高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試知識(shí)點(diǎn)大全

2013年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試知識(shí)點(diǎn)大全2013年高中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平測(cè)試知識(shí)點(diǎn)必修一一、集合與函數(shù)概念并集:由集合A和集合B的元素合并在一起組成的集合，如果遇到重復(fù)的只取一次。記作:A?B交集:由集合A和集合B的公共元素所組成的集合，如果遇到重復(fù)的只取一次記作:A?B補(bǔ)集:就是作差。nnn2221、集合的子集個(gè)數(shù)共有個(gè);真子集有–1個(gè);非空子集有–1個(gè);,,a,a,...,a12nn2非空的真子有–2個(gè).,1,1y,f(x)2、求的反函數(shù):解出，互換，寫出的定義域;函數(shù)圖x,f(y)x,yy,f(x)象關(guān)于y=x對(duì)稱。3、(1)函數(shù)定義域:?分母不為0;?開偶次方被開方數(shù);?指數(shù)的真數(shù)屬,0于R、對(duì)數(shù)的真數(shù).,04、函數(shù)的單調(diào)性:如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x，x，當(dāng)x<x1212時(shí)，都有f(x)<()f(x)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性,12是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。fxfx()()-=-5、奇函數(shù):是，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(若在其定義域內(nèi)，則x,0f(0)0,);fxfx()()-=偶函數(shù):是，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。6、指數(shù)冪的含義及其運(yùn)算性質(zhì):x(1)函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。y,a(a,0且a,1)x(2)指數(shù)函數(shù)當(dāng)為減函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù);01,,aa,1yaaa,,,(0,1)rsrs，rsrsrrraaa,,?;?;?。()aa,()(0,0,,)abababrsQ,,,,(3)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)x0<a<1a>1y,a圖象定義域R性質(zhì)值域(0,+?)定點(diǎn)過定點(diǎn)(0，1)，即x=0時(shí)，y=11態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～(1)a>1，當(dāng)x>0時(shí)，y>1;當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1。(2)0<a<1，當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1;當(dāng)x<0時(shí)，y>1。單調(diào)性在R上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)x,x對(duì)稱性和關(guān)于y軸對(duì)稱ya,ya,奇偶性非奇非偶函數(shù)7、對(duì)數(shù)函數(shù)的含義及其運(yùn)算性質(zhì):yxaa,,,log(0,1)(1)函數(shù)叫對(duì)數(shù)函數(shù)。ayxaa,,,log(0,1))對(duì)數(shù)函數(shù)當(dāng)為減函數(shù)，當(dāng)為增函數(shù);(201,,aa,1a?負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù);?1的對(duì)數(shù)等于0:;?底真相同的對(duì)數(shù)等于1:log1,0a，loga,1a(3)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):如果a>0,a?1,M>0,N>0，那么:M?;?;logMN,logM，logNlog,logM,logNaaaaaaNn?。logM,nlogM(n,R)aalogbclogb,(a,0且a,1,c,0且c,1,b,0)(4)換底公式:alogac(5)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì):y,logx0<a<1a>1a圖象定義域(0,+?)值域R(1)過定點(diǎn)(1，0)，即x=1時(shí)，y=0性質(zhì)(2)在R上是減函數(shù)(2)在R上是增函數(shù)2態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～(3)同正異負(fù)，即0<a<1,0<x<1或a>1,x>1時(shí)，logx>0;a0<a<1,x>1或a>1,0<x<1時(shí)，logx<0。a(4)非寄非偶函數(shù)。1,8、冪函數(shù):函數(shù)叫做冪函數(shù)(只考慮的圖象)。,1,2,3,,1,,y,x2y,f(x)9、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn):如果函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一y,f(x)條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)有零點(diǎn)，即存abf(a),f(b),0c,(a,b)f(x),0在，使得，這個(gè)也就是方程的根。