高等數(shù)學(xué)A1-習(xí)題答案-方明亮版

中區(qū)一樓鑫科技印務(wù)7元

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高數(shù)方明亮版

習(xí)題1-1

1.求下列函數(shù)的自然定義域:

(1)y=-5—7+Jx+2；

1-x

解：依題意有則函數(shù)定義域C(x)={x|x2-2且xx±l}.

2x—1

arccos----

⑵尸&_二

2x-l

"，則函數(shù)定義域。(冗)=0.

解：依題意有3

x~-r-6>0

(3)y=ln(-x2+3x-2)；

解：依題意有-』+3大-2>0,則函數(shù)定義域。&)={幻1。<2}.

]

(4)y=2r'~,r;

解：依題意有Y-rwO,則函數(shù)定義域Z)(x)={x|-00cx<+oo且xwO,±l}.

1,

/二、sin---xwl,

y=<x-1

2,x=l;

解：依題意有定義域O(X)={R|YO<X<+CO}.

(6)y=arctan—+y13-x,

x

解：依題意有，則函數(shù)定義域￡>")={1|工43且乂工0}.

2.已知/(x)定義域?yàn)閇0,1],求f(x2),/(sinx),f(x+a\f(x+a)+f(x-a)

(a〉0)的定義域.

解：因?yàn)?⑴定義域?yàn)閇0刀，所以當(dāng)OV/wi時(shí)，得函數(shù)/，)的定義域?yàn)?/p>

［-1,1］；

當(dāng)04sinE時(shí),得函數(shù)/(sinx)定義域?yàn)椋?E,(22+1)兀］；

當(dāng)OWx+aWl時(shí)，得函數(shù)/*+〃)定義域?yàn)椋?凡-〃+1］;

當(dāng)(*+f時(shí),得函數(shù)〃x+a)+/(…)定義域?yàn)?⑴若xe［a,—］；

<12

(2)若a=Lx=-；(3)若a>Lxe0.

222

3.設(shè)1-丁，—，=］,其中?>0,求函數(shù)值/(2a),/(I).

xVyJa2-2ax+x2>

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1a-x

解：因?yàn)?(X)=-y1!—.........7,則

X22

(yja-lax+x7

0Ql,

2,0<?<l

1|x|<l,

4.設(shè)/")=0|x|=l,g{x)=T,求〃g(x))與g(/(x)),并做出函數(shù)圖形.

—1|X|>1.

，2r<lflx<0

解：/(g(x))=<02V=1,即/(g(x))=,0x=0,

-12'>1[-1x>0

2'|x|<l2|x|<l

g(/(x))=,2°|x|=l,即g(/(x))=.1|x|=l,函數(shù)圖形略

21|x|>l工

|x|>l

,2

5.設(shè)/(x)=[；+x'試證：/"(x)]=R+x，

[1,x>0,[1,x>-l.

證明：=即/"(x)]=f+x，x<T,

得證.

6.下列各組函數(shù)中，”x)與g(x)是否是同一函數(shù)？為什么？

(1)/(X)=ln(Jx2+3-x),g(x)=-ln(Jx，+3+3);

不是，因?yàn)槎x域和對(duì)應(yīng)法則都不相同.

(2)/(A-)=Uxs-2x3,g(x)=XUX2-2；

是.

(3)f(J:)=2,^(x)=sec2x-tan2x；

不是，因?yàn)閷?duì)應(yīng)法則不同.

(4)/(x)=21gx,^(x)=lgx2；

不是，因?yàn)槎x域不同.

7.確定下列函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性：

(1)y=3x+lnx,xe(0,+oo)；

解：當(dāng)xe(0,+8)時(shí)，函數(shù)月=3x單調(diào)遞增，y2=Inx也是單調(diào)遞增，則y=%+%

在(0,田)內(nèi)也是遞增的.

(2)y=---,xe(-oo,l).

