八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)訓(xùn)練：中位線定理和直角形三角形斜邊上的中線（30題）（解析版）

【專項(xiàng)訓(xùn)練】中位線定理和直角形三角形斜邊上的中線（30題）1．如圖，在△ABC中，已知AB=6，AC=10，AD平分∠BAC，BD⊥AD于點(diǎn)D，E為BC中點(diǎn)．求DE的長．【答案】解：如圖，延長BD交AC于點(diǎn)F．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠FAD．∵BD⊥AD，∴∠ADB=∠ADF=90°．∴∠ABD=∠AFD．∴AB=AF，BD=DF．∴D是BF的中點(diǎn)．∵AC=10，AB=6，∴FC=AC-AF=AC-AB=10-6=4．∵E為BC的中點(diǎn)，∴DE為△BFC的中位線．∴DE=1【解析】【分析】做輔助線，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得D是BF的中點(diǎn)，通過線段的加減可得FC，再根據(jù)中位線定理即可解得DE。2．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AC=20，BC=18，求四邊形DECF的周長．【答案】解：∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，AC=20，BC=18，∴DE=CF=12AC=10∴四邊形DECF的周長=DE+CF+DF+CE=10+10+9+9=38．【解析】【分析】利用三角形中位線的性質(zhì)可得DE=CF=12AC=103．如圖，在?ABCD中，AE=CF，M、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，試判斷四邊形MFNE的形狀，并證明之．【答案】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD＝BC，又∵AE＝CF，∴AD﹣AE＝BC﹣CF，即DE＝BF，∵DE∥BF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE＝DF，∴M、N分別是BE、DF的中點(diǎn)，∴EM＝12BE＝1而EM∥NF，∴四邊形MFNE是平行四邊形．【解析】【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD=BC，易求DE＝BF，結(jié)合DE∥BF可證四邊形BEDF是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)可得BE＝DF，利用線段的中點(diǎn)可求出EM＝NF，結(jié)合EM∥NF，根據(jù)平行四邊形的判定即證.4．如圖，已知等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DF⊥DE，交BC的延長線于點(diǎn)F，求DF的長．【答案】解：∵等邊△ABC的邊長為4，∴AC=BC=AB=4∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DE∥AB∴∠DEC=∠B=60°∵DE⊥DF∴∠F=30°∴DF=【解析】【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，可求出AB的長及∠B=60°，再利用三角形的中位線定理可證得DE∥AB及DE的長，利用平行線的性質(zhì)可求出∠DEC=60°，然后根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)求出DF的長.5．已知：如圖，在△ABC中，CF平分∠ACB，CA=CD，AE=EB.求證：EF=1【答案】證明：∵CA＝CD，CF平分∠ACB，∴CF為AD邊上的中線，∴F為AD的中點(diǎn)，又AE＝EB，∴E為AB中點(diǎn)，∴EF為△ABD的中位線，∴EF＝12【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得F為AD的中點(diǎn)，由AE＝EB可得E為AB中點(diǎn)，則EF為△ABD的中位線，然后根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)進(jìn)行證明.6．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，若BC=15，CD=9，EF=6，∠AFE=55°，求∠ADC的度數(shù)?！敬鸢浮拷猓哼B結(jié)BD.

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，∴BD=2EF=12，EF∥BD，∴∠ADB=∠AFE=55°∵BD2+CD2=225，BC2=225，∴BD2+CD2=BC2∴∠BDC=90°

∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=145°?！窘馕觥俊痉治觥窟B接BD，利用已知可證得BD是△ABD的中位線，利用三角形的中位線定理可證得EF∥BD，同時(shí)可求出BD的長；利用平行線的性質(zhì)可求出∠ADB的度數(shù)，再利用勾股定理的逆定理證明∠BDC=90°，然后根據(jù)∠ADC=∠ADB+∠BDC，代入計(jì)算可求出結(jié)果.7．如圖，△ABC是銳角三角形，分別以AB，AC為邊向外側(cè)作等腰△ABM和等腰△CAN，AM=ABAC=AN，∠MAB=∠CAN.D，E，F(xiàn)分別是MB，BC，CN的中點(diǎn)，連結(jié)DE，EF.求證：DE=EF?！敬鸢浮孔C明：如圖，連結(jié)BN，CM.∵AM=AB，AC=AN，∠MAB=∠CAN，∴∠MAB+∠CAB=∠CAN+∠CAB，即∠MAC=∠BAN.∴△MAC≌△BAN（SAS）.∴MC=BN.又∵D，E，F(xiàn)分別為MB，BC，CN的中點(diǎn)，∴DE=12MC，EF=12BN，

【解析】【分析】連結(jié)BN，CM，利用等腰三角形的性質(zhì)及等邊對(duì)等角可推出∠MAC=∠BAN，利用SAS可證得△MAC≌△BAN，利用全等三角形的性質(zhì)可證得MC=BN；再利用三角形的中位線定理及等量代換可證得結(jié)論.8．如圖所示，已知E為□ABCD中DC邊的延長線上的一點(diǎn)，且CE=DC，連結(jié)AE，分別交BC，BD于點(diǎn)F，G，連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O，連結(jié)OF。求證：AB=2OF。【答案】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD，OA=OC，∴∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF又∵CE=DC，∴AB=EC在△ABF和△ECF中，∵∠BAF=∠CEF∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF=CF又∵OA=OC，∴OF是△ABC的中位線，∴AB=2OF【解析】【分析】利用平行線的性質(zhì)可推出AB=CD，AB∥CD，OA=OC，可推出∠BAF=∠CEF，∠ABF=∠ECF，再利用ASA證明△ABF≌△ECF，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等可證得BF=CF，由此可得到OF是三角形的中位線，利用三角形的中位線定理可證得結(jié)論.9．加圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°.點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AC，垂足為E，若DE=2，CD=25【答案】解：∵在RtΔABC中，∠ACB=90∴DE∥BC，∵點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，∴DE為△ABC的中位線，又DE=2，∴BC=4，在RtΔDCE中，DE=2，CD=25由勾股定理得CE=C∴在RtΔBCE中，由勾股定理得：BE=B【解析】【分析】先證明DE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)可證得DE為△ABC的中位線，求得BC，再根據(jù)勾股定理求得CE和BE即可.10．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn)，連接BE、DE，∠ADE=∠AED，點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn).求證：FG=FH.【答案】證明：∵∠ADE=∠AED，∴AD=AE，∵AB=AC，∴AB-AD=AC-AE，即DB=EC.∵點(diǎn)F、G、H分別為BE、DE、BC的中點(diǎn)，∴FG是△EDB的中位線，F(xiàn)H是△BCE的中位線，∴FG=12BD∴FG=FH【解析】【分析】由∠ADE=∠AED，可得AD=AE，由AB=AC，利用等式的性質(zhì)求出DB=EC，根據(jù)三角形中位線定理可得FG=12BD，F(xiàn)H=11．如圖，△ABC的周長為19，點(diǎn)D，E在邊BC上，∠ABC的平分線垂直于AE，垂足為N，∠ACB的平分線垂直于AD，垂足為M，若BC=7，求MN的長度．【答案】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA=∠NBE，∠BNA=∠BNE，在△BNA和△BNE中，∠ABN=∠EBNBN=BN∴△BNA≌△BNE，∴BA=BE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴點(diǎn)N是AE中點(diǎn)，點(diǎn)M是AD中點(diǎn)（三線合一），∴MN是△ADE的中位線，∴MN=12∵BE+CD=AB+AC=19﹣BC=19﹣7=12，∴DE=BE+CD﹣BC=5，∴MN=12DE=5【解析】【分析】先利用“ASA”證明△BNA≌△BNE可得BA=BE，證出△BAE是等腰三角形，同理證出△CAD是等腰三角形，利用線段的和差可得DE=BE+CD﹣BC=5，再利用中位線的性質(zhì)可得MN=12DE=512．