cf(c),0必修二一、直線平面簡(jiǎn)單的幾何體2222l,a，b，c1、長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng);正方體的對(duì)角線長(zhǎng)l,3a423S,4,R2、球的體積公式:;球的表面積公式:v,,R33、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式:1V=Sh(S為底面積，為柱體高);V=(S為底面積，為柱體高)hhSh柱體錐體31V=(S’++S)(S’,S分別為上、下底面積，為臺(tái)體高)hhS'S臺(tái)體34、點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及相關(guān)公理及定理:(1)四公理三推論:公理1:若一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。公理2:經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。公理3:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個(gè)公共點(diǎn)的直線。推論一:經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。推論二:經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面。推論三:經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面。公理4:平行于同一條直線的兩條直線平行.(2)空間線線，線面，面面的位置關(guān)系:空間兩條直線的位置關(guān)系:相交直線——有且僅有一個(gè)公共點(diǎn);3態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn);異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。相交直線和平行直線也稱為共面直線?？臻g直線和平面的位置關(guān)系:1)直線在平面內(nèi)(無數(shù)個(gè)公共點(diǎn));((2)直線和平面相交(有且只有一個(gè)公共點(diǎn));(3)直線和平面平行(沒有公共點(diǎn))它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示aA,,為，，。a//,a,,空間平面和平面的位置關(guān)系:(1)兩個(gè)平面平行——沒有公共點(diǎn);(2)兩個(gè)平面相交——有一條公共直線。5、直線與平面平行的判定定理:如果平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，那么該直線與這個(gè)平面平行。,,a,,,,符號(hào)表示:ba//。圖形表示:,,,,ab//,6、兩個(gè)平面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行。a,,,,b,,,,符號(hào)表示:。圖形表示:abP//,,,,,,a//,,b//,,,7、.直線與平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與已知平面相交，那么交線與這條直線平行。a//,,,符號(hào)表示:,,。圖形表示:aab//,,,,b,,,8、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線的,,,,,,//,,//,,,abab平行。符號(hào)表示:9、直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。符號(hào)表示:ababPlalbl,,,,,,,,,,,,,,10、.兩個(gè)平面垂直的判定定理:一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。ll,,,,,,,,,符號(hào)表示:11、直線與平面垂直的性質(zhì):如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。a,,,符號(hào)表示:。ab//,,b,,,4態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～12、平面與平面垂直的性質(zhì):如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在其中一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的Pllmlml,,,,,,,,,,,.直線垂直于另一個(gè)平面。符號(hào)表示:13、異面直線所成角:平移到一起求平移后的夾角。,H直線與平面所成角:直線和它在平面內(nèi)的射影所成的角。(如右圖),14、異面直線所成角的取值范圍是;，0:,90:,;直線與平面所成角的取值范圍是,,0:,90:二面角的取值范圍是;，,0:,180:兩個(gè)向量所成角的取值范圍是,,0:,180:二、直線和圓的方程1、斜率:，;直線上兩點(diǎn)，則斜率為k,tan,P(x,y),P(x,y)k,(,,,，,)111222yy,21k,xx,212、直線的五種方程:(1)點(diǎn)斜式(直線過點(diǎn)，且斜率為)(lkyykxx,,,()Pxy(,)11111ykxb,，(2)斜截式(b為直線在y軸上的截距).lyyxx,,11(3)兩點(diǎn)式,((、;()、()).yy,Pxy(,)Pxy(,)xx,1112221212yyxx,,2121xy(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)ab、ab、,0，,1abAxByC，，,0(5)一般式(其中A、B不同時(shí)為0).3、兩條直線的平行、重合和垂直:(1)若，lykxb:,，lykxb:,，111222?‖?l,k,k且blb;121212?l與l重合時(shí),k,k且b,b;12122?.llkk,,,,11212(2)若,,且A、A、B、B都不為零,lAxByC:0，，,lAxByC:0，，,121211112222ABC111?;?ll||,,,llAABB,,，,012121212ABC22222(x,x)，(y,y)4、兩點(diǎn)P(x，y)、P(x，y)的距離公式?PP?