2015屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)及經(jīng)典例題

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座

1,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座對(duì)集合的理解及集合思想應(yīng)用的問題

高考要求：

集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，為歷年必考內(nèi)容之一,主要考查對(duì)集合基本概念的認(rèn)識(shí)和理解，以及作為工具,

考查集合語言和集合思想的運(yùn)用.本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對(duì)集合概念、集合語言、集合

思想的理解與應(yīng)用.

重難點(diǎn)歸納：

1.解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的集合

要緊緊抓住豎線前面的代表元素X以及它所具有的性質(zhì)P;要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直

觀地解決問題.

2,注意空集。的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如力彳瓦則有4=0

或4w0兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論

典型題例示范講蟀

例1設(shè)4={(x,y)“一x—1=0},8={(XJ)|4X2+2X—2y+5=0},C={(x1y)|y=Ax+6},是否存在k、6GN,使得(ZU5)C

C=0,證明此結(jié)論.

命題意圖：本題主要考查考生對(duì)集合及其符號(hào)的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號(hào)上分辨出所考查的知識(shí)點(diǎn)，

進(jìn)而解決問題.

知識(shí)依托：解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(/U8)nc=0轉(zhuǎn)化為/nc=0且8CC=0,這樣難度就降低了.

錯(cuò)解分析：此題難點(diǎn)在于考生對(duì)符號(hào)的不理解，對(duì)題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無

從下手.

技巧與方法：由集合4與集合8中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對(duì)根的情況進(jìn)行限制，可得到6、&的

范圍，又因6、左GN,進(jìn)而可得值.

解：?.?(/U8)nc=0,.,./nc=0且8nc=0

"2

%+1:.P*+Qbk—1)x+b2-1=0'."Al"lC=0

y=kx+b

〈

4]=(2必一1)2—4"(好—I)<0.?.4必一4班+IO,此不等式有解，

其充要條件是16/一16>0,即b2>\①

...4x+2x-2j，+5=0A4x2+(2-2A：)x+(5+2/>)=0V5nC=04=(1一4一4(5—26)<0

y=kx+b

.?.d—2上+86—19<0,從而86<20,口b<2.5②

由①②及"N,得b=2代入由41<0和4<0組成的不等式組，得

4k2-RA:+1<0

■,'二人,故存在自然數(shù)Q1,6=24^^(/U8)CC=0.

k2-2k-3<0

例2向50名學(xué)生調(diào)查對(duì)4、B兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成4的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊

成，贊成8的比贊成N的多3人，其余的不贊成；另外，對(duì)工、8都不贊成的學(xué)生數(shù)比對(duì)4、8都贊成的學(xué)生數(shù)

的三分之一多1人.問對(duì)力、8都贊成的學(xué)生和都不贊成的學(xué)生各有多少人？

命題意圖：在集合問題中，有一些常用的方法如數(shù)軸法取交并集，韋恩圖法等，需要考生切實(shí)掌握.本題主

要強(qiáng)化學(xué)生的這種能力.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是考生能由題目中的條件，想到用韋恩圖直觀地表示出來.

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)在于所給的數(shù)量關(guān)系比較錯(cuò)綜復(fù)雜，一時(shí)理不清頭緒，不好找線索.

技巧與方法：畫出韋恩圖，形象地表示出各數(shù)量關(guān)系間的聯(lián)系.

解：贊成/的人數(shù)為50X±=30,贊成8的人數(shù)為30+3=33,如上圖，記

5

50名學(xué)生組成的集合為U,贊成事件/的學(xué)生全體為集合小贊成事件8的

學(xué)生全體為集合B.

設(shè)對(duì)事件Z、B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x,則對(duì)/、B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為

-+1,贊成A而不贊成B的人數(shù)為30-x,贊成B而不贊成A的人數(shù)為33—m

3

依題意(30—x)+(33—x)+x+(；+l)=50,解得尸21.所以對(duì)/、8都贊成的同學(xué)有21人，都不贊成的有8人.

例3已知集合/={(外冰2+必一y+2=0},5={(x,y)|x—八1=0,且0WxW2},如果405W0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

..［x24-wx-y+2=0/曰2/I、?八/TX

解：由V得x+(m—1)A+1=0①

x-》+1=0(0<x<2)

,?ZG3W0???方程①在區(qū)間［0,2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解.

