第11講系統(tǒng)預(yù)測技術(shù)三馬爾可夫預(yù)測

管理系統(tǒng)工程第11講系統(tǒng)預(yù)測技術(shù)（3）SCHOOLOFECONOMICSANDCOMMERCE1系統(tǒng)預(yù)測技術(shù)（之三）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）三、馬爾可夫預(yù)測馬爾可夫法：利用概率論中的條件概率等理論和方法研究事物狀態(tài)轉(zhuǎn)移的理論和方法。馬爾可夫預(yù)測法：是將時(shí)間序列看作一個(gè)隨機(jī)過程（稱為馬爾可夫鏈），通過對(duì)事物不同狀態(tài)的初始概率和狀態(tài)之間轉(zhuǎn)移概率的研究，預(yù)測事物未來狀況的一種預(yù)測方法，可應(yīng)用領(lǐng)域：市場占有率，產(chǎn)品期望利潤預(yù)測；企業(yè)發(fā)展規(guī)劃預(yù)測；勞動(dòng)力需求預(yù)測；設(shè)備更新預(yù)測等等。2系統(tǒng)預(yù)測技術(shù)（之二）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）三、馬爾可夫預(yù)測（一）馬爾可夫鏈概述

1馬爾可夫鏈（1）狀態(tài)所研究對(duì)象在某一時(shí)刻t所處的客觀現(xiàn)實(shí)，稱為該對(duì)象在時(shí)間t的狀態(tài)。因所研究的對(duì)象及預(yù)測目標(biāo)不同，狀態(tài)可有不同的劃分，如：“暢銷”、“滯銷”等。可編號(hào)為i=1，2，3，……3（2）離散隨機(jī)過程（或隨機(jī)序列）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）{Xt()，t=1，2，3，……}為狀態(tài)隨機(jī)變量序列，“Xn=i”表示在時(shí)刻n處于狀態(tài)i。簡記為{Xt，t=1，2，3，……}。（3）無后效性若隨機(jī)序列{Xt，t=1，2，3，……}在將來取什么值只與它現(xiàn)在的取值有關(guān)，而與它過去取什么值無關(guān)，則稱{Xt，t=1，2，3，……}具有無后效性。即：P(Xm=jXn=i，Xn-1=in-1，……，X1=i1）=P(Xm=jXn=i）4（2）離散隨機(jī)過程（或隨機(jī)序列）經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）例1池塘里的青蛙：設(shè)有N張荷葉，編號(hào)為1，2，3，……，N，有一青蛙在這N張荷葉上隨機(jī)地跳來跳去。{Xt=i，i=1，2，3，……，N}表示在t時(shí)刻該青蛙在第i張荷葉上。由于青蛙在將來處于什么狀態(tài)（即哪張荷葉上），只與它現(xiàn)在所處的狀態(tài)有關(guān)，與它以前所處的狀態(tài)無關(guān)。故{Xt}具有無后效性。5例2某產(chǎn)品在市場所處的狀態(tài)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）狀態(tài)1：暢銷、一般、滯銷若銷量只與現(xiàn)時(shí)狀態(tài)有關(guān)而與過去的狀態(tài)無關(guān)，則它具有無后效性。暢銷一般滯銷暢銷暢銷一般滯銷滯銷6經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）例3廣州城市出租車的狀態(tài)：X=i，i=1，2，……，N。狀態(tài)E1表示“在天河區(qū)”、狀態(tài)E2表示“在越秀區(qū)”、狀態(tài)E3表示“在海珠區(qū)”，……，等等。狀態(tài)將來時(shí)刻現(xiàn)時(shí)刻狀態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移情況狀態(tài)E1狀態(tài)EN狀態(tài)E2狀態(tài)E2狀態(tài)E1狀態(tài)ENE1E1E1E2E1ENE2E1E2E2E2ENENE1ENE2ENEN7（4）馬爾可夫鏈經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）具有無后效性的隨機(jī)序列{Xt，t=1，2，3，……}稱為馬爾可夫鏈。2狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率僅討論有有限種狀態(tài)的馬爾可夫鏈的狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。記此有限種狀態(tài)集為E={E1，E2，……，EN}，其中Ei={Xt=i}。（1）一步轉(zhuǎn)移概率設(shè)t=m，則事物在第m時(shí)期的一步轉(zhuǎn)移概率只與第m時(shí)期所處狀態(tài)有關(guān)，在第m時(shí)期由狀態(tài)Ei轉(zhuǎn)移到Ej的概率為：pij(m)=Prob{Ej|Ei}=Prob{Ej

