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福建省龍巖市河田第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.已知a,b都是實(shí)數(shù),那么“”是“”的
(A)充分而不必要條件
(B)必要而不充分條件
(C)充分必要條件
(D)既不充分也不必要條件參考答案:D略2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)的值為(
)A.0
B.2
C.0或3
D.2或3參考答案:B略3.在某中學(xué)舉行的環(huán)保知識競賽中,將三個年級參賽的學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分為5組,繪制出如圖所示的頻率分布直方圖,圖中從左到右依次為第一、第二、第三、第四、第五小組,已知第二小組的頻數(shù)是40,則成績在80~100分的學(xué)生人數(shù)是(
)A.15
B.18
C.20
D.25參考答案:A4.已知集合,,,則(
)A.{5} B.{1,5} C.{2,5} D.{1,3}參考答案:D【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集交集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】解:,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算,結(jié)合補(bǔ)集交集的定義是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).5.若函數(shù)f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)在(-∞,+∞)上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則g(x)=loga(x+k)的圖象是(
)參考答案:C略6.某市汽車牌照號碼可以上網(wǎng)自編,但規(guī)定從左到右第二個號碼只能從字母B、C、D中選擇,其他四個號碼可以從0至9這十個數(shù)字中選擇(數(shù)字可以重復(fù)),某車主第一個號碼(從左到右)只想在數(shù)字3、5、6、8、9中選擇,其他號碼只想在1、3、6、9中選擇,則他的車牌號碼可選的所有可能情況有.A.180種
B.360種
C.720種
D.960種參考答案:D共有種,選D.7.如圖在圓O中,AB,CD是圓O互相垂直的兩條直徑,現(xiàn)分別以O(shè)A,OB,OC,OD為直徑作四個圓,在圓O內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(
)A. B. C. D.參考答案:D【分析】先設(shè)出圓O的半徑,然后算出陰影部分的面積,再計(jì)算出圓O的面積,最后利用幾何概型公式求出概率.【詳解】設(shè)圓O的半徑為2,陰影部分為8個全等的弓形組成,設(shè)每個小弓形的面積為S,則,圓O的面積為,在圓O內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是,則,故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,正確計(jì)算出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.8.若等邊△ABC的邊長為3,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足,則的值為()A.2 B. C. D.﹣2參考答案:A【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算即可得出.【解答】解:如圖所示,A(,0),B(0,),C(﹣,0),∴=(,),=(3,0),∴=(,)+(3,0)=(2,),∴=+=(,),∴=﹣=(﹣1,),=﹣=(﹣,),∴=﹣1×(﹣)+×=2,故選:A.9.設(shè),,,則(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A略10.中國古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:物質(zhì)分“金、木、水、火、土”五種屬性,并認(rèn)為:“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”.從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取種,則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率為(
)A. B. C. D.參考答案:D從五種不同屬性的物質(zhì)中隨機(jī)抽取種,共種,而相生的有種,則抽到的兩種物質(zhì)不相生的概率.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)時,則的值_______.參考答案:12.已知函數(shù),若函數(shù)有4個零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是
