2021-2022學年上海市長寧區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷（一模）（解析版）

2021-2022學年上海市長寧區(qū)九年級第一學期期末數(shù)學試卷（一

模）

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）（每題只有一個正確選項，在答題紙

相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂）

1.已知在△ABC中，ZC=90°,ZA=a,AB=c,那么BC的長為（）

A.c*sinaB.cetanaC.----------D.cecota

cosa

2.如果向量W與向量E方向相反，且3|』=后1，那么向量Z用向量E表示為（）

-?-?-?-?f1-*f1-*

ABc

-a=3b-a=-3b-a=ybD.a=^-b

3.如圖，已知〃跖，AD：A尸=3：5,BE=12,那么CE的長等于（）

一55

4.拋物線y=ax2+6x+c（其中。>0、b<0、c>0）一定不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

5.下列命題中，說法正確的是（）

A.所有菱形都相似

B.兩邊對應成比例且有一組角對應相等的兩個三角形相似

C.三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊距離的兩倍

D.斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似

6.如圖，點E是線段BC的中點，NB=NC=NAED,下列結論中，說法錯誤的是（）

A.ZVIBE與△EC￡>相似B./XABE與△AED相似

C.—D./BAE=/ADE

AEAD

二、填空題（本大題共12題，每瓶4分，滿分36分）【在答題紙相應題號后的空格內(nèi)直

接填寫答案】

7.已知三皇，那么上紅的值為

8.拋物線y=2x2-1的頂點坐標是.

9.在比例尺為1：10000的地圖上，相距5厘米的兩地實際距離為千米.

10.已知點C是線段A8的黃金分割點，如果AOBC,BC=2,貝|AC=.

11.如果兩個相似三角形周長之比為3：2,那么這兩個三角形的面積之比為.

12.點G是△ABC的重心，過點G作BC邊的平行線與A8邊交于點E,與AC邊交于點F

則黑=

BC------

13.如圖，小明沿著坡度z,=l：2.4的坡面由2到A直行走了13米時，他上升的高度AC=

14.已知拋物線>="2+法-2（出;>0）與y軸交于點A,過點A作x軸的平行線交抽物線

于點8,若A8=2,則點8坐標為.

15.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載：“今有邑方不知大小，各中開門.出北門三十

步有木，出西門七百五十步有木.問邑方幾何？”示意圖如圖，正方形ABCD中，F(xiàn)、G

分別是AD和A8的中點，EFLAD,EF=30,GH±AB,GH=15Q,且即過點A,

2

16.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,tanZBAC=—,CD是斜邊AB上的中線，點、E

2

是直線AC左側一點，聯(lián)結AE、CE、ED,若EC，C。，NEAC=NB,則甘?■的值

SAABC

為_______

17.定義：在△ABC中，點。和點E分別在AB邊、AC邊上，S.DE//BC,點。、點E之

間距離與直線。E與直線BC間的距離之比稱為QE關于8C的橫縱比.已知，在AABC

中，BC=4,BC上的高長為3,OE關于BC的橫縱比為2：3,則。E=.

18.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=3,點。、E分別在AC邊和AB邊上，沿

著直線翻折△ADE,點A落在BC邊上，記為點R如果CP=1,貝UBE=

三、解答題（本大題共7題，滿分78分）【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位

置上】

2sin600-tan450

19.計算：cot30°

sin300+cos2450

20.拋物線y=-N+bx+c經(jīng)過點A(0,3),B(-1,0).

（1）求拋物線的表達式及其頂點坐標.

（2）填空：如果將該拋物線平移，使它的頂點移到點A的位置，那么其平移的過程

是,平移后的拋物線表達式是.

21.如圖，在梯形A8CD中，AB//CD,且AB：C￡）=3：2,點E是邊CD的中點，聯(lián)結BE

交對角線AC于點E若筋=7，AD=n-

（1）用n、n表不AC、AF;

（2）求作而在正、正方向上的分向量.

(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量)

22.如圖，某種路燈燈柱垂直于地面，與燈桿A2相連.已知直線AB與直線的夾角

是76°,在地面點。處測得點A的仰角是53°,點8仰角是45°,點A與點。之間的

距離為3.5米.

求：(1)點A到地面的距離；

(2)48的長度.(精確到0.1米)

(參考數(shù)據(jù)：sin53°-0.8,cos53°-0.6,sin76°=0.97,cos76°—0.24)

23.如圖，線段2。是△ABC的角平分線，點E、點廠分別在線段AC的延長線上,

聯(lián)結AE、BF,^.AB-BD=BC'BE.

