福建省莆田市新度中學高三數學文期末試題含解析

福建省莆田市新度中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）的最小正周期是（）A． B． C．π D．2π參考答案：B【考點】H1：三角函數的周期性及其求法．【分析】利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期．【解答】解：函數f（x）=sinx?（4cos2x﹣1）化簡可得：f（x）=4sinx?cos2x﹣sinx=4sinx（1﹣sin2x）﹣sinx=3sinx﹣4sin3x=sin3x．∴最小正周期T=．故選：B．2.下列說法正確的是（）A．“p∨q為真”是“p∧q為真”的充分不必要條件B．若數據x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為2C．在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數x，則事件“sinx+cosx≥”發(fā)生的概率為D．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，則P（X≤0）=0.16參考答案：D考點：命題的真假判斷與應用．專題：簡易邏輯．分析：A．“p∧q為真”可知p，q為真命題，可得“p∨q為真”，反之不成立，即可判斷出正誤；B．利用方差的性質即可判斷出正誤；C．由sinx+cosx=≥化為，解得x∈，利用幾何概率計算公式即可得出，進而判斷出正誤；D．利用正態(tài)分布的對稱性可得P（X≤0）=P（X≥4）=1﹣P（X≤4），即可判斷出正誤．解答：解：A．“p∧q為真”可知p，q為真命題，可得“p∨q為真”，反之不成立，因此“p∨q為真”是“p∧q為真”必要不充分條件，因此不正確；B．數據x1，x2，x3，…，xn的方差為1，則2x1，2x2，2x3，…，2xn的方差為4，因此不正確；C．在區(qū)間[0，π]上隨機取一個數x，由sinx+cosx=≥化為，解得x∈，∴事件“sinx+cosx≥”發(fā)生的概率==，因此不正確；D．隨機變量X服從正態(tài)分布N（2，σ2），且P（X≤4）=0.84，則P（X≤0）=P（X≥4）=1﹣P（X≤4）=0.16，因此正確．故選：D．點評：本題考查了簡易邏輯的判定方法、方差的性質、幾何概率計算公式、正態(tài)分布的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．3.函數,若，則A．

B．

C．

D．參考答案：B略4.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于（

）A．

B．160

C．

D．參考答案：A

考點：1、幾何體的三視圖；2、幾何體的體積.【方法點睛】本題主要考查三視圖及空間幾何體的體積，屬于中檔題.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：（1）求簡單幾何體的體積時若所給的幾何體為柱體椎體或臺體，則可直接利用公式求解；(2)求組合體的體積時若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉換法、分割法、補形法等進行求解.(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積時應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.5.在同一個坐標系中畫出函數，的部分圖象，其中且，則下列圖象中可能正確的是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】本題可采用排除法進行判定，再根據指數函數和三角函數的圖象的特征進行判定.【詳解】，A項，∵，∴與為增函數矛盾.B項，∵，∴，∴為增函數，錯誤.C項，，∴，錯誤.D項，，∴，為減函數，正確答案為D.故選D.【點睛】本題主要考查指數函數和三角函數的函數圖像，熟練掌握指數函數、三角函數圖像和性質是解決此題的關鍵.6.設雙曲線的右焦點為F,過點F作與x軸垂直的直線l交兩條漸近線于A，B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若,則該雙曲線的離心率為

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C由題意得，因為，所以，選C

7.在中，角A、B、C所對邊長分別為a，b，c，若，則cosC的最小值為A．

B．

C．

D．參考答案：D略8.已知函數為奇函數，若函數上單調遞增，則a的取值范圍是(

)A．（1，3）

B．

C．

D．參考答案：B9.在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1．已知G與E分別為A1B1和CC1的中點，D與F分別為線段AC和AB上的動點(不包括端點)．若GD⊥EF，則線段DF的長度的取值范圍為A．[，1)

B．[，2)

C．[1，)

D．[，)

參考答案：A解：建立直角坐標系，以A為坐標原點，AB為x軸，AC為y軸，AA1為z軸，則F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，)，G(，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以＝(t1，－1，－)，＝(－，t2，－1)．因為GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜．又＝(t1，－t2，0)，＝\s\do4(12＝\s\do4(22＝，從而有≤＜1．10.執(zhí)行上圖所示的程序框圖，則輸出的結果是（

