新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二《4. 4 數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)

《4.4*數(shù)學(xué)歸納法》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、【教學(xué)目標(biāo)】

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：

①了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟；

②能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡(jiǎn)單命題。

（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：

借助具體實(shí)例，通過(guò)對(duì)證明一個(gè)數(shù)學(xué)命題的過(guò)程和多米諾骨牌全部倒下條件

過(guò)程的類比和遷移，從特殊到一般，抽象出證明數(shù)學(xué)命題的方法，進(jìn)而推廣

為數(shù)學(xué)歸納法的原理和步驟，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，體會(huì)歸納遞推的

數(shù)學(xué)思想。

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

借助具體實(shí)例，加強(qiáng)數(shù)學(xué)歸納法的提煉過(guò)程和認(rèn)知過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，

深挖其育人價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想，善于思考，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)

生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力。

二、［教學(xué)重難點(diǎn)］

教學(xué)重點(diǎn)：了1尾數(shù)學(xué)歸納法的基本思想和原理,掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，

能應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題；

教學(xué)難點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法的原理。

三、【教學(xué)過(guò)程】

（一）引入生活實(shí)例，啟發(fā)學(xué)生思維

（情境一）某人看到樹上有幾只烏鴉，深有感觸“天下烏鴉一般黑。”你認(rèn)為這

樣的說(shuō)法可靠嗎？為什么？

答：不可靠，以偏概全。事實(shí)上，這是不完全歸納的體現(xiàn)，體現(xiàn)著數(shù)學(xué)中的歸納

思想。

數(shù)學(xué)中，我們把通過(guò)驗(yàn)證一系列特殊情況得出一般性結(jié)論的方法稱為歸納法。

那么歸納法可以分為“不完全歸納法”和“完全歸納法”?！安煌耆珰w納法”是只

考察部分對(duì)象，只驗(yàn)證一部分個(gè)體成立，就得到一般性結(jié)論的方法，這樣的結(jié)論

不一定可靠。

例如，我們?cè)谕茖?dǎo)等差數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，采用這樣的方法：

七=q+”,q=6+2d,%=q+3d,...

由此，我們猜想%=6+（〃-1）4。這就是不完全歸納法。那么這樣的猜想真的

正確嗎？結(jié)論還有待證明。

而“完全歸納法”考察全體對(duì)象，是對(duì)每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行逐一驗(yàn)證后得到一個(gè)一般

性結(jié)論，這樣的結(jié)論一定可靠。

（情境二）在數(shù)列｛%｝中，己知卬=1,。用=丁匚（〃€乂*）,經(jīng)計(jì)算發(fā)現(xiàn)4=1,,

生=—L=1，/='=1，%=—匚=1，由此我們猜想對(duì)于任意一個(gè)正整數(shù)n,

2-12-12-1

afl=1(〃￡N").

問(wèn)題：如何驗(yàn)證這個(gè)猜想呢？

我們發(fā)現(xiàn)，每一次驗(yàn)證，都對(duì)這個(gè)猜想的正確性增添了一分把握，但是我們

不能這樣無(wú)限的驗(yàn)證下去，這是不現(xiàn)實(shí)的。那么我們就想找到一種方法，能夠通

過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立。

【設(shè)計(jì)意圖：】以上兩個(gè)情境都是在合情推理的基礎(chǔ)上提出猜想，但它們的正確

性還有待證明。讓學(xué)生意識(shí)到需要建立一種無(wú)窮遞推機(jī)制，將一個(gè)無(wú)窮的歸納過(guò)

程轉(zhuǎn)化為有限步驟的演繹，實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)限的飛躍，即呈現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的

必要性。

（二）立足生活情境，激發(fā)學(xué)生興趣

（情境三）那么你能相信僅憑一指之力就能推倒一座摩天大廈嗎？

【實(shí)例】播放多米諾骨牌的游戲視頻

（三）創(chuàng)新問(wèn)題情境，擦亮思維火花

【探究】看完這段精彩的視頻，請(qǐng)同學(xué)們思考，多米諾骨牌全部倒下的條件是什

么？（10S）

通過(guò)觀看視頻我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)骨牌間距合適時(shí)，只要推倒第一塊骨牌，那么后面的骨

