四川省樂山市沙灣太平鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理期末試題含解析

四川省樂山市沙灣太平鎮(zhèn)中學高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知K為實數(shù)，若雙曲線的焦距與K的取值無關(guān)，則k的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：A2.滿足線性約束條件的目標函數(shù)的最大值是（

）A.1

B.

C.2

D.3參考答案：C略3.函數(shù)圖象的對稱中心為

A．

B.

C.

D.參考答案：B略4.已知函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如右圖所示，且|x1|<|x2|，則有

A．a(chǎn)>0，b>0，c<0，d>0

B．a(chǎn)<0，b>0，c<0，d>0[

C．a(chǎn)<0，b>0，c>0，d>0

D．a(chǎn)>0，b<0，c>0，d<0參考答案：C5.設(shè)x，y滿足約束條件：，則z=x﹣2y的最大值為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．﹣2參考答案：B【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=x﹣2y，得y=平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點A（3，0）時，直線y=的截距最小，此時z最大，此時zmax=3﹣2×0=3．故選：B．6.已知等差數(shù)列{}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，那么a2=(

)

A．-6

B．-8

C．8

D．6參考答案：A略7.已知，，則（

）A．2

B．

C．

D．1參考答案：D8.已知函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的圖象的一條對稱軸是

（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：A9.函數(shù)的定義域為A.{x|x>1}

B.{x|x<1}

C.{x|－1<x<1}

D.?參考答案：B略10.已知函數(shù)f（x）=cos4x﹣sin4x，下列結(jié)論錯誤的是(

)A．f（x）=cos2xB．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=0對稱C．f（x）的最小正周期為πD．f（x）的值域為[﹣，]參考答案：D【考點】二倍角的余弦．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式化簡函數(shù)解析式可得f（x）=cos2x，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)及余弦函數(shù)的周期公式即可得解．【解答】解：由f（x）=cos4x﹣sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x﹣sin2x）=cos2x，故A正確；由利用余弦函數(shù)的圖象可知f（x）=cos2x為偶函數(shù)，故B正確；由周期公式可得f（x）的最小正周期為：T=，故C正確；由余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）=cos2x的值域為[﹣1，1]，故D錯誤；故選：D．【點評】本題主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函數(shù)公式，考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)=xlnx的單調(diào)遞減區(qū)間是_______________.

參考答案：（0，）12.將一條長為8cm的線段分成長度為正整數(shù)的三段，這三段能構(gòu)成三角形的概率=．參考答案：【考點】古典概型及其概率計算公式．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，列出三條線段的長度的所有可能種情況，找出能構(gòu)成三角形，得到概率．【解答】解：若分成的三條線段的長度均為正整數(shù)，則三條線段的長度的所有可能為1、1、6；1、2、5；1、3、4；2、2、4；3、3、2；一共有5種等可能情況，能夠構(gòu)成三角形的只有3、3、2；能構(gòu)成三角形的概率P=．故答案為：．【點評】本題考查古典概型，考查學生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)．13.在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知射線θ=與曲線（t為參數(shù)）相交于A，B兩點，則線段AB的中點的直角坐標為

．參考答案：（，）【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；坐標系和參數(shù)方程．【分析】射線θ=的直角坐標方程為y=x（x≥0），把曲線（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標方程為y=（x﹣2）2．聯(lián)立方程組求出A、B兩點坐標，由此能求出AB的中點的直角坐標．【解答】解：射線θ=的直角坐標方程為y=x（x≥0），把曲線（t為參數(shù)），消去參數(shù)，化為直角坐標方程為y=（x﹣2）2．聯(lián)立，解得，或，∴A（1，1），B（4，4），∴AB的中點為（）．故答案為：（）．【點評】本題考查兩點的中點坐標的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的相互轉(zhuǎn)化及中點坐標公式的合理運用．14.已知P是離心率為2的雙曲線右支上一點，則該雙曲線的漸近線方程為

▲

，P到直線y＝(m－1)x的距離與P到點F(－2，0)的距離之和的最小值為

▲

(本題第一空2分，第二空3分)參考答案：15.雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦長為6，則雙曲線的離心率為(

) A．2 B． C．4 D．參考答案：D考點：雙曲線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：求出雙曲線的一條漸近線方程，利用漸近線被圓M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦長為6，可得=4，即可求出雙曲線的離心率．解答： 解：雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為bx+ay=0，∵漸近線被圓M：（x﹣8）2+y2=25截得的弦長為6，∴=4，∴a2=3b2，∴c2=4b2，∴e==．故選：D．點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的合理運用．16.已知數(shù)列的前項和為