首先，由4=(m一I)?—420,得加23或—1,當(dāng)機(jī)>3時(shí)，由X］+、2=—(加—1)<0及司工2=1>0知，方程①只

有負(fù)根，不符合要求.

當(dāng)mW—1時(shí)，由工1+、2=一(加-1)>0及修工2=1>0知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間(0,1］內(nèi)，從而

方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［0,2］內(nèi).

故所求〃，的取值范圍是加^一1.

2,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一充要條件的理解及判定方法

高考要求:

充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件。和結(jié)論(7之間的關(guān)系本節(jié)

主要是通過不同的知識(shí)點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.

重難點(diǎn)歸納：

⑴要理解“充分條件”“必要條件”的概念:當(dāng)“若p則形式的命題為真時(shí)，就記作稱p是q的充

分條件，同時(shí)稱4是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.

(2)要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“Q”要熟悉它的各種同義詞語:“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須

并且只需”，“……，反之也真”等.

(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概

念所具有的性質(zhì).

(4)從集合觀點(diǎn)看，若4qB,則/是8的充分條件，8是/的必要條件；若A=B,則4、8互為充要條件.

(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要

性)

典型題例示范講解

例1已知岡1-X312x+l—〃7父0("?>0),若“是Lq的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種

命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性，

知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解

變得簡(jiǎn)單明了.

錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語

言理解上的困難.

技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解

集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.

解:由題意知:

命題:若“是F的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為步是q的充分不必要條件.

X—1r—1r—1

p:|l-2n—ZWL-IW2n—1WW3n—24W10

333

2x+l—掰2<0=>[x—(1—⑼][x-(l+川)]WO*

,:p是q的充分不必要條件，，不等式|L的解集是f-2r+l-渥wo(心o)解集的子集，

fl—w<—2[m>1

又'.,加>0；.不等式*的解集為1—，〃WXW1+/M；.J=><，，/?29,

[1+m>10[m>9

...實(shí)數(shù)〃?的取值范圍是[9,+8).

例2已知數(shù)列｛a,,｝的前n項(xiàng)S,=//+gg#0,p#1),求數(shù)列｛?。堑缺葦?shù)列的充要條件.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題忖的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

知識(shí)依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前〃項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格

利用定義去判定.

錯(cuò)解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.

技巧與方法；由a,尸(〃="關(guān)系式去尋找an與a?+l的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.

1

解5=Si=p+q.當(dāng)“22時(shí)，a,j=S?—S?-1=p(p—1)'；p豐0,pWl,：./~—=p

P"~(P-1)

若｛%｝為等比數(shù)列，則”=如ME=p,

p+q

???p關(guān)0,:.p_\=p~^q,???片—1

這是｛4｝為等比數(shù)列的必要條件.

下面證明q=T是｛孫｝為等比數(shù)列的充分條件.

當(dāng)年=—1時(shí)，，S〃=p"—l(pW0,pWl),ai=Si=p—l

nn,

當(dāng)時(shí)，a?=Sn—S?-l=p—p"^'=p(p—l)

n

：.an=(p-l)p-'1)且」=?*=p為常數(shù)

?n-i("DP-

/.<7=-l時(shí)，數(shù)列｛斯｝為等比數(shù)列.即數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列的充要條件為廣一1.

例3已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程f+ax+b=O有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。、￡,

證明：|a|<2且|￡|<2是2團(tuán)<4+6且|切<4的充要條件.

證明：(1)充分性:由韋達(dá)定理,得步|=|。?0=|?|川〈2*2=4.

設(shè)j[x)=^+ax+h,則/(x)的圖象是開口向上的拋物線.

XIa|<2,|￡|<2,.\X±2)>0,即有廠+24+6>0=4+Z?2a>-(4+6)又向<4n4+b>0=2\a\<4+b

[4-2a+b>0

⑵必要性：

由21al<4+b=>/(±2)>0且/(x)的圖象是開口向上的拋物線.

...方程以尸0的兩根。，￡同在(一2,2)內(nèi)或無實(shí)根.