Ei}=Prob{Xm+1=j|Xm=i}8（4）馬爾可夫鏈經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）若一步轉(zhuǎn)移概率pij(m)與轉(zhuǎn)移時(shí)期m無關(guān)，即對(duì)nm，有

pij(m)=Prob{Xm+1=j|Xm=i}=Prob{Xn+1=j|Xn=i}=pij(n)則稱馬爾可夫鏈?zhǔn)驱R次的（或稱均勻的）。以下假設(shè)所研究的馬爾可夫鏈都是齊次的。此時(shí)可記pij(m)=pij，即pij=Prob{Xm+1=j|Xm=i}9例4狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）某地區(qū)有甲、乙、丙三家食品廠生產(chǎn)同一種食品，有1000客戶。假定在研究期間無新用戶加入也無老用戶退出，只有用戶的轉(zhuǎn)移。已知5月6月的變動(dòng)情況如下：從到甲乙430400甲5月份合計(jì)乙丙5050500203008040010106月合計(jì)36080100丙2101000試計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。10經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）從到甲乙430400甲5月份合計(jì)乙丙5050500203008040010106月合計(jì)36080100丙2101000試計(jì)算其狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。解：表中各列表明，如第1列：甲廠產(chǎn)品6月份430客戶中，有400客戶是5月份的老客戶，20個(gè)為5月份從乙廠轉(zhuǎn)移過來的，10個(gè)為從丙廠轉(zhuǎn)過來的。其它列的情況類似。故：p11=400/500=0.8，p12=50/500=0.1，p13=50/500=0.1；p21=20/400=0.05，p22=300/400=0.75，p23=80/400=0.2；p31=10/100=0.1，p32=10/100=0.1，p33=80/400=0.8；113狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）其中pij具有以下特征：（行和為1）pij0，pi1+pi2+……+piN=1，i=1，2，……，N。它完全描述了所研究事物的變化過程。12經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）4n步轉(zhuǎn)移概率和n步轉(zhuǎn)移概率矩陣設(shè)從狀態(tài)i經(jīng)過n步（n>1）達(dá)到狀態(tài)j的概率為pij(n)，即：pij(n)=Prob{Xm+n=j|Xm=i}相應(yīng)的矩陣為稱為n步轉(zhuǎn)移概率矩陣，記為P(n)13例5概率矩陣的計(jì)算經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）設(shè)某系統(tǒng)有3種狀態(tài)E1、E2、E3。其轉(zhuǎn)移情況如下：求其一步、二步轉(zhuǎn)移概率矩陣。

狀態(tài)狀態(tài)E1E24721E1本步合計(jì)E2E3714421681236108下步合計(jì)23220E32898本步狀態(tài)次數(shù)系統(tǒng)下步所處狀態(tài)14經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）解：由無后效性，顯然即：15經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（第11講）一般地，有即并且pij(n)也滿足：165狀態(tài)概率與狀態(tài)概率向量經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程用Si(t)表示第t個(gè)時(shí)期狀態(tài)i出現(xiàn)的概率，即稱向量為第t個(gè)時(shí)期的狀態(tài)概率向量。第0個(gè)時(shí)期的狀態(tài)概率Si(0)稱為初始狀態(tài)概率，S(0)稱為初始狀態(tài)概率向量。這樣，由馬爾可夫鏈的特性，有：一般地，有：下面討論當(dāng)t時(shí)，P(t)的變化趨勢。176遍歷性與穩(wěn)態(tài)概率經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程遍歷性：是指不論從哪一種狀態(tài)i出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移步數(shù)n充分大時(shí)，來到狀態(tài)j的概率都接近常數(shù)

j，而與原來的狀態(tài)i無關(guān)。即：設(shè){Xt，t=1，2，}是齊次的馬爾可夫鏈，如果對(duì)于每一種狀態(tài)j，都存在常數(shù)

j，使得對(duì)任何狀態(tài)i，都有極限成立，則稱馬爾可夫鏈{Xt}具有遍歷性。若{Xt}具有遍歷性，即存在常數(shù)

j使由得故稱

j為狀態(tài)j的穩(wěn)態(tài)概率。18如何求

j呢？經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程即此外，由于由于兩邊取極限并注意到得：其中=[1，2，……，N]兩邊取極限得到綜合知，由：可求得穩(wěn)態(tài)概率。問題是：如何判斷馬爾可夫鏈{Xt}具有遍歷性呢？19經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程如果存在正整數(shù)h，使得對(duì)一切i，j都有：則{Xt}具有遍歷性。滿足以上條件的轉(zhuǎn)移概率矩陣P稱為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣（也稱為正規(guī)隨機(jī)矩陣）。207馬爾可夫鏈在預(yù)測中的應(yīng)用條件經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程應(yīng)用馬爾可夫鏈方法進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測對(duì)象必須基本符合馬爾可夫鏈的一些假設(shè)條件：（1）轉(zhuǎn)移概率矩陣逐期保持不變；（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移僅受前一期的影響；（3）預(yù)測期間狀態(tài)的個(gè)數(shù)保持不變。以市場占有率為例，必須假定預(yù)測期間市場競爭對(duì)手的數(shù)目保持不變，即既沒有新的廠家打入市場，也沒有一個(gè)企業(yè)停產(chǎn)。21經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（二）馬爾可夫鏈預(yù)測法1簡單預(yù)測法按以下步驟來完成：第一步.劃分預(yù)測對(duì)象所出現(xiàn)的狀態(tài)。要從預(yù)測的目的出發(fā)，并考慮決策者的需要來劃分現(xiàn)象所處的狀態(tài)。第二步.計(jì)算初始概率，常用頻率作為近似值。即，設(shè)有E1，E2，……，EN共N個(gè)狀態(tài)，觀察了M個(gè)時(shí)期，其中狀態(tài)Ei共出現(xiàn)了Mi次，于是22經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（二）馬爾可夫鏈預(yù)測法第三步.計(jì)算初始概率其中Mij為從Mi個(gè)Ei出發(fā)，下一步轉(zhuǎn)移到Ej的Ei狀態(tài)個(gè)數(shù)。第四步.根據(jù)轉(zhuǎn)移概率進(jìn)行預(yù)測。若目前處于狀態(tài)Ei，則pij就描述了Ei在將來將轉(zhuǎn)向Ej的可能性，按最大可能性原則，選擇{pi1，pi2，……，piN}中最大者為預(yù)測結(jié)果。23例6簡單預(yù)測法預(yù)測計(jì)算例子經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程某商店在最近20個(gè)月的商品銷售量統(tǒng)計(jì)如下（單位：千件）：時(shí)間t銷售量時(shí)間t銷售量402345678910111213141516171819204045801201103815062901101301401205570458011012024經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程解：(1).以銷售狀況劃分狀態(tài)為：E1表示滯銷（銷售量<60千件）；E2表示一般（60千件