1-x

解：y=——=—~~-=1H,當(dāng)XC(-8,1)時(shí)，函數(shù)丫[=X-1單調(diào)遞增，則

1—X1—XX—1

力='=—匚是單調(diào)遞減的，故原函數(shù)丫=旦是單調(diào)遞減的.

y}x-\1-x

8.判定下列函數(shù)的奇偶性.

(1)y=lg(x4-Vx2+1)；

解：因?yàn)?(-X)=lg(-x+\Jx2+1)=lg(x+\lx2+I)-1=-lg(x+\lx2+1)=-/(x),

所以y=lg(x+&+D是奇函數(shù).

2

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(2)y=0；

解：因?yàn)閒(f)=0=/a),所以y=0是偶函數(shù).

(3)y=x2+2cosx+sinx-l;

解：因?yàn)閒(-x)=x2+2cosx-sinx-l,,所以

y=x2+2cosx+sinx-l既非奇函數(shù)，又非偶函數(shù).

解：因?yàn)?(X)=gC=〃X),所以函數(shù)y=《產(chǎn)是偶函數(shù).

9.設(shè)/*)是定義在［-/,/］上的任意函數(shù)，證明：

(1)f(x)+/(-x)是偶函數(shù)，/'(x)-/(-x)是奇函數(shù)；

(2)f(x)可表示成偶函數(shù)與奇函數(shù)之和的形式.

證明：(1)g(x)=f(x)+f(-x),h(x)=f(x)-f(-x),則

g(-x)=/(-x)+/(x)=g(x),〃(-x)=/(-x)-/(x)=-〃(x)，所以/(x)+/(-x)是彳禺函

數(shù)，/(x)-/(r)是奇函數(shù).

(2)任意函數(shù):(幻=〃尤)+〃一幻+〃幻一『(一幻,由(1)可知是

222

偶函數(shù)，回上2是奇函數(shù)，所以命題得證.

2

10.證明：函數(shù)在區(qū)間/上有界的充分與必要條件是：函數(shù)在/上既有上界

又有下界.

證明：(必要性)若函數(shù)〃x)在區(qū)間/上有界，則存在正數(shù)M,使得xe/,

都有成立，顯然即證得函數(shù)〃x)在區(qū)間/上既有上界又

有下界

(充分性)設(shè)函數(shù)/*)在區(qū)間/上既有上界M一又有下界M，即有

f(x)>M^f(x)<M2,取M=max{|M|,|%|}，則有即函數(shù)/(x)在區(qū)間/

上有界.

11.下列函數(shù)是否是周期函數(shù)？對(duì)于周期函數(shù)指出其周期：

(1)y=|sinx|；

周期函數(shù)，周期為兀.

(2)y=1+sinTLY；

周期函數(shù)，周期為2.

(3)y=xtanx；

不是周期函數(shù).

(4)y=cos2x.

周期函數(shù)，周期為兀.

12.求下列函數(shù)的反函數(shù)：

解：依題意，3，=上，則x=l°g，上，所以反函數(shù)為

y—1y—1

y

/-'(x)=log,--,xe(-oo,0)u(l,+oo).

x-1

3

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ax+b/.,、

my=-(adwbe);

cx-\-d

解：依題意，x=2,則反函數(shù)尸(x)=j(adwbc).

cy-aex-a

(3)y=\g(x+\lx2-ij;

解：依題意，x=；(10'+l(T),所以反函數(shù)尸(x)=g(l(r+107),xER.

(4)y=3cos2x,(一￡?工工￡).

yX

arccos-arccos一

解：依題意，x=―h2,所以反函數(shù)/I(x)=—丁±X￡[0,3].

13.在下列各題中，求由所給函數(shù)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，并求這函數(shù)分別對(duì)應(yīng)于

給定自變量值陽(yáng)和％的函數(shù)值：

w2

(1)y=e,w=%+1,%1=0,x2=2;

2v

(2)y=u+l,w=e—l,v=x+1,%!=l,x2=-1?