?；a,￡是方程/(x)=0的實(shí)根，，萬同在(一2,2)內(nèi)，即|。|<2且|￡|<2,

例4寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.

(1)若X、y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；

(2)xy=O,貝ll;v=O或尸0；

(3)若一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)是奇數(shù).

解：(1)命題的否定：x、y都是奇數(shù)，則不是偶數(shù)，為假命題.

原命題的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題.

(2)命題的否定：貝且yHO,為假命題.

原命題的否命題：若kW0,則xWO且yHO,是真命題.

(3)命題的否定：一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，是假命題.

原命題的否命題：若一個(gè)數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個(gè)數(shù)不是奇數(shù)，為假命題.

例5有力、8、C三個(gè)盒子，其中一個(gè)內(nèi)放有一個(gè)蘋果，在三個(gè)盒子上各有一張紙條.

A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)”，

8盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”，

C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在4盒內(nèi)”.

如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請(qǐng)問蘋果究竟在?那個(gè)盒子里？

解：若蘋果在力盒內(nèi)，則/、8兩個(gè)盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

若蘋果在8盒內(nèi)，則/、8兩個(gè)盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在8

盒內(nèi).

同樣，若蘋果在C盒內(nèi)，則8、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.

綜上，蘋果在8盒內(nèi).

3,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一運(yùn)用向量法解題

高考要求

平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考

查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.

重難點(diǎn)歸納；

1.解決關(guān)于向量問題時(shí)，-要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)

算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí),二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.

2.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明

向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.

3,用空間向量解決立體兒何問題?般可按以下過程進(jìn)行思考：

(1)要解決的問題可用什么向量知識(shí)來解決？需要用到哪些向量？

(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？

(3)所需要的向量若不能直接用己知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未

知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？_________A1

(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？cr

典型題例示范講解：

例1如圖，已知平行六面體181G5的底面是菱形，且NGC8=BZ

C}CD=ZBCD.CD

CD

(1)求證：GC，3D(2)當(dāng)一的值為多少時(shí)，能使小CL平面G4。？請(qǐng)給出證明.

CC、

命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對(duì)立體兒何圖形的解讀能力.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論

證變得簡(jiǎn)單.

錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚己知條件中

提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系，

技巧與方法；利用G，BoG?B=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可.

⑴證明：設(shè)赤=石，麗=B,西=乙依題意，\a\=\b\,CD.CB,匕中兩兩所成夾角為。，于是

DB=a-b,CC\BD=c(a—b)=c,a—c,b=\c\'\a|cos9—\c\,\b|cos0=0,CtCLBD.

⑵解：若使4C_L平面Cd。，只須證小C_LBL>,AtCA.DCi，B,A,

________———c,---------“

由。4VO=(C/+44J(C?！狢CJ

B，A

=(a+b+c).(5—c)=|a|2+5-b—b?c—|c|2

=\a|2—|c|,|a|cosO-\b\*\c\'cos9=0,得

當(dāng)|G=Q|時(shí)，AiCLDCi，同理可證當(dāng)|1|=修|時(shí)，AiCLBD,時(shí),

小。1■平面C\BD.

例2如圖，直三棱柱NBC—小&G，底面△/8C中，CA=CB=\,NBCA=90°,

44戶2,M、，分別是小當(dāng)、小，的中點(diǎn).

(1)求麗的長(zhǎng)；(2)求cosv明'，西〉的值；

(3)求證：A{BYC\M.

命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體

幾何問題.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系。一az,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).

錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo).

技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的/、8、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的

點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系。一般

依題意得：5(0,1,0),Ml，0,1)

；.|BN|=7(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=V3.

(2)1?!依題意得：小(1,0,2),C(0,0,0),5(0,1,2).

...可=(1,一1,2),函=(0,1,2)鳳?西=lX0+(-l)Xl+2X2=3

222

IBAt|=A/(1-0)+(0-1)+(2-0)=V6

BA^CB,_3_V30

ICB1|=’(O-O'+(1-0)2+(2-0)2=V5

cos<BAX,CBX>=|西|.|西「辰石一記

11------11——

(3)證明：依題意得：G(0,0,2),M?2)GM=(—0),48=(—1,1,-2)

2222

—?——?11—?——?

