高中數(shù)學(xué)-【課堂實錄】圓的一般方程教學(xué)設(shè)計學(xué)情分析教材分析課后反思

1圓的一般方程教學(xué)設(shè)計【一】教學(xué)背景分析1.教材結(jié)構(gòu)分析《圓的一般方程》安排在高中數(shù)學(xué)必修2第四章第一節(jié)第二課時.圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用.圓的一般方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識上還是思想方法上都有著深遠(yuǎn)的意義，所以本課內(nèi)容在整個解析幾何中起著承前啟后的作2.學(xué)情分析圓的一般方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后進行研究的，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時間還不長、學(xué)習(xí)程度較淺，在學(xué)習(xí)過程中難免會出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問題的能力，合作交流的意識等方面有待加強.根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，我制定如下教學(xué)目標(biāo)：3.教學(xué)目標(biāo)1.通過實例，掌握圓的一般方程及其特點；2.探究出將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大3.能根據(jù)某些具體條件，運用待定系數(shù)法確定圓的方程；4.通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，提高探索發(fā)現(xiàn)及分析問題的實際能力；體驗數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法；通過求圓的方程，培養(yǎng)用配方法和待定系數(shù)法解決實際問題的能力.過程與方法：(1)進一步培養(yǎng)學(xué)生用代數(shù)方法研究幾何問題的能力；(2)加深對數(shù)形結(jié)合思想的理解和加強對待定系數(shù)法的運用，認(rèn)識研究問題中由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般的化歸思想，充分了解分類思想在數(shù)學(xué)中的重要地位，強化學(xué)生的觀察，思考能力。(3)增強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識.情感，態(tài)度與價值觀：(1)培養(yǎng)學(xué)生主動探究知識、合作交流的意識；(2)培養(yǎng)學(xué)生勇于思考，探究問題的精神。(3)在體驗數(shù)學(xué)美的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.根據(jù)以上對教材、學(xué)情及教學(xué)目標(biāo)的分析，我確定如下的教學(xué)重點和難點：教學(xué)重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F.教學(xué)難點：對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運用.為了充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，本節(jié)課采用“誘思探究”教學(xué)法，用環(huán)環(huán)相扣的問題將探究活動層層深入，使教師總是站在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)上.另外我利用多媒體課件進行輔助教學(xué)，借助信息技術(shù)創(chuàng)設(shè)問題情境，直觀的誘導(dǎo)了學(xué)生的思維過程.2.學(xué)法分析眾所周知，高中數(shù)學(xué)教學(xué)不但要傳授給學(xué)生基本的數(shù)學(xué)知識與技能，更要注重過程與方法，態(tài)度情感與價值觀，因此我在教學(xué)活動中，不斷地設(shè)置問題，提出疑問，誘導(dǎo)學(xué)生主動思考，主動探究，討論交流，使學(xué)生在積極的學(xué)習(xí)中解決問題。因此我的教學(xué)貫穿“疑問”—“思考”—“探究與發(fā)現(xiàn)”—“問題解決”四個環(huán)節(jié)。教學(xué)中，我很關(guān)注學(xué)生已有的2認(rèn)知結(jié)構(gòu)，學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成，以期提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，實現(xiàn)素質(zhì)教育的目標(biāo)。下面我就對具體的教學(xué)過程和設(shè)計意圖加以說明：【三】教學(xué)過程與設(shè)計意圖我的整個教學(xué)過程是由問題鏈驅(qū)動的，共分為六個環(huán)節(jié)，分別為：問題引入、問題探究、成果展示、變式訓(xùn)練、拓展引申、課堂小結(jié)教學(xué)過程及方法教學(xué)內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)與活動設(shè)計問題引入：問題1:圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么?問題2:在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2中，圓心坐標(biāo)和半徑分別為什么?問題3:方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么圖形?x2+y2-2x+4y+6=0表示什么圖形?圓也可以用二元二次方程表示，并認(rèn)識到圓與二元二次帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。自主探索：請同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x—a)2+(y-b)2=r2,圓心(a,b),半徑r.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理：x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.取D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①這個方程是圓的方程.