解:(1)y=/(x)=e?+l,/(0)=e,/(2)=e5

(2)y=/(x)=(e'+,-l)2+l,f(0)=e4-2e2+2,/(-1)=1.

14.在一圓柱形容器內(nèi)倒進(jìn)某種溶液，該容器的底半徑為r,高為”.當(dāng)?shù)?/p>

進(jìn)溶液后液面的高度為人時(shí)，溶液的體積為試把〃表示為V的函數(shù)，并指出

其定義區(qū)間.

解：依題意有/=兀//!,則/?=)^,M€[0,兀/”].

nr

15.某城市的行政管理部門，在保證居民正常用水需要的前提下，為了節(jié)約

用水，制定了如下收費(fèi)方法：每戶居民每月用水量不超過(guò)4.5噸時(shí)，水費(fèi)按0.64

元/噸計(jì)算.超過(guò)部分每噸以5倍價(jià)格收費(fèi).試建立每月用水費(fèi)用與用水?dāng)?shù)量之

間的函數(shù)關(guān)系.并計(jì)算用水量分別為3.5噸、4.5噸、5.5噸的用水費(fèi)用.

解：依題意有Ax)[；：*所以

[4.5x0.64+(x一4.5)x3.2,x>4.5

/(3.5)=2.24元，/(4.5)=2.88元，/(5.5)=6.08元.

習(xí)題1-2

1-設(shè)?！?；"+：(，=1,2,3，…)，

3〃+1

779

(I)求I4|40的值;

(2)求N,使當(dāng)”>N時(shí)，不等式14-§<107成立;

(3)求N,使當(dāng)”>N時(shí)，不等式成立.

Ltrn/\,2..32.1.2..212.

解：(1)a—=----=—,t/—=-----:

]13431210I03313

220121

|fl,oo_3H3Ol_3l=9O3,

4

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⑵要使舊亭聯(lián),即備<上則只要心等取N

9997=1110,故當(dāng)n>1110時(shí)，不等式-(<10口成立.

~~9~

(3)要使|4-/￡成",心夢(mèng)取心嗟，那么當(dāng)〃那時(shí)，

成立.

2.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明:

(2)lim至m=1.

(1)lim—=0；

解：(1)立>0,要使R_O|=1J<￡,只要取N=[],所以，對(duì)任意

n\n\n|_￡」

￡>0,存在N=U],當(dāng)"N時(shí)，總有|工-0|<￡,則lim’=0.

[￡」nl〃T8"！

(2)—>0,要使|近亙-1|=/3—<義<￡,即〃>，任，只要取

〃n(Vn2+3+n)2"\2s

N=［后］，所以，對(duì)任意的￡>0,存在N=［后］,當(dāng)〃〉N,總有|至客-1|<￡,

則lim近巨=1.

〃一>8〃

3.若“一>l8imx,,="Ta8,證明并舉例說(shuō)明：如'果數(shù)'列｛|x.|｝有極限，但數(shù)

列｛招｝未必有極限.

證明：因?yàn)閘im%=〃，所以V￡〉0,訓(xùn)，當(dāng)"M時(shí)，有|%-。|<￡.不妨假

"―>8

設(shè)a〉0,由收斂數(shù)列的保號(hào)性可知：3牝，當(dāng)〃時(shí)，有招>0,取

r

N=max｛A］,A^2｝,則對(duì)V￡>0,3N>當(dāng)">N時(shí)，有||x“|a||=|x“.故

lim|x?\=\a\.同理可證a<0時(shí),lim|/|=|a|成立.

反之，如果數(shù)列｛|4|｝有極限，但數(shù)列｛XI｝未必有極限.如:數(shù)列x“=(-l)",

IXn1=1,顯然lim|x.|=l,但limx“不存在.

