸(x)=3/+2x+mN0在R上恒成立，.?.只需—解

得，〃2L

3

(-)課堂設(shè)計

1.知識回顧

(1)函數(shù)單調(diào)性的定義.

(2)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟.

(3)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法.

(4)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則.

2.問題探究

問題探究一函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系g

活動一回顧舊知，回憶二次函數(shù)的單調(diào)性

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，請作出二次函數(shù)y=/—4x+3的圖像，結(jié)

合圖像得到該函數(shù)的單調(diào)性.

拋物線的對稱軸為x=2,開口向上，函數(shù)在(2,+oo)上單調(diào)遞增，在(-8,2)上單調(diào)遞減.再

求出二次函數(shù)y=/-4x+3的導(dǎo)函數(shù)V=2x-4,可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x>2時，V>0；當(dāng)x<2時，

Z<0.

?活動二整合舊知，探求函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，得到新知

在拋物線對稱軸的右邊，任意取一些點(diǎn)，過這些點(diǎn)分別作出拋物線的切線，觀察這些切線的

斜率，它們有怎樣的共同點(diǎn)？在拋物線對稱軸的左邊，任意取一些點(diǎn)，過這些點(diǎn)分別作出拋

物線的切線，觀察這些切線的斜率，它們又有怎樣的共同點(diǎn)？函數(shù)在某個點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函

數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性是怎樣的關(guān)系？

函數(shù)在某個點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值與函數(shù)在該點(diǎn)處的單調(diào)性的關(guān)系是:

在X=X0處，/'（/）〉0,切線是左下右上，函數(shù)在X。附近單調(diào)遞增；在尤=玉處,

/'（西）＜0,切線是左上右下，函數(shù)/3）在為附近單調(diào)遞減.

函數(shù)的單調(diào)性可簡單的認(rèn)為是：若〃衛(wèi)）二"上）＞0

x2一再

則函數(shù)/（X）為增函數(shù)，可把看作

%23

包=八匹）二/①）,說明函數(shù)的變化率可以反映函數(shù)的單調(diào)性，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)

Axx2-%1

性有著密切的聯(lián)系.

一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在區(qū)間也,見內(nèi)，如果r（x）〉o,那么

函數(shù)v=在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果r（x）＜0,那么函數(shù)y=/（x）在這個區(qū)間內(nèi)

單調(diào)遞減.

想一想：如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有r（x）=o,那么函數(shù)/（X）有什么特性？

如果在某個區(qū)間內(nèi)，恒有函數(shù)y=/（無）的導(dǎo)數(shù)/（x）=0,則在這個區(qū)間上，函數(shù)y=/（x）是

常數(shù)函數(shù).

注意：在某個區(qū)間內(nèi)，若僅有有限個點(diǎn)所對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為0,則不能判斷函數(shù)y=/（x）是常函

數(shù).

問題探究二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間g

?活動一閱讀并理解教材P91-P92的例1與例2,歸納出利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步

驟.

求解函數(shù)y=/(x)的單調(diào)區(qū)間，就是解不等式/'(x)〉0或((x)<0,不等式的解集就是所求

的單調(diào)區(qū)間，其步驟如下：

(1)確定函數(shù)y=/(尤)的定義域；

(2)求導(dǎo)數(shù)y'=7'(x)；

(3)解不等式尸(x)>0,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；

(4)解不等式廣(x)<0,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間.

注意：①在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性時，首先要確定函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)，通過討

論導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)的單調(diào)性.

②如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“U”

連接，而只能用“，”隔開或用“和”字連接.

③在對函數(shù)劃分單調(diào)區(qū)間時，除了注意使導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，還要注意在定義域內(nèi)不連續(xù)的點(diǎn)

和不可導(dǎo)的點(diǎn).

④區(qū)間端點(diǎn)可以屬于單調(diào)區(qū)間，也可以不屬于單調(diào)區(qū)間，對結(jié)論沒有影響.