A【B,C、M=(―1)x5+1x—+(—2)x0=0,AyBA-C^M,??A\B

例3三角形力比中，力(5,-1)、夙-1,7)、C(l,2),求：⑴勿邊上的中線和/的長(zhǎng)；⑵/西的平分

線｛〃的長(zhǎng)；(3)cos4%的值.

解：⑴點(diǎn)"的坐標(biāo)為x卡三1=。;”寫《V221

?''I

2

(2)|益|=7(5+1)2+(-1-7)2=10,|^C|=7(5-1)2+(-1-2)2=5

。點(diǎn)分Z的比為2..?.切=7+2x1」7+2x2.

1+231+23

I4D|=^(5-1)2+(-l-y)2V2.

(3)/Z8C是而與死的夾角，而現(xiàn)=(6,8),SC=(2--5).

…瓦氏6x2+(-8)x(-5)522629

?以一甌.匠「尸守.產(chǎn)許一四

?cos”1]0145

4,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系

高考要求：

三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和

密切的聯(lián)系，同時(shí)也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具,高考試題中近一半的試題與這三個(gè)“二次”問

題有關(guān),本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法，

重難點(diǎn)歸納：

1.二次函數(shù)的基本性質(zhì)

(1)二次函數(shù)的三種表示法：

y=ax2+bx+c;y=a(x—x］)(x—xi)',y=a(x—x^y+n.

⑵當(dāng)。＞0,危)在區(qū)間［p,g］上的最大值M,最小值嘰令x()=；(p+辦

hh

若一若pW-?0,則/(一尸機(jī)尸

五M

若xoW—?jiǎng)t/⑦尸即一二)=加；若一金則小尸

2a2a2a

2.二次方程人工尸4f+bx+c=0的實(shí)根分布及條件.

(1)方程外尸0的兩根中一根比r大，另一根比一?。?＞。?/r)＜0;

A=/)2-4^700,

b

(2)二次方程兀0=0的兩根都大于尸O＜-->r.

2a

。?/⑺>0

△=/-4ac>0,

b

P<-—<Q,

(3)二次方程人r)=0在區(qū)間。⑺內(nèi)有兩根＜=＞?2a

。?八q)>o,

。?/(P)>°；

(4)二次方程尸o在區(qū)間伊,夕)內(nèi)只有一根。加)?人《)<0,或/(0=0(檢驗(yàn))或x分=o(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在仍⑺

內(nèi)成立.

⑸方程段)=0兩根的一根大于P,另一根小于q(pVq)O,"'3

a-f(q)>0

3.二次不等式轉(zhuǎn)化策略

⑴二次不等式加)=af+bx+cW0的解集是：(一8,a])U[。。<0且次。月(￡)=0；

(2)當(dāng)。>0時(shí)，勺(￡)0|。+舁|肘+昌,

2a2a

當(dāng)K0時(shí)，火。)飲￡)0|。+二|>|￡+二|;

2a2a

/b

bPgF7'或-“

當(dāng)時(shí)，二次不等式外)>在恒成立。「工<''或<

(3)a>00[p,q]或■{2a

，/Xp)>o,

2a

一」.>0,3=b=0,a<0,fa=b=0

(4)/(x)>0怛成立或47(x)<0恒成立o或<

IA<0,\c>0;A<0,lc<0.

典型題例示范講解，

例1已知二次函數(shù).加0="2+版+。和一次函數(shù)蛉)=一版，其中4、b、c滿足G>b>c,q+6+c=0,(q,b,cGR>

(1)求證:兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)N、B:

(2)求線段Z8在x軸上的射影小步的長(zhǎng)的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識(shí)來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合.

錯(cuò)解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解

問題的突破口，而忽略了“數(shù)”.