ZIT8”一>8

4.設(shè)數(shù)列｛%｝有界，又lim兄=0.證明：lim%y〃=0.

ll—>CCM—>00

證明：依題意，存在M>0,對(duì)一切n都有|x〃區(qū)M,又lim”=0,對(duì)\/￡>0,

“T8

存在N,

當(dāng)w>N時(shí)，|%-0|<￡,因?yàn)閷?duì)上述N,當(dāng)“：>%時(shí)，|”“一0|=|X.九|4M|L|<M￡,

由￡的任意性，則limx?y?=0.

“fco

5.設(shè)數(shù)列卜〃｝的一般項(xiàng),求1山七.

解：因?yàn)閘im-^=0,|cos(〃+3)兀區(qū)］,所以lim—cos?！?""=0?

xT8j〃2Xi7n2

對(duì)于數(shù)列｛x〃｝,若々人一1—>oo)—>oo)證明：A(〃—>oo).

6.TA(kfx2k—>A(k9xn

5

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證明：由于lim.%T=A，所以,一￡>0,32V,>0,當(dāng)"訓(xùn)時(shí)，有-,

4->03

同理,Vf>0,3/V2>0,當(dāng)k>N2時(shí),有|尤21t-A|<￡.^N=max{Nt,N2},Vf>0,

當(dāng)">N時(shí)，|x"-A|<￡成立，故x“.A(”->8).

習(xí)題1-3

1.當(dāng)x-1時(shí)，y=Y+3>4.問(wèn)5等于多少，使當(dāng)時(shí)，|y-4|<0.01?

解:令|x-l|<-,則3<|x+l|<9,要使

222

22

|y-4|=|x+3-4|=|x-l|=|x-l||x+l|<||x-l|<0.01,

只要|x-l|<0.004,所以取3=0.004,使當(dāng),x-l|<J時(shí)，|y-4|<0.01成立.

2.當(dāng)xfoo時(shí)，丫=緝"-2.問(wèn)X等于多少，使當(dāng)|x|>X時(shí)，|y-2|<0,001?

x-3

解：要使|y-2H^^-2|=,J,<0.001,只要，-3|>7000,即

X-3IX-31

f-3>7ooo.因此只要|x|>V75而就可以了，所以取x277555.

3.根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：

3丫+5

(1)lim(2x-l)=5；(2)lim—.......=3;

xf3x-x?JQ_1

(3)lim*"=-4；(4)lim=0.

XT-2x+2XTEy/x

證明：⑴由于|(2%-1)-5|=2|1-3|,任給￡>o,要使I(2x-1)-5|<￡，只要

|x-3|<-.因此取S=￡，則當(dāng)0<|x—3|<5時(shí)，總有|(2x—l)—5|<￡,故1im(2x—l)=5.

227

8

(2)由于|一一3|=4，任給￡>0,要使|3_3|<￡,只要----<￡，

X—I|x—11x—\|1|

即苫>1+§或》<1-￡因?yàn)椤?gt;0,所以|1+號(hào)|>|1-§|,取M=|1+當(dāng)，則當(dāng)|x|>M時(shí),

￡￡￡￡

^=3.

對(duì)x/€>o,總有?主2-3|<￡,故有l(wèi)irm

x-1XT8x-1

(3)由于|三N-(-4)|=|x+2|,任給￡>0,,要使|三4-(-4)|<￡,只要

x+2x+2

丫2_4

|冗+2|<￡，因此取§=￡,貝IJ當(dāng)0〈|工一(一2)|<5時(shí)，總有-----(-4)|<￡,故

x+2

x2—4

lim-------=-4?

XT-2X+2

(4)由于?孚一o卜甲任給￡>0,要使?等一。1<￡，只要：<￡，即

yJXylx\lx\JX\JX

x>!，因此取M=二，則當(dāng)x>M時(shí)，總有|罕一0|<￡，故lim半=0.

