數(shù)理統(tǒng)計復習題第八章

第七章假設檢驗三、典型題解例1：某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布.當機器正常時,其均值為0.5千克,標準差為0.015千克.某日開工后為檢驗包裝機是否正常0.4980.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問機器是否正常?解:根據(jù)樣本值判斷.提出兩個對立假設選擇統(tǒng)計量：取定，則又已知由樣本計算得，即有，于是拒絕假設,認為包裝機工作不正常.例2：某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進器的燃燒率服從正態(tài)分布，，現(xiàn)用新方法生產(chǎn)了一批推進器，從中隨機取只，測得燃燒率的樣本均值為.設在新方法下總體均方差仍為，問這批推進器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進器的燃燒率有顯著的提高？（取顯著性水平）解：根據(jù)題意需要檢驗假設（即假設新方法沒有提高了燃燒率）,（即假設新方法提高了燃燒率）,這是右邊檢驗問題，拒絕域為，由可得值落到拒絕域中故在顯著性水平下拒絕.即認為這批推進器的燃燒率較以往有顯著提高.例3：某切割機在正常工作時,切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標準差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15假定切割的長度服從正態(tài)分布,且標準差沒有變化,試問該機工作是否正常?（取顯著性水平）解：因為，要檢驗假設其中查表得于是，故接受，認為該機工作正常.例4：如果在例3中只假定切割的長度服從正態(tài)分布,問該機切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化?解：依題意均為未知，要檢驗假設，查分布表得：故接受，認為金屬棒的平均長度無顯著變化.例5：某種電子元件的壽命X(以小時計)服從正態(tài)分布,均為未知.現(xiàn)測得16只元件的壽命如下:問是否有理由認為元件的平均壽命大于225(小時)?解：依題意需檢驗假設取查表得：故接受，認為原件的平均壽命不大于225小時.例6：在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率,試驗是在同一只平爐上進行的.每煉一爐鋼時除操作方法外,其它條件都盡可能做到相同.先采用標準方法煉一爐,然后用建議的新方法煉一爐,以后交替進行,各煉10爐,其得率分別為(1)標準方法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3；(2)新方法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1；設這兩個樣本相互獨立,且分別來自正態(tài)總體，問建議的新操作方法能否提高得率?（?。┙猓盒枰獧z驗假設分別求出標準方法和新方法下的樣本均值和樣本方差：且查表可知查表7-1知其拒絕域因為所以拒絕即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).例7：有兩臺光譜儀Ix,Iy,用來測量材料中某種金屬的含量,為鑒定它們的測量結(jié)果有無顯著差異,制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同),現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次,得到9對觀察值如下:問能否認為這兩臺儀器的測量結(jié)果有顯著的差異?解：本題中的數(shù)據(jù)是成對的,即對同一試塊測出一對數(shù)據(jù),我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素,如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的.[這也表明不能將光譜儀Ix對9個試塊的測量結(jié)果(即表中第一行)看成是一個樣本,同樣也不能將表中第二行看成一個樣本,因此不能用表7-3中第1欄的檢驗法作檢驗].而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能的差異所引起的.這樣,局限于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素,而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.表中第三行表示各對數(shù)據(jù)的差設來自正態(tài)總體，這里，均為未知，若兩臺機器的性能一樣,則對各數(shù)據(jù)的差異屬隨機誤差隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布,其均值為零.要檢驗假設設的樣本均值樣本方差按表7-1中第1欄中關(guān)于單個正態(tài)分布均值的t檢驗,知拒絕域為：由可知所以接受認為這兩臺儀器，認為這兩臺儀器的測量結(jié)果無顯著的差異.例8:某廠生產(chǎn)的某種型號的電池,其壽命長期以來服從方差=5000()的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來看,壽命的波動性有所變化.現(xiàn)隨機的取26只電池,測出其壽命的樣本方差().問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化?（）解：要檢驗假設拒絕域為:因為，所以拒絕，認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化.例9:一自動車床加工零件的長度服從正態(tài)分布，原來加工精度，經(jīng)過一段時間生產(chǎn)后，抽取這車床所加工的個零件，測得數(shù)據(jù)如下所示：長度10.110.310.611.211.511.812.0頻數(shù)13710631問這一車床是否保持原來得加工精度.解：由題意要檢驗假設，此時我們只要考慮單側(cè)的情形，由題中所給的數(shù)據(jù)計算得：，對于給定的，查自由度為的分布分位數(shù)表得臨界值，此時，因此拒絕原假設，這說明自動車床工作一段時間后精度變差.對于單個正態(tài)總體有關(guān)方差檢驗的問題，我們可用—檢驗來解決，但如果要比較兩個正態(tài)總體的方差是否相等，我們就要用下面的—檢驗.