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC＝BD，E，F(xiàn)為AB、CD的中點(diǎn)，連接EF交BD、AC于P、Q，取BC中點(diǎn)G，連EG、FG，求證：OP＝OQ.【答案】證明：∵E，G為AB、BC中點(diǎn)，∴EG＝12∴∠FEG＝∠OQP，同理，F(xiàn)G＝12∴∠EFG＝∠OPQ，∵AC＝BD，∴EG＝FG，∴∠FEG＝∠EFG，∴∠OPQ＝∠OQP，∴OP＝OQ.【解析】【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EG=12AC，EG∥AC，F(xiàn)G=113．如圖，依次連接四邊形ABCD四邊的中點(diǎn)E,F,G,H，得到的新四邊形EFGH是什么四邊形？請(qǐng)證明．【答案】解：四邊形EFGH是平行四邊形，理由如下：連接BD∵E，H分別是AB，AD的中點(diǎn)∴EH∥BD，EH=1同理FG∥BD，F(xiàn)G=1∴EH∥FG且EH=FG∴四邊形EFGH是平行四邊形【解析】【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線定理，再判定平行四邊形即可．14．已知：在平行四邊形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)C與BE相交于G，求證：GF=GC.【答案】證明：如圖所示：取BE的中點(diǎn)H,連結(jié)FH、CH，是AE的中點(diǎn)，H是BE的中點(diǎn),∴FH是三角形ABE的中位線，∴FH∥AB且FH=12又∵點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，∴EC=12∴FH=EC，又∵AB∥DC，∴FH∥EC，∴四邊形EFHC是平行四邊形，∴GF=GC.【解析】【分析】取BE的中點(diǎn)H,連結(jié)FH、CH，根據(jù)三角形中位線的判定和性質(zhì)可得FH∥AB且FH=12AB，再由點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，可得EC=115．如圖，△ABC中，AB=8，AC=6，AD、AE分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，求線段EF的長．【答案】解：在△AGF和△ACF中，∠GAF=∠CAFAF=AF∴△AGF≌△ACF（ASA），∴AG=AC=6，GF=CF，則BG=AB﹣AG=8﹣6=2．又∵BE=CE，∴EF是△BCG的中位線，∴EF=12【解析】【分析】根據(jù)角平分線的定義得出∠GAF=∠CAF，然后利用ASA判斷出△AGF≌△ACF，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊線段得出AG=AC=6，GF=CF，根據(jù)線段的和差，由BG=AB﹣AG算出BG的長，然后根據(jù)三角形的中位線等于第三邊的一半得出EF=1216．如圖，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝l2，AD＝13，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求CE的長．【答案】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∵AB＝3，BC＝4，∴AC=AB∵CD＝12，AD＝13，∵AC2+CD2＝52+122＝169，AD2＝169，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠C＝90°，∴△ACD是直角三角形，∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴CE＝12AD=1【解析】【分析】由勾股定理求出AC=5，再利用勾股定理的逆定理可判斷△ACD是直角三角形且∠C=90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)可得CE＝1217．如圖，Rt△ABC，∠B=90°，∠BAC=72°，過C作CF∥AB，連接AF與BC相交于點(diǎn)G，若GF=2AC，求∠BAG的度數(shù)．【答案】解：取FG的中點(diǎn)D，連接CD，如圖所示．設(shè)∠F=x°，∵∠B=90°，CF∥AB，∴∠BAG=x°，∠BCF=90°，∴DC=DF=DG．又∵GF=2AC，∴AC=DC=DF=DG，∴∠ADC=∠DAC=2x°．∵∠BAC=72°，∴3x°=72°，∴∠BAG=∠F=x°=24°．【解析】【分析】取FG的中點(diǎn)D，連接CD，設(shè)∠F=x°，利用平行線的性質(zhì)可表示出∠BAG的度數(shù)，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可證得DC=DF=DG，結(jié)合已知條件得AC=DC=DF=DG，利用等邊對(duì)等角及三角形的外角和定理可表示出∠ADC，∠DAC，然后利用∠BAC=72°，可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，即可求出∠BAG的度數(shù).18．如圖，△ABC中，BD、CE是△ABC的兩條高，點(diǎn)F、M分別是DE、BC的中點(diǎn)．求證：FM⊥DE?！敬鸢浮孔C明：如圖，連接EM、DM，

