方法技巧專題練2-構(gòu)造全等三角形常用的五種方法

方法技巧專題練2構(gòu)造全等三角形常用的五種方法第十四章

全等三角形123451方法翻折法1．如圖，在△ABC中，BE是∠ABC的平分線，AD⊥BE，垂足為D.求證：∠2＝∠1＋∠C.如圖，延長(zhǎng)AD交BC于點(diǎn)F(相當(dāng)于將AB邊向下翻折，與BC邊重合，A點(diǎn)落在F點(diǎn)處，折痕為BE)．解：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠BDF＝90°.在△ABD和△FBD中，∵BE平分∠ABC，∴△ABD≌△FBD(ASA)．∴∠2＝∠DFB.又∵∠DFB＝∠1＋∠C，∴∠2＝∠1＋∠C.返回2方法構(gòu)造法2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于點(diǎn)E，其延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，連接DF.求證：∠ADC＝∠BDF.證明：如圖，過點(diǎn)B作BG⊥BC交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.∵∠ACB＝90°，∴∠2＋∠ACF＝90°.∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°.∴∠1＋∠ACF＝90°.∴∠1＝∠2.在△ACD和△CBG中，∴△ACD≌△CBG(ASA)．∴∠ADC＝∠G，CD＝BG.∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD.∴BD＝BG.又∵∠DBG＝90°，∠DBF＝45°，∴∠GBF＝∠DBG－∠DBF＝90°－45°＝45°.∴∠DBF＝∠GBF.在△BDF和△BGF中，∴△BDF≌△BGF(SAS)．∴∠BDF＝∠G.∴∠ADC＝∠BDF.3題點(diǎn)撥返回點(diǎn)撥：本題運(yùn)用了構(gòu)造法，通過作輔助線構(gòu)造△CBG，△BGF是解題的關(guān)鍵．返回3方法旋轉(zhuǎn)法3．如圖，在正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE＋DF＝EF，求∠EAF的度數(shù)．證明：如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得BH＝DF，連接AH.∵∠ABE＝90°，∠D＝90°，∴∠D＝∠ABH＝90°.在△ABH和△ADF中，∴△ABH≌△ADF(SAS)．∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF.∴∠BAH＋∠BAF＝∠DAF＋∠BAF，即∠HAF＝∠BAD＝90°.∵BE＋DF＝EF，∴BE＋BH＝EF，即HE＝EF.在△AEH和△AEF中，∴△AEH≌△AEF(SSS)．∴∠EAH＝∠EAF.∴∠EAF＝∠HAF＝45°.4題點(diǎn)撥返回點(diǎn)撥：圖中所作輔助線，相當(dāng)于將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AD邊與AB邊重合，得到△ABH.返回4方法倍長(zhǎng)中線法4．如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E是AD上一點(diǎn)，BE＝AC，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F.求證：∠AEF＝∠EAF.證明：如圖，延長(zhǎng)AD到M，使DM＝AD，連接BM.∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD.在△ADC和△MDB中，∴△ADC≌△MDB.(SAS)∴∠1＝∠M，AC＝MB.∵BE＝AC

，∴BE＝MB.∴∠M＝∠3，∴∠1＝∠3.∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠2，即∠AEF＝∠EAF.返回5方法截長(zhǎng)補(bǔ)短法5．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：CE＝BD證明：如圖，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于F.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEF＝90°.∵BD平分∠ABC，∴∠1＝∠2.又∵BE＝BE，∴△BEF≌△BEC.∴EF＝EC＝

CF.∵∠BAC＝90°，∠BEC＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠3＋∠5＝90°.∵∠4＝∠5，∴∠1＝∠3.∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAF＝90°.在△BAD