技巧與方法：利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化，

r2

⑴證明:由\y=ax~+bx+c消去y得水2+2/>.r+c=0

y=-bx

c3

zl=4b2—4ac=4(-a~c)2-4ac=4(a2+ac+c2)=4L(a+-)2+-c2],/a+b+c=O,a>b>c,/.a>0,c<0

a

...1c2>0,.,.〃>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

226c

⑵解:設(shè)方程ar+ftx+c=0的兩根為X)和立則X]+x2=——出M=—?

aa

|小訓(xùn)2=3—M)2=(XI+Q)2-4兇=(-2)2-絲=4加；4訛=4(-所?4g=4[(￡)2+￡+1]=4[(￡+1)2+3]

aaa~a~aaa24

Q1

?.,4>6>CM+b+c=OM>O,cvO.二々〉——a——c>c,解得——￡(——2,————)

a2

?."(￡)=4[(與2+￡+1]的對(duì)稱軸方程是￡=」上6(_2,一_1)時(shí)，為減函數(shù)

aaaa2a2

.?.0/1年(3,12),故(百,2百)

例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2，〃+l=a

(1)若方程有兩根，其中-根在區(qū)間(一1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求機(jī)的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0,1)內(nèi)，求機(jī)的范圍.

命題意圖：本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題.

知識(shí)依托：解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對(duì)于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義.

錯(cuò)解分析:用二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)方程的根進(jìn)行限制時(shí)，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn).

技巧與方法：設(shè)出二次方程對(duì)應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制.

解：(1)條件說明拋物線40=/+2,肛+2〃?+1與工軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(-1,0)和(1,2)內(nèi)，畫出示意圖，得

/(0)=2m+l<0,

/(-D=2>0,=<

'/(l)=4w+2<0,=><

/(2)=6m+5>0

(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0,1)內(nèi)，列不等式組

1

m>—,

7(o)>o,2

1

/(1)>0,m>——,

A>0,2

6或m<

0<-m<1/w>1+1-V2,

-1<w<0.

(這里0<一切<1是因?yàn)閷?duì)稱軸x=一m應(yīng)在區(qū)間(0,1)內(nèi)通過)

例3已知對(duì)于x的所有實(shí)數(shù)值，二次函數(shù)危)=、2—4赤+24+12(。611)的值都是非負(fù)的,求關(guān)于工的方程」一=\a

a+2

-l|+2的根的取值范圍.

解:由條件知4W0,即(一4。)2—4(2O+12)W0,，--WaW2

-11

(1)當(dāng)一一WaVl時(shí),原方程化為x=—a2+a+6,\*—a2+a+6=—(a——)2+—.

,3葉91,25.9vv25

??4=一二■時(shí)，X=-,^=-nnt，x=—....

2miw42max444

⑵當(dāng)1Wa42時(shí)，X=/+3Q+2=(4+—尸——當(dāng)a=\時(shí)，匹田〃=6,當(dāng)a=2時(shí)，工皿=12,6WxW12

24

9

綜上所述,啟12.

4

5,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一求解函數(shù)解析式的幾種常用方法

高考要求：

求解函數(shù)解析式是高考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，需引起重視,本節(jié)主要幫助考生在深刻理解函數(shù)定義的基礎(chǔ)上,

掌握求函數(shù)解析式的幾種方法，并形成能力，并培養(yǎng)考生的創(chuàng)新能力和解決實(shí)際問題的能力.

重難點(diǎn)歸納：

求解函數(shù)解析式的幾種常用方法主要有：

1.待定系數(shù)法，如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時(shí).，用待定系數(shù)法；

2.換元法或配湊法，已知復(fù)合函數(shù)/[g(x)]的表達(dá)式可用換元法，當(dāng)表達(dá)式較簡(jiǎn)單時(shí)也可用配湊法；

3,消參法，若已知抽象的函數(shù)表達(dá)式，則用解方程組消參的方法求解,/?;

另外，在解題過程中經(jīng)常用到分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.

典型題例示范講解

例1(1)已知函數(shù)加)滿足40&㈤=—^—(x-■-)(其中4>0,aWljc>0),求/(x)的表達(dá)式.

a~-1x

(2)已知二次函數(shù)_/(x)="2+6x+c滿足貝1)|=)/(-1)|=]/(0)|=1,求/(x)的表達(dá)式，

命題意圖：本題主要考查函數(shù)概念中的三要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則，以及計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)

的能力.

知識(shí)依托：利用函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，特別是對(duì)uf的理解，用好等價(jià)轉(zhuǎn)化，注意定義域

錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求較高，對(duì)定義域的考查、等價(jià)轉(zhuǎn)化易出錯(cuò).