￡￡yjxxiVx

4.用￡-X或語(yǔ)言,寫出下列各函數(shù)極限的定義:

(1)limf(x)=1；(2)limf(x)=a;

XT-CO*—>8

(3)limf(x)=b；(4)lim/(%)=-8.

xfa.13-

6

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解：(1)V￡>0,3M>0,當(dāng)X〈-M時(shí)，總有|/(x)-l|<￡;

(2)Vf>0,3M>0,當(dāng)總有|/(x)-a|<￡；

(3)\/￡>0,3^>0,當(dāng)a<x<a+S時(shí)，總有|〃x)-b|<￡；

(4)Vf>0,3^>>0當(dāng)3-3<x<3時(shí)，總有|/(X)+8|<￡.

5.證明：lim|x|=0.

XTO

證明：由于lim|冗|=limx=0,lim|x|=lim(-x)=0,所以lim|%|=0.

x-?0+x->0+XT。-XT。

6.證明：若x->+8及Xf-00時(shí)，函數(shù)的極限都存在且都等于4,則

XlTi8m/(x)=A?

證明：由于lim/(x)=A,則對(duì)，￡>0,加1>0,當(dāng)x>M時(shí)，有"(X)-A|<￡.又

XT+oo

limf(x)=A,則3M>0,當(dāng)x<-M,有|/(x)-A\<s.取M=max{a,％}那么對(duì)

X—>-0022

V￡>o,當(dāng)|x|>M時(shí)，總有故有l(wèi)im/(x)=4.

X-^OO

習(xí)題1~4

L根據(jù)定義證明：

v2.1

(1)y為當(dāng)Xf1時(shí)的無(wú)窮??；

(2)y=』sinx為當(dāng)x->oo時(shí)的無(wú)窮小；

x

(3)y=l12為當(dāng)xf0時(shí)的無(wú)窮大.

X

證明：

?2_<

(1)V￡>o,因?yàn)镮-~L-O|=|x-l|,取6=寸，貝IJ當(dāng)0<|x-l|<5時(shí)，總有XHO,故

X+1

..%2-1

lim----=0A.

1x+1

(2)Ve>0,因?yàn)?sinx-O|=」-|sinx區(qū)［-，取M=',則當(dāng)|x|>M時(shí),總有

x|x||x|￡

.1.ci|sinx|7I+m.1._

|—sinx-O|=J----<——<￡,iuhm—smx=O.

x\x\\x\XT8%

(3)VM>0,=—^―,當(dāng)0<|x|<3時(shí)，總有|?^^|=|L+3|>-I--3>M,所以

M+3xx\x\

iox

2.函數(shù)》=4!1天在（0,4~OO）內(nèi)是否有界？該函數(shù)是否為X->+00時(shí)的無(wú)窮大？

解答：取工〃=2〃兀,則%=0,因此當(dāng)Xa=2〃兀（〃f8）時(shí)，ynTO（X〃->+8）故函

數(shù)

y=xsinx當(dāng)xf+8時(shí)，不是無(wú)窮大量.

下證該函數(shù)在（0,+oo）內(nèi)是無(wú)界的.VM>0,3xn=2〃兀+1且七->+a）（72-?oo）,

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7171

2H714--sin2ra+-=2〃兀+-，取N0=[M]+1,3x()=2^07t+-^e(0,+oo),W

222

4--|>M,y=xsinx

yn=2NQTI所以是無(wú)界的.

3.證明：函數(shù)）,=1cos工在區(qū)間（0,1］上無(wú)界，但這函數(shù)不是XT0+時(shí)的無(wú)窮

X

大.

證明：令1=f,類似第2題可得.

X

習(xí)題1-5

1.求下列極限：

3n2+〃+1111

(1)lim(2)lim----F----1-…d--------

32

〃一>8n+47?-1’“TOC1-22-3n{n+1)

(12n3〃+2“

(3)liml▼+▼+???+?(4)lrim——：----r；

“Toe」ynn7“TOC3〃+l_2〃+l

x2-l..d+1

(5)lim(6)lim---------:

22

Xflx-5x+4'XT2X-5x+3

2x2+1

(7)lim(Jf+工-J九2(8)hm---------;

XT*可x+5x+3

(x+hy-x3

(9)lim

/j->0h

(11)lim

A->1

..Jl+R-Jl-x

(13)lim----：--------:

(15)lim(2x3-3x+6)；

XT8

解:

311

「3n24-zi+1

⑴lim-------——lim=0.

