ch8 非線性控制系統(tǒng)分析

第八章非線性控制系統(tǒng)8-1

非線性系統(tǒng)的概述8-3相平面分析法8-2常見非線性系統(tǒng)特性分析8-4

描述函數(shù)法

介紹工程上常用的相平面法和描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的本質特征是疊加原理。非線性系統(tǒng)不滿足疊加原理的系統(tǒng)。

8-1

非線性系統(tǒng)的概述

1.研究非線性系統(tǒng)的意義1）實際的控制系統(tǒng)，存在著大量的非線性因素。這些非線性因素的存在，使得我們用線性系統(tǒng)理論進行分析時所得出的結論，與實際系統(tǒng)的控制效果不一致。線性系統(tǒng)理論無法解釋非線性因素所產(chǎn)生的影響.2）非線性特性的存在，并不總是對系統(tǒng)產(chǎn)生不良影響.2.非線性系統(tǒng)的主要特征：

系統(tǒng)的穩(wěn)定性除與結構參數(shù)有關外，還與起始偏差的大小有關。

統(tǒng)的響應形式與輸入信號的大小和初始條件有關。

在沒有外界周期變化信號輸入時，非線性系統(tǒng)完全可能產(chǎn)生具有固定周期和幅值的穩(wěn)定振蕩過程。(自激振蕩非線性一階系統(tǒng)的時間響應非線性系統(tǒng)的自激振蕩非線性系統(tǒng)的特點（P360）8-2常見非線性系統(tǒng)特性分析例飽和特性系統(tǒng)若有飽和非線性元件，它的開環(huán)增益會大幅度地減小，從而導致系統(tǒng)的過濾過程時間增加和穩(wěn)態(tài)誤差變大。圖8-111種非線性(P362-365)8-3節(jié)相平面法設二階系統(tǒng)微分方程式的一般形式為一、相平面的基本概念不同的初始條件,方程式的解是不相同的,即間的關系隨初始條件而變化,把為坐標的平面上,這種關系曲線稱相軌跡.由組成的平面叫相平面.的關系畫在以和設彈簧,質量.阻尼器系統(tǒng)的齊次方程為寫成標準化形式1）用解析法求出x1和x2與t的關系(見圖)2）以t為參變量,求出x2=f(x1)的關系，并把它畫在x1-x2平面上，(見圖）圖二階線性系統(tǒng)的時域響應和相軌跡求解方法：二、等傾線法等傾線法續(xù)1第一個新思想是第二個新思想是令為常數(shù)αα是相軌跡斜率β是等傾線斜率等傾線法續(xù)2－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－等傾線法續(xù)3等傾線法續(xù)4注意這兩條線漸近線叫開關線注意事項相軌跡的性質：1）相軌跡上每一點都有其確定的斜率2）相軌跡的奇點3）相軌跡正交于x1軸4）相軌跡運動方向的確定在相平面的上半平面上，由x2＞0于，表示相軌跡的運動方向是x1的增大方向，卻向右運動。在相平面上，由于x2

＜0，相軌跡的運動方向是x1的減小方向，即向左運動。三、線性系統(tǒng)的相軌跡繪制繪制相軌跡的方法有解析法和圖解法兩種。解析法只適用于系統(tǒng)微分方程較簡單的場合；圖解法適用于非線性系統(tǒng)。用解析法求相軌跡例8-2設二階系統(tǒng)的微分方程為：圖8例8-2的相軌跡（1）無阻尼運動相軌跡方程為：其中相軌跡如圖所示，在相平面上是為一族同心的橢圓。每個橢圓相當于一個簡諧振動。圖系統(tǒng)無阻尼運動時的相軌跡相軌跡的方向如圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。坐標原點處相軌跡的斜率不能由該點的坐標唯一地確定，這種點叫做奇點。圖的奇點(0,0)通常稱為中心

（2）欠阻尼運動其中方程的解為相軌跡如圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標原點是一個奇點，它附近的相軌跡是收斂于它的對數(shù)螺旋線，這種奇點稱為

穩(wěn)定的焦點。圖系統(tǒng)欠阻尼運動時的相軌跡（3）過阻尼運動這時方程的解為相軌跡如圖所示。圖過阻尼時的相軌跡圖過阻尼運動的時間響應坐標原點是一個奇點，這種奇點稱為穩(wěn)定的節(jié)點。（4）負阻尼運動相軌跡圖如圖所示，此時相軌跡仍是對數(shù)螺旋線，但相軌跡的運動方向與欠阻尼圖不同，隨著t的增長，運動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點稱為不穩(wěn)定的焦點。圖系統(tǒng)的相軌跡圖如圖所示，奇點稱為不穩(wěn)定的節(jié)點。圖不穩(wěn)定（5）負阻尼運動此時相軌跡如圖所示。奇點稱為

鞍點

該奇點是不穩(wěn)定的。圖斥力系統(tǒng)的相軌跡（6）符號相反的負實根線性系統(tǒng)特征根與相軌跡j0j0j0節(jié)點穩(wěn)定焦點中心不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定焦點鞍點

λ1j0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ2四、奇點與奇線五、相平面分析

飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡飽和非線性系統(tǒng)的相軌跡描述函數(shù)圖非線性控制系統(tǒng)圖中G(s)為線性環(huán)節(jié),N為非線性元件.若在N的輸入端施加一幅值為X頻率為ω的正統(tǒng)信號,即e=Xsinωt，則其輸出為：8-4描述函數(shù)法假設:1）非線性元件的特性對坐標原點是奇對稱的,即A0=02）R(t)=03）G(s)具有良好的低通濾波器特性，能把y中多高次諧波濾掉，只剩一次諧波項。則其中經(jīng)過線性化處理后，非線性元件的輸出是一個與其輸入信號同頻率的正弦函數(shù)，僅在幅值和相位上與輸入信號有差異。非線性特性線性化的條件：1）假設系統(tǒng)的輸入r(t)=02）非線性元件的靜特性不是時間t的函數(shù)3）非線性元件的特性是奇對稱的，即有4）系統(tǒng)的線性部分具有良好低通濾波器的性能，經(jīng)過線性化后，非線性元件的輸出與輸入的關系為：

N(X)---非線性特性的描述函數(shù)圖8-7用描述函數(shù)表示非線性特性的系統(tǒng)描述函數(shù)可以定義為非線性特性輸出的一次諧波分量與輸入正弦量的復數(shù)比。非線性環(huán)節(jié)的正弦響應(補充)y(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωt描述函數(shù)的定義(P382)y(t)=A0+∑(Ancosnωt+Bnsinnωt)n=1∞若A0=0，且當n>1時，Yn均很小，則可近似認為非線性環(huán)節(jié)的正弦響應僅有一次諧波分量！1111非線性環(huán)節(jié)可近似認為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應形式為此，定義正弦信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的