牌就隨著前面骨牌倒下而倒下。

【結(jié)論】由此我們可以得出：多米諾骨牌全部倒下的條件是：

①第一塊骨牌必須倒下；

。并且任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。

那么這兩個(gè)條件的作用是什么呢？我們來(lái)做一組實(shí)驗(yàn)。

（實(shí)驗(yàn)一：）首先，實(shí)驗(yàn)一同時(shí)滿足（1）（2）兩個(gè)條件。在該實(shí)驗(yàn)中骨牌間距合

適。用手推倒第一塊骨牌，可以發(fā)現(xiàn)隨后第二塊骨牌、第三塊骨牌、、、全部骨牌

依次倒下，試驗(yàn)成功；

問(wèn)題1：缺少條件①可不可以？我們來(lái)做第二組實(shí)驗(yàn)。

（實(shí)驗(yàn)二：）在該實(shí)驗(yàn)中，骨牌的間距合適。用手推第一塊骨牌，但沒(méi)有推倒，

第二塊骨牌，第三塊骨牌、、、自然也沒(méi)有倒下，游戲失??；

小結(jié)：第一塊骨牌倒下是所有骨牌倒下的基礎(chǔ)和前提。

問(wèn)題2：缺少條件②可不可以？我們來(lái)做第三組實(shí)驗(yàn)。

（實(shí)驗(yàn)三：）在該實(shí)驗(yàn)中，我們讓骨牌間距出現(xiàn)分化，使第一塊骨牌和第二塊骨

牌間距足夠大，其他骨牌間距不變。這時(shí)用手推倒第一塊骨牌，但第二塊沒(méi)倒下，

第三塊、第四塊也沒(méi)有倒下，游戲失敗。

（四）合作探究，點(diǎn)燃思維的火花

思考1：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述？

事實(shí)上，條件（2）給出的是一種遞推關(guān)系：前一塊骨牌倒下就會(huì)帶動(dòng)后一塊骨

牌也倒下。也就是

第k塊骨牌倒下今第k+1塊骨牌倒下

在條件（2）的作用下，只要是第一塊骨牌倒下，無(wú)論是有多少塊骨牌，即

使是有無(wú)限塊，最終有也一定全部倒下。

【設(shè)計(jì)意圖】挖掘“骨牌原理”，類比“骨牌原理”尋找和構(gòu)建遞推關(guān)系，呈現(xiàn)

數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的合理性。

思考2:你認(rèn)為證明前面的猜想“數(shù)列的通項(xiàng)公式是*=1（〃eN*）”與上述多米諾

骨牌游戲有相似性嗎？

回顧探究中猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是=1(〃eN*)的過(guò)程:

%=1“臼及遞推公式＞出=1"三及遞推公式＞生=1……

顯然，雖然可以這樣一直驗(yàn)證下去，但由于正整數(shù)個(gè)數(shù)的無(wú)限性，我們沒(méi)有辦法

把所有的正整數(shù)全都拿出來(lái)一一驗(yàn)證。

類比我們?cè)诙嗝字Z骨牌中得到的遞推關(guān)系：第k塊骨牌倒下今第k+1塊骨牌倒

下，我們能不能也給數(shù)列明一個(gè)類似的遞推關(guān)系呢？

%==1及遞推公式

如果卬=1>4+1=1

觀察這個(gè)遞推公式，只要保證了4=1,那么4+i=l'%+2=1'4+3=1……,也

就是第k項(xiàng)后面所有的項(xiàng)都為1.

及遞推公式、八

問(wèn)題：那么是否只要有了見(jiàn),=_11=1"4+1_=i1這個(gè)遞推關(guān)系，就能保證

對(duì)所有的正整數(shù)n，=K〃wN*)?

答：不是，還需要保證q=1

教師：非常好。％=1是我們進(jìn)行歸納的基礎(chǔ)和前提。

所以，我們?cè)谧C明數(shù)列忸力的每一項(xiàng)都是1的過(guò)程中只需要保證兩個(gè)條件:

⑴馬=1

_］遞推公式_i

觀察上面兩個(gè)步驟，我們通過(guò)有限步的遞推關(guān)系取代之前無(wú)限步的驗(yàn)證過(guò)程,

真正地實(shí)現(xiàn)了從有限到無(wú)限的飛躍。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)思考，將多米諾骨牌游戲的兩個(gè)步驟類比，遷移到證明猜想“數(shù)

列的通項(xiàng)公式是凡=1(〃eN*)，，,實(shí)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)情境向數(shù)學(xué)知識(shí)的自然遷移，使數(shù)學(xué)

歸納法的原理生成水到渠成。

思考3:歸納多米諾骨牌全部倒下和證明數(shù)列明=15eN*)過(guò)程的共性，你能得

到推理的一般結(jié)構(gòu)嗎？

⑴①骨牌原理：第一塊骨牌必須要倒下

②當(dāng)〃=1時(shí)，%=1成立

③類比抽象：證明當(dāng)n=l時(shí)，猜想正確。

(2)①證明“如果前一塊骨牌倒下，那么后一塊也跟著倒下”

②證明如果第k項(xiàng)等于1,那么第k+1項(xiàng)也等于1.