）A． B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

已知一個球與一個二面角的兩個半平面都相切，若球心到二面角的棱的距離是，切點到二面角棱的距離是1，則球的體積是 。參考答案：答案：

12.設，則的最小值為

。參考答案：413.對于函數y=f（x），若存在區(qū)間[a，b]，當x∈[a，b]時的值域為[ka，kb]（k＞0），則稱y=f（x）為k倍值函數，若f（x）=lnx+2x是k倍值函數，則實數k的取值范圍是．參考答案：（2，2+）【考點】對數函數的值域與最值．【專題】計算題；函數的性質及應用．【分析】由于f（x）在定義域{x|x＞0}內為單調增函數，利用導數求得g（x）的極大值為：g（e）=2+，當x趨于0時，g（x）趨于﹣∞，當x趨于∞時，g（x）趨于2，因此當2＜k＜2+時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，滿足條件，從而求得k的取值范圍．【解答】解：∵f（x）=lnx+2x，定義域為{x|x＞0}，f（x）在定義域為單調增函數，因此有：f（a）=ka，f（b）=kb，即：lna+2a=ka，lnb+2b=kb，即a，b為方程lnx+2x=kx的兩個不同根．∴k=2+，令g（x）=2+，g'（x）=，當x＞e時，g'（x）＜0，g（x）遞減，當0＜x＜e時，g'（x）＞0，g（x）遞增，可得極大值點x=e，故g（x）的極大值為：g（e）=2+，當x趨于0時，g（x）趨于﹣∞，當x趨于∞時，g（x）趨于2，因此當2＜k＜2+時，直線y=k與曲線y=g（x）的圖象有兩個交點，方程k=2+有兩個解．故所求的k的取值范圍為（2，2+），故答案為（2，2+）．【點評】本題主要考查利用導數求函數極值的方法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．14.在中，若，，，則 ．參考答案：由，得，根據正弦定理得，即，解得.15.已知拋物線C的參數方程為（t為參數），設拋物線C的焦點為F，準線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足，如果直線AF的斜率為，那么|PF|=．參考答案：8考點：拋物線的參數方程．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：把拋物線的參數方程化為普通方程，求出焦點F的坐標和準線方程，根據AF的斜率為，求得點A的坐標，進而求得點P的坐標，利用兩點間的距離公式，求得|PF|的值．解答：解：把拋物線C的參數方程（t為參數），消去參數化為普通方程為y2=8x．故焦點F（2，0），準線方程為x=﹣2，再由直線FA的斜率是﹣，可得直線FA的傾斜角為120°，設準線和x軸的交點為M，則∠AFM=60°，且MF=p=4，∴∠PAF=180°﹣120°=60°．∴AM=MF?tan60°=4，故點A（0，4），把y=4代入拋物線求得x=6，∴點P（6，4），故|PF|==8，故答案為8．點評：本題主要考查把參數方程化為普通方程的方法，直線的傾斜角和斜率的關系，拋物線的標準方程和簡單性質的應用，屬于中檔題．16.若甲以10發(fā)8中，乙以10發(fā)6中，丙以10發(fā)7中的命中率打靶，三人各射擊一次，則三人中只有一人命中的概率是___________．參考答案：略17.若時，均有，則=

參考答案：3/2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知A={x|1<|x-2|<2},B={x|x2-(a+1)x+a<0}，且A?B1?,試確定a的取值范圍.

參考答案：解不等式1<|x-2|<2得0<x<1或3<x<4

∴A={x|0<x<1或3<x<4},

…………3分又B={x|x2-(a+1)x+a<0}={x|(x-a)(x-1)<0}，

………………6分從數軸上可直觀地得到，要使A?B1?則a的范圍是（-￥，1）è（3，+￥）

………………10分19.已知函數f（x）=alnx（a＞0），e為自然對數的底數． （Ⅰ）若過點A（2，f（2））的切線斜率為2，求實數a的值； （Ⅱ）當x＞0時，求證：f（x）≥a（1﹣）； （Ⅲ）在區(qū)間（1，e）上＞1恒成立，求實數a的取值范圍． 參考答案：【考點】利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；利用導數研究曲線上某點切線方程． 【專題】導數的綜合應用． 【分析】（Ⅰ）求函數的導數，根據函數導數和切線斜率之間的關系即可求實數a的值； （Ⅱ）構造函數，利用導數證明不等式即可； （Ⅲ）利用參數分離法結合導數的應用即可得到結論． 【解答】解答：（I）函數的f（x）的導數f′（x）=， ∵過點A（2，f（2））的切線斜率為2， ∴f′（2）==2，解得a=4．…（2分） （Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a（1﹣）=a（lnx﹣1+）； 則函數的導數g′（x）=a（）．…（4分） 令g′（x）＞0，即a（）＞0，解得x＞1， ∴g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增． ∴g（x）最小值為g（1）=0， 故f（x）≥a（1﹣）成立．…（6分） （Ⅲ）令h（x）=alnx+1﹣x，則h′（x）=﹣1， 令h′（x）＞0，解得x＜a．…（8分） 當a＞e時，h（x）在（1，e）是增函數，所以h（x）＞h（1）=0．…（9分） 當1＜a≤e時，h（x）在（1，a）上遞增，（a，e）上遞減， ∴只需h（x）≥0，即a≥e﹣1．…（10分） 當a≤1時，h（x）在（1，e）上遞減，則需h（e）≥0， ∵h（e）=a+1﹣e＜0不合題意．…（11分） 綜上，a≥e﹣1…（12分） 【點評】本題主要考查導數的綜合應用，要求熟練掌握導數的幾何意義，函數單調性最值和導數之間的關系，考查學生的綜合應用能力． 20.（本小題滿分12分）

如圖，在直三棱柱中，分別為和的中點，平面，其垂足F落在直線上。（1）求證：；（2）若，求二面角的平面角的余弦值。參考答案：（1）見解析；（2）．（1）∵在直三棱柱中，平面，又∵平面，∴．……2分又∵平面，平面，∴．又∵分別為和的中點，∴，∴．……4分而平面，平面，且，∴平面．又∵平面，∴．……5分（2）由（1）知平面，平面，從而，如圖，以為原點建立空間直角坐標系．……