第13章教習(xí)題解答

BoAPBoAPrArCrB圖13.113.1一帶電量為q，半徑為rA的金屬球A，與一原先不帶電、內(nèi)外半徑分別為rB和rC的金屬球殼B同心放置，如圖所示，則圖中P點的電場強度如何？若用導(dǎo)線將A和B連接起來，則A球的電勢為多少？（設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢為零）解：過P點作一個同心球面作為高斯面，盡管金屬球殼內(nèi)側(cè)會感應(yīng)出異種，但是高斯面內(nèi)只有電荷q．根據(jù)高斯定理可得E4πr2=q/ε0，可得P點的電場強度為．當(dāng)金屬球殼內(nèi)側(cè)會感應(yīng)出異種電荷-q時，外側(cè)將出現(xiàn)同種電荷q．用導(dǎo)線將A和B連接起來后，正負(fù)電荷將中和．A球是一個等勢體，其電勢等于球心的電勢．A球的電勢是球殼外側(cè)的電荷產(chǎn)生的，這些電荷到球心的距離都是rc，所以A球的電勢為．13.2同軸電纜是由半徑為R1的導(dǎo)體圓柱和半徑為R2的同軸薄圓筒構(gòu)成的，其間充滿了相對介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì)，設(shè)沿軸線單位長度上導(dǎo)線的圓筒的帶電量分別為+λ和-λ，則通過介質(zhì)內(nèi)長為l，半徑為r的同軸封閉圓柱面的電位移通量為多少？圓柱面上任一點的場強為多少？DS1S2S0rR2R1εrl解：DS1S2S0rR2R1εrl設(shè)高斯面的側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2．通過高斯面的電位移通量為，可得電位移為D=λ/2πr，其方向垂直中心軸向外．電場強度為E=D/ε0εr=λ/2πε0εrr，方向也垂直中心軸向外．qobar圖13.313.3金屬球殼原來帶有電量Q，殼內(nèi)外半徑分別為a、b，殼內(nèi)距球心為qobar圖13.3解：點電荷q在內(nèi)殼上感應(yīng)出負(fù)電荷-q，不論電荷如何分布，距離球心都為a．外殼上就有電荷q+Q，距離球為b．球心的電勢是所有電荷產(chǎn)生的電勢疊加，大小為qqABC圖13.413.4三塊平行金屬板A、B和C，面積都是S=100cm2，A、B相距d1=2mm，A、C相距d2=4mm，B、C接地，A板帶有正電荷q=3×10-8C（1）B、C板上的電荷為多少？（2）A板電勢為多少？解：(1)設(shè)A的左右兩面的電荷面密度分別為σ1和σ2，所帶電量分別為q1=σ1S和q2=σ2S，在B、C板上分別感應(yīng)異號電荷-q1和-q2，由電荷守恒得方程q=q1+q2=σ1S+σ2S---------①，A、B間的場強為E1=σ1/ε0，A、C間的場強為E2=σ2/ε0．設(shè)A板與B板的電勢差和A板與C板的的電勢差相等，設(shè)為ΔU，則ΔU=E1d1=E2d2---------②，即σ1d1=σ2d2-----------③解聯(lián)立方程①和③得σ1=qd2/S(d1+d2)，所以q1=σ1S=qd2/(d1+d2)=2×10-8(C)；q2=q-q1=1×10-8(C)．B、C板上的電荷分別為qB=-q1=-2×10-8(C)；qC=-q2=-1×10-8(C)．(2)兩板電勢差為ΔU=E1d1=σ1d1/ε0=qd1d2/ε0S(d1+d2)，由于k=9×109=1/4πε0，所以ε0=10-9/36π，因此ΔU=144π=452.4(V)．由于B板和C板的電勢為零，所以UA=ΔU=452.4(V)．PPq1q2ABq圖13.513.5一無限大均勻帶電平面A，帶電量為q，在它的附近放一塊與A平行的金屬導(dǎo)體板B，板B有一定的厚度，如圖所示．則在板B的兩個表面1和2上的感應(yīng)電荷分別為多少？解：由于板B原來不帶電，兩邊感應(yīng)出電荷后，由電荷守恒得q1+q2=0---------①雖然兩板是無限大的，為了計算的方便，不妨設(shè)它們的面積為S，則面電荷密度分別為σ1=q1/S、σ2=q2/S、σ=q/S，它們產(chǎn)生的場強大小分別為E1=σ1/ε0、E2=σ2/ε0、E=σ/ε0．在B板內(nèi)部任取一點P，其場強為零，其中1面產(chǎn)生的場強向右，2面和A板產(chǎn)生的場強向左，取向右的方向為正，可得E1-E2–E=0，即σ1-σ2–σ=0，或者說q1-q2+q=0----------②，解得電量分別為q2=q/2，q1=-q2=-q/2．σσ2σ1σ4σ3圖13.613.6兩平行金屬板帶有等異號電荷，若兩板的電勢差為120V，兩板間相距為1.2mm，忽略邊緣效應(yīng)，求每一個金屬板表面的電荷密度各為多少？解：由于左板接地，所以σ1=0．由于兩板之間的電荷相互吸引，右板右面的電荷會全部吸引到右板左面，所以σ4=0．由于兩板帶等量異號的電荷，所以σ2=-σ3．