?活動二初步運(yùn)用，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例1判斷下列函數(shù)的的單調(diào)性，并求出單調(diào)區(qū)間：

(1)f(x)=2x3+3x2-24x+1；(2)f\x)=sinx-x,xe(0,n}；

(3)f{x}-3x2-21nx；(4)f(x)-ex-x

【知識點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

詳解:⑴...小)=6/+6一4,二由廣⑴〉。解得一號1或》>號1；由/3。

解得一姮七1〈尤〈巫二1,.?.函數(shù)的增區(qū)間為(_8,一亙±1)和(巫二1,+8)；減區(qū)間為

2222

(V17+1V17-1.

(-------,------)?

22

⑵當(dāng)無￡(0,?)時，:(x)=cosx-l<0,???/(幻在(0,萬)上是減函數(shù)，.??減區(qū)間為(0,萬).

⑶函數(shù)的定義域為(0,+8),r(x)=6x--=2.^—令尸(x)>0,即三~->0,解得

XXX

--<x<O^x>—,又無>0,所以x>走；令r(x)<0,即至」<0,解得

333x

x〈一半或0<x<*,又x〉0,所以0<x<*.所以/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(g,+8),單

調(diào)減區(qū)間為(0,弓).

(4)/'(x)=e*—l,由((x)〉0解得x>()；由((x)<0解得尤<(),.?.函數(shù)的增區(qū)間為(0,+oo),

減區(qū)間為(-8,0).

點(diǎn)撥：(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是：先確定定義域，再求廣(無)，最后通過尸(x)>0和/")<0

來求出單調(diào)區(qū)間

(2)如果一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個，那么這些單調(diào)區(qū)間中間不能用“U”

連接，而只能用“，”隔開或用“和”字連接.

例2證明函數(shù)/(x)=*在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)增函數(shù).

X

【知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

詳解：因為/(無)=止，所以/(x)=(lnx)‘x二lnx(x)'=*人，~丫=上羋,又因為xe(0,2),

XX"XX

所以lnx<ln2<l,故尸(幻=匕坐>0,即函數(shù)在區(qū)間(0,2)上是單調(diào)增函數(shù).

x

點(diǎn)撥：(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷或證明一個函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，實質(zhì)上就是判斷或證明不等

式/(x)〉0(或廣(x)<0)在給定區(qū)間上恒成立.

(2)如果出現(xiàn)個別點(diǎn)使r(x)=0,不影響函數(shù)在包含該點(diǎn)的某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

活動三對比提升，求含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

例3討論函數(shù)/(x)=；/—〃]nx的單調(diào)性.

【知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

2

詳解：函數(shù)的定義域為(0,+8),/'(x)=x—色='二當(dāng)aW0時，?.?尤>0,.(x)>0,

XX

.../(x)在(0,+oo)上為增函數(shù).當(dāng)〃〉0時，/(幻=。+八)"一歷,.?.當(dāng)x>—時，

X

r(x)>0；當(dāng)0<x(石時,尸(x)<0.，/(<在(0,&)上為減函數(shù),在(6,+00)上為增函

數(shù).

例4已知函數(shù)/。)=依+,+(1-a)ln光.若aWO,討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性.

【知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

詳解：定義域為（0,+8）,八、）=。一二+匕￡=竺？上吐1(ox+l)(x-l)

2

XXXx~

當(dāng)a=0時，/（幻=二，/（x）在（0,1）單調(diào)遞減，在（1,+oo）單調(diào)遞增;

廠

當(dāng)”（），令/（x）=0,解得％=1或*=-L

a

①當(dāng)—1<〃<0時，/（X）在（0,1）和+oo）單調(diào)遞減，在（1,-i）單調(diào)遞增;

aa

③當(dāng)a=-1時，/（x）在（0,+oo）單調(diào)遞減；

④當(dāng)a<—1時，/（x）在（0,--）和（1,+oo）單調(diào)遞減，在（-',1）單調(diào)遞增.

aa

點(diǎn)撥：解析式中含有參數(shù)時，注意對參數(shù)進(jìn)行討論，分類討論時首先要明確需要討論的對象,

再確定好分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.

