專題07函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性奇偶性周期性）（考點(diǎn)歸納與十二大題型）

專題07函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）【題型歸納目錄】題型一：函數(shù)單調(diào)性區(qū)間與判斷題型二：函數(shù)單調(diào)性的證明題型三：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，求不等式題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求最值題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求求參數(shù)題型六：函數(shù)奇偶性的判斷與證明題型七：利用函數(shù)的奇偶性求值題型八：用奇偶性求解析式題型九：函數(shù)的周期性題型十：函數(shù)圖像的分析與運(yùn)用題型十一：函數(shù)的性質(zhì)綜合題型十二：恒成立與有解問題【【考點(diǎn)歸納】考點(diǎn)1：函數(shù)的單調(diào)性1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)結(jié)論那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖示要點(diǎn)詮釋：①單調(diào)區(qū)間與定義域的關(guān)系：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的真子集；②單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質(zhì)的；③不能隨意合并兩個(gè)單調(diào)區(qū)間；④有的函數(shù)不具有單調(diào)性.2．證明函數(shù)單調(diào)性的步驟（1）取值：設(shè)是定義域內(nèi)一個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)量，且；（2）變形：作差變形（變形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商變形；（3）定號(hào)：判斷差的正負(fù)或商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論.3．函數(shù)單調(diào)性的判斷方法（1）定義法：根據(jù)增函數(shù)、減函數(shù)的定義，按照“取值—變形—判斷符號(hào)—下結(jié)論”進(jìn)行判斷。（2）圖象法：就是畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的上升或下降趨勢(shì)，判斷函數(shù)的單調(diào)性。（3）直接法：就是對(duì)我們所熟悉的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等，直接寫出它們的單調(diào)區(qū)間。（4）記住幾條常用的結(jié)論①若是增函數(shù)，則為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則為增函數(shù)；②若和均為增（或減）函數(shù)，則在和的公共定義域上為增（或減)函數(shù)；③若且為增函數(shù)，則函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)；若且為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).4．復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要注意：既要把握復(fù)合過程，又要掌握基本函數(shù)的單調(diào)性。一般需要先求定義域，再把復(fù)雜的函數(shù)正確地分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的初等函數(shù)的復(fù)合，然后分別判斷它們的單調(diào)性，再用復(fù)合法則，復(fù)合法則如下：（1）若在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù)，則為增函數(shù)；（2）若在所討論的區(qū)間上一個(gè)是增函數(shù)，另一個(gè)是減函數(shù)，則為減函數(shù)。列表如下：增增增增減減減增減減減增【小技巧】復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可簡(jiǎn)記為“同增異減”。因此判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可按下列步驟操作：（1）將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)：，；（2）分別確定各個(gè)函數(shù)的定義域；（3）分別確定分解成的兩個(gè)基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。若兩個(gè)基本初等函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性是同增或同減，則為增函數(shù)；若為一增一減或一減一增，則為減函數(shù)。要點(diǎn)詮釋：（1）單調(diào)區(qū)間必須在定義域內(nèi)；（2）要確定內(nèi)層函數(shù)的值域，否則就無法確定的單調(diào)性。（3）若，且在定義域上是增函數(shù)，則都是增函數(shù)。6．利用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最值時(shí)應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求最值。常用到下面的結(jié)論：（1）如果函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在處有最大值。（2）如果函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在處有最小值。若函數(shù)在上是嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)在上一定有最大、最小值。（3）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值是，最小值是。（4）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則的最大值是，最小值是。7．利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍若已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍問題，可利用函數(shù)單調(diào)性，先列出關(guān)于參數(shù)的不等式，利用下面的結(jié)論求解。（1）在上恒成立在上的最大值。（2）在上恒成立在上的最小值?！咀⒁狻繉?shí)際上將含參數(shù)問題轉(zhuǎn)化成為恒成立問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在其定義域上的最大值和最小值問題?？键c(diǎn)2：基本初等函數(shù)的單調(diào)性1．正比例函數(shù)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).2．