=111222122121x，xy，y12125、兩點(diǎn)P(x，y)、P(x，y)的中點(diǎn)坐標(biāo)公式M(，)11122222Ax，By，C006、點(diǎn)P(x，y)到直線(直線方程必須化為一般式)Ax+By+C=0的距離公式d=0022A，BC,C217、平行直線Ax+By+C=0、Ax+By+C=0的距離公式d=1222A，B222r，，a,b，，，，x,a，y,b,r8、圓的方程:標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑為;5態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～22422DED，E,F22()()，(配方:)一般方程xyDxEyF，，，，,0x，，y，,2241DE2222D，E,4F,0時(shí)，表示一個(gè)以為圓心，半徑為的圓;(,,,)D，E,4F2229、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:222點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種:Pxy(,)(x,a)，(y,b),r0022若，則daxby,,，,()()00點(diǎn)P在圓外;點(diǎn)P在圓上;點(diǎn)P在圓內(nèi).dr,,dr,,dr,,10、直線與圓的位置關(guān)系:222Ax，By，C,0直線與圓的位置關(guān)系有三種:(x,a)，(y,b),r;;d,r,相離,,,0d,r,相切,,,0Aa，Bb，C.其中.d,d,r,相交,,,022A，B11、弦長(zhǎng)公式:若直線y=kx+b與二次曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)相交于A(x，y)，B(x，112y)兩點(diǎn)，則由2二次曲線方程2ax+bx+c=0(a?0)y=kx+m則知直線與二次曲線相交所截得弦長(zhǎng)為:22(x,x)，(y,y)AB=212122,,(1，k)(x，x),4xxx,x==1，k2121212Z112,,1，y,y,(1，)(y，y),4yy=12121222kkzFC2Bb4ac,21k=，YayOE13、空間直角坐標(biāo)系，兩點(diǎn)之間的距離公式:xA?xoy平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征A(x，y，0):豎坐標(biāo)z=0XDxoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征B(x，0，z):縱坐標(biāo)y=0yoz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征C(0，y，z):橫坐標(biāo)x=0x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征D(x，0，0):縱、豎坐標(biāo)y=z=0y軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征E(0，y，0):橫、豎坐標(biāo)x=z=0z軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征E(0，0，z):橫、縱坐標(biāo)x=y=0222(x-x)，(y-y)，(z-z)PP?=??12212121必修三算法初步與統(tǒng)計(jì):6態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～以下是幾個(gè)基本的程序框流程和它們的功能圖形符號(hào)名稱功能表示一個(gè)算法的起始和結(jié)終端框(起止框)束表示一個(gè)算法輸入輸出的輸入、輸出框信息賦值、計(jì)算(語句、結(jié)果的處理框(執(zhí)行框)傳送)判斷某一條件是否成立時(shí)，判斷框在出口處標(biāo)明“是”或“Y”，不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”連接程序框(流程進(jìn)行的方流程線向)連接點(diǎn)連接程序框圖的兩部分注釋框幫助注解流程圖循環(huán)框程序做重復(fù)運(yùn)算一、算法的三種基本結(jié)構(gòu):(1)順序結(jié)構(gòu)(2)條件結(jié)構(gòu)(3)循環(huán)結(jié)構(gòu)二、算法基本語句:1、輸入語句:輸入語句的格式:INPUT“提示內(nèi)容”;變量。2、輸出語句:輸出語句的一般格式:PRINT“提示內(nèi)容”;表達(dá)式。3、賦值語句:賦值語句的一般格式:變量=表達(dá)式。4、條件語句(1)“IF—THEN—ELSE”語句。5、循環(huán)語句:直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)“DO—LOOPUNTIL”語句和當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)“WHILE—WEND”。三(三種常用抽樣方法:1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣;2(系統(tǒng)抽樣;3(分層抽樣。4(統(tǒng)計(jì)圖表:包括條形圖，折線圖，餅7態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～圖，莖葉圖。四、頻率分布直方圖:具體做法如下:(1)求極差(即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差);頻率(2)決定組距與組數(shù);(3)將數(shù)據(jù)分組;(4)列頻率分布表;(5)畫頻率分布直方組距圖。注:頻率分布直方圖中小正方形的面積=組距×頻率。頻率小矩形面積=2、頻率分布直方圖:(注意:不是小矩形的高度)頻數(shù)頻數(shù)樣本容量頻率=，頻率=計(jì)算公式:樣本容量頻率頻率小矩形面積組距==，組距各組頻數(shù)之和=樣本容量，各組頻率之和=13、莖葉圖:莖表示高位，葉表示低位。折線圖:連接頻率分布直方圖中小長(zhǎng)方形上端中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖。4、刻畫一組數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量:平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)。在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù);將一組數(shù)據(jù)按照從大到小(或從小到大)排列，處在中間位置上的一個(gè)數(shù)據(jù)(或中間兩位數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);5、刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計(jì)量:極差，極準(zhǔn)差，方差。(1)極差一定程度上表明數(shù)據(jù)的分散程度，對(duì)極端數(shù)據(jù)非常敏感。(2)方差，標(biāo)準(zhǔn)差越大，離散程度越大。方差，標(biāo)準(zhǔn)差越小，離散程度越小，聚集于平均數(shù)的程度越高。(3)計(jì)算公式:1222sxxxxxx,,，,，，,標(biāo)準(zhǔn)差:[()()()]n12n12222方差:sxxxxxx,,，,，，,n[()()()]12n?????yy直線回歸方程的斜率為，截距為a，即回歸方程為=x+a(此直線必過點(diǎn)(，))。xbb6、頻率分布直方圖:在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，方長(zhǎng)方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。五、隨機(jī)事件:在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件。一般用大寫字母A,B,C?表示.8態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～隨機(jī)事件的概率:在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率總接近于某個(gè)常數(shù)，在它附近擺動(dòng)，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件A的概率,記作P(A)。由定義可知0?P(A)?1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。1、事件間的關(guān)系:(1)互斥事件:不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件;2)對(duì)立事件:不能同時(shí)發(fā)生，但必有一個(gè)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件;((3)包含:事件A發(fā)生時(shí)事件B一定發(fā)生，稱事件A包含于事件B(或事件B包含事件A);(4)對(duì)立一定互斥，互斥不一定對(duì)立。2、概率的加法公式:(1)當(dāng)A和B互斥時(shí)，事件A+B的概率滿足加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥)(2)若事件A與B為對(duì)立事件，則A?B為必然事件，所以P(A?B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)(3、古典概型:(1)正確理解古典概型的兩大特點(diǎn):1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè);2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等;(2)掌握古典概型的概率計(jì)算公式:事件包含的基本事件個(gè)數(shù)Am()PA,,實(shí)驗(yàn)中基本事件的總數(shù)n4、幾何概型:(1)幾何概率模型:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型。(2)幾何概型的特點(diǎn):1)試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個(gè);2)每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等(事件構(gòu)成的區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)APA(),(3)幾何概型的概率公式:實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)n～*mn(n,1)？(n,m，1)5、排列:(1)、排列數(shù)公式:A==.(，?N，且nmn(n,m)～)(0～=1mn,(2)、全排列:n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列;n,n(n,1)(n,2),？,3,2,1,n,(n,1)!A,n!;n6、組合:9態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～mn(n,1)？(n,m，1)n～A*mn(1)、組合數(shù)公式:===(，?N，且Cnmnmm～,(n,m)～1，2，？，mAm0);。C,1mn,n必修四一、三角函數(shù)180,,,'180,,l,|,|r1、弧度制:(1)、弧度，1弧度;弧長(zhǎng)公式:(為,(),5718l,r所對(duì)的弧長(zhǎng)，為半徑，正負(fù)號(hào)的確定:逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù))。,2、三角函數(shù):(1)、定義:yxyx,,,,sin,cos,tan,cot,rrxy3、特殊角的三角函數(shù)值:的角度0:30:45:60:90:120:135:150:180:270:360:,,5,,,,,,,233,的弧度2,0,64323426112332sin,000,11222222112323cos,,00,,,11122222233tan,—0—00,,113,333,sin22sin,，cos,,14、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:tan,cot,,1,tan,cos,5、誘導(dǎo)公式:(眾變橫不變，符號(hào)看象限)正弦上為正;余弦右為正;正切一三為正。