活動四根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍

結(jié)合函數(shù)y=/的單調(diào)性，你能判斷：/（無）在區(qū)間（a力）內(nèi)可導(dǎo)，如果/（功〉0,那么函數(shù)

y=/（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果:（幻<0,那么函數(shù),=/（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減的

逆命題成立嗎？

逆命題不成立，如ly=/在/?上是增函數(shù)，但V=3/NO,當(dāng)x=（）時，了=0,由此可見，

f'（x）>0（或（（x）<0）僅是/（x）在某個區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)）的充分不必要條件,

在區(qū)間（a,份內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)/（外在33）上遞增（或遞減）的充要條件應(yīng)是/'（x）NO（或

f\x）<0）在xw（a,b）恒成立,且。'（尤）在（a,b）上的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0,這就是說，

函數(shù)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個別點(diǎn)處有/（與）=0,甚至可以在無窮多個

點(diǎn)處/（%）=0,只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個子區(qū)間?

因此，在已知函數(shù)/（X）為增函數(shù)（或減函數(shù)）求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)令（（x）NO（或

/'（x）40）恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立理論求解），然后檢驗參數(shù)

的取值能否使/'（X）恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)這個值應(yīng)舍去，若/'（X）不恒等于0,則

由廣（x）20（或/'（x）40）恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.

例5右函數(shù)/（x）=q/—5依-+m—i）x+1在區(qū)間（1,4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6,+8）內(nèi)為增函

數(shù)，試求實數(shù)。的取值范圍.

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

1

詳解：法1：f'(x)-x-ax+a-\-(x-l)[x-(a-1)],令/(x)=0,得罰=1,x2=a-\.

f(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，，當(dāng)xw(1,4)時,f\x)<0:/(x)在區(qū)間(6,+oo)內(nèi)為增函數(shù)，

.?.當(dāng)xe(6,+oo)時，f\x)>0,.*.4<a-l<6=>5<a<7,二實數(shù)。的取值范圍為[5,7].

法2：/")=/—以+a—1,/(x)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，...當(dāng)xe(l,4)時，f'(x)<0；f(x)

在區(qū)間(6,+8)內(nèi)為增函數(shù)，.?.當(dāng)xG(6,+oo)時，f'(x)>0，，

7,,(1)<0[0<0

<廣(4)40=?-34+1540=5W?！?,二實數(shù)。的取值范圍為[5,7].

f'(6)>01-5a+35NO

法3：尸(x)=Y—初+a—1,?.?/(X)在區(qū)間(1,4)內(nèi)為減函數(shù)，.?.當(dāng)xe(l,4)時，/(x)WO恒

成立，即——ax+a—140=a(x-l)之爐—1恒成立,BPa>(x+l)max,a>5,'.,/(x)在區(qū)

間(6,+oo)內(nèi)為增函數(shù)，,當(dāng)xe(6,+oo)時，f'(x)>0恒成立，即

2

x-or+a—120=>a(x-1)<X?—1恒成立，BPa<(-X+l)min?a<7,綜上：5<a<7,

實數(shù)a的取值范圍為[5,7].

例6已知函數(shù)/(x)=lnx+/+原在定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍.

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

詳解：(法1)分離參數(shù)法

函數(shù)的定義域為(0,+8)，f'(x)=-+2x+a^2e+aX+l,由題意得：尸(劃上0在xe(0,+oo)

XX

恒成立，即2/+依+1?0在彳€(0,+8)恒成立，即(2x+1)]max，又2x+」22正，當(dāng)且

XX

僅當(dāng)x=E時等號成立，.?.[-(2x+1)]max=-2&,二。？-2五，.?.實數(shù)。的取值范圍為

2x

[-2*\/2,-i-oo).

(法2)函數(shù)法函數(shù)的定義域為(0,+8),/~'(x)=L+2x+a=2廠+二+?,由題意得:f'(x)>0

XX

在(0,+8)恒成立，即2/+QX+120在%￡(0,+8)恒成立，令g(x)=2/+QX+1,其圖像開

口向上，恒過定點(diǎn)(0,1),則只需△<()或-040,解得2點(diǎn)，.?.實數(shù)。的取值范圍為

4

[-2,\/2,+oo).

點(diǎn)撥：(1)已知/(x)在區(qū)間。上單調(diào)n尸(處20或/(x)<0在區(qū)間。上恒成立.并檢驗參數(shù)

的取值能否使/'(X)恒等于0,若能恒等于0,則參數(shù)這個值應(yīng)舍去，若/'")不恒等于0,則

由/'(x)20(或/'(x)W0)恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.