一次函數(shù)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)在定義域R是增函數(shù)；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)在定義域R是減函數(shù).3．反比例函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，不存在單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，不存在單調(diào)減區(qū)間.4．二次函數(shù)若a>0，在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；若a<0，在區(qū)間，函數(shù)是增函數(shù)；在區(qū)間，函數(shù)是減函數(shù)．考點(diǎn)3：函數(shù)的最值1．最大值（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①，都有；②，使得.那么，稱M是函數(shù)的最大值．（2）幾何意義：函數(shù)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)．2．最小值（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：①，都有；②，使得.那么，稱M是函數(shù)的最小值．（2）幾何意義：函數(shù)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)．考點(diǎn)4：函數(shù)的奇偶性奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I結(jié)論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖象特點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱要點(diǎn)詮釋：（1）奇偶性是整體性質(zhì)；（2）在定義域中，那么在定義域中嗎？具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的；（3）的等價(jià)形式為：，的等價(jià)形式為：；（4）由定義不難得出若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)且在原點(diǎn)有定義，則必有；（5）若既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則必有.1．奇偶函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù).（2）如果一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).2．用定義法判斷函數(shù)奇偶性的步驟（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則該函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，若關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則進(jìn)行下一步；（2）結(jié)合函數(shù)的定義域，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；（3）求，可根據(jù)與之間的關(guān)系，判斷函數(shù)的奇偶性.若=，則是奇函數(shù)；若=，則是偶函數(shù)；若，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；若且，則既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)3．關(guān)于函數(shù)奇偶性的常見結(jié)論奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間和上具有相同的單調(diào)性，即已知是奇函數(shù)，它在區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間上也是增函數(shù)（減函數(shù)）；偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間和上具有相反的單調(diào)性，即已知是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)（減函數(shù)），則在區(qū)間上也是減函數(shù)（增函數(shù)）.【【題型歸納】題型一：函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間與判斷【例1】（多選）如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用函數(shù)圖像與函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖像即得解【詳解】結(jié)合圖像易知，函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)遞減，故選：BD【例2】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A． B．和C．和 D．和【答案】B【分析】去絕對(duì)值符號(hào)表示出分段函數(shù)的解析式，根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)圖象求出單調(diào)區(qū)間，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和．故選：B.【例3】下列函數(shù)中，在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)的是()A．y＝x2－2 B．y＝C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2【答案】C【詳解】A中，因?yàn)閥＝x2－2在（－∞，0）上為減函數(shù)，所以A不對(duì)；B中，因?yàn)閥＝在（－∞，0）上為減函數(shù)，所以B不對(duì)；C中，∵y=1+2x在（－∞，+∞）上為增函數(shù)，故C正確；D中，∵y＝－(x＋2)2的對(duì)稱軸是x=－2，∴在（∞，－2）上為增函數(shù)，在（－2，+∞）上為減函數(shù)，故D不對(duì)．故選：C【【方法技巧歸納】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；利用函數(shù)的圖象，如本例(3)．提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開．【【變式演練】1．函數(shù)（）A．在內(nèi)單調(diào)遞增 B．在內(nèi)單調(diào)遞減C．在內(nèi)單調(diào)遞增 D．在內(nèi)單調(diào)遞減【答案】C【解析】因?yàn)?，函?shù)的圖象可由y＝－圖象沿x軸向右平移一個(gè)單位長度，再向上平移一個(gè)單位長度得到，如下圖所示．所以函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，故選：C.2．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）A．