②反過來給出一個形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎?教師提出三個問題，由學(xué)生回答,通過實例發(fā)現(xiàn)圓的另外一種表達(dá)形式。教師通過導(dǎo)引：把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2展開，是否是二元二次方程的形式?引入圓都可以寫成二元二次方程3教學(xué)過程及方法②(配方過程由學(xué)生去完成)這個方程是不是表示圓?為半徑的圓：,,即只表示一個點;(3)當(dāng)D2+E2-4F<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓只有當(dāng)D2+E2-4F>0時，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的表示圓的方程稱為員的一般方程設(shè)計意圖：讓學(xué)生自主探究x2+y2+Dx+Ey+F=0與圓的我們來看圓的一般方程的特點：(啟發(fā)學(xué)生歸納)(1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0.②沒有xy這樣的二次項.(2)圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F,因之只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了.二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓設(shè)計意圖：以問題形式讓學(xué)生觀察圓的一般方程，深x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，將得到怎樣的方程?這個方程是不是表示圓?,讓學(xué)生拿出練習(xí)本自主探究，教師選擇一名補充不足后對黑板同學(xué)做法般方程教師讓學(xué)生總結(jié)圓的一般方程的特點(1分鐘思考時間)4圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對于(1)4x2+4y2-4x+12y+9=0來說，這里的-4,12,11并練習(xí)突出半徑為r的絕對值。二.求圓方程例2:求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程，解：設(shè)所求的圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0∵A(0,0),B(1,1),C(4,2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于D,E,F的三元一次方程組，解此方程組，可得：D=-8,E=6,F=0∴所求圓的方程為：x2+y2-8x+6y=0選擇兩名基礎(chǔ)一般的學(xué)生上黑板展示做題過程，讓學(xué)生們?nèi)c評做題過程正誤，不足進行補充，教師在最后要加以總結(jié)法的使用前兩道題目口答，第三個學(xué)生上黑板展示，學(xué)生很容易不討論a的值半徑不加絕對值，在這;.5教學(xué)過程及方法變式訓(xùn)練2:已知△ABC的三個頂點A(-1,0),B(1,0),C(3,2),其外接圓為圓H.H的方程設(shè)計意圖：解決方法有三種，最好的方法是利用垂直平分線的方法，讓學(xué)習(xí)對各種方法對比，體會數(shù)形結(jié)合方法對于解題的幫助三、與圓有關(guān)的軌跡問題例3、已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓上(x+1)2+y2=4運動，求線段AB的中點M的軌跡方程。分析：如圖點A運動引起點M運動，而點A在已知圓上運動，點A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4。建立點M與點A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點M的軌跡方程。設(shè)計意圖：通過探究與小組討論方式解決求軌跡方法發(fā)現(xiàn)一動點的產(chǎn)生是由另外一個動點變化引起的，而這個動點在圓上，領(lǐng)會代入法的特征及步驟。解：設(shè)點M的坐標(biāo)是(x,y),點A的坐標(biāo)是(x,vo)由于點B的坐標(biāo)是(4,3)且M是線段AB中重點，所以①于是有xo=2x-4,yo=2y-3因為點A在圓(x+1)2+y2=4上運動，所以點A的坐標(biāo)滿足方程(x+1)2+y2=4,即(xo+1)2+yo2=4②把①代入②,得所以，點M的軌跡是以為圓心，半徑長為1的圓.現(xiàn)由學(xué)生自行解決并選擇一方法的運用，讓有不同做法的深刻的認(rèn)識，并學(xué)會利用。答思路在給出時間整理過程黑板把過程完整。教師要進一步規(guī)范代入法的步驟書寫。6教學(xué)小結(jié)給出一分鐘時間結(jié)合所學(xué)、所思、所做讓學(xué)生談這節(jié)課的收獲并在大屏幕上展示教學(xué)目標(biāo)1.圓的一般方程的特征2.與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化3.用待定系數(shù)法求圓的方程4.求與圓有關(guān)的點的軌跡。教學(xué)反思可取之處：內(nèi)容準(zhǔn)備充分，環(huán)環(huán)相扣。我在教學(xué)活動中，不斷地設(shè)置問題，提出疑問，誘導(dǎo)學(xué)生主動思考，主動探究，討論交流，使學(xué)生在積極的學(xué)習(xí)中解決問題。教學(xué)貫穿“疑問”—“思考”—“探究與發(fā)現(xiàn)”—“問題解決”四個環(huán)節(jié)。例題選取符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律難易得當(dāng)。努力做到學(xué)生能做學(xué)生做，學(xué)生能回答老師不代替、學(xué)生有疑問其他同學(xué)解決。讓學(xué)生做課堂的主人，教師只是起引導(dǎo)、適時歸納的作用。不足之處：時間安排略顯緊張，拓展題目沒有很好完成，有點前松后緊之感。學(xué)情分析圓的一般方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)過圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后進行研究的，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)解析幾何的時間還不長、學(xué)習(xí)程度較淺，在學(xué)習(xí)過程中難免會出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問題的能力，合作交流的意識等方面有待加強.