(1)求證：AD=AE；

(2)如果8尸=。尸，求證：AF-CD=AE-DF.

24.拋物線>="2+2。龍+。與x軸相交于A、8兩點(點A在點8左側),與y軸交于點C

(0,3),其頂點。的縱坐標為4.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)求NAC8的正切值；

(3)點尸在線段C5的延長線上，且NA尸求。尸的長.

孫

1-

_??????,

~01x

25.已知，在△ABC中，AB=AC=5f3C=8,點E是射線CA上的動點，點。是邊3c上

的動點，且OC=OE,射線OE交射線5A于點D

(1)如圖，如果OC=2,求迪的值；

^AODB

(2)聯(lián)結AO,如果△AEO是以AE為腰的等腰三角形，求線段OC的長；

(3)當點E在邊AC上時，聯(lián)結BE、CD,ZDBE=ZCDO,求線段OC的長.

備用圖備用圖

參考答案

一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）（每題只有一個正確選項，在答題紙

相應題號的選項上用2B鉛筆正確填涂）

1.已知在△ABC中，ZC=90°,ZA=a,AB=c,那么的長為（）

c

A.cesinaB.cetanaC.----------D.c*cota

cosa

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的正弦值計算即可.

解：在RtZXABC中，sinA=—,

AB

BC=c*sina

故選：A.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握并區(qū)分銳角三角函數(shù)的正弦，余弦，正切

是解題的關鍵.

2.如果向量Z與向量E方向相反，且3|口=后|,那么向量;用向量E表示為（）

一———f1-*f1-*

A?=3bB.=-3bC.at\rb

aaoo

【分析】由向量■；與向量E方向相反，且3|』=￡1，可得；==總繼而求得答案.

解：,.響量之與向量E方向相反，且31』=后

,',3a=-b-

.-17

..ap

故選：D.

【點評】此題考查了平面向量的知識.注意根據(jù)題意得到3彳=-三是解此題的關鍵.

3.如圖，已知AB〃CO〃ERAD：AF=3：5,BE=12,那么CE的長等于（）

A.2B.424

~5

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到怨=巽，即當■=￥!，可計算出BC,然后利用

AFBE512

CE=BE-BC進行1計算.

9

解：：AB//CD//EFf

.ADBC0n3BC

AFBE512

：.CE=BE-BC=\2--.

55

故選：c.

【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成

比例.

4.拋物線y=ax2+6x+c（其中。>0、b<0、c>0）一定不經(jīng)過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根據(jù)已知條件“。>0,b<0,c>0”判斷出該函數(shù)圖象的開口方向、與x和y

軸的交點、對稱軸所在的位置，然后據(jù)此來判斷它的圖象一定不經(jīng)過第三象限.

解：①：a>0、c>0,

該拋物線開口方向向上，且與y軸交于正半軸；

②：a>0,b<0,

.?.二次函數(shù)>=62+次+。的函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-餐>0,

二次函數(shù)y=ox2+?+c的函數(shù)圖象的對稱軸在第一象限；

綜合①②，二次函數(shù)>=。尤2+法+<?的圖象一定不經(jīng)過第三象限.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系.根據(jù)二次函數(shù)y^ax^+bx+c系數(shù)符號判

斷拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù).

5.下列命題中，說法正確的是（）

A.所有菱形都相似

B.兩邊對應成比例且有一組角對應相等的兩個三角形相似

C.三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊距離的兩倍

D.斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似

【分析】利用菱形的性質、相似三角形的判定方法、三角形的重心的性質等知識分別判

斷后即可確定正確的選項.

解：4所有的菱形不相似，故錯誤，不符合題意；

8、兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故錯誤，不符合題意；

C、三角形的重心到一個頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍，故錯誤，不符合題意;

。、斜邊和直角邊對應成比例的兩個直角三角形是相似的，故該選項正確，符合題意；

故選：D.

【點評】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解菱形的性質、相似三角形的判定

方法、三角形的重心的性質等知識，難度不大.

6.如圖，點E是線段BC的中點，/B=/C=/AED,下列結論中，說法錯誤的是（）

A.△ABE與相似B.△ABE與相似

ARAF

C.—D.NBAE=/ADE

AEAD

【分析】證明△BAES2XCEZ),AABE^AAED,可得結論.