③類比抽象：證明"如果n=k時(shí)猜想正確，那么n=k+l時(shí)，猜想也正確”。

⑶根據(jù)①②，所有的骨牌都能倒下。

根據(jù)①②，

根據(jù)①②，猜想對(duì)于一切正整數(shù)n都成立。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)以上類比，遷移的過(guò)程，讓學(xué)生真正理解“自動(dòng)遞推，無(wú)窮驗(yàn)

證”的實(shí)質(zhì)，從而實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)限的轉(zhuǎn)化，為抽象、概括出歸納法的原理奠定

堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

下面我們將對(duì)情景二給出嚴(yán)格的證明。

猜想:%=1（"3）①

（1）當(dāng)〃=1時(shí)，罰=1,猜想成立。

（2）假設(shè)當(dāng)〃=時(shí)，①式成立，即

ak=1

那么根據(jù)遞推公式，有

%+i=-■--=---=1

I2-ak2-1

即當(dāng)〃="+1時(shí)，①式也成立。

由⑴⑵可知，①式對(duì)任何”eV’都成立。

【設(shè)計(jì)意圖】承上啟下，一方面證明了探究中的猜想，獲得了證明數(shù)學(xué)命題的方

法，另一方面，也通過(guò)類比、遷移、從特殊到一般的抽象過(guò)程，推廣為數(shù)學(xué)歸納

法的原理和步驟，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)歸納法形成更直觀的認(rèn)識(shí)。

【小結(jié)】由此，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)證明與正整數(shù)n有關(guān)的命題方法，它可按如下兩

個(gè)步驟進(jìn)行：

1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值）時(shí)命題成立。

2）假設(shè)當(dāng)“=時(shí)命題成立，那么當(dāng)n=k+i時(shí)命題也成立。根據(jù)

（1）和（2）,可知命題對(duì)都成立。我們稱這樣的證明方法為數(shù)學(xué)歸納法。

（五）師生合作，形成概念

一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按如下步驟進(jìn)行：

（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值”。（〃。，"）時(shí)命題成立。

（2）以n=k時(shí)命題成立”為條件，推出“當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立”。

根據(jù)（1）和（2）,可知命題對(duì)從〃o（〃o'N*）開始的所有正整數(shù)都成立。這種證

明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法。

思考4:數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟之間有什么關(guān)系？

（1）類比“骨牌原理”，第一塊骨牌倒下是所有骨牌倒下的基礎(chǔ)和前提，因此,

第一步為命題成立提供了基礎(chǔ)，它是后面遞推的出發(fā)點(diǎn),我們將這一步稱之為“歸

納奠基”。

（2）同樣地，在“骨牌原理”中，要保證只要第k塊骨牌倒下，那么第k+1塊

骨牌一定也倒下，再加上k的任意性，才能保證骨牌一直倒下去的傳遞性。所以，

第二步就是在確認(rèn)一種遞推關(guān)系，從第一個(gè)正整數(shù)開始以后，一個(gè)

接著一個(gè)地傳遞下去，從而完成證明。因此，第二步是在保證命題成立的遞推性，

我們將這一步稱之為“歸納遞推”。

總之，“歸納奠基”和“歸納遞推”這兩個(gè)步驟之間相互依存，彼此關(guān)聯(lián)，

它們是一個(gè)有機(jī)的整體，缺一不可。

（六）學(xué)以致用，實(shí)際演練

【例】用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列，那么

=a[+(〃-l)d①

對(duì)任何〃eN*都成立。

問(wèn)：數(shù)列NJ有什么特點(diǎn)？

答：1,｝是等差數(shù)列。

問(wèn)：等差數(shù)列具有什么特征？

答：氏+1一6=".

