信號與系統(tǒng)第2章

第二章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析本章要點(diǎn)FFFFFFF常用典型信號連續(xù)時間信號的分解連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)單位沖激響應(yīng)卷積2.1常用典型信號一．實(shí)指數(shù)信號函數(shù)表示式為：

圖2.1實(shí)指數(shù)信號的波形二．復(fù)指數(shù)信號函數(shù)表示式為:由歐拉公式，可得

圖2.2復(fù)指數(shù)信號實(shí)部的波形

f(t)t0A-A根據(jù)、的不同取值，復(fù)指數(shù)信號可表示為下列幾種特殊信號：1．當(dāng)時，為直流信號；2．當(dāng)而時，為實(shí)指數(shù)信號；3．當(dāng)而時，稱為正弦指數(shù)信號，的周期信號。不難證明是周期為三．抽樣信號抽樣信號定義為圖2.3抽樣信號可以看出，（1）為偶函數(shù)；（2）當(dāng)時，的振幅衰減趨近于0；，（k為整數(shù)）；（3）信號滿足：

四、單位階躍函數(shù)unitstepfunction2.1常用典型信號奇異函數(shù)——是指函數(shù)本身或其導(dǎo)數(shù)（或積分）具有不連續(xù)點(diǎn)的函數(shù)。此函數(shù)在t=0處不連續(xù)，函數(shù)值未定義。1.定義。2.可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)3.、給函數(shù)的表示帶來方便tt(a)(b)(c)五、單位脈沖函數(shù)1、定義2.

=+六、符號函數(shù)Sgn(t)

1.定義2.七、單位斜變函數(shù)R(t)

1.定義八.

（1）1、定義unitimpulsefunction或(2)是偶函數(shù)2.的基本性質(zhì)

(1)篩選性:設(shè)f(t)為一連續(xù)函數(shù)，則有(3)沖擊函數(shù)的積分等于階躍函數(shù)九、1、定義tt

是這樣一種函數(shù)：當(dāng)t從負(fù)值趨于零時，它是一強(qiáng)度為無限大的正的沖激函數(shù)；當(dāng)t從正值趨于零時，它是一強(qiáng)度為無限大的負(fù)的沖激函數(shù)。2、分部積分

引入廣義函數(shù)后，瞬息物理現(xiàn)象則可由奇異函數(shù)來描述，例如：

例1.有始周期鋸齒波的分解2.2連續(xù)時間信號的分解

分解——將時間函數(shù)用若干個奇異函數(shù)之和來表示。timedomaindecomposeofsignal

例2.任意函數(shù)表示為階躍函數(shù)的積分FF動畫演示定義

設(shè)函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點(diǎn)把區(qū)間分成個小區(qū)間,各個小區(qū)間的長度依次為在每個小區(qū)間上任取一點(diǎn),作函數(shù)值與小區(qū)間長度的乘積，并作出和

記，如果不論對怎樣劃分，也不論在小區(qū)間上點(diǎn)怎樣取法,只要當(dāng)

時，

和S總趨于確定的極限I,這時我們稱這個極限I為函數(shù)f(x)在區(qū)間,[a,b]上的定積分（簡稱積分），記作

，即

例3.任意函數(shù)表示為沖激函數(shù)的積分.FF動畫演示

一、線性時不變系統(tǒng)的分析方法第一步：建立數(shù)學(xué)模型第二步：運(yùn)用數(shù)學(xué)工具去處理第三步：對所得的數(shù)學(xué)解給出物理解釋，賦予物理意義。

例一：對圖示電路列寫電流的微分方程。2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型解：由兩類約束關(guān)系，分別列兩回路方程得：回路1的KVL方程： 電阻R的伏安關(guān)系：整理后得：回路2的KVL方程：例2.對圖示電路，寫出激勵e(t)和響應(yīng)r(t)間的微分方程。解：由圖列方程

KCL:KVL:將（2）式兩邊微分，得將（3）代入（1）得*由以上例題可以得出如下結(jié)論：1.求得的微分方程階數(shù)與電路的階數(shù)一致。例一：含有4個儲能元件，故為四階電路。例二：含有2個儲能元件，故為二階電路。2.無論是電流i(t)或電壓U（t）,他們的齊次方程相同。說明同一系統(tǒng)的特征根相同，即自由頻率是唯一的。

二、描述連續(xù)時間系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

一般，對于一個線性系統(tǒng)，其輸入與輸出之間關(guān)系，總可以用下列形式的微分方程來描述：n階常系數(shù)微分方程三、n階常系數(shù)微分方程的求解法

thesolutionmethodforconstant-coefficientdifferenceequationofNth-order全響應(yīng)=齊次方程通解+非齊次方程特解（自由響應(yīng)）（受迫響應(yīng)）全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)（解齊次方程）（疊加積分法）

時域分析法（經(jīng)典法）變換域法（第五章拉普拉斯變換法）微分方程求解上次課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：第二章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1常用典型信號2.2連續(xù)時間信號的分解2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.4連續(xù)時間系統(tǒng)的時域模擬1.飛機(jī)-自動駕駛儀

飛機(jī)自動駕駛儀是一種能保持或改變飛機(jī)飛行狀態(tài)的自動裝置。它可以穩(wěn)定飛行的姿態(tài)、高度和航跡；可以操縱飛機(jī)爬高、下滑和轉(zhuǎn)彎。飛機(jī)與自動駕駛儀組成的自動控制系統(tǒng)稱為飛機(jī)-自動駕駛儀系統(tǒng)。1.飛機(jī)-自動駕駛儀2.函數(shù)記錄儀

