概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案-祝東進

概率論與數(shù)理統(tǒng)計答案-祝東進習(xí)題1.1寫出下列隨機試驗的樣本空間:擲兩顆骰子,觀察兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù).從正整數(shù)中任取一個數(shù),觀察取出數(shù)的個位數(shù).連續(xù)拋一枚硬幣,直到出現(xiàn)正面時為止.對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查,如連續(xù)檢查出兩個次品,則停止檢查,或檢查四個產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果.在單位圓內(nèi)任意取一點,記錄它的坐標.解:(1);;{(正),(反,正),(反,反,正),(反,反,反,正),…};{(次,次),(次,正,正,正),(次,正,正,次),(次,正,次,次),(次,正,次,正),(正,次,次),(正,次,正,正),(正,次,正,次)};.在擲兩顆骰子的試驗中寫出下列事件的集合表示:(1)=”出現(xiàn)的點數(shù)之和為偶數(shù)”.(2)=”出現(xiàn)的點數(shù)之和為奇數(shù),但沒有骰子出現(xiàn)1點”.(3)=”至少擲出一個2點”.(4)=”兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)相同”.解:(1);;;.設(shè)是三個事件,試用來表示下列事件:事件“中至少有一個事件發(fā)生”.事件“中至少有兩個事件不發(fā)生”.事件“中至多有一個事件不發(fā)生”.事件“中至少有一個事件不發(fā)生”.事件“至少有一個發(fā)生,而不發(fā)生”.解:(1);或;或;;或.指出下列命題哪些成立,哪些不成立?(1).(2).(3).(4).(5).(6).(7)等價于或或.(8)若,則.解:(1)正確;(2)正確;(3)正確;(4)正確;(5)錯誤;(6)正確;(7)正確;(8)正確.在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生,令事件表示被選學(xué)生是女生,事件表示被選學(xué)生是三年級學(xué)生,事件表示被選學(xué)生是運動員.敘述的意義.在什么條件下成立?什么時候成立?解:(1)被選學(xué)生是三年級男運動員;因為等價于,即數(shù)學(xué)系的女生全部都是三年級運動員;數(shù)學(xué)系的男生全部都是運動員,且運動員全部都是男生.試用維恩圖說明,當事件,互不相容,能否得出,也互不相容?解:不能.設(shè)樣本空間,事件,,試求:.解:;;;.習(xí)題1.2設(shè),求(1);(2);(3).解:;;.設(shè)且求.解:注意到.從而由得.于是.設(shè)為三個隨機事件,且,求.解:由知.于是由廣義加法公式有.設(shè)為兩個隨機事件,且,問:在什么條件下,取到最大值,最大值是多少?在什么條件下,取到最小值,最小值是多少?解:(1)由于.由此可見在條件下,取到最大值.注意到.因此當時,取到最小值.思考:有人說(2),在時,取到最小值0.你能指出錯誤在什么地方嗎?設(shè)為兩個隨機事件,證明:(1).(2).證明:(1)由廣義加法公式可得.由(1)立得.其余不等式是顯然的.設(shè)為三個隨機事件,證明:.證明:由廣義加法公式可得設(shè)為個事件,利用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)(次可加性).擲一枚均勻的硬幣次,求出現(xiàn)的正面次數(shù)多于反面次數(shù)的概率.解:設(shè)表示硬幣出現(xiàn)的正面次數(shù)多于反面次數(shù),表示硬幣出現(xiàn)的反面次數(shù)多于正面次數(shù),表示硬幣出現(xiàn)的反面次數(shù)等于正面次數(shù).易見,.當時,易見,從而.當時,易得.從而.從一個裝有個白球,個黑球的袋中逐一將球不放回地隨機取出,直至留在袋中的球都是同一顏色的球為止,求最后留在袋中的球都是白球的概率.