,,sin(,),,sin,,cos(,),cos,,tan(,),,tancot(,,),,cot,10態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～,,,,sin(90:，),cossin(180:，),,sin,,,,cos(90:，),,sincos(180:，),,cos,,,,tan(90:，),,cottan(180:，),tan,,,,cot(90:，,,tancot(180:，),cot,,,,sin(90:,),cossin(180:,),sin,,,,cos(90:,),sincos(180:,),,cos,,,,tan(90:,),cottan(180:,),,tancot(90:,,),tan,cot(180:,,),,cot,,,,,sin(270:，),,cossin(360:，),sin,,,,cos(270:，),sincos(360:，),cos,,,,tan(270:，),,cottan(360:，),tan,,,,cot(270:，),,tancot(360:，),cot,,,,sin(270:,),,cossin(360:,),,sin,,,,cos(270:,),,sinscos(360:,),cos,,,,tan(270:,),cottan(360:,),,tancot(270:,,),tan,cot(360:,,),,cot,6、兩角和與差的正弦、余弦、正切:sin(,，,),sin,cos,，cos,sin,S:(,，,)sin(,,,),sin,cos,,cos,sin,S:(,,,)cos(a，,),cos,cos,,sin,sin,C:(,，,)cos(a,,),cos,cos,，sin,sin,C:(,,,)tan,，tan,,,tan,tanTT::tan(,，,),,,tan(,),(,，,)(,,,)1，tan,tan,1,tan,tan,tan,tan,tan,tan,,,,,1,1，tan+tan=tan(+)()tan-tan=tan(-)(),,,,,,ab227、輔助角公式:,,asinx，bcosx,a，bsinx，cosx,,2222a，ba，b,,2222,a，b(sinx,cos,，cosx,sin,),a，b,sin(x，,)sin2,,2sin,cos,8、二倍角公式:(1)、:S2,2222cos2,,cos,,sin,,1,2sin,,2cos,,1:C2,11態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～,2tan,:tan2,T2,21,tan,(2)、降次公式:(多用于研究性質(zhì))1cos211,1,2sincos2sin,cos,,sin2,,,,,,，22221cos211,，2coscos2,,,,，222y,sin,,y,cos,,y,tan,,y,cot,四個(gè)三角函數(shù)中只有是偶函數(shù)，9、在y,cos,其它三個(gè)是寄函數(shù)。(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)是非寄非偶函數(shù))10、在三角函數(shù)中求最值(最大值、最小值);求最小正周期;求單調(diào)性(單調(diào)第增區(qū)間、單調(diào)第減區(qū)間);求對(duì)稱軸;求對(duì)稱中心點(diǎn)都要將原函數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)型;,,y,Asin(x，)，b,,y,Acos(x，)，b如:再求解。,,y,Atan(x，)，by,Acot(,x，,)，b11、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì):函數(shù)y=sinxy=cosxy=tanx圖象定義RR域,{x|x,k，,k,Z},2值域R[,1,1][,1,1]奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)性,2,2,周期性在[2k,,,,2k,](k,Z)在,,在(k,Z)[2,2]kk,，,,上是增函數(shù),,22(k,Z)(k,,k，),,在[2,2]kk,,,，(k,Z)22上是增函數(shù)單調(diào)在上是減函數(shù)上是增函數(shù)性,,3(k,Z)，，[2,2]kk,,22上是減函數(shù)12態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～時(shí)，當(dāng)x,2k,,k,Z,時(shí)，當(dāng)x,，2k,,k,Z2y,1max無y,1max當(dāng)時(shí)，x,(2k，1),,k,Z最值,當(dāng)時(shí)，x,,，2k,,k,Zy,,1min2y,,1min,(k,,0)(k,,0)對(duì)稱中心，，對(duì)稱中心k,Zk,Z，對(duì)稱中心(k，,0),2對(duì)稱對(duì)稱軸:無,k,Z(k,Z)對(duì)稱軸:x,k，性,2(k,Z)對(duì)稱軸:x,k,12(函數(shù)的圖象:，，y,Asin,x，,(1)用“圖象變換法”作圖yx,sinyAx,，sin(),,由函數(shù)的圖象通過變換得到的圖象，有兩種主要途徑:“先平移后伸縮”與“先伸縮后平移”。法一:先平移后伸縮向左或向右()(),,,,00yxyx,,,sinsin(),,,,,,,,，,平移個(gè)單位||,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋禔,,,,,,,,,,，yAxsin(),,橫坐標(biāo)不變向左或向右()(),,,,00yxyx,,,sinsin(),,,,,,,,，,平移個(gè)單位||,，1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,,,,,,,,,,，yxsin(),,縱坐標(biāo)不變法二:先伸縮后平移1橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋断蜃蠡蛳蛴?)