， B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈臏p區(qū)間為，又的圖像是將的圖像向右平移一個(gè)單位得到，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是，，故選A.3．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得解；【詳解】解：因?yàn)槎x域?yàn)?，函?shù)在和上單調(diào)遞減，故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和；故選：A4．已知函數(shù)，則的單調(diào)遞增區(qū)間為______.【答案】【詳解】，解得.函數(shù)的對(duì)稱軸為，開口向下，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________.【答案】【詳解】由題意可知，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)恒為減函數(shù)，綜上所述，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.題型二：函數(shù)單調(diào)性的證明【例4】試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．【詳解】f(x)＝2＋eq\f(2,x－1)，設(shè)x1>x2>1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)，因?yàn)閤1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．【例5】已知函數(shù)其中為常數(shù)且滿足（1）求函數(shù)的解析式；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）解：，解得，的解析式為（2）證明：任取，則即故函數(shù)在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù).【【方法技巧歸納】利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.作差變形：作差fx1－fx2，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.定號(hào)：確定fx1－fx2的符號(hào).結(jié)論：根據(jù)fx1－fx2的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式.【【變式演練】1．設(shè)函數(shù)，.判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】在上為增函數(shù)，證明見解析.【解析】任取且，，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以在上為增函?shù)；2．已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用定義證明其結(jié)論；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域．【答案】（1）函數(shù)在上是增函數(shù)，證明見解析；（2）.【解析】（1）函數(shù)在上是增函數(shù).證明：任取，且，，，，，即，函數(shù)在上是增函數(shù)；（2）由（1）知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?3．已知函數(shù)，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性并用定義證明.【答案】（1）1；（2）在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明見解析.【解析】（1）由，得，所以.（2）由（1）知，其定義域?yàn)?，在區(qū)間上單調(diào)遞減.證明如下：任取，且，.因?yàn)?，，且，所以，，，則，所以，故在區(qū)間上單調(diào)遞減.4．已知函數(shù)，其中m為常數(shù)，且．（1）求m的值；（2）用定義法證明在R上是減函數(shù)．【答案】(1)1；(2)證明見解析.【分析】(1)將代入函數(shù)解析式直接計(jì)算即可；(2)利用定義法直接證明函數(shù)的單調(diào)性即可.【詳解】(1)由題意得，，解得；(2)由(1)知，，所以R，R，且，則，因?yàn)?，所以，所以，故，即，所以函?shù)在R上是減函數(shù).題型三：利用函數(shù)單調(diào)性比較大小，求不等式【例6】已知,則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】的圖象如下圖所示：由圖象可知：在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，所以即，所以解集為?【【變式演練】1．已知函數(shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）．A． B．C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以，解得或．故選：C．2．已知函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上是減函數(shù)，且，所以,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.3．（多選）已知函數(shù)，則下列x的范圍滿足不等式的是（）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，畫出函數(shù)圖象如圖所示：所以函數(shù)在上為增函數(shù)，由得，即解得，故選：BCD．4．f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．【解析】由f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,8x－2>0，,x>8x－2，))解得2＜x＜eq\f(16,7).題型四：利用函數(shù)單調(diào)性求最值【例7】已知函數(shù)，，則此函數(shù)的值域是____.【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，即.因此，函數(shù)，的值域?yàn)?故答案為：.【例8】（多選）函數(shù)(x≠1)的定義域?yàn)閇2，5)，下列說法正確的是（）A．最小值為 B．最大值為4C．無最大值 D．無最小值【答案】BD【詳解】函數(shù)在[2，5)上單調(diào)遞減，即在x=2處取得最大值4，由于x=5取不到，則最小值取不到．故選：BD【【方法技巧歸納】1．利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性．（2）利用單調(diào)性求出最大(小)值．2．函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè)．提醒：（1）求最值勿忘求定義域．（2）閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入是最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，求解時(shí)一定注意．【【變式演練】1．已知，則函數(shù)的最大值為___________，最小值為___________.【答案】