(2)分離參數(shù)法：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，但要注意分離參

數(shù)法不是萬能的，如果參數(shù)不易分離或分離參數(shù)后得出的函數(shù)解析式較為復(fù)雜，性

質(zhì)很難研究，就不要使用分離參數(shù)法.

問題探究三函數(shù)值變化快慢與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系

活動一閱讀教材P92-P93的例3,例3表明，通過函數(shù)圖像，不僅可以看出函數(shù)的增減，

還可以看出其變化的快慢，你能從導(dǎo)數(shù)的角度解釋函數(shù)值變化快慢的情況嗎？

一般的，如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快，

這時，函數(shù)的圖像就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖像就“平緩”一些.

7已知/■是.■的導(dǎo)函數(shù)，/■的圖象如右圖所示，則.■的圖象只可能是()

【知識點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷】

解：由圖可以看出函數(shù)/■的圖象是一個二次函數(shù)的圖象，在。與6之間，導(dǎo)函數(shù)的值是

先增大后減小，故在a與〃之間，原函數(shù)圖象切線的斜率是先增大后減小.

故排除解A,B,C.故解為：D.

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

3.課堂總結(jié)

【知識梳理】

數(shù)學(xué)知識：

(1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；如何從導(dǎo)數(shù)的角度解釋增減及增減快慢的情況.

(2)求解函數(shù)y=/(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：

①確定函數(shù)y=/(x)的定義域(養(yǎng)成研究函數(shù)的性質(zhì)從定義域出發(fā)的習(xí)慣)；

②求導(dǎo)數(shù)f'(x)；

③得結(jié)論:/'")>0的解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(汽)<0的解集在定義域內(nèi)的部分為

減區(qū)間.

(3)已知函數(shù)在區(qū)間。上的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍：

若/(x)在區(qū)間。上是增函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為:(x)20在區(qū)間。上恒成立；若/(x)在區(qū)間。上是

減函數(shù)，則轉(zhuǎn)化為/'(x)V0在區(qū)間。上恒成立.然后檢驗參數(shù)的取值能否使/'(x)恒等于0.

數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合、分類討論和轉(zhuǎn)化思想.

【重難點(diǎn)突破】

(1)在某個區(qū)間內(nèi)，r(x)>0(//(x)<0)是函數(shù)/(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充分

條件,而不是必要條件.例如，函數(shù)/(%)=尤3在定義域(7,+8)上是增函數(shù)，但f'(x)=3x2>0.

(2)函數(shù)/(x)在(a,份內(nèi)單調(diào)遞增(減)的充要條件是廣(x)40(r(x)K0)在(a,r內(nèi)恒成立,

且尸(x)在(見份的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0.這就是說，在區(qū)間內(nèi)的個別點(diǎn)處有/'1)=0不

影響函數(shù)/(x)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.

4.隨堂檢測

1.函數(shù)yu)=x-iiw的遞增區(qū)間為()

A.(—oo,1)B.(0,1)C.(1,+oo)D.(0,+oo)

【知識點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：C函數(shù)式x)的定義域為(0,+oo),f(x)=l-l,令r(x)>0,即1—L>0,

XX

-<1,：.x>\,故選C.

X

2.已知函數(shù)1*)=；1?+如+4,則“a〉0”是“/(X)在R上單調(diào)遞增”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)法討論函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：A/,(x)=|x2+a,當(dāng)a20時，/(x)20恒成立，故%>0"是'7U)在R上單調(diào)遞

增”的充分不必要條件.

3.若函數(shù)兀^)=2_?—3〃/+6%在區(qū)間(2,+8)上為增函數(shù)，則實數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.(一8,2)B.(-8,2]C.(一8,A)D.(一8,1]

22

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：D???/(x)=6f—6〃a+6,當(dāng)1￡(2,+8)時，尸(幻20恒成立，即％2一3+120

恒成立，???mWx+L恒成立.令以工)=工+2_,g'(尢)=1—士，???當(dāng)x>2時，g1(x)>0,即

xxx

g(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，.?.m?2+；=|,故選D.

4.函數(shù),*x)=(x—3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()

A.(一8,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+°°)

【知識點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：D函數(shù)./U)=(x—3)e*的導(dǎo)數(shù)為八x)=e*+(x-3)e*=(x-2)el由函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)

性的關(guān)系，得當(dāng)((x)>0時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，此時由不等式/'。)=5-2)/〉0,解得

x>2.