銷售量

100千件）；E3表示暢銷（銷售量>100千件）。(2).計(jì)算初始概率按以上劃分可知：M1=7，M2=5，M3=8時(shí)間t銷售量時(shí)間t銷售量402345678910111213141516171819204045801201103815062901101301401205570458011012025經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程(3).計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣此時(shí)，最后一個(gè)數(shù)據(jù)不參加計(jì)算，因?yàn)樗烤罐D(zhuǎn)到哪個(gè)狀態(tài)尚不清楚。即：M1=7，M2=5，M3=7，而相應(yīng)地，M11=3，M12=4，M13=0，M21=1，M22=1，M23=3，M31=2，M32=0，M33=5故26經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程（4）.預(yù)測第21個(gè)月的銷售情況：由于第20個(gè)月屬于“暢銷狀態(tài)E3”，而{p31，p32，p33}={2/7，0，5/7}。最大者為p33=5/7，故預(yù)測第21個(gè)月的銷售狀態(tài)是“暢銷”。即銷售量>100千件。272市場占有率預(yù)測經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程根據(jù)馬爾可夫鏈的性質(zhì)：本期市場占有率僅取決于上期市場占有率及轉(zhuǎn)移概率。則經(jīng)過k個(gè)時(shí)期后，市場占有率為：設(shè)為初始市場占有率；P=[pij]NN為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣進(jìn)一步地，若馬爾可夫鏈具有遍歷性（即存在正整數(shù)h>0使Ph>0，亦即P為標(biāo)準(zhǔn)矩陣），則穩(wěn)定的市場平衡狀態(tài)（即顧客的流動(dòng)對(duì)市場占有率不起影響）的終極市場占有率為：預(yù)測步驟為：第一步：計(jì)算S(0)和P；28經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程第二步：由S(k)=S(0)Pk進(jìn)行短期預(yù)測；第三步：計(jì)算由=[1，2，……，N]做長期穩(wěn)態(tài)預(yù)測。例7已知市場上有A、B、C三種牌子的洗衣粉，上月的市場占有率分布為：[0.3，0.4，0.3]，且已知轉(zhuǎn)移概率矩陣為：試求本月份的市場占有率。29經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程解：因?yàn)镻為標(biāo)準(zhǔn)概率矩陣，所以存在=[1，2，3]使即30經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程由此得到：綜合得到：本月市場占有率為下月市場占有率為穩(wěn)態(tài)時(shí)的市場占有率為31經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程自我練習(xí)題目：市場占有率預(yù)測A、B兩家毛巾廠的市場銷售占有預(yù)測。由于毛巾是生活必需品，同時(shí)假定毛巾的平均使用期為6年，因此，每年兩家毛巾廠的總銷售量為常數(shù)，而引起兩個(gè)廠家各自銷量增減的主要原因是由于廠家的營銷策略、產(chǎn)品質(zhì)量造成的。市場需求調(diào)查見下表所示。時(shí)間A廠B廠銷售量（萬條）顧客銷售量（萬條）顧客老顧客（萬人）原購B廠毛巾、現(xiàn)購A廠毛巾人數(shù)（萬人）老顧客（萬人）原購A廠毛巾、現(xiàn)購B廠毛巾人數(shù)（萬人）19951996200217160178.54038.5300283280260.52012.5323期望利潤預(yù)測經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院SchoolofEconomicsandManagement管理系統(tǒng)工程在企業(yè)經(jīng)營管理中，除了需要摸請(qǐng)銷路狀況的變化、市場占有率的變化外，還需要對(duì)利潤的變化進(jìn)行預(yù)測。設(shè)市場銷售狀況分為N種狀態(tài)各狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P=[pij]NN為已知矩陣，并設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移利潤矩陣R=[rij]NN也已知，其中rij表示由Ei轉(zhuǎn)