函數(shù)記錄儀是一種通用的自動記錄儀，它可以在直角坐標(biāo)上自動描繪兩個電量的函數(shù)關(guān)系．同時，記錄儀還帶有走紙機(jī)構(gòu)，用以描繪一個電量對時間的函數(shù)關(guān)系。2.函數(shù)記錄儀①加法器:②標(biāo)量乘法器:③乘法器：4延時器：初始條件為零的積分器初始條件不為零的積分器5n階系統(tǒng)的模擬且m<n

時，

需引入一個輔助函數(shù)，

使其滿足就有

其模擬圖如下圖所示。

（不妨設(shè)m=n-1）一般n階系統(tǒng)的模擬圖前幾次課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：第二章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1常用典型信號2.2連續(xù)時間信號的分解2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

描述LTI連續(xù)系統(tǒng)激勵與響應(yīng)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型是n階線性常系數(shù)微分方程。上式縮寫為：2.5連續(xù)時間系統(tǒng)的響應(yīng)thetimedomainsolutionforlinearsystemresponse令

表2.1不同特征根所對應(yīng)的齊次解式中常數(shù)由初始條件確定。特解是滿足微分方程并和激勵信號形式有關(guān)的解。表2.2列出了幾種激勵及其所對應(yīng)特解的形式。備注B（常數(shù)）AA（待定常數(shù)）

不等于特征根

等于特征單根

重特征根

所有特征根均不等于零

重等于零的特征根激勵特解或等于A有所有特征根均不等于y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（1）當(dāng)f(t)=2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)=－1時的全解；解:(1)特征方程為λ2+5λ+6=0,其特征根λ1=–2，λ2=–3。

齊次解為yh(t)=C1e–2t+C2e–3t由表2.2可知，當(dāng)f(t)=2e–t時，其特解可設(shè)為YP(t)=Pe–t將其代入微分方程得Pe–t+5(–Pe–t)+6Pe–t=2e–t

解得P=1于是特解為yp(t)=e–t全解為：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t例描述某系統(tǒng)的微分方程為其中待定常數(shù)C1,C2由初始條件確定。y(0)=C1+C2+1=2，y’(0)=–2C1

–3C2–1=–1解得C1=3，C2=–2最后得全解y(t)=3e–2t

–2e–3t+e–tt≥0于是特解為yp(t)=e–t全解為：

y(t)=yh(t)+yp(t)=C1e–2t+C2e–3t+e–t（2）齊次解同（1）y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f(t)求（2）當(dāng)f(t)=e-2t，t≥0；y(0)=1，y’(0)=0時的全解。yh(t)=C1e–2t+C2e–3t當(dāng)激勵f(t)=e–2t時，其指數(shù)與特征根之一相重。由表2.2知：其特解為

yp(t)=(P1t+P0)e–2t代入微分方程可得

P1e-2t=e–2t,所以P1=1

但P0不能求得。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t將初始條件代入，得y(0)=(C1+P0)+C2=1，y’(0)=–2(C1+P0)–3C2+1=0解得C1+P0=2,C2=–1上式第一項(xiàng)的系數(shù)C1+P0=2，不能區(qū)分C1和P0，因而也不能區(qū)分自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。全解為y(t)=C1e–2t+C2e–3t+te–2t+P0e–2t=(C1+P0)e–2t+C2e–3t+te–2t全解為y(t)=2e–2t–e–3t+te–2tt≥0三．零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)的齊次解自由響應(yīng)式中零輸入響應(yīng)兩種分解方式的區(qū)別：1、自由響應(yīng)與零輸入響應(yīng)的系數(shù)各不相同與不相同由初始條件和激勵共同確定由初始條件確定2、自由響應(yīng)包含了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)中的齊次解

對于系統(tǒng)響應(yīng)還有一種分解方式，即瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。所謂瞬態(tài)響應(yīng)指時，響應(yīng)趨于零的那部分響應(yīng)分量；而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)指時，響應(yīng)不為零的那部分響應(yīng)分量。作業(yè)：2.1（1）、（6）、2.2、2.3、2.5、2.9、2.12、2.13、2.15、2.16（1）、（3）2.18零狀態(tài)2.6單位沖激響應(yīng)stepresponseandimpulseresponse一.沖激響應(yīng)1.定義：當(dāng)激勵為單位沖激函數(shù)時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡稱沖激響應(yīng)，用h(t)表示。（1）方法一：一、

LIT系統(tǒng)的沖激響應(yīng)求解方法由于及其各階導(dǎo)數(shù)在時全都等于零，于是上式右端在時等于零。2.6單位沖激響應(yīng)當(dāng)時可利用方程式兩端各奇異函數(shù)項(xiàng)系數(shù)相匹配的方法求得。

式中各待定系數(shù)和b2.6單位沖激響應(yīng)因此沖激響應(yīng)應(yīng)與方程的齊次解有相同的形式。若方程的特征根均為單根，則當(dāng)時試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解：因，則令等號兩邊對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等，有2.6單位沖激響應(yīng)（2）h(t)的求解方法二例1.描述某系統(tǒng)的微分方程為:試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解：由沖激響應(yīng)的定義，當(dāng)e(t)=時，2.6單位沖激響應(yīng)2.6單位沖激響應(yīng)2.6單位沖激響應(yīng)2.6單位沖激響應(yīng)試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解：2.6單位沖激響應(yīng)2.6單位沖激響應(yīng)2.6單位沖激響應(yīng)二、階躍響應(yīng)1.定義2.g(t)的求解方法另外：解2.7卷積一、杜阿美爾積分2.7卷積二、卷積積分2.7卷積2.7卷積2.7卷積1.定義：三、卷積及其性質(zhì)integralandtheproperty2.卷積的圖示0.5下頁動畫演示卷積卷積動畫3.卷積的性質(zhì)

(1)交換律：

(2)分配