解:此題設(shè)想將袋中的個白球和個黑球全部摸出,則最后一次(第次)摸出白球與本題所述的事件相同.因此由抽簽原理可得所求的概率為.口袋中有5個白球、3個黑球,從中任取兩個,求至少取到一個白球的概率.解:所求的概率為.某人有把鑰匙，其中只有一把能打開門,他一把接一把地試開門,不能開門的就扔掉．求他恰好在第次把門打開的概率．解:所求的概率為.任取一個正整數(shù),求下列事件的概率:該數(shù)平方的個位數(shù)是1;(2)該數(shù)立方的個位和十位都是1.解:(1)我們知道一個數(shù)平方的個位數(shù)只與該數(shù)的個位數(shù)有關(guān).因此我們觀察取出數(shù)的個位數(shù),其樣本空間為.易知其是古典概型.設(shè)表示該數(shù)平方的個位數(shù)是1,則,于是.(2)一個數(shù)立方的個位和十位與該數(shù)的個位和十位有關(guān).因此我們觀察取出數(shù)的個位和十位數(shù),其樣本空間為,表示該數(shù)立方的個位和十位都是1.則,于是.某人忘記了一個電話號碼的最后一位數(shù)字，因此只能試著隨意地撥這位數(shù)，假設(shè)拔完規(guī)定電話位數(shù)算完成一次撥號，且假設(shè)對方電話不占線，試問他撥號不超過四次就能接通電話的概率是多少?解:所求的概率為.一公司批發(fā)出售服裝，每批100套．公司估計某客商欲購的那批100套服裝中有4套是次品，12套是等級品，其余是優(yōu)質(zhì)品，客商在進貨時要從中接連抽出2套做樣品檢查，如果在樣品中發(fā)現(xiàn)有次品，或者2套都是等級品，客商就要退貨．試求下列事件的概率：(1)樣品中1套是優(yōu)質(zhì)品，1套是次品；(2)樣品中1套是等級品，1套是次品；(3)退貨；(4)該批貨被接受；(5)樣品中恰好有1套優(yōu)質(zhì)品．解:(1)樣品中1套是優(yōu)質(zhì)品，1套是次品的概率為;)樣品中1套是等級品，1套是次品的概率為;退貨的概率為;該批貨被接受的概率為;樣品中恰好有1套優(yōu)質(zhì)品的概率為.在橋牌比賽中,把52張牌(不包括大小王)任意地分給東、南、西、北四家(每家13張牌),求下列事件的概率:(1)北家的13張牌中恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花;(2)南家及北家共有9張黑桃,東、西兩家各有2張黑桃；(3)南家及北家共有9張黑桃,東家有1張黑桃,西家有3張黑桃.解:(1)北家的13張牌中恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花的概率為或;南家及北家共有9張黑桃,東、西兩家各有2張黑桃的概率為;南家及北家共有9張黑桃,東家有1張黑桃,西家有3張黑桃的概率為.將3個球隨機地放入4個杯子,求4個杯子中球的個數(shù)最大值為2的概率.解:3個球隨機地放入4個杯子共有種放法.4個杯子中球的個數(shù)最大值為2相當于先從3個球中任意地選出2個球作為一個整體和另外一個球放到4個杯子(注意不能同時放入同一個杯子)的放法總數(shù)為.于是所求的概率為.設(shè)集合有4個元素,集合有3個元素,隨機地作集合到集合的映射,求該映射為滿射的概率.解:該映射為滿射的概率為.將個球隨機地放入個盒子中,求下列事件的概率:每個盒子中均有球;(2)恰好有1個盒子空著的概率.解:設(shè)表示第個盒子無球,.設(shè)表示每個盒子中均有球.則.注意到,,,,于是由廣義加法公式有從而.恰好有1個盒子空著可以這樣理解,先從個盒子任意選定1個空盒,然后將個球隨機地放入個盒子,使得個盒子都有球.從而由(1)及乘法原理可知"恰好有1個盒子空著"共有樣本點,于是其概率為.某班有個同學(xué)參加面試,共有張考簽,每人抽到考簽用后即放回,在面試結(jié)束后,求至少有一張考簽沒有被抽到的概率.解:設(shè)表示第張考簽沒有被抽到,.設(shè)表示至少有一張考簽沒有被抽到.則.注意到,,,,于是由廣義加法公式有從階行列式的一般展開式中任取一項,問這項包含主對角線元素的概率為多少?解:設(shè)表示所取的項含第行第列主對角線元素,.設(shè)表示所取的項包含主對角線元素.則.注意到,,,,于是由廣義加法公式有習(xí)題1.5已知,求;;.