-n+4n~-1l+t1

n

111T)

(2)lim----1-----F…-I--------lim(---)+(---)+???+

1-22-3n(n+1)“T81223nn+1

=lim(l-——)=1.

28〃+1

1,八

12n

(3)lim=lim1

M->003+/+.一+/”->8n22

■>",y1+(:

(4)lim,,=lim-----2

…3"+i_2"i“弋一？.3

8

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/r\].x2—1(x—l)(x+1)_.x+12

⑸hm—：--------=hm-----------=lim----=——.

XTI廠―5x+4I(欠-1)(%-4)fx-43

(6)lim，+?,2+1—=-3

^2X2-5X+322-5X2+3

⑺lim(y/x2+x-dx?+1)=lim

XT+oo\/Xf+oc

/o\..2廠+1_「2

⑻hm-r----二lim----=2.

asx~+5x+3is33

1H---1--7-

XX"

33323

/Q\(.V+A)—x_(x+3xh+3xh~4-/?3)—x_\、？

⑼lim------------hm---------------------------hrm(3f3+3xh+h2)=3x.

/?-?oh/>->ohft->o

(10)上。15A4lim一比磔出Z

1111一d\-X)2111-X3Jxf(1-x)(l+X+/2)

=lim2+\=l.

111+X+X

11

2-dr*

..X+x__Yr2c

(11)hm-------=lim—""=0.

rf笛5x-3x+1xfg<31

5-7+7

..Jl+x_Jl-"

(12)hm—；=---.

Vl+x-Vl-x

_(a+/一V1—x)(Vl+x+Jl-+x)2+:(1+x)(l-冗)+yj(l—x)2)

f-vr^)(v(i+x)2+y(i+/)(i—X)+y(1)2)(vn^+

,r2，」(i+<)2+N(I+x)(i-幻+y(i-。2)_6%

-111T1--------------------.-----------------------vZ

72x(Vl+x+Vl-x)

(13)lim———=limX=+oo.

xf°°2x+l?2+

x

(14)lim(2x3-3x+6)=limx3(2-=oo.

XT8X-X3O廠

32

(15)lim'+'+3'+27=nm(x+x+3x+27)xlim---=oo.

XT3X-3XT3XT3比一3

2.設(shè)/*)=*問(wèn)當(dāng)。為何值時(shí)，極限lim〃x)存在.

[2x4-67,X>0.a。

解：因?yàn)閘imf(x)=limex=1,limf(x)=lim(2x+a)=a，所以，當(dāng)

XTO~XT(TXTO*XTO*

lim/(x)=limf(x),即。=1時(shí)，lim/(x)存在.

x->(TX->0+X->0

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/1_L

3.求當(dāng)x-1時(shí)，函數(shù)」e，T的極限.

X-1

解：因?yàn)閘im-----ex~l=lim(x+l)e*7=0,

x->rx—1

12_]J__L

lim-----ex~l=lim(x+l)ex~l=+co,

XTrX-1XT「

丫2_iJ_

所以lim-----ex~l不存在。

xfx-1

4.已知Iim(5x-Jax2-Z?x+c)=l,其中以"，c為常數(shù)，求〃和匕的值.

