專訓(xùn)1-巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問(wèn)題

階段方法技巧訓(xùn)練（二）專訓(xùn)1巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問(wèn)題習(xí)題課位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)．位似圖形必須具備三個(gè)條件：(1)兩個(gè)圖形相似；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)；(3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上．1．如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題．畫法：①在△AOB內(nèi)畫等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．訓(xùn)練角度1三角形的內(nèi)接正三角形問(wèn)題解：∵E′C′∥EC，∴△OCE∽△OC′E′.∴又∵E′D′∥ED，∴△DOE∽△D′OE′.∴∴∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，∴∠OEC＝∠OE′C′，∠OED＝∠OE′D′.∴∠OEC＋∠OED＝∠OE′C′＋∠OE′D′，即∠CED＝∠C′E′D′.∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等邊三角形，∴△C′D′E′是等邊三角形．2．如圖，求作：內(nèi)接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，并且有DE∶EF＝1∶2.訓(xùn)練角度2三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題解：如圖，在AB邊上任取一點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′E′⊥BC于點(diǎn)E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，過(guò)點(diǎn)F′作F′G′⊥BC，過(guò)點(diǎn)D′作D′G′∥BC交F′G′于點(diǎn)G′，作射線BG′交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于點(diǎn)F，DG交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥D′E′交BC于點(diǎn)E，則四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，且DE∶EF＝1∶2.3．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？訓(xùn)練角度3三角形的內(nèi)接正方形問(wèn)題(方程思想)解：設(shè)符合要求的正方形PQMN的邊PN與△ABC的高AD相交于點(diǎn)E，易知AE為△APN的邊PN上的高．設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為xmm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∴解得x＝48，即這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm.4．(1)如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P.求證：證明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ.∴同理∴(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個(gè)

頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF，分別交DE

于M，N兩點(diǎn)．①如圖②，若AB＝AC＝1，直接寫出MN的長(zhǎng)；②如圖③，求證：MN2＝DM?EN.①解：MN＝②證明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，∴△BGD∽△EFC.∴

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