.參考答案:13.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件,則u=的取值范圍為.參考答案:≤u≤【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃.【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化思想;構(gòu)造法;不等式.【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域,根據(jù)分式的性質(zhì)利用分子常數(shù)化,利用換元法結(jié)合直線斜率的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【解答】解:作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖:則x>0,u====3﹣,設(shè)k=,則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的斜率,由圖象知,AO的斜率最小,BO的斜率最大,由得,即B(2,4),由得,即A(3,2),則AO的斜率k=,BO的斜率k=2,即≤k≤2,則u=3﹣=3﹣在≤k≤2上為增函數(shù),則當(dāng)k=時,函數(shù)取得最小值,u=,當(dāng)k=2時,函數(shù)取得最大值,u=,即≤u≤,故答案為:≤u≤【點(diǎn)評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用分式的性質(zhì)以及換元法是解決本題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合.14.給定方程:()x+sinx﹣1=0,下列命題中:①該方程沒有小于0的實(shí)數(shù)解;②該方程有無數(shù)個實(shí)數(shù)解;③該方程在(﹣∞,0)內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)解;④若x0是該方程的實(shí)數(shù)解,則x0>﹣1.則正確命題是
.參考答案:②③④考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用.專題:計(jì)算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析:根據(jù)正弦函數(shù)的符號和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解,故①不正確;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象與正弦函數(shù)的有界性,可得方程有無數(shù)個正數(shù)解,故②正確;根據(jù)y=()x﹣1的單調(diào)性與正弦函數(shù)的有界性,分析可得當(dāng)x≤﹣1時方程沒有實(shí)數(shù)解,當(dāng)﹣1<x<0時方程有唯一實(shí)數(shù)解,由此可得③④都正確.解答: 解:對于①,若α是方程()x+sinx﹣1=0的一個解,則滿足()α=1﹣sinα,當(dāng)α為第三、四象限角時()α>1,此時α<0,因此該方程存在小于0的實(shí)數(shù)解,得①不正確;對于②,原方程等價于()x﹣1=﹣sinx,當(dāng)x≥0時,﹣1<()x﹣1≤0,而函數(shù)y=﹣sinx的最小值為﹣1且用無窮多個x滿足﹣sinx=﹣1,因此函數(shù)y=()x﹣1與y=﹣sinx的圖象在[0,+∞)上有無窮多個交點(diǎn)因此方程()x+sinx﹣1=0有無數(shù)個實(shí)數(shù)解,故②正確;對于③,當(dāng)x<0時,由于x≤﹣1時()x﹣1≥1,函數(shù)y=()x﹣1與y=﹣sinx的圖象不可能有交點(diǎn)當(dāng)﹣1<x<0時,存在唯一的x滿足()x=1﹣sinx,因此該方程在(﹣∞,0)內(nèi)有且只有一個實(shí)數(shù)解,得③正確;對于④,由上面的分析知,當(dāng)x≤﹣1時()x﹣1≥1,而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函數(shù)y=()x﹣1與y=﹣sinx的圖象在(﹣∞,﹣1]上不可能有交點(diǎn)因此只要x0是該方程的實(shí)數(shù)解,則x0>﹣1.故答案為:②③④點(diǎn)評:本題給出含有指數(shù)式和三角函數(shù)式的方程,討論方程解的情況.著重考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的周期性和有界性、函數(shù)的值域求法等知識,屬于中檔題.15.給出30行30列的數(shù)表A:,其特點(diǎn)是每行每列都構(gòu)成等差數(shù)列,記數(shù)表主對角線上的數(shù)1,10,21,34,…,1074按順序構(gòu)成數(shù)列{bn},存在正整數(shù)s、t(1<s<t)使b1,bs,bt成等差數(shù)列,試寫出一組(s,t)的值.參考答案:(17,25)考點(diǎn):等差數(shù)列的通項(xiàng)公式;數(shù)列與函數(shù)的綜合.專題:計(jì)算題;等差數(shù)列與等比數(shù)列.分析:由題意可得,b2﹣b1=9b3﹣b2=11…bn﹣bn﹣1=2n+5,利用疊加可求bn,然后由b1,bs,bt成等差數(shù)列可得2bs=b1+bt,代入通項(xiàng)后即可求解滿足題意的t,s解答:解:由題意可得,b2﹣b1=9b3﹣b2=11…bn﹣bn﹣1=2n+5以上n﹣1個式子相加可得,bn﹣b1=9+11+…+2n+5=n2+6n﹣7∴bn=n2+6n﹣6∵b1,bs,bt成等差數(shù)列∴2bs=b1+bt∴2(s2+6s﹣6)=1+t2+6t﹣6整理可得,2(s+3)2=(t+3)2+16∵1<s<t≤30且s,t∈N*經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)s=17,t=25時符合題意故答案為:(17,25)點(diǎn)評:本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解,要注意疊加法的應(yīng)用,屬于公式的靈活應(yīng)用16.設(shè)函數(shù)由方程確定,下列結(jié)論正確的是
