chapt09冪級(jí)數(shù)解法、本征值問(wèn)題(4學(xué)時(shí))市公開(kāi)課特等獎(jiǎng)市賽課微課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第九章冪級(jí)數(shù)解法本征值問(wèn)題9.1二階常微分方程冪級(jí)數(shù)解法9.1.1冪級(jí)數(shù)解法理論概述

用球坐標(biāo)系和柱坐標(biāo)系對(duì)拉普拉斯方程、波動(dòng)方程、輸運(yùn)方程進(jìn)行變量分離，就出現(xiàn)連帶勒讓德方程、勒讓德方程、貝塞爾方程、球貝塞爾方程等特殊函數(shù)方程．用其它坐標(biāo)系對(duì)其它數(shù)學(xué)物理偏微分方程進(jìn)行分離變量，還會(huì)出現(xiàn)各種各樣特殊函數(shù)方程．它們大多是二階線性常微分方程．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第1頁(yè)不失普通性，我們討論復(fù)變函數(shù)線性二階常微分方程

（9.1.1）其中z為復(fù)變數(shù)，z0為選定點(diǎn)，C0,C1為復(fù)數(shù).Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第2頁(yè)說(shuō)明：這些線性二階常微分方程經(jīng)常不能用通常解法解出，但可用冪級(jí)數(shù)解法解出．所謂冪級(jí)數(shù)解法，就是在某個(gè)任意點(diǎn)Z0鄰域上，把待求解表為系數(shù)待定冪級(jí)數(shù)，代入方程以逐一確定系數(shù)．冪級(jí)數(shù)解法是一個(gè)比較普遍方法，適用范圍較廣，可借助于解析函數(shù)理論進(jìn)行討論．求得解既然是級(jí)數(shù)，就有是否收斂以及收斂范圍問(wèn)題.

盡管冪級(jí)數(shù)解法較為繁瑣，但它可廣泛應(yīng)用于微分方程求解問(wèn)題中．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第3頁(yè)假如方程（9.1.1）系數(shù)函數(shù)

和在選定點(diǎn)鄰域

中是解析，則點(diǎn)方程（9.1.1）常點(diǎn).

假如選定點(diǎn)是或奇點(diǎn)，則點(diǎn)

叫作方程（9.1.1）奇點(diǎn)．叫作1．方程常點(diǎn)和奇點(diǎn)概念Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第4頁(yè)2.常點(diǎn)鄰域上冪級(jí)數(shù)解定理定理9.1.1

若方程（9.1.1）系數(shù)和為點(diǎn)鄰域中解析函數(shù)，

則方程在這圓中存在唯一解析解滿足初始條件，其中是任意給定復(fù)常數(shù)．，Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第5頁(yè)故能夠把它表示為此鄰域上泰勒級(jí)數(shù).既然線性二階常微分方程在常點(diǎn)鄰域上存在唯一解析解，

（9.1.2）其中為待定系數(shù)

Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第6頁(yè)為了確定級(jí)數(shù)解（9.1.2）中系數(shù)，詳細(xì)做法是以（9.1.2）代入方程（9.1.1），合并同冪項(xiàng)，令合并后系數(shù)分別為零，找出系數(shù)之間遞推關(guān)系，最終用已給初值，來(lái)確定各個(gè)系數(shù)從而求得確定級(jí)數(shù)解．

下面以階勒讓德方程為例，詳細(xì)說(shuō)明級(jí)數(shù)解法步驟．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第7頁(yè)9.1.2常點(diǎn)鄰域上冪級(jí)數(shù)解法勒讓德方程求解注：（參考書(shū)上9.1節(jié)內(nèi)容，尤其是書(shū)上226-228頁(yè)內(nèi)容由分離變量法得到了勒讓德方程，下面討論在鄰域上求解階勒讓德方程

Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第8頁(yè)故方程系數(shù)在，單值函數(shù)，均為有限值，它們必定在解析．

Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第9頁(yè)是方程常點(diǎn)．依據(jù)常點(diǎn)鄰域上解定理，解含有泰勒級(jí)數(shù)形式：（9.1.3）

泰勒級(jí)數(shù)形式解，將其代入勒氏方程可得系數(shù)間遞推關(guān)系（9.1.4）Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第10頁(yè)所以，由任意常數(shù)

可計(jì)算出任一系數(shù)

偶次項(xiàng)系數(shù):奇次項(xiàng)系數(shù)

Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第11頁(yè)將它們代入解表示式中，得到勒讓德方程解形式(9.1.7)其中分別是偶次項(xiàng)和奇次項(xiàng)組成級(jí)數(shù)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第12頁(yè)不是整數(shù)時(shí)無(wú)窮級(jí)數(shù)，輕易求得其收斂半徑均為1時(shí)，發(fā)散于無(wú)窮是非負(fù)整數(shù)

遞推公式（9.1.4）是偶數(shù)時(shí)，是一個(gè)n次多項(xiàng)式，但函數(shù)

為在處發(fā)散至無(wú)窮無(wú)窮級(jí)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，

是次多項(xiàng)式，而依然是在處無(wú)界無(wú)窮級(jí)數(shù)．

l是負(fù)整數(shù)時(shí)

一個(gè)是多項(xiàng)式，另一個(gè)是無(wú)界無(wú)窮級(jí)數(shù)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第13頁(yè)所以不妨設(shè)導(dǎo)出這個(gè)多項(xiàng)式表示式,是非負(fù)整數(shù)（因在實(shí)際問(wèn)題中普通總要求有界解）．

把系數(shù)遞推公式（9.1.4）改寫成(9.1.8)于是可由多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)來(lái)表示其它各低階項(xiàng)系數(shù)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第14頁(yè)取多項(xiàng)式最高次項(xiàng)系數(shù)為(9.1.9)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第15頁(yè)這么取主要是為了使所得多項(xiàng)式在處取值為1，即實(shí)現(xiàn)歸一化.可得系數(shù)普通式為(9.1.10)所以，我們得出結(jié)論：Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第16頁(yè)是非負(fù)偶數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解（9.1.11）是正奇數(shù)時(shí)，勒讓德方程有解Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第17頁(yè)(9.1.12)對(duì)上述討論進(jìn)行綜合，若用表示小于整數(shù)部分，用大寫字母寫成統(tǒng)一形式解（9.1.13）Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第18頁(yè)是非負(fù)整數(shù)時(shí)，勒讓德方程基本解組中只有一個(gè)多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式勒讓德多項(xiàng)式，也稱為第一類勒讓德函數(shù)；

另一個(gè)是無(wú)窮級(jí)數(shù)，這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)稱為第二類勒讓德函數(shù)，記為大寫．能夠得出它們關(guān)系（9.1.14）Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第19頁(yè)經(jīng)過(guò)計(jì)算后，能夠經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)及勒讓德多項(xiàng)式表示出，所以第二類勒讓德函數(shù)普通表示式為(9.1.15)尤其地Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第20頁(yè)能夠證實(shí)這么定義，其遞推公式和遞推公式含有相同形式．而且在普通情況下勒讓德方程通解為兩個(gè)獨(dú)立解線性疊加Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第21頁(yè)不過(guò)在滿足自然邊界（即要求定解問(wèn)題在邊界上有限）形式輕易看出，它在端點(diǎn)處是無(wú)界，故必須取常數(shù)．從而勒讓德方程解就只有第一類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式：

Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第22頁(yè)綜合可得以下結(jié)論：（1）當(dāng)不是整數(shù)時(shí)，勒讓德方程在區(qū)間上無(wú)有界解．

（2）當(dāng)為整數(shù)時(shí)，勒讓德方程通解為，其中稱為第一類勒讓德函數(shù)（即勒讓德多項(xiàng)式），稱為第二類勒讓德函數(shù).Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第23頁(yè)為整數(shù)，且要求在自然邊界條件下(即要求在有界解情況下)求解，則勒讓德方程解只有第一