5.使y=sinx+亦為R上的增函數(shù)的a的取值范圍是.

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：[l,+oo)只需>'=cosx+a20在R上恒成立，即a?-cosx在R上恒成立，,只需

a2(-COSX)max，-COSX<1,tZ>1.

(三)課后作業(yè)

基礎(chǔ)型自主突破

1.函數(shù)yu'x2—Inx的單調(diào)減區(qū)間是()

2

A.(0,1)B.(0,1)U(-co,-1)C.(-a),1)D.(-co,+oo)

【知識點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：A,.》=I%2—Inx的定義域為(0,+oo),/.y=x——,令y<o,即％—L<0,解得：

2xx

Oa<l或x<—l.又?.”>(),故選A.

2.函數(shù)/其中a,b,c為實數(shù)，當(dāng)/—3X0時，/)是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.常數(shù)D.既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)

【知識點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：A求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)/(x)=3x2+2ar+/?,導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程/(x)=0的/=4(屋-3/?)<0,

所以/(x)>0恒成立，故,穴x)是增函數(shù).

3.下列函數(shù)中，在(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=xe2C.y=x3—xD.y=lnx—x

【知識點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解:B顯然y=sinx在(0,+oo)上既有增又有減，故排除A；對于函數(shù)丫=朧2,因e?為大于

零的常數(shù)，不用求導(dǎo)就知y=xe2在(0,+8)內(nèi)為增函數(shù)；對于C,y=3f—l=3(x+￥)(x—

孝)，故函數(shù)在(一8,—乎)，(乎，+oo)上為增函數(shù)，在(一乎，白)上為減函數(shù)；對于

D,/=--1(^>0).故函數(shù)在(1,+8)上為減函數(shù)，在(0,1)上為增函數(shù).故選B.

X

7

4.函數(shù)y=?x)在其定義域(-了3)內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示，記y=凡￥)的導(dǎo)函數(shù)為y=f(x),

則不等式/V)<0的解集為.

【知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：[_g,l]U[2,3)函數(shù)y=/U)為減函數(shù)的區(qū)間，反映在圖象上圖象是下降的.

5.設(shè)_/0)=加+》恰好有三個單調(diào)區(qū)間，則實數(shù)。的取值范圍為.

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解:(-8,0)..丁。)=3加+1,且/U)有三個單調(diào)區(qū)間，，方程了(%)=3加+1=0有兩個不

等的實根，.?.△=()2—4xlx3a>0,...〃<()二。的取值范圍為(一8,0).

6.已知函數(shù)人%)=爐+如+8的單調(diào)遞減區(qū)間為(一5,5),則函數(shù)y=/U)的遞增區(qū)間是.

【知識點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：(一8,—5)和(5,+oo)/(幻=39+a???(—5,5)是函數(shù)y=/0)的單調(diào)遞減區(qū)間，則一

5,5是方程3f+a=0的根，：.a=~15.此時尸(x)=3f—75,令/'(x)〉0,則3f—75>0,

解得x>5或x<-5,...函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,—5)和(5,+oo).

7.已知函數(shù)幺(#0,常數(shù)a6R).若函數(shù)?r)在龍e[2,+oo)上是單調(diào)遞增的，求a

X

的取值范圍.

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：(-00,16]f'(x)=2x--^=2xi~a.要使/(x)在⑵+8)上是單調(diào)遞增的，則f\x)>0

XX

?丫3_

在犬w[2,+oo)時恒成立,即------20在尤w[2,+8)時恒成立.Vx2>0,2x3-a>0,

x~

33

：.a<2x^xe[29+s)上恒成立..\a<(2x)min.Vxe[2,+oo),y=2/是單調(diào)遞增的，

31X

3X

/.(2x)min=16,，a(16?當(dāng)a=16時，f'(x)=~>0(xe[2,+?))有且只有廣⑵=0,

X

...a的取值范圍是(一8,16].