…

…

×××

×××

，現(xiàn)把數(shù)列的各項排成如圖所示的三角形形狀．記為第行從左起第個數(shù)．有下列命題：①為等比數(shù)列且其公比；②當時不存在；③；④假設(shè)為大于的常數(shù)，且，，其中為的最大值，從所有，中任取一個數(shù)，若取得的數(shù)恰好為奇數(shù)的概率為，則必然為偶數(shù)．其中你認為正確的所有命題的序號是___________.參考答案：②③④．17.已知某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的結(jié)果為

。參考答案：0．6三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知，，且直線與曲線相切．（I）求b的值；（II）若對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：解析:（1）設(shè)點為直線與曲線的切點，則有．

（*），．

（**）由（*）（**）兩式，解得，．

（2）由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．

設(shè)，，，當時，，則是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，．

略19.(14分)已知是以點為圓心的圓上的動點，定點.點在上，點在上，且滿足．動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；(Ⅱ)線段是曲線的長為的動弦，為坐標原點，求面積的取值范圍.參考答案：解析：（Ⅰ）∴為的垂直平分線，∴,又

………………3分∴動點的軌跡是以點為焦點的長軸為的橢圓.∴軌跡E的方程為………5分(Ⅱ)解法一∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，由，消去，并整理，得設(shè)，，則，

…………8分，，

………11分.……12分又點到直線的距離，……………13分，.

…………14分解法二：∵線段的長等于橢圓短軸的長，要使三點能構(gòu)成三角形，則弦不能與軸垂直，故可設(shè)直線的方程為，由，消去，并整理，得設(shè)，，則，

…………8分，

………11分又點到直線的距離，設(shè)，則，.

……………………14分（注：上述兩種解法用均值不等式求解可參照此標準給分）20.(本題滿分13分)已知函數(shù).（I）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求值；（II）討論函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性；（III）定義：若函數(shù)在區(qū)間D上任意都有，則稱函數(shù)是區(qū)間D上的凹函數(shù).設(shè)函數(shù)，其中是的導函數(shù)．根據(jù)上述定義，判斷函數(shù)是否為其定義域內(nèi)的凹函數(shù)，并說明理由.參考答案：（1）由題意

又處切線與軸平行從而……4分

(2)

由

1

當在定義域內(nèi)單調(diào)遞增……..6分2

當時，令得而方程有二根3

，且從而在上遞增，上遞減，

……..8分綜上，在上遞增；時，在上遞增，上遞減……9分(3)由題意…10分令任意則所以=……………12分

也即故是其定義域內(nèi)的凹函數(shù)………….13分21.已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）分類討論，，，即可得出結(jié)果；（2）先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由得，若，則，顯然不成立；若，則，，即；若，則，即，顯然成立，綜上所述，的取值范圍是．（2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需，當時，，所以；因為，所以，解得，結(jié)合，所以的取值范圍是．【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式的性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.22.已知函數(shù)f（x）=a（x﹣1）2+lnx，a∈R．（Ⅰ）當a=﹣時，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）a=時，令h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣．求h（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）≤x﹣1對?x∈[1，+∞）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）當a=﹣時，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①當0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）在（0，2）單調(diào)遞增；②當x＞2時，f'（x）＜0，f（x）在（2，+∞）單調(diào)遞減；所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，2），單調(diào)遞減區(qū)間是（2，+∞）．…（Ⅱ）當a=時，h（x）=f（x）﹣3lnx+x﹣=x2﹣2lnx，∴h′（x）=x﹣令h′（x）=0解得x=，…當x∈[1，]時，h′（x）＜0，當x∈[，e）時，h′（x）＞0，故x=是函數(shù)h（x）在[1，e]上唯一的極小值點，…故h（x）min=h（）=1﹣ln2，又h（1）=，h（e）=e2﹣2，所以h（x）max=e2﹣2．…

（Ⅲ）由題意得a（x﹣1）2+lnx≤x﹣1對x∈[1，+∞）恒成立，…設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），∴，…①當a≤0時，若x＞1，則g′（x）＜0，所以g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減，∴g（x）max=g（1）=0≤0成立，得a≤0；…②當時，，g（x）在[1，+∞）單調(diào)遞增，所以存在x＞1，使g（x）＞g（1）=0，則不成立；…③當時，x=＞1，則f（x）在[1，]上單調(diào)遞減，[，+∞）單調(diào)遞增，則存在∈[，+∞），有g(shù)（）=a（﹣1）2+ln﹣+1=﹣lna+a﹣1＞0，所以不成立，…（13分）綜上得a≤0．…（14分）考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（Ⅰ）先求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求導，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為設(shè)g（x）=a（x﹣1）2+lnx﹣x+1，x∈[1，+∞），則g（x）max≤0，x∈[1，+∞），根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值的關(guān)系分類討論即可．解答：解：（Ⅰ）當a=﹣時，f（x）=﹣（x﹣1）2+lnx，（x＞0）…f'（x）=﹣x++=﹣，…①當0＜x＜2時，f'（x）＞0，f（x）在（0