類勒讓德函數(shù)即勒讓德多項(xiàng)式．因?yàn)榈诙惱兆尩潞瘮?shù)在閉區(qū)間上是無(wú)界．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第24頁(yè)9.1.3奇點(diǎn)鄰域級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程求解前一章分離變量法中，我們引出了貝塞爾方程，本節(jié)我我們來(lái)討論這個(gè)方程冪級(jí)數(shù)解法．按通例，仍以表示自變量，以表示未知函數(shù)，則階貝塞爾方程為(9.1.18)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第25頁(yè)其中，為任意復(fù)數(shù)，但在本節(jié)中因?yàn)榉匠滔禂?shù)中出現(xiàn)只限于取實(shí)數(shù)。項(xiàng)，不妨?xí)合燃俣ü蕿槠纥c(diǎn)。下面介紹奇點(diǎn)鄰域冪級(jí)數(shù)解法：貝塞爾方程求解．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第26頁(yè)設(shè)方程（9.1.18）一個(gè)特解含有以下冪級(jí)數(shù)形式：(9.1.19）其中，常數(shù)和能夠經(jīng)過(guò)把和它導(dǎo)數(shù)代入（9.1.18）來(lái)確定．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第27頁(yè)將（9.1.19）及其導(dǎo)數(shù)代入（9.1.18）后，得化簡(jiǎn)后寫成要使上式恒成立，必須使得各個(gè)次冪系數(shù)為零，從而得以下各式：Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第28頁(yè)(9.1.20)(9.1.21)(9.1.22)由（9.1.20）得；代入（9.1.21），得．現(xiàn)暫取，代入（9.1.22）得Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第29頁(yè)(9.1.23)因?yàn)?，由?.1.23）知：都能夠用表示，即Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第30頁(yè)Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第31頁(yè)由此知（9.1.19）普通項(xiàng)為是一個(gè)任意常數(shù)，令取一個(gè)確定值，就得（9.1.18）一個(gè)特解．我們把取作這么選取與后面將介紹貝塞爾函數(shù)母函數(shù)相關(guān)。Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第32頁(yè)利用以下恒等式使分母簡(jiǎn)化，從而，使（9.1.19）中普通項(xiàng)系數(shù)變成（9.1.24）以（9.1.24）代入（9.1.19）得到貝塞爾方程（9.1.18）一個(gè)特解Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第33頁(yè)用級(jí)數(shù)比值判別式（或稱達(dá)朗貝爾判別法）能夠判定這個(gè)級(jí)數(shù)在整個(gè)數(shù)軸上收斂．這個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)所確定函數(shù)，稱為階第一類貝塞爾函數(shù)，記作(9.1.25）Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第34頁(yè)至此，就求出了貝塞爾方程一個(gè)特解另外，當(dāng)即取負(fù)值時(shí)，用一樣方法可得貝塞爾方程（9.1.18）另一特解（9.1.26）比較（9.1.25）與（9.1.26）可見(jiàn)，只需在（9.1.25）右端把換成，即可得到（9.1.26）．故不論是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，總能夠用（9.1.25）統(tǒng)一地表示第一類貝塞爾函數(shù)．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第35頁(yè)討論：(1)當(dāng)不為整數(shù)時(shí)，比如為分?jǐn)?shù)階貝塞爾函數(shù)：等,當(dāng)時(shí)，Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第36頁(yè)故這兩個(gè)特解與是線性無(wú)關(guān)，由齊次線性常微分方程通解組成法知道，（9.1.18）通解為（9.1.28）其中，為兩個(gè)任意常數(shù)．依據(jù)系數(shù)關(guān)系，且由達(dá)朗貝爾比值法故級(jí)數(shù)和收斂范圍為Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第37頁(yè)(2)當(dāng)為正整數(shù)或零時(shí)（注:以下推導(dǎo)凡用

即表整數(shù)），故有（9.1.27）稱為整數(shù)階貝塞爾函數(shù)．易得Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第38頁(yè)需注意在取整數(shù)情況下，和線性相關(guān)，這是因?yàn)?可見(jiàn)正、負(fù)階貝塞爾函數(shù)只相差一個(gè)常數(shù)因子這時(shí)貝塞爾方程通解需要求出與之線性無(wú)關(guān)另一個(gè)特解．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第39頁(yè)我們定義第二類貝塞爾函數(shù)（又稱為諾依曼函數(shù)）為是一個(gè)特解，它既滿足貝塞爾方程，又與線性無(wú)關(guān)．Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第40頁(yè)其中，為歐拉常數(shù)．能夠證實(shí)是貝塞爾方程特解，且與線性無(wú)關(guān).Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第41頁(yè)綜述：（1）當(dāng)，即不取整數(shù)時(shí)，其貝塞爾方程通解可表示為（2）不論是否為整數(shù)，貝塞爾方程通解都可表示為其中為任意常數(shù)，為任意實(shí)數(shù)．

Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第42頁(yè)9.2施圖姆－劉維爾本征值問(wèn)題

從數(shù)學(xué)物理偏微分方程分離變量法引出常微分方程往往還附有邊界條件，這些邊界條件能夠是明確寫出來(lái)，也能夠是沒(méi)有寫出來(lái)所謂自然邊界條件．滿足這些邊界條件非零解使得方程參數(shù)取一些特定值．這些特定值叫做本征值（或特征值、或固有值），對(duì)應(yīng)非零解叫做本征函數(shù)（特征函數(shù)、固有函數(shù)．求本征值和本征函數(shù)問(wèn)題叫做本征值問(wèn)題.Chang-KuiDuan,InstituteofModernPhysics,CUPT第43頁(yè)常見(jiàn)本征值問(wèn)題都能夠歸結(jié)為施圖姆(J.C.F