【分析】利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性直接計(jì)算函數(shù)的最大值和最小值作答.【詳解】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即有當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)的最大值為，最小值為.故答案為：；2．函數(shù)，則的最大值為___________，最小值為___________．【答案】

1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則即故最大值為1，最小值為故答案為：1；題型五：利用函數(shù)單調(diào)性求求參數(shù)【例9】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】按a值對(duì)函數(shù)進(jìn)行分類討論，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，即在上遞增，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)知，，則有，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【例10】已知函數(shù)的最小值為2，則實(shí)數(shù)a=________.【答案】【詳解】，所以該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為：，當(dāng)時(shí)，即，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，因此，顯然符合；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，顯然不符合；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，因此，不符合題意，綜上所述：，故答案為：【例11】已知函數(shù)(，)在時(shí)取得最小值，則＝________.【答案】36【詳解】f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時(shí)取得最小值，由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：【【方法技巧歸納】函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過來，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.【【變式演練】1．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．或【答案】B【詳解】函數(shù)，即，，當(dāng)時(shí)，不成立；當(dāng)，即時(shí)，在遞減，可得為最大值，即，解得成立；當(dāng)，即時(shí)，在遞增，可得為最大值，即，解得不成立；綜上可得．故選：．2．如果函數(shù)在上是增函數(shù)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】函數(shù)為二次函數(shù)，對(duì)稱軸為，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，因此：.故選：B3．已知函數(shù)f(x)=，在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．[3，4] B．[3，5] C．(3，4] D．【答案】D【詳解】函數(shù)，畫出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：函數(shù)在上單調(diào)遞減，由圖象可知：，解得：，故實(shí)數(shù)的取值范圍是：.故選：D.4．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】分類討論，根據(jù)函數(shù)解析式得到函數(shù)在上的單調(diào)性，再根據(jù)已知列式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.5．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)給定條件按與討論的單調(diào)性作答.【詳解】因函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增，即，當(dāng)時(shí)，若，有在上單調(diào)遞增，，則有，解得，若，有在上單調(diào)遞減，在上不可能遞增，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.6．一次函數(shù)是R上的增函數(shù)，且，（1）求；（2）若在單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，有最大值13，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】(1)；(2)；(3)或.【解析】【分析】（1）設(shè)，，代入條件，由恒等式的性質(zhì)可得方程，解方程可得的解析式；（2）求得的解析式和對(duì)稱軸方程，再由單調(diào)性可得，解不等式即可得到所求范圍；（3）由的圖象可得的最大值只能在端點(diǎn)處取得，解方程，加以檢驗(yàn)即可得到所求值．【詳解】(1)解：∵一次函數(shù)是R上的增函數(shù)，設(shè)．則，，解得或不合題意，舍去．．(2)解：由（1）得，，因?yàn)閷?duì)稱軸方程為，根據(jù)題意可得，解得．的取值范圍為．(3)解：＝2x2+（1+2m）x+m，對(duì)稱軸為x，當(dāng)x∈[﹣1，3]時(shí)，g（x）有最大值13，由于的圖象開口向上，則的最大值只能為端點(diǎn)處的函數(shù)值，若是最大值13，即有2﹣1﹣2m+m＝13，解得m＝﹣12，此時(shí)＝2x2﹣23x﹣12在[﹣1，3]上遞減，符合題意；若是最大值13，即有18+3+6m+m＝13，解得m，此時(shí)＝2x2x在[﹣1，）遞減，在（，3]遞增，且13，符合題意．綜上可得，m＝﹣12或m．題型六：函數(shù)奇偶性的判斷與證明【例12】判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）．（3）；（4）.【答案】（1）偶函數(shù)；（2）非奇非偶函數(shù).（3）偶函數(shù)；（4）奇函數(shù)【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，函?shù)為偶函數(shù)；（2）函數(shù)的定義域?yàn)?，，則且，所以，函數(shù)為非奇非偶函數(shù).（3）定義域?yàn)镽，，為偶函數(shù).（4）定義域?yàn)镽，，為奇函數(shù).【例13】已知函數(shù)（1）證明：為偶函數(shù)；（2）判斷的單調(diào)性并用定義證明；（3）解不等式【答案】(1)證明見解析；(2)為上的增函數(shù)，證明見解析；(3)【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義證明即可；（2）首先得到的解析式，再利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，按照設(shè)元、作差、變形、判斷符號(hào)，下結(jié)論的步驟完成即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可；【詳解】（1）證明：的定義域?yàn)?