解：因?yàn)閈im(5x-yla^-bx+c)=lim6-A1c)(5x+

……5x+ylax2-bx+c

(25-a)x+h-—25-a=0

(25-a)x2+bx-c67=25

lim------.==lim-----,」=1,所以?b7則

5x+\jax2-bx-\-cbc6=10

5+r-x+75+\[ci

5.計(jì)算下列極限：

(1)limx-sin—=0；(2)lim-inV=lim—sinx=0；

1。xx-?oo尤.V->COx

zxarctanx..1_

(3)lim—sin—=0；(44)lim-------=lim-arctanx=O

XT8RxXT81X-K?x

5-xsin—x>0,

x

6.試問(wèn)函數(shù)/(x)=10，元=0,在x=0處的左、右極限是否存在？當(dāng)

5+%2,x<0.

x-0時(shí)，的極限是否存在？

解：limf(x)=lim(5+x2)=5,limf(x)=lim(5+xsin—)=5,因?yàn)?(O)=/(O'),所以

XT。-XT。-X->0+XT?！疿

lim/(x)=5.

A->0

習(xí)題1-6

1.計(jì)算下列極限:

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2T，,<4,-4

解：(1)lim(l+2)：=lim(l+2)占>=e《.(2)lim(l--)'=lim(l+—)=e.

x->0xx->0x.r->?xXT°-X

1_)__2_!JI

(3)lii嗚產(chǎn)=lim(l+尸5=>.

/\「x+5.10'^xlO10

(4A)lim(----)=hm(1+----)10x(l+----)5

isx-5isx-5x-5

10—xio10<

=lim(l+-^-)10xlim(l+-^-)5=3i°n.

zux-5xf8x-5

2.計(jì)算下列極限：

(1)limxcotx;(2)lim包四；

.90X->O3X

cosx-cos3x/A、「cosx-1

hm-----------;(4)hm----——；

io5XX”4

X2

(5)limxsin—；(6)lim2"sin2(x為不等于零的常數(shù)).

.rfoox“->??2”

解：

八、，.一xcosx,sin2x2sinxcosx2

(l)limxcot^=lim-----=1.(2)lim------=hm----------=—.

Xix->osinx.so3%IO3X3

cosx-cos3x-2sin2xsinx八

(3)hm------------=lim------------=0

XTO5XXTO5X

2V.X

-2sinsin

cosx-1..—yfx

(4)lim=lim--------=hm----2=0.

K->0+x->0r->o2x

X2

<27

,1.X

Isin—，sm-^

(5)limxsin—=lim--^-=\.(6)lim2"sin—=lim--x=x.

n382”“TOOX

XT

3.利用極限存在準(zhǔn)則證明^________

(i)數(shù)列G,67耳，J3+J3+列，…的極限存在;

證明：先用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列打“｝單調(diào)遞增。由于々=F方〉石=演〉0。

假設(shè)七＞.7＞0成立，貝心川=歷三＞7^三＞”所以數(shù)列上｝單調(diào)遞增.

下證有界性

Xj=5/3＜1+V3,假設(shè)乙＜1+百，則

七川="+當(dāng)“3+(1+揚(yáng)＜，3+1+26=1+百,故0＜/＜1+6，即數(shù)列｛%｝有

界

根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知limx〃存在.不妨設(shè)limx.=A,則有4=反久，解得

n—＞oo”一＞8

A=1±^I,A,=-^1(舍去)，即有l(wèi)im4=1^.

22“T82

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(2)limA/l+—=1；

證明：因?yàn)?4Jl+3Kl+>，又liml=lim[l+3]=l,所以limJ1+：=1.

Vfl〃〃T8n->QCI〃I"TCO、〃

(3)lim(fJ_^+2_+…+-=-；

I代力6+〃J/+2及yjn6+n2)3

乙1M?2乙A

證明：因?yàn)槭琖_^=++......+〃Y-^=,

yjn6+n2vn6+nylne+2ny/n6+n2yjn6+n

〃〃

次與2,

又limT===lim-^---------所以原式成立.

n(2

^yjn'+n5姆+”3

(4)limx—=1.

.SO*|_X」

證明：對(duì)任一xeR,有x-14[x]4x,則當(dāng)xwO時(shí)，有于是

x\_xjX

(1)當(dāng)x〉0時(shí)，x(--l)<x|---l<x