數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題第八章

第七章假設(shè)檢驗(yàn)三、典型題解例1：某車間用一臺(tái)包裝機(jī)包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個(gè)隨機(jī)變量,它服從正態(tài)分布.當(dāng)機(jī)器正常時(shí),其均值為0.5千克,標(biāo)準(zhǔn)差為0.015千克.某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常0.4980.5060.5180.5240.4980.5110.5200.5150.512,問機(jī)器是否正常?解:根據(jù)樣本值判斷.提出兩個(gè)對(duì)立假設(shè)選擇統(tǒng)計(jì)量：取定，則又已知由樣本計(jì)算得，即有，于是拒絕假設(shè),認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.例2：某工廠生產(chǎn)的固體燃料推進(jìn)器的燃燒率服從正態(tài)分布，，現(xiàn)用新方法生產(chǎn)了一批推進(jìn)器，從中隨機(jī)取只，測得燃燒率的樣本均值為.設(shè)在新方法下總體均方差仍為，問這批推進(jìn)器的燃燒率是否較以往生產(chǎn)的推進(jìn)器的燃燒率有顯著的提高？（取顯著性水平）解：根據(jù)題意需要檢驗(yàn)假設(shè)（即假設(shè)新方法沒有提高了燃燒率）,（即假設(shè)新方法提高了燃燒率）,這是右邊檢驗(yàn)問題，拒絕域?yàn)?，由可得值落到拒絕域中故在顯著性水平下拒絕.即認(rèn)為這批推進(jìn)器的燃燒率較以往有顯著提高.例3：某切割機(jī)在正常工作時(shí),切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm,標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm,今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取15假定切割的長度服從正態(tài)分布,且標(biāo)準(zhǔn)差沒有變化,試問該機(jī)工作是否正常?（取顯著性水平）解：因?yàn)?，要檢驗(yàn)假設(shè)其中查表得于是，故接受，認(rèn)為該機(jī)工作正常.例4：如果在例3中只假定切割的長度服從正態(tài)分布,問該機(jī)切割的金屬棒的平均長度有無顯著變化?解：依題意均為未知，要檢驗(yàn)假設(shè)，查分布表得：故接受，認(rèn)為金屬棒的平均長度無顯著變化.例5：某種電子元件的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從正態(tài)分布,均為未知.現(xiàn)測得16只元件的壽命如下:問是否有理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225(小時(shí))?解：依題意需檢驗(yàn)假設(shè)取查表得：故接受，認(rèn)為原件的平均壽命不大于225小時(shí).例6：在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會(huì)增加鋼的得率,試驗(yàn)是在同一只平爐上進(jìn)行的.每煉一爐鋼時(shí)除操作方法外,其它條件都盡可能做到相同.先采用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐,然后用建議的新方法煉一爐,以后交替進(jìn)行,各煉10爐,其得率分別為(1)標(biāo)準(zhǔn)方法:78.1,72.4,76.2,74.3,77.4,78.4,76.0,75.5,76.7,77.3；(2)新方法:79.1,81.0,77.3,79.1,80.0,78.1,79.1,77.3,80.2,82.1；設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立,且分別來自正態(tài)總體，問建議的新操作方法能否提高得率?（?。┙猓盒枰獧z驗(yàn)假設(shè)分別求出標(biāo)準(zhǔn)方法和新方法下的樣本均值和樣本方差：且查表可知查表7-1知其拒絕域因?yàn)樗跃芙^即認(rèn)為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu).例7：有兩臺(tái)光譜儀Ix,Iy,用來測量材料中某種金屬的含量,為鑒定它們的測量結(jié)果有無顯著差異,制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同),現(xiàn)在分別用這兩臺(tái)機(jī)器對(duì)每一試塊測量一次,得到9對(duì)觀察值如下:問能否認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測量結(jié)果有顯著的差異?解：本題中的數(shù)據(jù)是成對(duì)的,即對(duì)同一試塊測出一對(duì)數(shù)據(jù),我們看到一對(duì)與另一對(duì)之間的差異是由各種因素,如材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的.[這也表明不能將光譜儀Ix對(duì)9個(gè)試塊的測量結(jié)果(即表中第一行)看成是一個(gè)樣本,同樣也不能將表中第二行看成一個(gè)樣本,因此不能用表7-3中第1欄的檢驗(yàn)法作檢驗(yàn)].