(),,,,00,yx,,,sin,,,,,,,yxyx,,,sinsin(),,,,,,,,,,,，縱坐標(biāo)不變,平移個(gè)單位||縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋禔,,,,,,,,,,,，yAxsin(),,橫坐標(biāo)不變yAx,，sin(),,x,，,[)0，,,0當(dāng)函數(shù)(A>0，，)表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A就表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的最大距離，通常把它叫做這個(gè)振動(dòng)的振幅;往復(fù)振動(dòng)一次,,212所需要的時(shí)間，它叫做振動(dòng)的周期;單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的次數(shù)，它T,f,,,,T,,x，,叫做振動(dòng)的頻率;叫做相位，叫做初相(即當(dāng)x,0時(shí)的相位)。二、平面向量1、平面向量的概念:13態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～在平面內(nèi)，具有大小和方向的量稱為平面向量(1，，向量可用一條有向線段來表示(有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示2，，向量的方向(,,3向量的大小稱為向量的模(或長(zhǎng)度)，記作(,,，，4模(或長(zhǎng)度)為的向量稱為零向量;模為的向量稱為單位向量(10，，5與向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作(,aaa，，6方向相同且模相等的向量稱為相等向量(，，2、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么,,,,,(1)結(jié)合律:λ(μ)=(λμ);(2)第一分配律:(λ+μ)=λ+μ;aaaaa,,,,(3)第二分配律:λ()=λ+λ.aa，bb,,,,3、向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)?=?(交換律);aabb,,,,,,,,,,,,,,,ccc(2)()?=(?)=?=?();(3)()?=?+?.,,,,aaaaabbbba，bb4、平面向量基本定理:,,如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只ee12,,,有一對(duì)實(shí)數(shù)λ、λ，使得=λ+λ(aee121212,,不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底(ee12,,,,5、坐標(biāo)運(yùn)算:(1)設(shè)，則，，，，a,x,y,b,x,y，，a,b,x,x,y,y11221212,,,數(shù)與向量的積:λ，數(shù)量積:，，，，a,,x,y,,x,,ya,b,xx，yy11111212,(2)、設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x，y)，(x，y)，則.(終點(diǎn)，，AB,x,x,y,y11222121減起點(diǎn))22||ABABAB,,6、平面兩點(diǎn)間的距離公式:(1)d=,,，,()()xxyyAB,2121222|a|,a,a(2)向量的模||:;,x，yaa,,,,,,,,0,a,00,a,0a，(,a),0(3)、平面向量的數(shù)量積:，注意:，，a,b,a,bcos,,,xxyy，1212,(4)、向量的夾角，則，，，，，a,x,y,b,x,ycos,,11222222,,xyxy，，1122()，，，，a,x,y,b,x,y1122,,,,,,(,,R)a//b,a,,ba//b,7、重要結(jié)論:(1)、兩個(gè)向量平行:，xy,xy,01221,,(2)、兩個(gè)非零向量垂直a,b,xx，yy,01212PP,,PP(3)、P分有向線段的:設(shè)P(x，y)，P(x，y)，P(x，y)，且，PP1112221212xx，,xx，,12,12x,x,,,,21,，,,則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式中點(diǎn)坐標(biāo)公式,yy，yy，,,1212y,,y,,,21,，,,14態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～三、空間向量1、空間向量的概念:(空間向量與平面向量相似)在空間中，具有大小和方向的量稱為空間向量(1，，2向量可用一條有向線段來表示(有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示，，向量的方向(,,3向量的大小稱為向量的模(或長(zhǎng)度)，記作(,,，，4模(或長(zhǎng)度)為的向量稱為零向量;模為的向量稱為單位向量(10，，5與向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作(,aaa，，6方向相同且模相等的向量稱為相等向量(，，2、實(shí)數(shù),與空間向量的乘積是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算(當(dāng)時(shí)，與a,a,,0,a方向相同;當(dāng)時(shí)，與方向相反;當(dāng)時(shí)，為零向量，記為(的a,,0,aa,,0,a,a0,長(zhǎng)度是的長(zhǎng)度的倍(a3、設(shè),，為實(shí)數(shù)，，是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)合律(,ab,,,,aa,分配律:;結(jié)合律:(,,,abab，,，，，，，，，4、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線(5、向量共線的充要條件:對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，，的充要條件是存在bb,0ab//，，實(shí)數(shù),，使(ab,,6、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