高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第六章數(shù)列6.4數(shù)列求和理市賽課公開課一等獎(jiǎng)省名師獲獎(jiǎng)?wù)n件

§6.4數(shù)列求和1/62基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引2/62基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)3/621.等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式知識(shí)梳理2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式4/623.一些常見數(shù)列前n項(xiàng)和公式(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝

.(2)1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝

.(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝

.(4)12＋22＋…＋n2＝.n2n(n＋1)5/62數(shù)列求和慣用方法(1)公式法等差、等比數(shù)列或可化為等差、等比數(shù)列可直接使用公式求和.(2)分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解.知識(shí)拓展6/62(3)裂項(xiàng)相消法把數(shù)列通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，正負(fù)相消剩下首尾若干項(xiàng).常見裂項(xiàng)公式7/62(4)倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加，即等差數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程推廣.(5)錯(cuò)位相減法主要用于一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所得數(shù)列求和，即等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)過程推廣.(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采取兩項(xiàng)合并求解.比如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.8/62思索辨析判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)假如數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項(xiàng)和Sn＝.()(2)當(dāng)n≥2時(shí)，.()(3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時(shí)，只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可依據(jù)錯(cuò)位相減法求得.()√√×9/62(4)數(shù)列{＋2n－1}前n項(xiàng)和為n2＋.()(5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.()×√10/62考點(diǎn)自測(cè)1.(·南京模擬)設(shè){an}是公差不為0等差數(shù)列，a1＝2，且a1，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前n項(xiàng)和Sn＝_______.答案解析設(shè)等差數(shù)列公差為d，則a1＝2，a3＝2＋2d，a6＝2＋5d.又∵a1，a3，a6成等比數(shù)列，∴