而同一對(duì)中兩個(gè)數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺(tái)儀器性能的差異所引起的.這樣,局限于各對(duì)中兩個(gè)數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素,而只考慮單獨(dú)由儀器的性能所產(chǎn)生的影響.表中第三行表示各對(duì)數(shù)據(jù)的差設(shè)來自正態(tài)總體，這里，均為未知，若兩臺(tái)機(jī)器的性能一樣,則對(duì)各數(shù)據(jù)的差異屬隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差可以認(rèn)為服從正態(tài)分布,其均值為零.要檢驗(yàn)假設(shè)設(shè)的樣本均值樣本方差按表7-1中第1欄中關(guān)于單個(gè)正態(tài)分布均值的t檢驗(yàn),知拒絕域?yàn)椋河煽芍越邮苷J(rèn)為這兩臺(tái)儀器，認(rèn)為這兩臺(tái)儀器的測量結(jié)果無顯著的差異.例8:某廠生產(chǎn)的某種型號(hào)的電池,其壽命長期以來服從方差=5000()的正態(tài)分布,現(xiàn)有一批這種電池,從它生產(chǎn)情況來看,壽命的波動(dòng)性有所變化.現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池,測出其壽命的樣本方差().問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化?（）解：要檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)?因?yàn)椋跃芙^，認(rèn)為這批電池的壽命的波動(dòng)性較以往的有顯著的變化.例9:一自動(dòng)車床加工零件的長度服從正態(tài)分布，原來加工精度，經(jīng)過一段時(shí)間生產(chǎn)后，抽取這車床所加工的個(gè)零件，測得數(shù)據(jù)如下所示：長度10.110.310.611.211.511.812.0頻數(shù)13710631問這一車床是否保持原來得加工精度.解：由題意要檢驗(yàn)假設(shè)，此時(shí)我們只要考慮單側(cè)的情形，由題中所給的數(shù)據(jù)計(jì)算得：，對(duì)于給定的，查自由度為的分布分位數(shù)表得臨界值，此時(shí)，因此拒絕原假設(shè)，這說明自動(dòng)車床工作一段時(shí)間后精度變差.對(duì)于單個(gè)正態(tài)總體有關(guān)方差檢驗(yàn)的問題，我們可用—檢驗(yàn)來解決，但如果要比較兩個(gè)正態(tài)總體的方差是否相等，我們就要用下面的—檢驗(yàn).例10:一枚骰子擲了100次，得結(jié)果如下表點(diǎn)數(shù)123456頻數(shù)131420171521在下，檢驗(yàn)這枚骰子石頭均勻？解：用表示骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，，.如果骰子是均勻的的，則，.檢驗(yàn)假設(shè)：計(jì)算統(tǒng)計(jì)量的觀察值，得查表得.經(jīng)比較知故接受，認(rèn)為骰子是均勻的.四、練習(xí)題1.某工廠在正常情況下生產(chǎn)電燈泡的使用壽命（單位：小時(shí)）服從正態(tài)分布.某天從該廠生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取10個(gè)，測得它們的壽命均值小時(shí).如果燈泡壽命的標(biāo)準(zhǔn)差不變，能否認(rèn)為該天生產(chǎn)的燈泡壽命均值小時(shí)？參考答案：，即認(rèn)為該天生產(chǎn)的燈泡的壽命均值小時(shí).2.某化學(xué)日用品有限責(zé)任公司用包裝機(jī)包裝洗衣粉,洗衣粉包裝機(jī)在正常工作時(shí),裝包量(單位:),每天開工后,需先檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常.某天開工后,在樁號(hào)的洗衣粉中任取9袋,其重量如下:假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差不變,即試問這天包裝機(jī)工作是否正常?參考答案：，3.已知某種電子元件的平均壽命為3000小時(shí).采用新技術(shù)后抽查20個(gè)，測得電子元件壽命的樣本均值小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí).設(shè)電子元件的壽命服從正態(tài)分布，試問采用新技術(shù)后電子元件的平均壽命是否有顯著提高？(取顯著性水平)參考答案：，認(rèn)為采用新技術(shù)后電子元件的平均壽命有顯著提高.4.某次考試學(xué)生成績服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)抽取36位考生的成績，算得平均成績?yōu)?6.5，標(biāo)準(zhǔn)差為15，在顯著性水平下，是否可認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績高于70分？參考答案：，故認(rèn)為這次考試全體考生成績不高于70分.5.