解：,；/AEC=/AED+DEC=/B+/BAE,NB=NAED,

：.ZDEC=/BAE,

:ABAEsXCED,

.AB=AE

??瓦―西

；BE=CE,

.AB=AE

'■一應’

.AB=BE

"AE-DE，

?；NB=ZAED,

：.AABE^^AED,

.AB=AE

'*AE-AD，

故選項A,B,C正確，

故選：D.

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形

解決問題.

二、填空題（本大題共12題，每頑4分，滿分36分）【在答題紙相應題號后的空格內(nèi)直

接填寫答案】

7.已知三皇，那么正的值為3.

y2x+y一

【分析】由已知可得y=2x,代入所求的代數(shù)式可得答案.

解：：W型，

y2

.\y=2x,

?_2x_=_2x_=_2

**x+yx+2x3

故答案為：

o

【點評】本題考查比例的基本性質，根據(jù)已知得到y(tǒng)=2r是解題關鍵.

8.拋物線丫=2爐-1的頂點坐標是（0,-1）.

【分析】利用頂點坐標公式直接求解.

解：根據(jù)頂點坐標公式，

得頂點橫坐標為天=--^=0,

2a

縱坐標為y=4ac-b.=-1,即（0,-1）.

4a

【點評】主要考查了求拋物線的頂點坐標、對稱軸的方法.

9.在比例尺為1：10000的地圖上，相距5厘米的兩地實際距離為0.5千米.

【分析】比例尺=圖上距離：實際距離，根據(jù)題意列出等式即可得出實際的距離.

解：根據(jù)：比例尺=圖上距離：實際距離，

設兩地實際距離為無厘米，得：1：10000=5：x,

相距5厘米的兩地的實際距離是5X10000=50000（厘米）=0.5（千米），

故答案為：05

【點評】本題考查了比例線段.能夠根據(jù)比例尺正確進行計算，注意單位的轉換.

10.已知點C是線段A8的黃金分割點，如果ACABC,BC=2,則AC=?+1.

【分析】先根據(jù)黃金比值為逅工求出A3與AC的關系，再列式計算即可.

2

解：：點C是線段A8的黃金分割點，AOBC,BC=2,

：.AC~在“AB,

2

'：AB-AC=BC,

：.AB-卬5-1AB=2,

2

解得：AB=3+泥，

則AC=AB-BC=J^+1,

故答案為：

【點評】本題考查的是黃金分割，熟記黃金比值為痣二是解題的關鍵.

2

11.如果兩個相似三角形周長之比為3：2,那么這兩個三角形的面積之比為9：4.

【分析】已知了兩個相似三角形的周長比，即可得到它們的相似比，由于相似三角形的

面積比等于相似比的平方，由此得解.

解：???兩個相似三角形的周長之比為3：2,

...它們的相似比為3：2,

它們的面積比為9：4,

故答案為:9：4.

【點評】此題考查的是相似三角形的性質：相似三角形的周長比等于相似比，面積比等

于相似比的平方.

12.點G是△ABC的重心，過點G作BC邊的平行線與A8邊交于點E,與AC邊交于點F

【分析】連接AG交于點。，由斯〃BC,可得當■=《=,又由G是△ABC的重心,

ADBD

可得里=答，再由。是BC的中點，可得黑=?1.

AD3BC3

解：連接AG交8C于點。，

\'EF//BC,

.AG=EG

"AD-BD，

：G是△ABC的重心,

.AG2

??，

AD3

???。是中點，

,EG=EF

,?麗―而‘

.EF_2

??'，

BC3

故答案為：

o

【點評】本題考查三角形重心定理，熟練掌握三角形重心定理，靈活應用平行線的性質

是解題的關鍵.

13.如圖，小明沿著坡度i=l：2.4的坡面由8到A直行走了13米時，他上升的高度AC=

【分析】由坡度易得AC與8c的比為1：2.4,設出相應未知數(shù)，利用勾股定理可得AC

的長度.

解：??,坡度=1：2.4,

與2C的比為1：2.4,

設4。=尤米，則BC—2AX米，

由勾股定理，得N+(2.4x)2=132.

解得x=5.

故答案為：5.

【點評】本題考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意義是解決本題的關鍵.

14.已知拋物線y=a尤2+反-2(°6>0)與y軸交于點A,過點A作x軸的平行線交抽物線

于點8,若AB=2,則點8坐標為（2,-2）.

【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點A坐標，進而再根據(jù)拋物線的對稱性求出點B坐標.