兩板之間的場強為E=σ3/ε0，而E=U/d，所以面電荷密度分別為σ3=ε0E=ε0U/d=8.84×10-7(C·m-2)，σ2=-σ3=-8.84×10-7(C·m-2)．oR2R1R313.7一球形電容器，內(nèi)外球殼半徑分別為R1和R2，球殼與地面及其他物體相距很遠(yuǎn)．將內(nèi)球用細(xì)導(dǎo)線接地．試證：球面間電容可用公式表示．（提示：可看作兩個球電容器的并聯(lián)，且地球半徑R>>oR2R1R3證：方法一：并聯(lián)電容法．在外球外面再接一個半徑為R3大外球殼，外殼也接地．內(nèi)球殼和外球殼之間是一個電容器，電容為外球殼和大外球殼之間也是一個電容器，電容為．外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大外球殼都接地，共用一極，所以兩個電容并聯(lián)．當(dāng)R3趨于無窮大時，C2=4πε0R2．并聯(lián)電容為．方法二：電容定義法．假設(shè)外殼帶正電為q，則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷q`．內(nèi)球的電勢是兩個電荷產(chǎn)生的疊加的結(jié)果．由于內(nèi)球接地，所以其電勢為零；由于內(nèi)球是一個等勢體，其球心的電勢為，因此感應(yīng)電荷為．根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的場強為，負(fù)號表示場強方向由外球殼指向內(nèi)球殼．取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力線，兩球殼之間的電勢差為球面間的電容為．oR2R1εr圖13.813.8球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為R1和oR2R1εr圖13.8解：球形電容器的電容為．對于半球來說，由于相對面積減少了一半，所以電容也減少一半：．當(dāng)電容器中充滿介質(zhì)時，電容為：．由于內(nèi)球是一極，外球是一極，所以兩個電容器并聯(lián)：．d2ε1ε2d1圖14.913.9設(shè)板面積為S的平板電容器析板間有兩層介質(zhì)，介電常量分別為ε1和ε2d2ε1ε2d1圖14.9解：假設(shè)在兩介質(zhì)的介面插入一薄導(dǎo)體，可知兩個電容器串聯(lián)，電容分別為C1=ε1S/d1和C2=ε2S/d2．總電容的倒數(shù)為，總電容為．13.10圓柱形電容器是由半徑為R1的導(dǎo)線和與它同軸的內(nèi)半徑為R2的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成的，其長為l，其間充滿了介電常量為ε的介質(zhì)．設(shè)沿軸線單位長度導(dǎo)線上的電荷為λ，圓筒的電荷為-λ，略去邊緣效應(yīng)．求：（1）兩極的電勢差U；（2）介質(zhì)中的電場強度E、電位移D；（3）電容C，它是真空時電容的多少倍？解：介質(zhì)中的電場強度和電位移是軸對稱分布的．在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為r、長為l的圓柱形高斯面，側(cè)面為S0，上下兩底面分別為S1和S2．通過高斯面的電位移通量為DS2SDS2S0rR2R1εlS1高斯面包圍的自由電荷為q=λl，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理Φd=q，可得電位為D=λ/2πr，方向垂直中心軸向外．電場強度為E=D/ε=λ/2πεr，方向也垂直中心軸向外．取一條電力線為積分路徑，電勢差為．電容為．在真空時的電容為，所以倍數(shù)為C/C0=ε/ε0．13.11在半徑為R1的金屬球外還有一層半徑為R2的均勻介質(zhì)，相對介電常量為εr．設(shè)金屬球帶電Q0，求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、外D、E、P的分布；（2）介質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化電荷面密度．解：（1）在介質(zhì)內(nèi)，電場強度和電位移以及極化強度是球?qū)ΨQ分布的．在內(nèi)外半徑之間作一個半徑為r的球形高斯面，通過高斯面的電位移通量為，高斯面包圍的自由電荷為q=Q0，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理Φd=q，可得電位為D=Q0/4πr2，方向沿著徑向．電場強度為E=D/ε0εr=Q0r/4πε0εrr3，方向沿著徑向．由于D=ε0E+P，所以P=D-ε0E=．在介質(zhì)之外是真空，真空可當(dāng)作介電常量εr=1的介質(zhì)處理，所以D=Q0r/4πr3，E=Q0r/4πε0r3，P=0．