能力型師生共研

8.已知/(x)=x+2在(l,e)上為單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)b的取值范圍是()

X

A.(-co,l][/,+8)B.(-oo,0][/,+oo)C.(-co,e2]D.[l，e]

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

hh

解：Ar(x)=l—二，若為增函數(shù)，/(幻=1-320恒成立，則〃</,又工￡(i,e),所

xx

以力41,同理若為減函數(shù)，/(x)=l-恒成立則人—i^b>e2.綜上方K1或故

X'

選A.

9.設(shè)/),g(x)在[a,句上可導(dǎo),且尸(x)>g，(x),則當(dāng)a令。時，有()

A.1Ax)>g(九)B.fix)<g(x)

C./U)+g(a)>g(x)+/(a)D./U)+g3)>g(x)+/(h)

【知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程】

解：C???r(x)—g<x)>O,，(/U)-g(x)y>O,."U)—gC^￡[a,切上是增函數(shù)，...當(dāng)。令。

時段)-ga)/a)-g(a)，."(x)+g(a)>g(x)+y(a).

10.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，/(1)=0,當(dāng)x>0時，有⑴?、拧?成立,

尸

則不等式外幻>0的解集是()

A.(-l,0)o(l,+oo)B.(-1,0)C.(l,+oo)D.(-oo,-l)u(l,+oo)

【知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合】

解：A構(gòu)造函數(shù)〃(》)=叢0,x>0,則"(x)=M'3：/⑶>0,x>(),.."(x)是(0,+8)

XX

上過點(diǎn)(1,0)的增函數(shù)，...當(dāng)xe(0,l)時，幺也<0,從而則不等式/(x)>0的解集是得到

X

f(x)<0；當(dāng)XG(1,+OO)時，△△>(),從而得到/(x)>0.由于函數(shù)/(x)是定義在R上的奇

X

函數(shù)，所以(—l,0)u(l,+8).

11.若0<玉<尢2<1，貝U()

2x,2v,

A.e^—e>lnx2-\nx}B.e'-e<Inx2-Inx1

x,X2x,

C.x2e>x,eD.x2e<

【知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程】

解：C構(gòu)造函數(shù)/*)=W，則/3=上=='")<0,故/(幻=f在(0,1)上單調(diào)遞

XXXX

減,故/(X])〉/(尤?)，???巧e'>Fe、,故選C.

12.已知函數(shù)_/U)=V+蘇+以+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)「(0,2)，且在點(diǎn)M(一1，.穴—1))處的切線方

程為6x—y+7=0.

(1)求函數(shù)y=/W的解析式；

⑵求函數(shù)y=*x)的單調(diào)區(qū)間.

【知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：(1)/COujf3—3f—3x+2.(2)增區(qū)間為(一8，1—0)和(1+，+oo),遞減區(qū)間為(1

-^f2,1+V2).⑴由y=/(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)P(0,2),知d=2,：.J(x)=xi+b^+cx+2,f'(x)

=3f+2匕x+c.由函數(shù)圖像在點(diǎn)M(—1,7(—1))處的切線方程為6x—y+7=0,知一6—/(—I)

+7=0,即人-1)=1,/(―1)=6.??《，即1解得。=c=-3.故

—1+/?—c+2=l[/?—c=0

所求的解析式是於)=9一3W-3x+2.

(2)f(x)=3^-6x-3.令/⑴>0,得xvl一夜或x>l+&；令尸(功<0,得1一起<x〈l

+V2.故人%)=爐一3f—3x+2的單調(diào)遞增區(qū)間為(一8,1—a)和(1+0,+oo),單調(diào)遞

減區(qū)間為(1—血，1+0).

13.若函數(shù)yu)=/+“x+L在(J_,十⑹是增函數(shù)，求實數(shù)。的取值范圍.

x2

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：[3,+oo)因為/U)=f+ax+，在(工，+s)上是增函數(shù)，故/(x)=2x+a—±K)在

x2X-

(―,+oo)上恒成立，即2%在(L+s)上恒成立.令〃(%)=二一2%,則〃'(x)=一二

2x2xx

-2,當(dāng)龍以；，+8)時，〃'(x)V0,則〃(x)為減函數(shù)，所以〃(x)V〃(；)=3.所以e3.

探究型多維突破

14.已知函數(shù)/(x)=(x+l)lnx-6z(x-l).

