ch8 非線性控制系統(tǒng)分析

第八章非線性控制系統(tǒng)8-1

非線性系統(tǒng)的概述8-3相平面分析法8-2常見(jiàn)非線性系統(tǒng)特性分析8-4

描述函數(shù)法

介紹工程上常用的相平面法和描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理的系統(tǒng)。

8-1

非線性系統(tǒng)的概述

1.研究非線性系統(tǒng)的意義1）實(shí)際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進(jìn)行分析時(shí)所得出的結(jié)論，與實(shí)際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無(wú)法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響.2）非線性特性的存在，并不總是對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響.2.非線性系統(tǒng)的主要特征：

系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)外，還與起始偏差的大小有關(guān)。

統(tǒng)的響應(yīng)形式與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。

在沒(méi)有外界周期變化信號(hào)輸入時(shí)，非線性系統(tǒng)完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過(guò)程。(自激振蕩非線性一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)非線性系統(tǒng)的自激振蕩非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)（P360）8-2常見(jiàn)非線性系統(tǒng)特性分析例飽和特性系統(tǒng)若有飽和非線性元件，它的開(kāi)環(huán)增益會(huì)大幅度地減小，從而導(dǎo)致系統(tǒng)的過(guò)濾過(guò)程時(shí)間增加和穩(wěn)態(tài)誤差變大。圖8-111種非線性(P362-365)8-3節(jié)相平面法設(shè)二階系統(tǒng)微分方程式的一般形式為一、相平面的基本概念不同的初始條件,方程式的解是不相同的,即間的關(guān)系隨初始條件而變化,把為坐標(biāo)的平面上,這種關(guān)系曲線稱相軌跡.由組成的平面叫相平面.的關(guān)系畫(huà)在以和設(shè)彈簧,質(zhì)量.阻尼器系統(tǒng)的齊次方程為寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)化形式1）用解析法求出x1和x2與t的關(guān)系(見(jiàn)圖)2）以t為參變量,求出x2=f(x1)的關(guān)系，并把它畫(huà)在x1-x2平面上，(見(jiàn)圖）圖二階線性系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)和相軌跡求解方法：二、等傾線法等傾線法續(xù)1第一個(gè)新思想是第二個(gè)新思想是令為常數(shù)αα是相軌跡斜率β是等傾線斜率等傾線法續(xù)2－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－等傾線法續(xù)3等傾線法續(xù)4注意這兩條線漸近線叫開(kāi)關(guān)線注意事項(xiàng)相軌跡的性質(zhì)：1）相軌跡上每一點(diǎn)都有其確定的斜率2）相軌跡的奇點(diǎn)3）相軌跡正交于x1軸4）相軌跡運(yùn)動(dòng)方向的確定在相平面的上半平面上，由x2＞0于，表示相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是x1的增大方向，卻向右運(yùn)動(dòng)。在相平面上，由于x2

＜0，相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向是x1的減小方向，即向左運(yùn)動(dòng)。三、線性系統(tǒng)的相軌跡繪制繪制相軌跡的方法有解析法和圖解法兩種。解析法只適用于系統(tǒng)微分方程較簡(jiǎn)單的場(chǎng)合；圖解法適用于非線性系統(tǒng)。用解析法求相軌跡例8-2設(shè)二階系統(tǒng)的微分方程為：圖8例8-2的相軌跡（1）無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)相軌跡方程為：其中相軌跡如圖所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。每個(gè)橢圓相當(dāng)于一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。圖系統(tǒng)無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的相軌跡相軌跡的方向如圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過(guò)橫軸。坐標(biāo)原點(diǎn)處相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)唯一地確定，這種點(diǎn)叫做奇點(diǎn)。圖的奇點(diǎn)(0,0)通常稱為中心

（2）欠阻尼運(yùn)動(dòng)其中方程的解為相軌跡如圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過(guò)衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，它附近的相軌跡是收斂于它的對(duì)數(shù)螺旋線，這種奇點(diǎn)稱為

穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動(dòng)時(shí)的相軌跡（3）過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)這時(shí)方程的解為相軌跡如圖所示。圖過(guò)阻尼時(shí)的相軌跡圖過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。（4）負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)相軌跡圖如圖所示，此時(shí)相軌跡仍是對(duì)數(shù)螺旋線，但相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向與欠阻尼圖不同，隨著t的增長(zhǎng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程是振蕩發(fā)散的。這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖系統(tǒng)的相軌跡圖如圖所示，奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。圖不穩(wěn)定（5）負(fù)阻尼運(yùn)動(dòng)此時(shí)相軌跡如圖所示。奇點(diǎn)稱為

鞍點(diǎn)

該奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的。圖斥力系統(tǒng)的相軌跡（6）符號(hào)相反的負(fù)實(shí)根線性系統(tǒng)特征根與相軌跡j0j0j0節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)

λ1j0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ2四、奇點(diǎn)與奇線五、相平面分析

飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡描述函數(shù)圖非線性控制系統(tǒng)圖中G(s)為線性環(huán)節(jié),N為非線性元件.若在N的輸入端施加一幅值為X頻率為ω的正統(tǒng)信號(hào),即e=Xsinωt，則其輸出為：8-4描述函數(shù)法假設(shè):1）非線性元件的特性對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)是奇對(duì)稱的,即A0=02）R(t)=03）G(s)具有良好的低通濾波器特性，能把y中多高次諧波濾掉，只剩一次諧波項(xiàng)。則其中經(jīng)過(guò)線性化處理后，非線性元件的輸出是一個(gè)與其輸入信號(hào)同頻率的正弦函數(shù)，僅在幅值和相位上與輸入信號(hào)有差異。非線性特性線性化的條件：1）假設(shè)系統(tǒng)的輸入r(t)=02）非線性元件的靜特性不是時(shí)間t的函數(shù)3）非線性元件的特性是奇對(duì)稱的，即有4）系統(tǒng)的線性部分具有良好低通濾波器的性能，經(jīng)過(guò)線性化后，非線性元件的輸出與輸入的關(guān)系為：

N(X)---非線性特性的描述函數(shù)圖8-7用描述函數(shù)表示非線性特性的系統(tǒng)描述函數(shù)可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)(補(bǔ)充)y(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωt描述函數(shù)的定義(P382)y(t)=A0+∑(Ancosnωt+Bnsinnωt)n=1∞若A0=0，且當(dāng)n>1時(shí)，Yn均很小，則可近似認(rèn)為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(yīng)僅有一次諧波分量！1111非線性環(huán)節(jié)可近似認(rèn)為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應(yīng)形式為此，定義正弦信號(hào)作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號(hào)的