解：：^二加+加；-2（ab>0）與y軸交于點A,過點A作x軸的平行線交抽物線于點8,

：.A（0,-2）,A、8關于對稱軸對稱，

?：AB=2,

...點3坐標為（2,-2）,

故答案為：（2,-2）.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟知二次函數(shù)的

對稱性是解題的關鍵.

15.我國古代數(shù)學著作《九章算術》中記載：“今有邑方不知大小，各中開門.出北門三十

步有木，出西門七百五十步有木.問邑方幾何？”示意圖如圖，正方形48。中，F(xiàn)、G

分別是AO和的中點，EFLAD,EF=33GH1AB,GH=750,且EH過點A,

那么正方形ABCZ）的邊長為300.

【分析】根據(jù)題意，可知從而可以得到對應邊的比相等，從而可以求

得正方形的邊長.

解：：尸、G分別是和A8的中點，AD=AB,

：.AF=—AD,AG=—AB,

22

：.AF=AG,

由題意可得，△AEFsLHAG,

.FE=AF

,?瓦一而‘

即A產(chǎn)=30X750=22500,

解得：A尸=150,

：.AD=2AF=300

故答案是：300.

【點評】本題考查相似三角形的應用、數(shù)學常識、正方形的性質，解答本題的關鍵是明

確題意.利用相似三角形的性質和數(shù)形結合的思想解答.

16.如圖，在RtZsABC中，ZACB=90°,tanZBAC=—,CD是斜邊AB上的中線，點E

2

是直線AC左側一點，聯(lián)結AE、CE、ED,若ECLCZ),ZEAC=ZB,則誓更■的值為

SAABC

13

【分析】先由NEC￡)=/ACB=90°,得出/ECA=NBC。，又NEAC=/B,根據(jù)兩角

對應相等的兩三角形相似得出△ACES^BC。，再由相似三角形的對應邊成比例得出

CE：CD=AC：BC,即CD：BC=CE：AC,y.ZECD=ZACB,根據(jù)兩邊對應成比例且

夾角相等的兩三角形相似得出由tanZBAC=p根據(jù)正切函數(shù)的定義

設BC=3k,則AC=2k,由勾股定理求出AB=^k,再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線

等于斜邊的一半得出CD=運鼠然后由相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求

2

解.

解：-ECLCD,

：.ZECD=ZACB=90°,

ZECD-ZACD=ZACB-ZACD,

即NEC4=NBCO,

又???NEAC=N3,

???AACESABCD,

：.CE：CD=AC：BC,

ACD：BC=CE：AC.

.,.△CDEsACBA；,

在直角△ABC中，VZACB=90°,tanZBAC=—=—,

AC2

可設BC=3上則AC=2Z,

?1-AB=VBC2+AC2=

:點。是斜邊AB的中點，

.,.CD=LB=義亙左.

22

,:ACDEsACBA,

...S^CDE—（CD）2=k）2—13

S

ACBACBgk36

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，直角三角形的性質，三角函

數(shù)的定義，有一定難度.（1）中證明出根據(jù)相似三角形的對應邊成比

例得出CDBC=CE：AC是解題的關鍵.

17.定義：在△A8C中，點。和點E分別在AB邊、AC邊上，S.DE//BC,點。、點E之

間距離與直線DE與直線BC間的距離之比稱為。E關于8C的橫縱比.已知，在AABC

中，BC=4,3c上的局長為3,OE關于8C的橫縱比為2：3,則。E=《.

一3一

【分析】先證明△ABCS^ADE,由相似三角形的性質可求解.

解：???OE關于8c的橫縱比為2：3,

，設點。、點E之間距離為2x,直線。E與直線BC間的距離為3x,DE//BC,

：.AABCSLADE,

.2x_3-3x

??，

43

._2

??x---,

3

4

：.DE=2x=—,

3

故答案為：M.

【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質，理解“橫縱比”的定義并運用是解題的

關鍵.

18.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=3,點。、E分別在AC邊和AB邊上，沿

著直線OE翻折△的＞￡,點A落在2C邊上，記為點憶如果CB=1,則BE=上叵

—4―

【分析】過尸作FGL43于點G.先求出42=3血，BF=3-1=2.貝U八7=33=浮2尸

=近,所以AG=A8-8G=3?-y=2&,設AE=x,貝|跖=無，EG=2?-x,在

心△EGF中，EG+F（?=EF,利用勾股定理解列出（2血-尤）2+（加）2=x2,解得x

即求出BE.

解：過/作FGLA8于點G.

VZC=90°,AC=BC=3,CF=\,

：.AB=3近,BF=3-1=2.