從甲地發(fā)送訊號(hào)到乙地，甲地發(fā)送的真實(shí)訊號(hào)值為，而乙地收到的訊號(hào)值是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量.現(xiàn)甲地重復(fù)發(fā)送同一訊號(hào)9次，乙地收到的訊號(hào)平均值為8.15，標(biāo)準(zhǔn)差為0.2，試問乙地是否有理由猜測甲地發(fā)送的訊號(hào)值為8？如果已知，結(jié)論又該如何呢？(取顯著性水平)參考答案：,即可猜測甲地發(fā)送的訊號(hào)值為8.6.自動(dòng)車床加工的某種零件的直徑(單位：)服從正態(tài)分布，原來的加工精度.經(jīng)過一段時(shí)間后，需要檢驗(yàn)是否保持原有加工精度，為此，從該車床加工的零件中抽取30個(gè)，測得數(shù)據(jù)如下：零件直徑9.29.49.69.810.010.210.410.610.8頻數(shù)113675421問加工精度是否變差(顯著性水平)？參考答案：,即可認(rèn)為該自動(dòng)車床的加工精度變差了.7.某燈泡廠在采用一種新工藝的前后，分別抽取10個(gè)燈泡進(jìn)行壽命(單位：小時(shí))檢測，計(jì)算得到：采用新工藝前燈泡壽命的樣本均值為2460，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為56；采用新工藝后燈泡壽命的樣本均值為2550，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為48.設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布，是否可以認(rèn)為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高(取顯著性水平)?參考答案：因?yàn)槲粗讲钗粗?，為此先檢驗(yàn)假設(shè)，得,即認(rèn)為兩者無顯著差異，再檢驗(yàn)得，，可認(rèn)為采用新工藝后燈泡的平均壽命有顯著提高.8.機(jī)床廠某日從兩臺(tái)機(jī)器所加工的同一種零件中，分別抽取若干個(gè)測量其尺寸，得： 甲機(jī)器的： 乙機(jī)器的：問這兩臺(tái)機(jī)器的加工精度是否有顯著差異(）？參考答案：，即沒有發(fā)現(xiàn)兩臺(tái)機(jī)器加工零件的尺寸的精度有顯著性差別.9.某校畢業(yè)班歷年語文畢業(yè)成績接近今年畢業(yè)40名學(xué)生，平均分?jǐn)?shù)76.4分，有人說這屆學(xué)生的語文水平和歷屆學(xué)生相比不相上下，這個(gè)說法能接受嗎（顯著性水平）？參考答案：，故可以認(rèn)為這屆學(xué)生的語文水平和歷屆學(xué)生相比不相上下.10.某廠生產(chǎn)的電子元件，其電阻值服從正態(tài)分布，其平均電阻值，今該廠換了一種材料生產(chǎn)同類產(chǎn)品，從中抽查了20個(gè)，測得其樣本電阻均值為3.0，樣本標(biāo)準(zhǔn)差，問新材料生產(chǎn)的元件其平均電阻較之原來的元件的平均電阻是否有明顯的提高（）？參考答案：，認(rèn)為換材料后電阻平均值有明顯提高.11.已知某種溶液中水分含量，要求平均水分含量不低于0.5%，今測定該溶液9個(gè)樣本，得到平均水分含量為0.451%，均方差S=0.039%試在顯著性水平下，檢驗(yàn)溶液水分含量是否合格.參考答案：，即認(rèn)為溶液水分含量低于，不合格.12.某車間生產(chǎn)銅絲，其中一個(gè)主要質(zhì)量指標(biāo)是折斷力大小，用表示該車間生產(chǎn)的銅絲的折斷力，根據(jù)過去資料來看，可以認(rèn)為服從，今換了一批原材料，從性能上看，估計(jì)折斷力的方差不會(huì)有什么大變化，但不知道折斷力的大小與原先有無差別？從現(xiàn)今產(chǎn)品中任取10根，測得折斷力數(shù)據(jù)如下：（單位：kg）.參考答案：先檢驗(yàn)方差得，故認(rèn)為方差無變化.在方差已知的條件下，檢驗(yàn)，，得，故認(rèn)為銅絲折斷力大小與原先有顯著性差異.13.為研究某地兩民族間家庭規(guī)模是否有所不同，各做了如下的獨(dú)立的隨機(jī)抽樣：民族甲：調(diào)查戶數(shù)，均值，方差民族甲：調(diào)查戶數(shù)，均值，方差試問能否認(rèn)為甲民族的家庭平均人口高于乙民族的家庭平均人口（顯著性水平，并認(rèn)為家庭人口服從正態(tài)分布，且方差相等）？參考答案：，故認(rèn)為甲民族的家庭平均人口高于不乙民族的家庭平均人口.14.某卷煙廠生產(chǎn)甲，乙兩種香煙，分別對(duì)它們的尼古丁含量（單位：毫克）作了測定，結(jié)果如下：甲：抽取子樣數(shù)為6，均值，方差乙：抽取子樣數(shù)為6，均值，方差試問這兩種香煙的尼姑丁含量有無顯著差異（顯著性水平，并認(rèn)為這兩種煙的尼古丁含量都服從正態(tài)分布，且方差相等）？參考答案：，故認(rèn)為兩種香煙尼姑丁含量無顯著差異.15.用兩種工藝生產(chǎn)的某種電子元件的抗擊穿強(qiáng)度和為隨機(jī)變量，分布分別為和（單位：V）.某日分別抽取9只和6只樣品，測得抗擊穿強(qiáng)度數(shù)據(jù)分別為和算得檢驗(yàn)和的方差有無明顯差異（取）.參考答案：，認(rèn)為的方差無明顯差異.16.需要比較兩種汽車用的燃料的辛烷值，得數(shù)據(jù)：燃料A808479768283848079828179燃料B7674787980798276