，又，故為偶函?shù)；（2）解：，所以為上的增函數(shù)，證明：任取，，且，∵，∴，又，∴，即，∴為上的增函數(shù)；(3)解：不等式，等價(jià)于即，∵為上的增函數(shù)，∴，解得，故不等式的解集為.【【方法技巧歸納】判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法定義法：圖象法：【【變式演練】1．（多選）下列說法正確的是（）A．若定義在上的函數(shù)滿足，則是偶函數(shù)B．若定義在上的函數(shù)滿足，則不是偶函數(shù)C．若定義在上的函數(shù)滿足，則在上是增函數(shù)D．若定義在上的函數(shù)滿足，則在上不是減函數(shù)【答案】BD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取函數(shù)，則，函數(shù)的定義域?yàn)?，，此時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，對(duì)任意的，必有，因?yàn)?，所以，不是偶函?shù)，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，取函數(shù)，則，，，但函數(shù)在上不單調(diào)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則，這與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，所以，函數(shù)在上不是減函數(shù)，D選項(xiàng)正確.故選：BD.2．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有________．(填序號(hào))①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq\f(1,x2)；④f(x)＝x＋eq\f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．【答案】②③【詳解】對(duì)于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，則為奇函數(shù)；對(duì)于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，則為偶函數(shù)；對(duì)于③，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)，則為偶函數(shù)；對(duì)于④，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－f(x)，則為奇函數(shù)；對(duì)于⑤，定義域?yàn)閇－1,2]，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不具有奇偶性，則為非奇非偶函數(shù)．3．判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）非奇非偶函數(shù)；（2）奇函數(shù)；（3）偶函數(shù)．【詳解】（1）有意義，則，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，.所以函數(shù)為奇函數(shù)；（3）由題意可得，所以且，所以函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)；4．設(shè)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，且時(shí)，，．（1）求證：是奇函數(shù)；（2）求在上的最大值與最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)最大值為，最小值為.【分析】（1）令可得，再令結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求證；（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可得最值.【詳解】（1）令，得，所以，令，得，所以，所以是奇函數(shù)．（2）設(shè)，則，所以，可得，即，所以在上是減函數(shù)，，，所以，所以在上的最大值為，最小值為.題型七：利用函數(shù)的奇偶性求值【例14】（1）若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝________，b＝________；（2）已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝________.【答案】(1)eq\f(1,3)0(2)7【詳解】(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3).又函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，則g(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴gf(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.【例15】若函數(shù)為偶函數(shù)，則_______________.【答案】2【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以m2=0，解得m=2.也可用，解出m=2.故答案為：2【【方法技巧歸納】利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)fx的定義域?yàn)閇a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用a＋b＝0求參數(shù).解析式含參數(shù)：根據(jù)f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比較系數(shù)即可求解.【【變式演練】1．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，則的值為（）A．2 B．6 C．2 D．6【答案】B【詳解】是定義在上的奇函數(shù)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：B2．若函數(shù)在上是奇函數(shù)，則的解析式為______．【答案】【詳解】在上是奇函數(shù)，，，．又，，即，．3．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則_________．【答案】【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，解得，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，故答案為：2題型八：用奇偶性求解析式【例16】已知是定義在R上的奇函數(shù)，時(shí)，，則在，上的表達(dá)式是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)闀r(shí)，，設(shè)，則，所以，又因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，所以，故選：A.【例17】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性.【答案】（1）（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明見解析【分析】（1）由題意列方程組求解（2）由單調(diào)性的定義證明【詳解】（1），，即，