＝a1·a6.即(2＋2d)2＝2(2＋5d)，整理得2d2－d＝0.∵d≠0，∴d＝.11/622.(教材改編)數(shù)列{an}中，an＝，若{an}前n項(xiàng)和Sn＝，則n＝________.答案解析2017Sn＝a1＋a2＋…＋an12/623.數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝(－1)n－1·(4n－3)，則它前100項(xiàng)之和S100＝_______.S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案解析－20013/624.若數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝2n＋2n－1，則數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝___________.答案解析2n＋1－2＋n214/625.數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝ncos，其前n項(xiàng)和為Sn，則S2017＝_____.答案解析1008因?yàn)閿?shù)列an＝ncos呈周期性改變，觀察此數(shù)列規(guī)律以下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4.故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2.a5＝0，a6＝－6，a7＝0，a8＝8，故a5＋a6＋a7＋a8＝2，∴周期T＝4.∴S2017＝S2016＋a2017＝1008.15/62題型分類深度剖析16/62題型一分組轉(zhuǎn)化法求和例1已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝，n∈N*.(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；解答當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；a1也滿足an＝n，故數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝n.17/62(2)設(shè)bn＝＋(－1)nan，求數(shù)列{bn}前2n項(xiàng)和.解答由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.記數(shù)列{bn}前2n項(xiàng)和為T2n，則T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).記A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n，則A＝＝22n＋1－2，B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n.故數(shù)列{bn}前2n項(xiàng)和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.18/62引申探究例1(2)中，求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Tn.解答由(1)知bn＝2n＋(－1)n·n.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n]＝2n＋1＋－2；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn＝(21＋22＋…＋2n)＋[－1＋2－3＋4－…－(n－2)＋(n－1)－n]19/62分組轉(zhuǎn)化法求和常見類型(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采取分組求和法求{an}前n項(xiàng)和.(2)通項(xiàng)公式為an＝數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采取分組求和法求和.提醒：一些數(shù)列求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和新數(shù)列和或差，從而求得原數(shù)列和，注意在含有字母數(shù)列中對(duì)字母討論.思維升華20/62跟蹤訓(xùn)練1已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式是an＝2·3n－1＋(－1)n·(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n項(xiàng)和Sn.解答Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝3n－ln3－ln2－1.所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，21/62題型二錯(cuò)位相減法求和例2已知a>0，a≠1，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公比也為a等比數(shù)列，令bn＝an·lgan(n∈N)，求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Sn.解答∵an＝an，bn＝n·anlga，∴Sn＝(a＋2a2＋3a3＋…＋nan)lga， ①aSn＝(a2＋2a3＋3a4＋…＋nan＋1)lga， ②①－②得：(1－a)Sn＝(a＋a2＋…＋an－nan＋1)lga，∴Sn＝[1－(1＋n－na)an].22/62錯(cuò)位相減法求和時(shí)注意點(diǎn)(1)要善于識(shí)別題目類型，尤其是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”表示式時(shí)應(yīng)尤其注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”方便下一步準(zhǔn)確寫出“Sn－qSn”表示式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.思維升華23/62跟蹤訓(xùn)練2設(shè)等差數(shù)列{an}公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}公比為q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.(1)求數(shù)列{an}，{bn}通項(xiàng)公式；解答24/62(2)當(dāng)d>1時(shí)，記cn＝，求數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和Tn.解答由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是①－②可得25/62題型三裂項(xiàng)相消法求和命題點(diǎn)1形如an＝型例3設(shè)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，)(n∈N*)均在函數(shù)y＝3x－2圖象上.(1)求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式；解答把點(diǎn)(n，)代入函數(shù)y＝3x－2，∴＝3n－2，∴Sn＝3n2－2n，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.又a1＝1符合該式，∴an＝6n－5(n∈N*).26/62(2)設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，求Tn.解答∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn27/62命題點(diǎn)2形如an＝型例4已知函數(shù)f(x)＝xa圖象過點(diǎn)(4,2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，則S2017＝_________.答案解析由f(4)＝2，可得4a＝2，解得a＝，則f(x)＝28/62(1)用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變換，如：，裂項(xiàng)后能夠產(chǎn)生連續(xù)相互抵消項(xiàng).(2)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最終一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng).思維升華29/62跟蹤訓(xùn)練3在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足(1)求Sn表示式；解答an＝Sn－Sn－1(n≥2)，即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn， ①由題意得Sn－1·Sn≠0，①式兩邊同除以Sn－1·Sn，∴數(shù)列是首項(xiàng)為＝1，公差為2等差數(shù)列.∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.30/62(2)設(shè)bn＝，求{bn}前n項(xiàng)和Tn.解答31/62典例(14分)已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn＝＋kn(其中k∈N*)，且Sn最大值為8.(1)確定常數(shù)k，并求an；(2)設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<4.審題路線圖規(guī)范解答四審結(jié)構(gòu)定方案審題路線圖系列32/62返回33/62(1)解當(dāng)n＝k∈N*時(shí)，Sn＝＋kn取得最大值，即8＝Sk＝，故k2＝16，k＝4.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝， [3分]當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝.當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立.綜上，an＝. [6分]34/62 [10分]②－①，得∴Tn＝4－.∴Tn<4. [14分]返回35/62課時(shí)作業(yè)36/621.(·江蘇無錫一中質(zhì)檢)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，S4＝14，S10－S7＝30，則S9＝____.答案解析設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則S4＝4a1＋6d＝14， ①S10＝10a1＋45d，S7＝7a1＋21d，則S10－S7＝3a1＋24d＝30， ②解①②可得d＝1，a1＝2，故S9＝9a1＋36d＝18＋36＝54.5412345678910111213141537/622.(·無錫模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝2016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，則S2016＝____.答案解析0∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，∴an＋2anq＋anq2＝0，q為等比數(shù)列{an}公比，即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2016，∴S2016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2015＋a2016)＝0.12345678910111213141538/62答案解析12345678910111213141539/624.(教材改編)數(shù)列{n×}前n項(xiàng)和Sn＝___________.答案解析12345678910111213141540/625.已知函數(shù)f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝_____.由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.答案解析10012345678910111213141541/626.(·江蘇連云港四校期中)一個(gè)只有有限項(xiàng)等差數(shù)列，它前5項(xiàng)和為34，最終5項(xiàng)和為146，全部項(xiàng)和為234，則它第7項(xiàng)為____.據(jù)題意知a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，an－4＋an－3＋an－2＋an－1＋an＝146，又∵a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝a4＋an－3＝a5＋an－4，∴a1＋an＝36.又Sn＝n(a1＋an)＝234，∴n＝13，∴a1＋a13＝2a7＝36，∴a7＝18.18答案解析12345678910111213141542/627.(·蘇州模擬)已知數(shù)列{an}通項(xiàng)公式為an＝，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為_____.答案解析120∴Sn＝a1＋a2＋…＋an12345678910111213141543/628.(·泰州模擬)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，(1－an＋1)(1＋an)＝1(n∈N*)，則值為_____.答案解析因?yàn)?1－an＋1)(1＋an)＝1，所以an－an＋1－anan＋1＝0，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差等差數(shù)列，所以＝1＋n－1＝n，12345678910111213141544/629.(·蘇北四市期末)若公比不為1等比數(shù)列{an}滿足log2(a1·a2·…·a13)＝13，等差數(shù)列{bn}滿足b7＝a7，則b1＋b2＋…＋b13值為_____.因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}滿足log2(a1·a2·…·a13)＝13，所以a1·a2·…·a13＝213，(a7)13＝213，a7＝2，所以等差數(shù)列{bn}中，b7＝a7＝2，b1＋b2＋…＋b13＝13b7＝13×2＝26.答案解析2612345678910111213141545/62*10.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，?n∈N*，2Sn＝