量(7、向量共面定理:空間一點(diǎn),位于平面,,C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，y，使x;或?qū)臻g任一定點(diǎn),，有;或若四點(diǎn),，,,,,,，,xyC,,,,,，,,，,xyC,,,,,，,,，,，，,xyzCxyz1,,C，，共面，則(，，a,，,,,8、已知兩個(gè)非零向量和，在空間任取一點(diǎn)，作，，則稱為b,,,a,,,b，，,ab,0,,a向量，的夾角，記作(兩個(gè)向量夾角的取值范圍是:(，，ab,b,,,aa9、對(duì)于兩個(gè)非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作(，，,ab,bbab,215態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～10、已知兩個(gè)非零向量和，則稱為，的數(shù)量積，記作(即aaababcos,，，bbab,(零向量與任何向量的數(shù)量積為(0ababab,,，，cos,11、等于的長(zhǎng)度a與在的方向上的投影的乘積(aababcos,，，ab,b12、若，為非零向量，為單位向量，則有1eaaeaae,,,,，，cos,;aeb，，,abab與同向，，2,aaa,,aaa,,2;3，，;abab,,,,0ab,,，，，，,,abab與反向,，，,ab,cos,，，,ab4(，，ab1213、量數(shù)乘積的運(yùn)算律:;;,,,ababab,,,,,abba,,,，，，，，，，，，，3(abcacbc，,,,，,，，，，p14、空間向量基本定理:若三個(gè)向量，，不共面，則對(duì)空間任一向量，存在實(shí)數(shù)acbxyz,,組，使得(pxaybzc,，，,,15、三個(gè)向量a，，c不共面，則所有空間向量組成的集合是b(這個(gè)集合可看作是由向量a，，c生成的，ppxaybzcxyzR,，，,,,,b,,稱為空間的一個(gè)基底，a，，c稱為基向量(空間任意三個(gè)不共面的向量都abc,,b,,可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底(eee16、設(shè)，，為有公共起點(diǎn),的三個(gè)兩兩垂直的單位向量(稱它們?yōu)閱挝徽换?，123eeeeee,y以，，的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S，軸，軸的zx123123,xyzp正方向建立空間直角坐標(biāo)系(則對(duì)于空間任意一個(gè)向量，一定可以把它平移，xyz,,使它的起點(diǎn)與原點(diǎn),重合，得到向量(存在有序?qū)崝?shù)組，使得,,,p,,ppxeyeze,，，eeey(把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標(biāo)，zx123123p,xyzpxyz,,,,記作(此時(shí)，向量的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，，xyz,,(，，16態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～bxyz,,,abxxyyzz，,，，，,,17、設(shè)，，則(axyz,,,1，，，，，，，，222121212111abxxyyzz,,,,,,,(2，，，，1212123,,,,axyz,,,(，，，，1114abxxyyzz,,，，(，，1212125若、為非零向量，則ababxxyyzz,,,,,，，,00(ab，，1212126若，則(ababxxyyzz//,,,,,,,,,,,,b,0，，1212122227(aaaxyz,,,，，，，111xxyyzz，，ab,121212cos,，，,,ab8(，，222222abxyzxyz，，,，，1112222229,xyz,,,,xyz,,，，則dxxyyzz,,,,,，,，,(，，，，，，，，，，，，111222,,21212118、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則baababab////,,abR,,,,，異面垂直時(shí)(ababab,,,,,,0，，,19、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為，，則a,,////,,ab,b，(,,,,,,,,abab0ab,,20、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量(,,21、法向量的定義:垂直于平面或者垂直于線的向量(方向不管)。22、若直線的方向向量為a，平面的法向量為n，且，則aa////,,,a,,a,,,,,,anan0，aaanan,,,,,,,,,//(?法向量的計(jì)算,,方法一:已知,設(shè)面平ABCAB,(x,y,z)，AC,(x,y,z)111222,,,,,,n,(x,y,z)的一個(gè)法向量為，由?面ABC得所以:;nn,AB,n,AC,,所以n,AB,0,,n,AC,0即xx，yy，zz,0111xx，yy，zz,022217態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～上面兩個(gè)方程，要解三個(gè)未知數(shù)，為了計(jì)算方便，取z(或x或y)等于一個(gè)數(shù)，可求出另兩個(gè)未知數(shù)，得出平面的一個(gè)法向量。,,方法二:若，則平面ABC的一AB,(x,y,z)，AC,(x,y,z)111222個(gè)法向量為:yzzxxy111111,,,()n,AB，AC,yz，zx，xy222222=(yz-yz，zx-zx，xy-xy)122112211221立體幾何中的向量方法P,------距離問題一、求點(diǎn)到平面的距離1((一般)傳統(tǒng)方法:利用定義先作出過這個(gè)點(diǎn)到平面的垂線段，O,再計(jì)算這個(gè)垂線段的長(zhǎng)度;2(還可以用等積法求距離;3(向量法求點(diǎn)到平面的距離.P,在中，Rt,PAOddnsin,,,d,|AP|sin,|AP|,AO,|AP,n|又sin,,|AP||n|lP,d|AP,n|n？