又函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，，即

，

解得：，.（2）函數(shù)在上的單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

證明如下：取且，，

且，，即，

，即，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

同理可證得函數(shù)在上單調(diào)遞增.【【方法技巧歸納】利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法“求誰設(shè)誰”，既在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.利用fx的奇偶性寫出－fx或f－x，從而解出fx.提醒：若函數(shù)fx的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f0＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f0＝0.【【變式演練】1．已知是定義在上的奇函數(shù)，若時(shí)，，則時(shí)，__________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，故答案為：.2．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)≥0時(shí)，．則函數(shù)的解析式為__________【答案】【解析】設(shè)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以.所以函數(shù)的解析式為.故答案為：3．為偶函數(shù)，則___________.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)判斷參數(shù)值，進(jìn)而可得函數(shù)值.【詳解】由為偶函數(shù)，得，，不恒為，，，，故答案為：.4．已知函數(shù)為奇函數(shù)，則_______．【答案】0【分析】由奇函數(shù)定義，代入分析即得解【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，解得故答案為：05．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，計(jì)算，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得，即可得解；（2）作函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖像，列出關(guān)于的不等式組求【詳解】解.(1)設(shè)，則，所以又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，.(2)作函數(shù)的圖像如圖所示，要使在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象知，所以，所以的取值范圍是.題型九：函數(shù)的周期性【例18】（2022.全國卷）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．【詳解】因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．【例19】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，滿足，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性和周期的定義，得到，得到函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，進(jìn)而求得的值，結(jié)合周期性，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即且，又由，可得，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，因?yàn)?，所以，，，所以，則.故答案為：.題型十：函數(shù)圖像的分析與運(yùn)用【例20】已知函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）3（2）【詳解】(1)設(shè)，則，所以．又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，于是時(shí)，，所以．(2)函數(shù)的圖像如圖所示：要使在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象知，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【例21】定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示．（1）請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象；（2）比較f(1)與f(3)的大?。驹斀狻浚?）由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其圖象如圖所示．（2）觀察圖象，知f(3)<f(1)．【例22】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出f(x)的圖象；（2）根據(jù)函數(shù)的圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．【解析】(1)圖象如圖所示：(2)由圖可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,0)，(2,5)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，值域?yàn)閇－1,3]．【例23】函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和正負(fù)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)，易知定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以該函?shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此排除選項(xiàng)B、C.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此排除選項(xiàng)D，故選：A【例24】一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)（1）求y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤最大？最大年利潤是多少？【詳解】（1）當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x>20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20))(x∈N*)．（2）當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymaxx>20時(shí)，160－x<140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤，最大年利潤為156萬元．即當(dāng)該工廠年產(chǎn)量為16件時(shí)，取得最大年利潤為156萬元．【【方法技巧歸納】利用圖象求函數(shù)最值的方法畫出函數(shù)y＝fx的圖象；觀察圖象，找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；寫出最值，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值.巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問題依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性可以解決諸如求函數(shù)值或畫出奇偶函數(shù)圖象的問題.【【變式演練】1．已知函數(shù)，則（