：.FG=GB=^-BF=-/2,

J.AG=AB-BG=3舵-&=2&,

設AE=x,貝ij￡P=x,EG=2版-x,

在RtZiEGF中，

EG2+FG2=EF2,

即（2?-尤）2+（衣）』爐，

解得x=^\[2,

：.BE=AB-AE=3&-

44

故答案為：

4

A

【點評】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練運用勾

股定理，屬于中考?？碱}型.

三、解答題(本大題共7題，滿分78分)【將下列各題的解答過程，做在答題紙的相應位

置上】

2sin600-tan450

19.計算：cot30°

sin300+cos2450

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計算即可.

2sin600-tan450

解：cot30°

sin300+cos2450

9X--1

=?-(我-1)

=1.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關鍵.

20.拋物線y=-N+bx+c經(jīng)過點A(0,3),B(-1,0).

(1)求拋物線的表達式及其頂點坐標.

(2)填空:如果將該拋物線平移，使它的頂點移到點A的位置，那么其平移的過程是向

左平移1個單位，再向下平移1個單位，平移后的拋物線表達式是丫=-爐+3.

【分析】(1)把A(0,3),8(-1,0)代入y=-N+bx+c即可得拋物線的表達式為

》=_/+2無+3,配成頂點式即得其頂點坐標；

(2)由頂點的位置關系即可得平移過程，根據(jù)平移后頂點坐標即可得表達式.

解：(1)把A(0,3),B(-1,0)代入y=-N+bx+c得：

(C=3，解得『J,

I-l-b+c=0Ic=3

???拋物線的表達式為y=-N+2X+3,

■/y=-x2+2x+3--（尤-1）2+4,

，拋物線的頂點是（1,4）；

（2）:拋物線的頂點是（1,4）,A（0,3）,

???將該拋物線平移，使它的頂點移到點A的位置，平移的過程是向左平移1個單位，再

向下平移1個單位，

:平移后拋物線形狀、大小不變，

平移后的拋物線表達式是y=-x2+3,

故答案為：向作平移1個單位，再向下平移1個單位，y=-N+3.

【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知

識點，能求出二次函數(shù)的解析式是解此題的關鍵.

21.如圖，在梯形A8CD中，AB//CD,且AB：CD=3：2,點E是邊CD的中點，聯(lián)結BE

交對角線AC于點尸,若屈=不，AD=n-

（1）用ipn表示AC'AF;

（2）求作BF在裾、正方向上的分向量.

（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結論的分向量）

【分析】（1）利用三角形法則，平行線分線段成比例定理求解即可.

（2）利用平行四邊形法則作出圖形即可.

解：⑴VAB：CD=3：2,

2

：.CD=—AB,

3

o

AC=AD+DC=n+-|n'

：.DE=EC,CE//AB,

.CF=EC=2

,,市一訪—1

：.AF=^-AC,

4

.—*—3z-?2_3-?1-?

??AF=4（n+§ir）=^n+yn-

（2）如圖，而在市、前方向上的分向量分別為而，BQ.

A

【點評】本題考查平面向量，梯形的性質等知識，解題的關鍵是掌握三角形法則，平行

四邊形法則，屬于中考?？碱}型.

22.如圖，某種路燈燈柱BC垂直于地面，與燈桿相連.已知直線AB與直線BC的夾角

是76°,在地面點。處測得點A的仰角是53°,點8仰角是45°,點A與點。之間的

距離為3.5米.

求：（1）點A到地面的距離；

（2）AB的長度.（精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù):sin53°-0.8,cos53°20.6,sin76°仁0.97,cos76°-0.24）

【分析】（1）要求點A到地面的距離，所以過點A作AFLCD,垂足為R然后放在直

角三角形APZ）中即可解答；

（2）要求A8的長度，需要把48放在直角三角形中，所以過點A作AGJ_EC,垂足為

G,在Rt^AED中，求出。尸的長，然后設C尸為x,用x表示AG,BG的長，再用76°

的正切值求出尤，最后求出A8即可.

解：（1）過點A作AFLCO,垂足為R

在RtZXAF。中，AF=ADsm530=3.5義0.8=2.8米,

答：點A到地面的距離為2.8米；

(2)過點A作AGLEC,垂足為G,

則AF=GC,AG^CF,

在RtzXAFD中，DF=ADcos53°=3.5X0.6=2.1米,

設C尸為x米，則C。為(2.1+無)米,

在RtZYBC。中，BC=CDtan450=（2.1+無）米,

.,.GB=GC-8C=2.8-（2.1+無）=（0.7-%）米，

S11lf0.97_97

在RtZXAGB中，tan76°=-：

cos760.24=24

AG

tan76°

BG

x=97

0.7-x=24

解得：40.56,

CF—AG—0.56米,

0.56

心0.6米.