技巧與方法：(1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法.

解：(1)令t=log,N(4>1,/>0;0<6?<1,/vO),則x=a.

因此次。=——(a—a~f).'..Xx)=—(ax—a~x)[a>1^>0;0<^<1^<0)

a-1a-1

?=1[/(1)+/(-1)]-/(0)

(2)由,/(1)=a+b+c,f(~1)=a~b+c^=c得"=；[_/?⑴-/(-l)]并且人1)、人一1)、/⑼不能同時(shí)等于1

c=/(0)

或一1,所以所求函數(shù)為：

/(x)=2x2—1或./0=_2/+]或./(*尸_,_什]或/x)=x2_x_]或y(x尸一/+%+1或大打三產(chǎn)+工一1.

例2設(shè)<x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xW-l時(shí)，yjx)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(一2,0),斜率為1的射線，又在

月(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0,2),且過點(diǎn)(一1,1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)./(X)的表達(dá)式，并在圖中作

出其圖象.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)基本知識(shí)、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對(duì)分段函數(shù)的分析需

要較強(qiáng)的思維能力,因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型.

知識(shí)依托：函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線.

錯(cuò)解分析：本題對(duì)思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識(shí)易發(fā)生混亂.

技巧與方法：合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式.

解：(1)當(dāng)xW—1時(shí)，設(shè)/(x)=x+Z>,.?射線過點(diǎn)(一2,0).；.0=—2+b即/>=2,'.j[x}=x+2.

(2)當(dāng)一11時(shí)，設(shè)_f(x)=ax2+2.

?拋物線過點(diǎn)(-1,1),1=。?(-1)2+2,即4=—■1.7/(X尸一/+2

x+l,x<-1

(3)當(dāng)在1時(shí)，外尸一x+2綜上可知：危尸■2-X2,-1<X<1作圖由讀者來完成

-x+2,x>1

例3已知/(2—cost尸cos2t+cosx,求兒~1>

解法一：(換元法)

cosx)=cos2r_co&x=2cos2x-cosx-1令”=2—cosx(lW〃W3),則cosx=2-u

."?X2—cosx)=y(w)=2(2—u)2—(2—M)—1=2"2—7〃+5(1W〃W3)

1)=2(X-1)2-7(X-1)+5=2?-1lx+4(2WxW4)

解法二：(配湊法)

fi2—co&r)=2cos2x_co&r-1=2(2—cosx)2—7(2—cosx)+5/(x)=2x2—7x—5(l^x^3),

即f{x—1)=2(x—1)"—7(x—1)+5=2/-11_Y+14(2W啟4),

6,題目：高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用

高考要求

函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一,本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，

并會(huì)用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問題.

重難點(diǎn)歸納：

(1)求函數(shù)的值域

此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法：配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法

等.無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域

(2)函數(shù)的綜合性題目

此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識(shí)相結(jié)合的題目.

此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力.在今后的命題趨勢(shì)中綜

合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng).

(3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題

此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識(shí)去解決此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力

和數(shù)學(xué)建模能力.

典型題例示范講解：

例1設(shè)計(jì)一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840cm2,畫面的寬與高的比為八(/<1),畫面的上、下各留8cm的空

白，左右各留5cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最??？

23

如果要求兒e那么才為何值時(shí)，能使宣傳畫所用紙張面積最??？

34

命題意圖：本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時(shí)考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能

力.

知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識(shí).

錯(cuò)解分析：證明S(4)在區(qū)間［余;］上的單調(diào)性容易出錯(cuò)，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來

解決.

技巧與方法：本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

解：設(shè)畫面高為xcm,寬為/txcm,則4》2=4840,設(shè)紙張面積為Scm2,

則S=(x+16)(^x4-10)=^x2+(16^+l0)x+160,

將尸名坦代入上式得：5=5000+44Vio(8航+2

當(dāng)8小爰，即4=(彳〈1)時(shí)$取得最小值?

14?40S

此時(shí)高：x=-------=88cm,寬："=—X88=55cm.