（2）在介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處，自由電荷Q0產(chǎn)生的場為E0=Q0r/4πε0r3；極化電荷q1`產(chǎn)生的場強為E`=q1`r/4πε0r3；總場強為E=Q0r/4πε0εrr3．由于E=E0+E`，解得極化電荷為，介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度為．在介質(zhì)層外表面，極化電荷為，面密度為．13.12兩個電容器電容之比C1:C2=1:2，把它們串聯(lián)后接電源上充電，它們的靜電能量之比為多少？如果把它們并聯(lián)后接到電源上充電，它們的靜電能之比又是多少？解：兩個電容器串聯(lián)后充電，每個電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式W=Q2/2C，得靜電能之比為W1:W2=C2:C1=2:兩個電容器并聯(lián)后充電，每個電容器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式W=CU2/2，得靜電能之比為W1:W2=C1:C2=1:2．13.13一平行板電容器板面積為S，板間距離為d，接在電源上維持其電壓為U．將一塊厚度為d相對介電常量為εr的均勻介電質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的靜電能為多少？解：平行板電容器的電容為C=ε0S/d，當(dāng)面積減少一半時，電容為C1=ε0S/2d；另一半插入電介質(zhì)時，電容為C2=ε0εrS/2d．兩個電容器并聯(lián)，總電容為C=C1+C2=(1+εr)ε0S/2d，靜電能為W=CU2/2=(1+εr)ε0SU2/4d．13.14一平行板電容器板面積為S，板間距離為d，兩板豎直放著．若電容器兩板充電到電壓為U時，斷開電源，使電容器的一半浸在相對介電常量為εr的液體中．求：（1）電容器的電容C；（2）浸入液體后電容器的靜電能；（3）極板上的自由電荷面密度．解：（1）如前所述，兩電容器并聯(lián)的電容為C=(1+εr)ε0S/2d．（2）電容器充電前的電容為C0=ε0S/d，充電后所帶電量為Q=C0U．當(dāng)電容器的一半浸在介質(zhì)中后，電容雖然改變了，但是電量不變，所以靜電能為W=Q2/2C=C02U2/2C=ε0SU2/(1+εr)（3）電容器的一半浸入介質(zhì)后，真空的一半的電容為C1=ε0S/2d；介質(zhì)中的一半的電容為C2=ε0εrS/2d．設(shè)兩半的所帶自由電荷分別為Q1和Q2，則Q1+Q2=Q---------①由于C=Q/U，所以U=Q1/C1=Q2/C2----------②解聯(lián)立方程得，真空中一半電容器的自由電荷面密度為．同理，介質(zhì)中一半電容器的自由電荷面密度為．13.15平行板電容器極板面積為200cm2，板間距離為1.0mm，電容器內(nèi)有一塊1.0mm厚的玻璃板(εr=5)．將電容器與300V的電源相連．求：（1）維持兩極板電壓不變抽出玻璃板，電容器的能量變化為多少？（2）斷開電源維持板上電量不變，抽出玻璃板，電容器能量變化為多少？解：平行板電容器的電容為C0=ε0εrS/d，靜電能為W0=C0U2/2．玻璃板抽出之后的電容為C=ε0S/d．（1）保持電壓不變抽出玻璃板，靜電能為W=CU2/2，電能器能量變化為ΔW=W-W0=(C-C0)U2/2=(1-εr)ε0SU2/2d=-3.18×10-5(J)．（2）充電后所帶電量為Q=C0U，保持電量不變抽出玻璃板，靜電能為W=Q2/2C電能器能量變化為=1.59×10-4(J)．13.16設(shè)圓柱形電容器的內(nèi)、外圓筒半徑分別為a、b．試證明電容器能量的一半儲存在半徑的圓柱體內(nèi)．解：設(shè)圓柱形電容器電荷線密度為λ，場強為E=λ/2πε0r，能量密度為w=ε0E2/2，體積元為dV=2πrldr，能量元為dW=wdV．在半徑a到R的圓柱體儲存的能量為．當(dāng)R=b時，能量為；當(dāng)時，能量為，所以W2=W1/2，即電容器能量的一半儲存在半徑的圓柱體內(nèi)．13.17兩個同軸的圓柱面，長度均為l，半徑分別為a、b，柱面之間充滿介電常量為ε的電介質(zhì)（忽略邊緣效應(yīng)）．當(dāng)這兩個導(dǎo)體帶有等量異號電荷(±Q)時，求：（1）在半徑為r(a<r<b)、厚度為dr、長度為l的圓柱薄殼中任一點處，電場能量體密度是多少？整個薄殼層中總能量是多少？（2）電介質(zhì)中總能量是多少（由積分算出）？（3）由電容器能量公式推算出圓柱形電容器的電容公式？解：（1）圓柱形內(nèi)柱面的電荷線密度為λ=Q/l，根據(jù)介質(zhì)是高斯定理，可知電位移為D=λ/2πr=Q/2πrl，場強為E=D/ε=Q/2πεrl，能量密度為w=D·E/2=DE/2=Q2/8π2εr2l2．薄殼的體積為dV=2πrldr，能量為dW=wdV=Q2dr/4πεlr（2）電介質(zhì)中總能量為．（3）由公式W=Q