）A． B．若，則或C．函數(shù)在上單調(diào)遞減 D．函數(shù)在的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)圖象逐個(gè)分析判斷即可【詳解】函數(shù)的圖象如左圖所示．，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解；當(dāng)時(shí)，或，故B正確；由圖象可得，在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；由圖象可知當(dāng)時(shí)，，，故在的值域?yàn)?，D正確．故選：BD．2．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．（1）求時(shí)，函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）設(shè)，計(jì)算，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，得，即可得解；（2）作函數(shù)的圖像，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，結(jié)合函數(shù)圖像，列出關(guān)于的不等式組求【詳解】解.(1)設(shè)，則，所以又為奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，.(2)作函數(shù)的圖像如圖所示，要使在上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象知，所以，所以的取值范圍是.3．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（1）求的值；（2）求函數(shù)的解析式；（3）把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】（1）（2）（3）圖象見解析；單調(diào)遞增區(qū)間為和【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，，，；（2）當(dāng)時(shí)，，，；又，；（3）圖象如下圖所示：結(jié)合圖象可知：的單調(diào)遞增區(qū)間為和.4．某家庭進(jìn)行理財(cái)投資，根據(jù)長期收益率市場(chǎng)預(yù)測(cè)，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的年收益與投資額成正比，其關(guān)系如圖1；投資股票等風(fēng)險(xiǎn)型產(chǎn)品的年收益與投資額的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖2.（1）分別寫出兩種產(chǎn)品的年收益和的函數(shù)關(guān)系式；（2）該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財(cái)投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大年收益，其最大年收益是多少萬元？【答案】（1），（2）投資債券類產(chǎn)品萬元，股票類投資為萬元，收益最大為萬元【分析】（1）設(shè)函數(shù)解析式，，代入即可求出的值，即可得函數(shù)解析式；（2）設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，則，代入解析式，換元求最值即可.【詳解】(1)依題意：可設(shè)，，∵，，∴，.(2)設(shè)投資債券類產(chǎn)品萬元，則股票類投資為萬元，年收益為萬元，依題意得：，即，令，則，，則，，所以當(dāng)，即萬元時(shí)，收益最大，萬元.題型十一：函數(shù)的性質(zhì)綜合【例25】已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則下列關(guān)系式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，又因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，故選：B.【例26】若定義在的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函數(shù)，在上遞減，則在上遞減，∴在上是減函數(shù)，又由是奇函數(shù)，則不等式可化為，∴，．故選：B．【例27】函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和正負(fù)性進(jìn)行判斷即可.【詳解】設(shè)，易知定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以該函?shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此排除選項(xiàng)B、C.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此排除選項(xiàng)D，故選：A【【變式演練】1．設(shè)偶函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以因?yàn)闀r(shí)，是增函數(shù)，所以，所以.故選：A2．函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(3)<f(2a＋1)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<－2C．a(chǎn)>1或a<－2 D．－1<a<2【答案】C【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在實(shí)數(shù)集上是偶函數(shù)，且f(3)<f(2a＋1)，所以f(3)<f(|2a＋1|)，又函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.故選C.3．定義在上的奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則滿足的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得，，在遞增，分別討論，，，，，結(jié)合的單調(diào)性，可得的范圍．【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且（1），可得，，在遞增，若時(shí)，成立；若，則成立；若，即，可得（1），即有，可得；若，則，，可得，解得；若，則，，可得，解得．綜上可得，的取值范圍是，，．故選：B．4．若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則使得的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解出時(shí)的解集，再根據(jù)偶函數(shù)圖像關(guān)于軸對(duì)稱，寫出時(shí)的解集，即得整個(gè)函數(shù)的解集.【詳解】由于函數(shù)是偶函數(shù)，所以，由題意，當(dāng)時(shí)，，則；又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以的解集為.故選：C.5．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）用定義證明：在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】（1）函數(shù)是偶函數(shù)，證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義證明函數(shù)是定義域在上的偶函數(shù)；（2）用單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).【詳解】（1）解：函數(shù)是偶函數(shù)，證明如下：的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)任意，都有，所以函數(shù)是定義域上的偶函數(shù)；（2）證明：任取，且，則，因?yàn)?，所以，，且，，所以，即，所以在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).題型十二：恒成立與有解問題【例28】設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______．【答案】【分析】由整理可得，則可轉(zhuǎn)化問題為，進(jìn)而利用基本不等式求解即可.【詳解】由，則，因?yàn)?，所以，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是，故答案為：【例29】已知函數(shù).（1）若，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明即可，（2）由于，所以將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后求出的最大值即可【詳解】(1)依題意，，設(shè)，則因?yàn)?，故，故，故函?shù)在上單調(diào)遞增；(2)依題意，，因?yàn)?，故，則，若，則，則，故，解得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.【【變式演練】1．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，總存在，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)任意的，總存在，使得，可得兩個(gè)函數(shù)值域的包含關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)關(guān)于的不等式組，解不等式組即可.【詳解】因?yàn)?，所以函?shù)的對(duì)稱軸為，對(duì)任意的，記.記.由題意知，當(dāng)時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，所以，記由題意知，所以，解得.當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，所以，記，由題意知，所以，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:2．已知函數(shù)在上的最大值為3，最小值為．（1）求的解析式；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)的最值列方程組，解方程組求得，進(jìn)而求得.（2）利用分離常數(shù)法，結(jié)合基本不等式求得的取值范圍.【詳解】(1)的開口向上，對(duì)稱軸為，所以在區(qū)間上有：，即，所以.(2)依題意，使得，即，由于，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以.3．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）設(shè)，若存在使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）方法一、由完全平方公式和代換法可得所求解析式；方法二、運(yùn)用換元法可得所求解析式，注意函數(shù)的定義域；（2）求得f（x）的解析式，由題意可得在時(shí)有解．，由換元法和二次函數(shù)的最值求法，可得所求范圍．【詳解】(1)解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，則．由于，所以．代入原式有，所以．(2)∵，∴．∵存在使成立，∴在時(shí)有解．令，由，得，設(shè)．則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值．∴，即的取值范圍為．【【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．下列函數(shù)是偶函數(shù)且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)解析式判斷各個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得答案.【詳解】不是偶函數(shù)；不是偶函數(shù)；是偶函數(shù)，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以該項(xiàng)正確；是二次函數(shù)，是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，故選：C.2．已知偶函數(shù)f(x)與奇函數(shù)g(x)的定義域都是[－2，2]，它們?cè)赱0，2]上的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式f(x)·g(x)＜0成立的x的取值范圍為（