(I)當(dāng)a=4時，求曲線y=/(x)在(1J⑴)處的切線方程；

(II)若當(dāng)xe(l,+8)時，/(x)>0,求a的取值范圍.

【知識點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：(I)2x+y-2=0.(ID(-oo,2].

(I)/(x)的定義域為(0,+8).當(dāng)a=4時，/(x)=(x+l)lnx-八x)=lnx+'-3,

x

/(l)=-2,/(l)=0.所以曲線)；=/(x)在(1,/⑴)處的切線方程為2x+y-2=0.

(II)當(dāng)xe(l,+oo)時，/(x)>0等價于Inx—~—>0.令g(x)=lnx-^^~,則

x+1x+1

2ax~+2(1-ci)x+1

,g(D=0

(X+以x(x+l)2

當(dāng)a42,xw(l,+8)時，x2+2(l-n)x+l>x2-2x+l>0,故g'(x)>0,g(x)在xe(l,+oo)上單調(diào)

遞增,因此g(x)>0；

當(dāng)a>2時，令g，(x)=0得％=a-]-Ja-lf-I,/=a-]+'(a-l)?,由々>1和玉々=1得

%1<1?故當(dāng)xea,%)時，g'(x)<0,g(x)在％e(l,%2)單調(diào)遞減，因此g(x)<0.

綜上，a的取值范圍是(-%2].

15.已知函數(shù)f(x)=lnx-fcr+1.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若八龍)40恒成立，試確定實數(shù)攵的取值范圍；

/°、,七加In2ln3]n〃n(n-V)...

(3)證明：——+——+LT+----<------(neN+,n>l).

34n+l4

【知識點(diǎn)：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍和證明不等式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：(1)當(dāng)44()時，在(0,+oo)上是增函數(shù)，當(dāng)左>()時，/(x)在(02)上是增函數(shù)，在(L+8)

kk

上是減函數(shù)；(2)k>\-,(3)證明見解析.

(1)函數(shù)/(x)的定義域為(0,+8),/(%)=,一女，當(dāng)ZW0時，f\x)=~-k>0,/(x)在(0,+8)

XX

上是增函數(shù)；當(dāng)Z>0時，若xe(0,L)時，有1(x)=L—%>0,若xe(L,+oo)時，有

kxk

f\x)=--k<0,則f(x)在(04)上是增函數(shù)，在(L+00)上是減函數(shù).

xkk

(2)由(1)知ZW0時，/(x)在(0,+oo)上是增函數(shù)，而/⑴=1一%>0,/(x)40不成立，故

Z>0,又由(1)知/.(x)的最大值為/(：)，要使/(x)<0恒成立，則/(-)<0即可.，即一山攵W0,

k

得舊.

(3)由(2)知，當(dāng)％=1時有/(x)WO在(0,+oo)恒成立，且/(x)在(1,+8)上是減函數(shù)，/⑴=0,

即lnx<x-l,在xe[2,+oo)上恒成立，令x=〃2,則InMc/?一i,即21n〃<(〃一1)(〃+1),從

=In〃n-\In2In3In/?123n-\n(n-1).-r-

而---<--------F----F…"F----<—+—+—+??-+----=------得證.

〃+1234n+122224

16.已知函數(shù)/'(x)=21nx—X?,g(%)=-a\r\x+x1+3ax+—,aeR.

x

(1)當(dāng)a=0時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)令/z(x)=/(%)+g(x),求函數(shù)力(x)的單調(diào)減區(qū)間;

【知識點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；數(shù)學(xué)思想：分類討論】

解：(1)/(x)的增區(qū)間是(0,1),減區(qū)間是(1,+8)(2)當(dāng)。<-2,〃(x)的單調(diào)減區(qū)間為

(0,+oo)；當(dāng)a=-2時，力度)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+8)；當(dāng)-2<a<0時，力(無)的單調(diào)減

a2

區(qū)間為(0一),(一L+8)；當(dāng)時，〃(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0-)

2a2

(1)當(dāng)a=0時，/(x)=21nx-x2,故尸(x)=20+"始一”)(x>0),當(dāng)0<x<l時，f\x)>0,

X

/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時，f'(x)<0,/(X)單調(diào)遞減；，/(x)的增區(qū)間是(0,1),減區(qū)間是

(l,+oo).

