2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末復(fù)習(xí)專題1-1空間向量與立體幾何12類選填小題專練學(xué)生版

專題1-1空間向量與立體幾何12類選填小題專練知識(shí)點(diǎn)梳理一、空間向量的基本定理1.如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.2．基底：我們把{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．二、共面向量1．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量充要條件對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb若兩個(gè)向量a，b不共線，則向量p與a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb2．直線l的方向向量如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設(shè)P為l上的任意一點(diǎn)，則?λ∈R使得＝λa.定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．3．解決向量共面的策略(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有eq\o(AP,\s\up7(―→))＝xeq\o(AB,\s\up7(―→))＋yeq\o(AC,\s\up7(―→))或eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OC,\s\up7(―→))(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù)．(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示．4．證明空間四點(diǎn)P，M，A，B共面的等價(jià)結(jié)論(1)eq\o(MP,\s\up7(―→))＝xeq\o(MA,\s\up7(―→))＋yeq\o(MB,\s\up7(―→))；(2)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝eq\o(OM,\s\up7(―→))＋xeq\o(MA,\s\up7(―→))＋yeq\o(MB,\s\up7(―→))；(3)對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(―→))＝xeq\o(OA,\s\up7(―→))＋yeq\o(OB,\s\up7(―→))＋zeq\o(OM,\s\up7(―→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up7(―→))∥eq\o(AB,\s\up7(―→))(或eq\o(PA,\s\up7(―→))∥eq\o(MB,\s\up7(―→))或eq\o(PB,\s\up7(―→))∥eq\o(AM,\s\up7(―→)))．三、投影向量(1)向量a在向量b上的投影先將向量a與向量b平移到同一平面α內(nèi)，如圖①向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直線l上的投影如圖②向量c稱為向量a在直線l上的投影．(3)向量a在平面β上的投影如圖③分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，則向量eq\o(A′B′,\s\up7(――→))(a′)稱為向量a在平面β上的投影向量．四、夾角問(wèn)題1.兩異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|).注意：兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．2.直線和平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|).注意：(1)直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角．(2)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．3.兩個(gè)平面的夾角（1）兩個(gè)平面的夾角與二面角的平面角的區(qū)別？區(qū)別：二面角的范圍是[0，π]，而兩個(gè)平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).（2）平面與平面所成的夾角與兩平面的法向量所成夾角有何關(guān)系？提示兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(n1·n2,|n1||n2|)))＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).注意：(1)求兩平面的夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩平面法向量的夾角問(wèn)題．(2)兩平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(3)二面角與兩平面的夾角不是相同的概念．五、極化恒等式在三角形ABC中（M為BC的中點(diǎn)），則AABCM證明（基底法）：因?yàn)?，所?/p>

題型一通過(guò)基底表示目標(biāo)向量在四面體中，設(shè)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則（

）

A． B．C． D．在正四面體ABCD中，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是DF的中點(diǎn)，若，，，則A． B． C． D．如圖，已知空間四邊形，分別是的中點(diǎn)，且，，，用表示向量為（）

A． B．C． D．如圖，M，N分別是四面體OABC的邊OA，BC的中點(diǎn)，E是MN的三等分點(diǎn)，且，用向量表示為（

）

A． B．C． D．在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（

）A． B．C． D．如圖所示，已知空間四邊形ABCD各邊長(zhǎng)為2，連接AC、BD，M、G分別是BC、CD的中點(diǎn)，若，則______．題型二空間向量的基底給出下列命題:①若可以作為空間的一組基，與共線，，則也可作為空間的一組基；②已知向量，則與任何向量都不能構(gòu)成空間的一組基；③是空間四點(diǎn)，若不能構(gòu)成空間的一組基，那么共面；④已知是空間的一組基，若，則也是空間的一組基.其中真命題的個(gè)數(shù)是（）.A．1 B．2C．3 D．4設(shè)，，，且是空間的一組基，則不能作為空間一組基的向量組是（）A． B．C． D．已知是不共面的三個(gè)向量，則能構(gòu)成空間的一組基底的向量是（）A． B．C． D．已知O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有（

）A．，，共線 B．O，A，B，C中至少有三點(diǎn)共線C．與共線 D．O，A，B，C四點(diǎn)共面已知是空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若，則B．兩兩共面，但不共面C．一定存在x，y，使得D．一定能構(gòu)成空間的一個(gè)基底已知向量是空間的一個(gè)基底，向量是空間的另一個(gè)基底，一向量在基底下的坐標(biāo)為，則向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．已知，，，若不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B． C．9 D．題型三空間向量共面問(wèn)題下列條件能使點(diǎn)與點(diǎn)一定共面的是（