）A．(－2，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(0，1)C．(－1，0)∪(1，2)D．(－2，－1)∪(1，2)【答案】C【分析】根據(jù)圖象，函數(shù)的奇偶性以及符號(hào)法則即可解出．【詳解】如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，，，，故當(dāng)時(shí)，其解集為，∵是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，∴是奇函數(shù)，由奇函數(shù)的對(duì)稱性可得：當(dāng)時(shí)，其解集為，綜上：不等式的解集是．故選：C.3．已知定義在上的偶函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求出解集【詳解】由題意，畫出的圖象如圖，等價(jià)于，或，由圖可知，不等式的解集為故選：D．4．已知定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，則關(guān)于x的不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)求得，利用偶函數(shù)的性質(zhì)化不等式中自變量到上，然后由單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解．【詳解】解：由題意，，的定義域，時(shí)，遞減，又是偶函數(shù)，因此不等式轉(zhuǎn)化為，，，解得．故選：D．5．函數(shù)在，則滿足的的取值范圍是（

）.A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知中函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性，可將不等式化為，解得答案．【詳解】解：由函數(shù)為奇函數(shù)，得，不等式即為，又在單調(diào)遞減，所以得，即，故選：D.6．已知是上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小即可.【詳解】因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，.又因?yàn)?，因?yàn)?，在上單調(diào)遞減,所以，即.故選：B.7．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且，再利用函數(shù)單調(diào)性即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)且在上單調(diào)逆增，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，，且，所以，所以，解得或，即的取值范圍是.故選：A.8．若函數(shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，則（

）A．函數(shù)是奇函數(shù) B．函數(shù)是偶函數(shù)C．函數(shù)是偶函數(shù) D．函數(shù)是奇函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，函數(shù)是奇函數(shù)，所以、，對(duì)于A：令，則，故是非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，故為奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：令，則，故為偶函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：令，則，故為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：C9．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.二、多選題9．如圖是函數(shù)的圖象，則函數(shù)在下列區(qū)間單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用函數(shù)圖像與函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合圖像即得解【詳解】結(jié)合圖像易知，函數(shù)在區(qū)間、上單調(diào)遞減，故選：BD10．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在上單調(diào)遞增的函數(shù)有（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】由函數(shù)奇偶性的定義及指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：對(duì)A：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，且時(shí)，，由冪函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)C：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，且時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：，定義域?yàn)镽，因?yàn)?，且，所以函?shù)不具有奇偶性，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.11．設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，則（

）A．在上單調(diào)遞減B．C．的圖象與軸只有2個(gè)交點(diǎn)D．不等式的解集為【答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，可得在上單調(diào)遞減，且，從而對(duì)各選項(xiàng)逐一分析即可求解.【詳解】解：對(duì)A：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)的性質(zhì)有在上單調(diào)遞減，故選項(xiàng)A正確；對(duì)B：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，，所以，所以，故選項(xiàng)B正確；對(duì)C：由題意，，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以的圖象與軸有3個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)D：由選項(xiàng)A、C可得的解集為，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD.12．函數(shù)對(duì)任意總有，當(dāng)時(shí)，，，則下列命題中正確的是（

）A．是偶函數(shù)B．是上的減函數(shù)C．在上的最小值為D．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】CD【詳解】解：取，，則，解得，令，則，即，函數(shù)是奇函數(shù)，所