例10:一枚骰子擲了100次，得結(jié)果如下表點數(shù)123456頻數(shù)131420171521在下，檢驗這枚骰子石頭均勻？解：用表示骰子擲出的點數(shù)，，.如果骰子是均勻的的，則，.檢驗假設：計算統(tǒng)計量的觀察值，得查表得.經(jīng)比較知故接受，認為骰子是均勻的.四、練習題1.某工廠在正常情況下生產(chǎn)電燈泡的使用壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布.某天從該廠生產(chǎn)的一批燈泡中隨機抽取10個，測得它們的壽命均值小時.如果燈泡壽命的標準差不變，能否認為該天生產(chǎn)的燈泡壽命均值小時？參考答案：，即認為該天生產(chǎn)的燈泡的壽命均值小時.2.某化學日用品有限責任公司用包裝機包裝洗衣粉,洗衣粉包裝機在正常工作時,裝包量(單位:),每天開工后,需先檢驗包裝機工作是否正常.某天開工后,在樁號的洗衣粉中任取9袋,其重量如下:假設總體標準差不變,即試問這天包裝機工作是否正常?參考答案：，3.已知某種電子元件的平均壽命為3000小時.采用新技術(shù)后抽查20個，測得電子元件壽命的樣本均值小時，樣本標準差小時.設電子元件的壽命服從正態(tài)分布，試問采用新技術(shù)后電子元件的平均壽命是否有顯著提高？(取顯著性水平)參考答案：，認為采用新技術(shù)后電子元件的平均壽命有顯著提高.4.某次考試學生成績服從正態(tài)分布，從中隨機抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5，標準差為15，在顯著性水平下，是否可認為這次考試全體考生的平均成績高于70分？參考答案：，故認為這次考試全體考生成績不高于70分.5.從甲地發(fā)送訊號到乙地，甲地發(fā)送的真實訊號值為，而乙地收到的訊號值是服從正態(tài)分布的隨機變量.現(xiàn)甲地重復發(fā)送同一訊號9次，乙地收到的訊號平均值為8.15，標準差為0.2，試問乙地是否有理由猜測甲地發(fā)送的訊號值為8？如果已知，結(jié)論又該如何呢？(取顯著性水平)參考答案：,即可猜測甲地發(fā)送的訊號值為8.6.自動車床加工的某種零件的直徑(單位：)服從正態(tài)分布，原來的加工精度.經(jīng)過一段時間后，需要檢驗是否保持原有加工精度，為此，從該車床加工的零件中抽取30個，測得數(shù)據(jù)如下：零件直徑9.29.49.69.810.010.210.410.610.8頻數(shù)113675421問加工精度是否變差(顯著性水平)？參考答案：,即可認為該自動車床的加工精度變差了.7.某燈泡廠在采用一種新工藝的前后，分別抽取10個燈泡進行壽命(單位：小時)檢測，計算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為2460，樣本標準差為56；采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為2550，樣本標準差為48.設燈泡的壽命服從正態(tài)分布，是否可以認為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高(取顯著性水平)?參考答案：因為未知方差未知，為此先檢驗假設，得,即認為兩者無顯著差異，再檢驗得，，可認為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高.8.機床廠某日從兩臺機器所加工的同一種零件中，分別抽取若干個測量其尺寸，得： 甲機器的： 乙機器的：問這兩臺機器的加工精度是否有顯著差異(）？參考答案：，即沒有發(fā)現(xiàn)兩臺機器加工零件的尺寸的精度有顯著性差別.9.某校畢業(yè)班歷年語文畢業(yè)成績接近今年畢業(yè)40名學生，平均分數(shù)76.4分，有人說這屆學生的語文水平和歷屆學生相比不相上下，這個說法能接受嗎（顯著性水平）？參考答案：，故可以認為這屆學生的語文水平和歷屆學生相比不相上下.10.某廠生產(chǎn)的電子元件，其電阻值服從正態(tài)分布，其平均電阻值，今該廠換了一種材料生產(chǎn)同類產(chǎn)品，從中抽查了20個，測得其樣本電阻均值為3.0，樣本標準差，問新材料生產(chǎn)的元件其平均電阻較之原來的元件的平均電阻是否有明顯的提高（）？參考答案：，認為換材料后電阻平均值有明顯提高.11.已知某種溶液中水分含量，要求平均水分含量不低于0.5%，今測定該溶液9個樣本，得到平均水分含量為0.451%，均方差S=0.039%試在顯著性水平下，檢驗溶液水分含量是否合格.參考答案：，即認為溶液水分含量低于，不合格.12.某車間生產(chǎn)銅絲，其中一個主要質(zhì)量指標是折斷力大小，用表示該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力，根據(jù)過去資料來看，可以認為服從，今換了一批原材料，從性能上看，估計折斷力的方差不會有什么大變化，但不知道折斷力的大小與原先有無差別？從現(xiàn)今產(chǎn)品中任取10根，測得折斷力數(shù)據(jù)如下：（單位：kg）.參考答案：先檢驗方差得，故認為方差無變化.在方差已知的條件下，檢驗，，得，故認為銅絲折斷力大小與原先有顯著性差異.13.為研究某地兩民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做了如下的獨立的隨機抽樣：民族甲：調(diào)查戶數(shù)，均值，方差民族甲：調(diào)查戶數(shù)，均值，方差試問能否認為甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口（顯著性水平，并認為家庭人口服從正態(tài)分布，且方差相等）？參考答案：，故認為甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口.14.某卷煙廠生產(chǎn)甲，乙兩種香煙，分別對它們的尼古丁含量（單位：毫克）作了測定，結(jié)果如下：甲：抽取子樣數(shù)為6，均值，方差乙：抽取子樣數(shù)為6，均值，方差試問這兩種香煙的尼姑丁含量有無顯著差異（顯著性水平，并認為這兩種煙的尼古丁含量都服從正態(tài)分布，且方差相等）？參考答案：，故認為兩種香煙尼姑丁含量無顯著差異.15.用兩種工藝生產(chǎn)的某種電子元件的抗擊穿強度和為隨機變量，分布分別為和（單位：V）.某日分別抽取9只和6只樣品，測得抗擊穿強度數(shù)據(jù)分別為和算得檢驗和的方差有無明顯差異（?。?參考答案：，認為的方差無明顯差異.16.需要比較兩種汽車用的燃料的辛烷值，得數(shù)據(jù)：燃料A808479768283848079828179燃料B7674787980798276