∵∠BEC=90°，

∴EM=12BC，

同理DM=12BC，

∴EM=DM，

∴△DME為等腰三角形，

∵F是DE的中點(diǎn)，

∴【解析】【分析】連接EM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出EM=12BC，DM=119．如圖，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E在CD上，且∠AED=∠B，求證：AE=BC.【答案】證明：延長CD到F使DF=CD，連接AF，如圖∵CD是△ABC的中線，∴AD=BD，在△ADF與△BCD中，AD=BD∠ADF=∠BDC∴△ADF≌△BDC（SAS），∴∠F=∠BCD，BC=AF，∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中線，∴CD=BD，∴∠B=∠BCD，又∵∠AED=∠B∴∠AED=∠BCD，∵△ADF≌△BDC，∴∠F=∠BCD，∴∠AED=∠F，∴AE=AF，∵BC=AF，∴AE=BC.【解析】【分析】延長CD到F使DF=CD，連接AF，根據(jù)中線的性質(zhì)可得AD=BD，證明△ADF≌△BDC，得到∠F=∠BCD，BC=AF，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)可得CD=BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠BCD，結(jié)合已知條件可得∠AED=∠BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠F=∠BCD，推出AE=AF，然后結(jié)合BC=AF進(jìn)行證明.20．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD＝3∠BCD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．求∠CED的度數(shù)．【答案】解：設(shè)∠BCD=x，則∠ACD=3x∵∠ACB=90°∴x+3x=90°解得x=22.5°∵CD⊥AB∴∠BDC=90°∴∠B=90°-22.5°=67.5°∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)∴BE=CE∴∠B=∠BCE=67.5°∴∠CED=180°-2×67.5°=45°答：∠CED的度數(shù)為45°【解析】【分析】設(shè)∠BCD=x，則∠ACD=3x，根據(jù)∠ACB=∠BCD+∠ACD=90°列出方程，解之即得∠BCD的度數(shù)，利用∠B=90°-∠BCD的度數(shù)，由線段的中點(diǎn)可得BE=CE，利用等邊對(duì)等角可得∠B=∠BCE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠CED的度數(shù).21．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，∠ADE＝30°，DF＝3，DE=23，求FC【答案】解：∵AF⊥BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，DF＝3∴AD=BD=DF=3∴AB=6∵點(diǎn)D、E是AB、AC的中點(diǎn)，DE=2∴BC=2DE=43且∵∠ADE=30°∴∠ABC=∠ADE=30°∴AF=∴BF=∴FC=BC-BF=【解析】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AB，根據(jù)三角形中位線定理得到BC//DE，得到∠ABC=∠ADE=30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可。22．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，∠BAD=90°，AO=2，CD=3，BC=7.ΔBCD【答案】解：ΔBCD是直角三角形.在ΔABD中∵∠AED=90°，點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，AO=2∴BD=2AO=4又∵∴C∴ΔBCD是直角三角形且∠BCD=90°，【解析】【分析】先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BD=2AO=4，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得到△BCD是直角三角形.23．如圖，RtΔABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求CE的長.【答案】解：在RtΔABC中，∠B=90°∵∴AC===5∵∵AA∴A∴∠C=90°∴ΔACD是直角三角形∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴CE=【解析】【分析】首先在Rt△ABC中，應(yīng)用勾股定理求出AC的值，然后利用勾股定理逆定理推出△ACD為直角三角形，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線為斜邊的一半求解即可.24．