(2)fi'(x)=+(2「幻"T=②T)產(chǎn)+D,令"(的=。得玉=一4,々=L,

若。2(),由"(x)<0得0<x<」，二〃(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0」)；

22

若a<(),①當(dāng)a<—2時，一!<」，由"(x)<0得0<%<-,，或龍〉，，所以/z(x)的單調(diào)減區(qū)

a2a2

間為(0,一4),(1,+8);

a2

②當(dāng)a=-2時，總有/(x)=-匕上W0,故以幻的單調(diào)減區(qū)間為(0,+8)；

廠

③當(dāng)—2<a<0時，由“(x)<0得0<x<,，或》>—所以〃(幻的單調(diào)減區(qū)間為

a22a

(0,：),(」,+8)；

2a

綜上所述，當(dāng)。<-2,7/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,-工),4,+00)；

a2

當(dāng)a=-2時，〃(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,+oo)；

當(dāng)—2<。<0時，〃(公的單調(diào)減區(qū)間為(0」),(-±+8)；

2a

當(dāng)時，〃(x)的單調(diào)減區(qū)間為(0,g)

(四)自助餐

1.函數(shù)/(x)=x+lnx在(0,6)上是()

A.單調(diào)增函數(shù)B.單調(diào)減函數(shù)

C.在(0」)上是減函數(shù)，在(±6)上是增函數(shù)

ee

D.在(0一)上是增函數(shù)，在d，6)上是減函數(shù)

ee

【知識點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：A?.?/'(尤)=1+工>0,...函數(shù)在(0,6)上單調(diào)遞增.

X

2.r(x)是函數(shù)y=*x)的導(dǎo)函數(shù)，若y=r(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)>=/)的圖象可能是

()

ABCD

【知識點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：D由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，當(dāng)x<0時，/'(x)>0,即函數(shù)火x)為增函數(shù)；當(dāng)0<x<2時，/在)<0,

即./W為減函數(shù)；當(dāng)x>2時，/。)>0,即函數(shù)7U)為增函數(shù).觀察選項易知D正確.

3.如果函數(shù)/U)的圖象如圖，那么導(dǎo)函數(shù)y=/'(x)的圖象可能是()

【知識點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：A由兀0與/'(x)關(guān)系可選A.

4.設(shè)函數(shù)/(幻=，+3%-4,則y=/(x+l)的單調(diào)減區(qū)間為()

A.(—4,1)B.(—5,0)C.(—3,2)D.(—―,+oo)

【知識點(diǎn)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖像的平移；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：B由廣(尤)=爐+3%一4<0可得—4<x<l,，y=/(x+l)的單調(diào)減區(qū)間為(一5,0).

5.設(shè)p"(x)=e*+lnx+2x2+/nr+l在(0,+8)內(nèi)單調(diào)遞增,q：m^-5,則p是q的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【知識點(diǎn)：充要條件，函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：B由題意得f(x)=e*+，+4x+m,/(x)=e*+lnx+2x2+如+1在(0,+°0)內(nèi)單調(diào)

遞增，.?./'(X)20,即0，+4+4彳+機(jī)在定義域內(nèi)恒成立，由于，+4尤24,當(dāng)且僅當(dāng)工=4x,

XXX

即x=’時等號成立，故對任意的xd(0,+8),必有e*+4+4x>5一4x不能得

2xx

出加2-5,但當(dāng)加2-5時，必有e*+,+4*+/”20成立，即/1'(x)20在xe(0,+8)上成立，

x

〃不是q的充分條件，P是4的必要條件，即〃是q的必要不充分條件.

6.若函數(shù)/(》)=電二，e<a<b,則()

x

A.f(a)>S)B.于0=f(b)C.f(a)<f(b)D./(?)/0)>1

【知識點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性比較大??；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：A因為囚(x)=,當(dāng)尤>e時，f'(x)<0,所以/(x)在(e,+oo)上是減函數(shù)，從而由

x

e<a<。知，/(a)>(。)，所以解應(yīng)填：f(d)>(b).

7.若函數(shù)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍是.

【知識點(diǎn)：由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍；數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸】

解：［1,+oo)V/,(x)=3x2-2ar-l,又於)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，，不等式3/—2以一1WO

在(0,1)