解：注意到故...□設(shè)試證:證明:因為,.故□設(shè)件產(chǎn)品中有件不合格品,從中逐一不放回地取出兩件產(chǎn)品,已知第一次取出不合格品,求第二次也取出不合格品的概率;已知所取的兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率.解:(1)設(shè)表示"第次取出不合格品",.于是所求的概率為.設(shè)表示所取的兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品,表示另一件也是不合格品.于是所求的概率為□擲兩顆均勻的骰子,(1)已知點數(shù)和為偶數(shù),求點數(shù)和等于8的概率;(2)已知點數(shù)和為奇數(shù),求點數(shù)和大于6的概率;(3)已知點數(shù)和大于6,求點數(shù)和為奇數(shù)的概率.解:(1)所求的概率為;(2)所求的概率為;(3)所求的概率為.□一個家庭中有三個小孩,已知其中一個是女孩,求至少有一個男孩的概率.解:表示三個小孩中有一個是女孩,表示三個小孩中至少有一個是男孩,于是所求的概率為□為防止意外事故，在礦井內(nèi)同時安裝兩種警報系統(tǒng)與，每種系統(tǒng)單獨使用時，其有效率為0.92,為0.93，在失靈條件下有效概率為0.85．求：(1)發(fā)生事故時，這兩種警報系統(tǒng)至少有一個有效的概率；(2)在失靈條件下，有效的概率.解:表示系統(tǒng)有效,表示系統(tǒng)有效.由題意知,從而.所求的概率為.所求的概率為.□口袋中有只紅球和只白球,現(xiàn)從中一個一個不放回地取球,已知前次都沒有取到紅球,求第次取出紅球的概率.求第次取出紅球的概率.解:(1)所求的概率為;(2)所求的概率為.□口袋中有只白球、只黑球和個紅球,現(xiàn)從中一個一個不放回地取球,試求白球比黑球出現(xiàn)得早的概率.解:設(shè)表示白球比黑球出現(xiàn)得早,表示第次取出白球,表示第次取出黑球,表示第次取出紅球,則,且兩兩互斥,于是.□某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手7人，四級射手1人，一、二、三、四級射手能通過選拔進入比賽的概率分別是0.9，0.7，0.5，0.2.求任取一位射手，他能通過選拔進入比賽的概率.解:設(shè)表示選出級射手,.表示選出的射手能通過選拔進入比賽.于是由全概率公式得□12個乒乓球中有9個新球，3個舊球，第一次比賽，取出3個球，用完放回，第二次比賽又取出3個球.求第二次取出的3個球中有2個新球的概率.解:設(shè)表示第一次比賽取出3個球中有個新球,.表示第二次取出的3個球中有2個新球.由全概率公式知□某商店出售尚未過關(guān)的某電子產(chǎn)品，進貨10件，其中有3件次品，已經(jīng)售出2件,現(xiàn)要從剩下的8件產(chǎn)品中任取一件，求這件是正品的概率.解:設(shè)表示已經(jīng)售出2件產(chǎn)品中有件次品,.表示從剩下的8件產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品是正品.則由全概率公式知□“學(xué)生參加選擇題的測驗,每一個題目有5個備選答案，其中有一個正確．若該學(xué)生知道答案，則他一定能選出正確的答案，否則他隨機地從5個答案中選一個．若該學(xué)生知道所有試題的70％的正確答案，求：(1)對一試題，該學(xué)生選得正確答案的概率是多少?(2)若該學(xué)生對一試題已選得正確答案，問他真正知道此題答案的概率是多少?設(shè)有來自3個地區(qū)的各10名、15名和25名考生的報名表,其中女生的報名表分別為3份、7份和5份.隨機地取一個地區(qū)的報名表,從中先后抽出兩份.求先抽到的一份是女生報名表的概率.已知后抽到的一份是男生報名表,求先抽到的一份是女生報名表的概率.口袋中有一球,不知它的顏色是黑的還是白的,假設(shè)”該球是白球”的可能性為.現(xiàn)再往口袋中放入一只白球,然后從口袋中任意取出一只,已知取出的是白球,求口袋中原來那只球是白球的概率.解:設(shè)表示"往口袋中放入一只白球,然后從口袋中任意取出一只是白球,"