分析：回顧我們探求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的過(guò)程（課本14頁(yè)），我們是在合情推理

的基礎(chǔ)上，利用不完全歸納法推測(cè)出4=4+（〃-1粟，這樣得到的結(jié)論不一定

可靠?，F(xiàn)在我們嘗試著用數(shù)學(xué)歸納法給出嚴(yán)格的證明。

問(wèn)：第一步要做什么？

答：證明“當(dāng)n=l時(shí)命題成立?！?/p>

問(wèn)：證明“當(dāng)n=l時(shí)命題成立”到底是要證什么成立？

答:證明等式%=q+（"Dd成立。

師：（1）當(dāng)n=l時(shí)，左邊=4,右邊=/+（lTM=，，①式成立。

問(wèn)：第二步要做什么？

生：假設(shè)當(dāng)〃=啟色“〃<>，/€""）時(shí)命題成立，那么當(dāng)n=k+l時(shí)命題也成立。

問(wèn)：在這里條件是什么，要證明什么？

生：條件是等差數(shù)列｛2｝當(dāng)n=k時(shí)，①式成立。要證明當(dāng)"="+1時(shí)，①式也成

立。

師：（2）假設(shè)當(dāng)〃=以kN〃o，kwN"）時(shí)，①式成立，即

ak=a]+（k-\）d

由｛a_｝是等差數(shù)列，有

%-4=d,

于是

%=4+d

=q+(k—V)d+d

-a}+kd

即當(dāng)n=k+l時(shí)，①式也成立。

由(D(2)可知，①式對(duì)任何〃wN*都成立。

【設(shè)計(jì)意圖】呼應(yīng)了課前引入中的問(wèn)題，也使學(xué)生熟悉用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命

題的基本過(guò)程和規(guī)范表述。

【練習(xí)1]

1111Z/、13

試判斷-l+F+Q+…+^(〃eN)與五的大小。

士$1113

解：當(dāng)n=l時(shí)，左邊=幣=萬(wàn)〈五.

十1111713

當(dāng)n-?FH-13------1-----=—I—=—>—.

Mn-2盯，2+12+2341224

十、+1111113713

Mn-3W，3+13+23+34566024

…1111111153313

Mn-4盯，4+14+24+34+4567884024

歸納上述結(jié)果，猜想：

111113,/、

-----1------1-----F,??H------>—(nN2,riwN)

n+\71+2〃+3n+n24①

十法11713

證明：⑴當(dāng)n=2時(shí)，左邊=有+壬=方＞五，猜想成立?

⑵假設(shè)當(dāng)〃=m々22從€”"）時(shí)，猜想成立，即

111113

----------1-------------1------------F???H-----------

Z+lZ+2Z+3k+k24

那么

------------------1---------------------1--------------------F???d--------------------------1---------------------1------------------------

(A+1)+1(%+1)+2(々+1)+3(攵+1)+%-1(k+1)+&伏+1)+%+1

=-----------1----------F,?,H-------------1--------------------1-----------------------------

Z+2k+3k+kZ+攵+1攵+Z+2Z+1

13111

>------1------------------1-----------------------------

24Z+Z+lk+k+2攵+1

13111

=------1--------------1-------------------------

242Z+12k+2k+\

131113

-------1-------------------------->—

242Z+12k+224

即當(dāng)n=k+l時(shí)，猜想也成立。

由⑴⑵可知，猜想對(duì)任何〃€“(〃>2)都成立。

注：由此可以說(shuō)明，數(shù)學(xué)歸納法一定會(huì)有一個(gè)起始值”。，以這個(gè)起始值"。為首

項(xiàng)遞推出“。以后的每一項(xiàng)都成立。值得注意的是，這個(gè)起始值”。不一定是1,

類似于這道例題的起始值是2o

【設(shè)計(jì)意圖】這是一道探究題，

【小結(jié)】下面我們來(lái)構(gòu)建用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的結(jié)構(gòu)框圖。

?數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)

證明一個(gè)與正整數(shù)，，（，*"o，〃eN）有關(guān)的命題

⑴證明當(dāng)"％?CN,）（2）假設(shè)當(dāng)〃=貼2入心時(shí)命題

I時(shí)命片成立立.證明當(dāng)二二1時(shí)命題也成立.

對(duì)所有正整數(shù)N,命題都成立。

【設(shè)計(jì)意圖】構(gòu)建數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)框圖。借助結(jié)構(gòu)框圖使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)歸納

法的理解，結(jié)合框圖，逐層剖析，讓學(xué)生明白第一步是證明奠基性，第二步是證

明遞推性，深化對(duì)使用數(shù)學(xué)歸納法的操作程序的認(rèn)識(shí)，從而突出重點(diǎn)，攻克難點(diǎn)。

【練習(xí)2］用數(shù)學(xué)歸納法證明：

證明:

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=L,右邊=1-4=’,①式成立。

22,2

⑵假設(shè)當(dāng)〃=紅左GN*)時(shí),猜想成立,即