【點評】本題考查了解直角三角形得應用一仰角俯角問題，添加輔助線構造直角三角形

是解題的關鍵.

23.如圖，線段BD是Z\ABC的角平分線，點E、點F分別在線段BD、AC的延長線上,

聯(lián)結AE、BF,S.AB-BD=BC-BE.

(1)求證：AD=AE；

(2)如果8歹=。尸，求證：AF?CD=AE,DF.

B

【分析】(1)利用兩邊成比例且夾角相等證明△ABEs^CB。，得NBDC=/AEB,從

而證明貝UA￡)=AE；

(2)利用三角形外角的性質證明NBAFn/PBC,證明得此厚，則

AFBF

(.AF-AD)?DF=AF,CF,進行化簡即可.

【解答】證明：(1)是△A8C的角平分線，

/.NABE=/CBD,

'：AB-BD=BC'BE,

.ABBE

??=，

BCBD

???AABEsdCBD,

：.NBDC=/AEB,

???ZBDC=/ADE,

???/AEB=NADE,

：.AD=AE；

(2)?：BF=DF,

：.ZBDF=ZFBD,

???ZBDF=ZBAF+ZABD,ZFBD=NDBC+/CBF,

：.ZBAF+ZABD=NDBC+/CBF,

???/ABD=NCBD,

：.ZBAF=ZFBC,

???NBFC=/AFB,

,BFCF

??~,

AFBF

J.B^AF'CF,

■:DF=BF,

:.DSAFUF,

9

：DF=AF-ADf

：.(AF-AD)?DF=AF?CF,

C.AF-DF-AD-DF=AF-CF9

：.AF*DF-AF?CF=AD?DF,

AAF-QDF-CF)=AD?DF,

?；DF-CF=CD,AD=AE,

：.AF^CD=AE^DF.

【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，三角形外角的

性質等知識，熟練進行相似三角形的證明是解題的關鍵.

24.拋物線丁=以2+2〃X+。與％軸相交于A、5兩點(點A在點5左側)，與y軸交于點C

(0,3),其頂點。的縱坐標為4.

(1)求該拋物線的表達式；

(2)求NACB的正切值；

(3)點尸在線段的延長線上，且NA尸。=/八45,求C尸的長.

1-

_?i???i1

~01x

【分析】(1)根據(jù)對稱軸公式：X=-與可得對稱軸是：x=-1,得。(-1,4),根

2a

據(jù)頂點式可設拋物線的解析式為：y=a(x+1)2+4,把(0,3)代入可得結論；

(2)如圖1,構建直角三角形，計算AM和CM的長，根據(jù)正切的定義可得結論；

(3)根據(jù)正切相等可得所以得AC=AR根據(jù)兩點的距離公式列方程

可得結論.

解：(1)：y=ax?+lax+c,

.,.對稱軸是：x=--z--=_1，

2a

頂點D的坐標為(T,4),

設拋物線的解析式為：(龍+1)2+4,

把(0,3)代入得：0+4=3,

?*11,

.??拋物線的解析式為：y=-(x+1)2+4=-》2_2X+3；

(2)如圖1,過點A作AML8C于

當y=0時，-X2-2X+3=0,

解得：尤1=-3,X2=l,

(-3,0),B(1,0),

.*.48=3+1=4,BC=^32+l2=Vl0>AC=3^,

SAABC=—AB-OC=-BC'AM,

22

???yX4X3=1XVIQAM,

；.4/=殳叵，

5

=22=

由勾股定理得:CMVAC-AMJ(3V2)2-(-T^-)2=

V3J

tanZACB=-^-=——^=^=2

CM3V10

5

(3)如圖2,VtanZACB=2,tanZDAB=—=—=2

AM2

,?ZDAB=ZAFC,

：.ZACB=ZAFCf

：.AC=AF,

設8C的解析式為：y=kx+b,

(b=3

則

lk+b=O

(k=-3

解得:

lb=3

.?.2C的解析式為:y=-3x+3,

設F-3/71+3),

(3，^)2=(ZM+3)2+(-3m+3)2,

解得：租1=0（舍），/?2=￡,

5

：.F搭,

??.b=Je）2+（《一3）2=警

【點評】本