(請將你認(rèn)為正確的序號都填上)①是上的單調(diào)遞減函數(shù);②對于任意,恒成立;③對于任意,關(guān)于的方程都有解;④存在反函數(shù),且對于任意,總有成立.參考答案:①②③④17.若函數(shù)為奇函數(shù),則m=____.參考答案:1試題分析:此函數(shù)的定義域?yàn)?因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以,即,解得.考點(diǎn):函數(shù)的奇偶性.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(14分)(2010?安徽)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,EF∥AB,EF⊥FB,AB=2EF,∠BFC=90°,BF=FC,H為BC的中點(diǎn).(1)求證:FH∥平面EDB;(2)求證:AC⊥平面EDB;(3)求二面角B﹣DE﹣C的大?。畢⒖即鸢福嚎键c(diǎn): 直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的判定;與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題.專題: 綜合題.分析: (1)設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G,則G為AC的中點(diǎn),連接EG,GH,又H為BC的中點(diǎn),可得四邊形EFHG為平行四邊形,然后利用直線與平面平行判斷定理進(jìn)行證明;(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,可得EF⊥BC,要證FH⊥平面ABCD,F(xiàn)H⊥平面ABCD,從而求解.(3)在平面CDEF內(nèi)過點(diǎn)F作FK⊥DE交DE的延長線與k,可知∠FKB為二面角B﹣DE﹣C的一個平面角,然后設(shè)EF=1,在直角三角形中進(jìn)行求證.解答: 證明:(1)設(shè)AC于BD交于點(diǎn)G,則G為AC的中點(diǎn),連接EG,GH,又H為BC的中點(diǎn),∴GH∥AB且GH=AB,又EF∥AB且EF=AB,∴EF∥GH且EF=GH,∴四邊形EFHG為平行四邊形∴EG∥FH,而EG?平面EDB,∴FH∥平面EDB.(2)由四邊形ABCD為正方形,有AB⊥BC,又EF∥AB,∴EF⊥BC而EF⊥FB,∴EF⊥平面BFC,∴EF⊥FH,∴AB⊥FH,又BF=FC,H為BC的中點(diǎn),∴FH⊥BC∴FH⊥平面ABCD,∴FH⊥BC,F(xiàn)H⊥AC,又FH∥EG,∴AC⊥EG又AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面EDB,(3)EF⊥FB,∠BFC=90°,∴BF⊥平面CDEF,在平面CDEF內(nèi)過點(diǎn)F作FK⊥DE交DE的延長線與k,則∠FKB為二面角B﹣DE﹣C的一個平面角,設(shè)EF=1,則AB=2,F(xiàn)C=,DE=,又EF∥DC,∴∠KEF=∠EDC,∴sin∠EDC=sin∠KEF=,∴FK=EFsin∠KEF=,tan∠FKB==,∴∠FKB=60°,∴二面角B﹣DE﹣C為60°.點(diǎn)評: 此題考查直線與平面平行的判斷及平面與平面垂直的判斷,此類問題一般先證明兩個面平行,再證直線和面平行,這種做題思想要記住,此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題,同學(xué)們要課下要多練習(xí).19.(20分)如圖,在海岸線EF一側(cè)有一休閑游樂場,游樂場的前一部分邊界為曲線段FGBC,該曲線段是函數(shù)y=Asin(ωx+?)(A>0,ω>0,?∈(0,π)),x∈[﹣4,0]的圖象,圖象的最高點(diǎn)為B(﹣1,2).邊界的中間部分為長1千米的直線段CD,且CD∥EF.游樂場的后一部分邊界是以O(shè)為圓心的一段圓?。?)求曲線段FGBC的函數(shù)表達(dá)式;(2)曲線段FGBC上的入口G距海岸線EF最近距離為1千米,現(xiàn)準(zhǔn)備從入口G修一條筆直的景觀路到O,求景觀路GO長;(3)如圖,在扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個平行四邊形休閑區(qū)OMPQ,平行四邊形的一邊在海岸線EF上,一邊在半徑OD上,另外一個頂點(diǎn)P在圓弧上,且∠POE=θ,求平行四邊形休閑區(qū)OMPQ面積的最大值及此時θ的值.參考答案:考點(diǎn): 在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)模型.專題: 計(jì)算題;應(yīng)用題;作圖題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: (1)由題意可得A=2,T=12,代入點(diǎn)求?,從而求解析式;(2)令求解x,從而求景觀路GO的長;(3)作圖求平行四邊形的面積SOMPQ=OM?PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);從而求最值.解答: 解:(1)由已知條件,得A=2,又∵,又∵當(dāng)x=﹣1時,有,∴曲線段FBC的解析式為.(2)由得,x=6k+(﹣1)k﹣4(k∈Z),又∵x∈[﹣4,0],∴k=0,x=﹣3,∴G(﹣3,1),;∴景觀路GO長為千米.(3)如圖,,作PP1⊥x軸于P1點(diǎn),在Rt△OPP1中,PP1=OPsinθ=2sinθ,在△OMP中,=,∴OM==2cosθ﹣sinθ,SOMPQ=OM?PP1=(2cosθ﹣sinθ)2sinθ=sin(2θ+)﹣,θ∈(0,);當(dāng)2θ+=時,即θ=時,平行四邊形面積有最大值為(平方千米).點(diǎn)評: 本題考查了三角函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,同時考查了學(xué)生的作圖能力,屬于中檔題.20.(本小題滿分12分)節(jié)日期間,高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務(wù)區(qū)從七座以下小型汽車中按進(jìn)服務(wù)區(qū)的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查,將他們在某段高速公路的車速(km/h)分成六段后得到如下圖所示的頻率分布直方圖.(Ⅰ)此調(diào)查公司在采樣中用到的是什么抽樣方法?(Ⅱ)求這40輛
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