如圖，在□ABCD中，BC=2AB，M是AD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，求證：∠DME=3∠AEM.【答案】解：如圖，設(shè)CM與BA相交于點(diǎn)N∵四邊形ABCD是平行四邊形，M是AD的中點(diǎn)∴△CMD≌△NMA∴AN=CD，∠ANM=∠MCD，又BC=2AB∴BC=BN即∠BNC=∠BCN又∠EMD是△AEM的外角，∠EAM=∠BCD∴∠DME=∠AEM+∠EAM=∠AEM+∠BCD=∠AEM+∠BCN+∠DCM=∠AEM+∠BNC+∠DCM=∠AEM+2∠BNC又CE⊥AB∴EM是Rt△CEN中斜邊上的中線∴EM=MN∴∠AEM=∠BNC∴∠DME=3∠AEM【解析】【分析】設(shè)CM與BA相交于點(diǎn)N，證明△CMD≌△NMA，得到AN=CD，∠ANM=∠MCD，根據(jù)BC=2AB，得到BC=BN，根據(jù)等邊對(duì)等角有∠BNC=∠BCN，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠DME=∠AEM+∠EAM=∠AEM+2∠BNC，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到EM=MN則∠AEM=∠BNC，即可證明.25．已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，點(diǎn)E為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BD中點(diǎn).求證：EF⊥BD【答案】證明：如圖，連接BE、DE，∵∠ABC=90°，∠ADC=90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴BE=DE=12∵點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴EF⊥BD【解析】【分析】連接BE、DE，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BE=DE=1226．如圖，在△ABC中，E點(diǎn)是AC的中點(diǎn)，其中BD＝2，DC＝6，BC＝210，AD＝26【答案】解：∵BD2+CD2＝22+62＝（210）2＝BC2，∴△BDC為直角三角形，∠BDC＝90°，在Rt△ADC中，∵CD＝6，AD＝26，∴AC2＝（26）2+62＝60，∴AC＝215，∵E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，∴DE＝12AC＝【解析】【分析】由題目給的數(shù)值可得到BD2+DC2=BC2，根據(jù)勾股定理逆定理可得△BDC為直角三角形且∠BDC=90°，則在△ADC中根據(jù)勾股定理得到AC的長，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得到DE的長。27．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)D，使CD=13【答案】解：連接CM，∵∠ACB=90°，M是AB的中點(diǎn)，∴CM=12∵M(jìn)、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，∴MN=12∵CD=13∴MN=CD，又MN∥BC，∴四邊形NDCM是平行四邊形，∴DN=CM=3．【解析】【分析】連接CM，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CM，根據(jù)三角形中位線定理得到MN=1228．已知，如圖，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分別是AC，BD的中點(diǎn)．求證：①BM=DM；②MN⊥BD．【答案】①證明：如圖，連接BM、DM，∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中點(diǎn)，∴BM=DM=12∴BM=DM；②∵點(diǎn)N是BD的中點(diǎn)，BM=DM，∴MN⊥BD．【解析】【分析】①連接BM、DM，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BM=DM=12AC；②29．如圖所示，一根長2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時(shí)OB的距離為0.7米，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的頂端A沿墻下滑0.4米，那么木棍的底端B向外移動(dòng)多少距離？（2）請(qǐng)判斷木棍滑動(dòng)的過程中，點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離是否變化，并簡(jiǎn)述理由．【答案】解：（1）在直角△ABC中，已知AB=2.5m，BO=0.7m，則由勾股定理得：AO=2.5∴OC=2m，∵直角三角形CDO中，AB=CD，且CD為斜邊，∴由勾股定理得：OD=