d,(其中為斜向量，為法向量)APn,|n|AO,二、直線到平面的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離:|AP,n|P,d,(其中為斜向量，為法向量)APn|n|dn三、平面到平面的距離,A也是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離:O,|AP,n|d,(其中為斜向量，為法向量)APnPa,|n|nd四、異面直線的距離b如圖，異面直線也是轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到線的距離:A,18態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～|AP,n|d,|n|(其中為兩條異面直線上各取一點(diǎn)組成的向量，是與都垂直的向量)a,bAPn例1(如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為1，E為的中點(diǎn)，求下列問題:ABCD,ABCDCD111111(1)求到面的距離;ABEB11D,xyz解:如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則1，設(shè)為面的法向量n,(x,y,z)？AE,(,1,,0),AB,(0,1,,1),ABE1112z1,,n,AE,0,x，y,0,,1ED,則1C2,,1,n,AB,0,A1,y,z,01B,1CDy,2,z,2取，得，？n,(1,2,2)x,1yABx選點(diǎn)到面的斜向量為AB,(0,1,0)BABE1111||AB,n2z11得點(diǎn)到面的距離為d,,ABEB113||nED1C1A1(2)求到面的距離;ABEDCB111CD解:由(1)知平面ABE的法向量n,(1,2,2)y1ABx斜向量DA,(1,0,0)11||1DA,nz11？點(diǎn)D到面ABE的距離為d,,113nED1C1A(3)求面與面的距離;ADBDCB1111B1CD解:由圖知平面ABD的法向量為n,AC,(,1,1,1)11yABx又斜向量DA,(1,0,0)11||1DA,n11？點(diǎn)D到面ABD的距離為d,,113n3即面ABD與DCB的距離為111319態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～z(4)求異面直線與的距離.DBAE11ED1C1解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系D,xyzA1B11則DBAE(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)112C1D？AE,(,1,,0),DB,(1,1,,1)y112ABx都垂直的向量，則設(shè)n,(x,y,z)是與AE,DB11,n,AE,0y,2x,,1,，取，得一個(gè)法向量為x,1n,(1,2,3),,z,3x,,n,DB,01,選的兩點(diǎn)向量DA,(1,0,0)AE與BD1111||DA,n1411得的距離為d,,AE與BD1114||n練習(xí)1:1(如圖在直三棱柱中，,，，求點(diǎn)AC,BC,1，ACB,90:AA,2ABC,ABCB11111到面的距離.ABC1C1AB11CAB2(已知棱長(zhǎng)為1的正方體，求平面和平面間的距離ABCD,ABCDDACABC1111111D1C1A1B1CDAB3(已知棱長(zhǎng)為1的正方體，求直線和AC間的距離。ABCD,ABCDDA1111120態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～DC11A1B1CDAB中，E、F分別是和的中點(diǎn)，求4(已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD,ABCDBCCD11111111點(diǎn)到平面DBEF的距離。A15(如圖在直三棱柱中，AC,BC,CA,1，，求點(diǎn)到面AA,2ABC,ABCABCB111111的距離.:，,A906(在直三棱柱ABCABC,中，，OOG,,111121態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～分別為的中點(diǎn)，且(BCBCAA,,ABACAA,,,211112(,)求到面的距離;()OACB111226(,)求到面的距離(()BCGBC113立體幾何中的向量方法------空間角問題空間的角主要有:異面直線所成的角;直線和平面所成的角;二面角((,)求異面直線所成的角設(shè)、分別為異面直線a、b的方向向量,則兩異abab面直線所成的角=arccos||,||||ab(,)求線面角設(shè)是斜線l的方向向量，是平面的法向量，,lnln則斜線l與平面所成的角=arcsin||,,||||ln(,)求二面角,法一、在內(nèi),l，在內(nèi),l，其方向如圖，則二,abab,,,,l面角的平面角=arccos,||||ab,,,,lnn,,法二、設(shè)是二面角的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)12,,,,l指向內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向外側(cè)，則二面角的平面角22態(tài)度決定人生，細(xì)節(jié)決定成敗～開陽二中高二(1)班的每一位同學(xué)加油～～nn12=arccos,||||nn12例,(如圖，在棱長(zhǎng)為,的正方體ABCDABCD,1111中，E、F分別是棱的中點(diǎn)(ADAB,1111(?)求異面直線所成的角;DEFC與1(II)求和面EFBD所成的角;BC1(III)求到面EFBD的距離B1解:(?)記異面直線所成的角為，DEFC與,1則等于向量DEFC與的夾角或其補(bǔ)角，,1DEFC1？,cos||,||||DEFC1DDDEFBBC()()，，11111,||DEFC||||1,222,,？,||,arccos,5555Dxyz,(II)如圖建立空間坐標(biāo)系，則，DE,(1,0,2)DB,(2,2,0),DEn,,0,EFBD設(shè)面的法向量為由nxy,(,,1),DBn,,0,,BC,,(2,0,2)得又n,,(2,2,1)1