）A．B．C．D．（多選）下列各組向量中共面的有（）A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5）B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2）C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1）D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1）已知，若三向量共面，則實(shí)數(shù)等于（

）A．4 B．3 C．2 D．1已知是空間的一組基底，其中，，.若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則λ=（

）A． B． C． D．已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)共面的充要條件是（

）A． B． C． D．已知，，，四點(diǎn)在平面內(nèi)，且任意三點(diǎn)都不共線，點(diǎn)在外，且滿足，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3已知三點(diǎn)不共線，是平面外任意一點(diǎn)，若由確定的一點(diǎn)與三點(diǎn)共面，則等于（

）A． B． C． D．設(shè)向量不共面，空間一點(diǎn)滿足，則四點(diǎn)共面的一組數(shù)對(duì)是（

）A． B． C． D．題型四空間向量平行或垂直已知m，n是實(shí)數(shù)，若點(diǎn)，在同一直線上，則的值為（

）A． B． C． D．如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是底面正方形的中心，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C． D．題型五投影問(wèn)題已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為_(kāi)______．已知直線l的方向向量為，點(diǎn)在l上，則點(diǎn)到l的距離為（

）A． B．1 C．3 D．2四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為A． B． C． D．題型六夾角問(wèn)題已知向量，若，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°若，若與的夾角是銳角，則的值的取值范圍為_(kāi)_________.已知，．若與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．（2023秋·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）在三棱錐中，平面，，，則直線與夾角的余弦值是（

）A． B． C． D．如圖，在直三棱柱中，，且，已知E為BC的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)E是棱上一點(diǎn)，且，則異面直線與AE所成角的余弦值為_(kāi)_______.在如圖所示的正方體中，是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)__________.正方體的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點(diǎn)，則直線ED與FG所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．在兩條異面直線，上分別取點(diǎn)，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使，且.已知，，，，則兩條異面直線，所成的角為（

）A． B． C． D．已知在大小為的二面角中，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，則直線與所成角的余弦為（

）A． B． C． D．題型七空間向量數(shù)量積設(shè)、為空間中的任意兩個(gè)非零向量，有下列各式：①；②；③；④.其中正確的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．設(shè)，為空間中的任意兩個(gè)非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．已知空間中非零向量，，且，，，則的值為（

）A． B． C． D．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為上任意一點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．已知，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，，分別是，的中點(diǎn)，則的值為（

）

A． B． C． D．平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求的值是__________．已知，，，，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______題型八利用空間向量求模長(zhǎng)已知三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，若和相交于點(diǎn)M.則（

）A． B．2 C． D．平行六面體中，，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B． C． D．平行六面體中，，，，，則向量的模長(zhǎng)__________.已知空間向量的模長(zhǎng)分別為，且兩兩夾角均為.點(diǎn)為的重心，若，，則___________.題型九立體圖形中的極化恒等式已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．如圖，半徑為1的球是圓柱的內(nèi)切球，線段是球的一條直徑，點(diǎn)是圓柱表面上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．已知是棱長(zhǎng)為的正方體外接球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為.已知正方體的棱長(zhǎng)為，球是正方體的內(nèi)切球，是球的直徑，點(diǎn)是正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，球是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)是內(nèi)切球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．正四面體的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)到的距離為.題型十點(diǎn)到平面距離問(wèn)題是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____．題型十一利用空間向量求最值與范圍如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且平面，則異面直線與所成角的取值范圍為_(kāi)___________正方體的棱長(zhǎng)為2，若動(dòng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是___________．如圖，在正方體中，動(dòng)點(diǎn)在線段上，異面直線和所成的角為，則的取值范圍是.（用區(qū)間表示）在正方體中，，點(diǎn)是線段上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，在三角形內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)（包括邊界），則的最小值是（

）A． B． C． D．題型十二綜合性問(wèn)題（多選）如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，底面交于點(diǎn)O，M是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐體積的最大值為B．存在點(diǎn)M，使平面C．點(diǎn)M到平面的距離與點(diǎn)M到平面的距離之和為定值D．存在點(diǎn)M，使直線與所成的角為（多選）如圖，在棱