根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和心理特征，所以通過實例，讓學(xué)生掌握圓的一般方程及其特點；探究出將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小；更有利于提高探索發(fā)現(xiàn)及分析問題的實際能力；體驗數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法效果分析7圓的一般方程這部分知識在學(xué)完圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，學(xué)生對于圓有了一定的認(rèn)識，內(nèi)容相對來說比較易于接受，大膽的讓學(xué)生去思考、去探究，把時間交給學(xué)生。使學(xué)生在主動獲取知識的過程中完成重點、難點知識的學(xué)習(xí)、提高思維能力，形成相應(yīng)的觀點。通過一個個問題創(chuàng)設(shè)探究情境，激發(fā)學(xué)生興的求知欲。課堂充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用和教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生進行科學(xué)思維，啟發(fā)學(xué)生用已知去探究未知，并對自己的探究結(jié)果加以歸納總結(jié)，最終促進學(xué)生透徹理解圓的一般方程判斷、方程的求法技巧的歸納。通過對課堂反饋、課后練習(xí)分析來看，這節(jié)課，在教師的引導(dǎo)下主動探究，學(xué)生能夠積教材結(jié)構(gòu)分析《圓的一般方程》安排在高中數(shù)學(xué)必修2第四章第一節(jié)第二課時.圓作為常見的簡單幾何圖形，在實際生活和生產(chǎn)實踐中有著廣泛的應(yīng)用.圓的一般方程屬于解析幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識，是研究二次曲線的開始，對后續(xù)直線與圓的位置關(guān)系、圓錐曲線等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，無論在知識上還是思想方法上都有著深遠(yuǎn)的意義，所以本課內(nèi)容在整個解析幾何中起著承前啟后的作用.就學(xué)生實際學(xué)習(xí)情況與能力把第一節(jié)中內(nèi)容安排較為簡單，易于學(xué)生知識的掌握、消化、鞏教學(xué)重點：圓的一般方程的代數(shù)特征，一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程間的互化，根據(jù)已知條件確定方程中的系數(shù)，D、E、F..教學(xué)難點：對圓的一般方程的認(rèn)識、掌握和運用.評測練習(xí)1下列各方程表示什么圖形?若表示圓，求出圓心和半徑.(2)x2+y2+2ac+a=0(a≠0);(3)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).設(shè)計意圖與方法：(1)因為D=1,E=0,F=1,(1)不表示任何圖形；(2)因為D=2a,E=0,F=a,所以D+E-4F<0方程所以D+E-4F=4a-4a=0,所以方程(2)表示點(-a,0);8(3)兩邊同時除以2,得x2+y2+ax-ay=0,所以D=a,E=-a,F=0.所以D+E-4F>0,所以方程(3)表示圓，圓心為點評：也可以先將方程配方再判斷.的方程.設(shè)計意圖與方法：涉及與圓的弦長有關(guān)的問題時，為簡化運算，則利用垂徑直徑定理和由半弦長、弦心距、半徑所構(gòu)成的三角形解之.【解析】法一：設(shè)圓的方程為：x2+y2+Dx+Ey+F=0①③②③令x=0,由①,得y2+Ey+F=0④∴(yi-y?)2=(n+y?)-4y?y?=E-4F=48⑤解②③⑤聯(lián)立成的方程組，得故所求方程為：x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.法二：求得PQ的中垂線方程為x-y-1=0①∵所求圓的圓心C在直線①上，故設(shè)其坐標(biāo)為(a,a-1),代入②并將兩端平方，得a2-5a+解得a=1,a?=5.9故所求的圓的方程為：(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.【評析】(1)在解本題時，為簡化運算，要避開直接去求圓和y軸的兩個交點坐標(biāo)，否則計算要復(fù)雜得多.(2)涉及與圓的弦長有關(guān)問題，常用垂徑定理和由半弦長、弦心距及半徑所構(gòu)成的直角三角形解之，以簡化運算.3已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-t)y+16t+9(2)該圓半徑r的取值范圍.=0表示一個圓，求設(shè)計意圖與方法：原方程表示一個圓的條件是D+E-4F=4(t+3)2+4(1-t2)2-4(16t?+9)>0課后反思設(shè)計思路：首先以3個問題形式引入新課，讓學(xué)生通過例子認(rèn)識到圓與二元二次方程之間存在一定關(guān)系，給學(xué)生以直觀感受。其次在問題探究環(huán)節(jié)通過具體問題讓學(xué)生自主探究圓與二元二次方程之間的關(guān)系，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，并大膽把課堂交給學(xué)生，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)。教師只是適當(dāng)引導(dǎo)。在成果展示環(huán)節(jié)上分成三個方面判斷圓、求圓、每一方面都配有變式利于學(xué)生對知識的鞏固，采取學(xué)生黑板展示，講解，發(fā)現(xiàn)問題解決問題。充分調(diào)動每一位學(xué)生積極性。拓展環(huán)節(jié)上選取兩個有一定難度的題目提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)的潛力。充分體會學(xué)無止境、學(xué)習(xí)技巧方法靈活使用。.學(xué)生主動思考，主動探究，討論交流，使學(xué)生在積極的學(xué)習(xí)中解決問題。教學(xué)貫穿“疑問”—“思考”—“探究與發(fā)現(xiàn)”—“問題解決”四個環(huán)節(jié)。例題選取符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律難易得當(dāng)。努力做