＋an.令bn＝，設(shè){bn}前n項(xiàng)和為Tn，則在T1，T2，T3，…，T100中有理數(shù)個(gè)數(shù)為___.答案解析912345678910111213141546/62∵2Sn＝

＋an， ①∴2Sn＋1＝

＋an＋1， ②②－①，得2an＋1＝

＋an＋1－

－an，

－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0.又∵{an}為正項(xiàng)數(shù)列，∴an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1.在2Sn＝

＋an中，令n＝1，可得a1＝1.∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng)，1為公差等差數(shù)列.∴an＝n，12345678910111213141547/62∴T1，T2，T3，…，T100中有理數(shù)個(gè)數(shù)為9.12345678910111213141548/6211.(·南京、鹽城一模)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，an>0，若S6－2S3＝5，則S9－S6最小值為____.答案解析2012345678910111213141549/62方法一當(dāng)q＝1時(shí)，S6－2S3＝0，不合題意，所以q≠1，故1－q<0，即q>1，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1，即q3＝2時(shí)等號(hào)成立.12345678910111213141550/62方法二因?yàn)镾6＝S3(1＋q3)，所以由S6－2S3＝5得S3＝>0，從而q>1，故S9－S6＝S3(q6＋q3＋1)－S3(q3＋1)＝S3q6＝，以下同方法一.12345678910111213141551/6212.數(shù)列{an}滿足an＝2an－1＋2n＋1(n∈N，n≥2)，a3＝27.(1)求a1，a2值；由a3＝27，得27＝2a2＋23＋1，∴a2＝9.∵9＝2a1＋22＋1，∴a1＝2.解答12345678910111213141552/62(2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)t，使得bn＝(an＋t)(n∈N*)，且數(shù)列{bn}為等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)t；若不存在，請(qǐng)說明理由；假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得{bn}為等差數(shù)列，則2bn＝bn－1＋bn＋1.∴4an＝4an－1＋an＋1＋t，∴4an＝4×＋2an＋2n＋1＋1＋t，∴t＝1，即存在實(shí)數(shù)t＝1，使得{bn}為等差數(shù)列.解答12345678910111213141553/62(3)求數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn.由(1)，(2)得b1＝，b2＝，∴an＝(n＋)·2n－1＝(2n＋1)2n－1－1.Sn＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n＋1)×2n－1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n＋1)×2n－1－n， ①∴2Sn＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n＋1)×2n－2n，②由①－②得－Sn＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n－1－(2n＋1)×2n＋n＝1＋2×－(2n＋1)×2n＋n＝(1－2n)×2n＋n－1.∴Sn＝(2n－1)×2n－n＋1.∴bn＝n＋，解答12345678910111213141554/6213.(·天津)已知{an}是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且，S6＝63.(1)求{an}通項(xiàng)公式；解答設(shè)數(shù)列{an}公比為q.解得q＝2或q＝－1.又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1.所以an＝2n－1.12345678910111213141555/62(2)若對(duì)任意n∈N*，bn是log2an和log2an＋1等差中項(xiàng)，求數(shù)列前2n項(xiàng)和.解答由題意，得bn＝(log2an＋log2an＋1)即{bn}是首項(xiàng)為，公差為1等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為Tn，則＝(log22n－1＋log22n)＝n－，＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b