A8

如果北(如可2設(shè)3工

34

S(4)-S(2,)=44A而(8"255

則山S的表達(dá)式得:故8一二=>0,

38國(guó)

-44y[l0(yl^-y[A^)(S--j=^==)

，S(L)-S(12)<0,，S(4)在區(qū)間［\二］內(nèi)單調(diào)遞增.從而對(duì)于4G［4,］,當(dāng)4=4時(shí)，s(4)取得最小值.

34343

7T,7

答：畫面高為88cm,寬為55cm時(shí)，所用紙張面積最小,如果要求4e［,當(dāng):時(shí)，所用紙張面

積最小,

例2已知函數(shù)於尸尸+2x+。/右[],+8)

X

(1)當(dāng)a=g時(shí)，求函數(shù)y(x)的最小值.

(2)若對(duì)任意Xd[l,+8)?x)>0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

命題意圖：本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力.

知識(shí)依托：本題主要通過求./(X)的最值問題來求。的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想.

錯(cuò)解分析：考生不易考慮把求。的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決.

技巧與方法：解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把./(x)〉。轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得.

⑴解當(dāng)片,時(shí)，/)=x+」-+2?"x)在區(qū)間[1,+8)上為增函數(shù)，

22x

7

在區(qū)間[1,+8)上的最小值為負(fù)1尸萬.

(2)解法一：在區(qū)間[1,+8)上,外尸廠+2.+4>0恒成立ox2+2x+q>0恒成立.

X

設(shè)y=x2+2x+a^cG[l,+<=o)-：y=x2+2x+a=(x+l)2+a-1遞增，

當(dāng)x=l時(shí)，J，min=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)^injn=3+a>0時(shí)，函數(shù)/(x)>0恒成立，故a>一3,

解法二：XX)=X+-+2AG[1,+8)當(dāng)。)0時(shí)，函數(shù)段)的值恒為正；當(dāng)。<0時(shí)，函數(shù)人x)遞增，故當(dāng)x=l時(shí),

X

兀v)min=3+。,當(dāng)且僅當(dāng)f(x)min=3+a>0時(shí),函數(shù)f(x)>0恒成立,故a>—3.

例3設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M={m\m>\}J(x)=\og^x2—4mx+4m2+m^-----)

(1)證明：當(dāng)時(shí)，益)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若危)對(duì)所有實(shí)數(shù)x都有意義，則加

(2)當(dāng)加/時(shí)，求函數(shù)兒1)的最小值.

(3)求證：對(duì)每個(gè)函數(shù)")的最小值都不小于1?

⑴證明：先將外)變形：y(x)=log3[(%-2M加十一)一]，當(dāng)加￡歷時(shí)，加)2+加+_!_>0恒成立，

m-\tn-\

故人X)的定義域?yàn)镽，反之，若寅X)對(duì)所有實(shí)數(shù)X都有意義,則只須X?—4ax+癡2+燒+—!—>0,令/<0,即16病

—4(4〃?，加+—--)V0,解得機(jī)>1,故TH￡M

m-\

(2)解析2設(shè)u=x—4〃zr+44+〃?+-------,

m-\

*.,y=log3W是增函數(shù)，，當(dāng)〃最小時(shí)，小)最小,而〃=(%—2〃?/+加+—?—，顯然，當(dāng)x=tn時(shí)，〃取最小值為

m-\

加+--—，此時(shí)/2⑼=log3(加+—-—)為最小值?

m-\m-\

(3)證明：當(dāng)加時(shí)，機(jī)+—--=(m-1)+—-—+123,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時(shí)等號(hào)成立..,.log3(〃汁---)2

m-\m-\m-\

log33=L

7,題目.高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座一處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法(1)

高考要求

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出,本

節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識(shí)單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象,幫助

考生學(xué)會(huì)怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識(shí)

重難點(diǎn)歸納：

(1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性

若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.

若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.

同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對(duì)所列的訓(xùn)練認(rèn)真體會(huì)，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù).

(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目.

(3)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識(shí)的能力，并具

有綜合分析問題和解決問題的能力.

(4)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的

思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡(jiǎn)單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求

實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.

典型題例示范講解：

例1已知奇函數(shù)Hx)是定義在(一3,3)上的減函數(shù)，且滿足不等式加-3)-嗔￥-3)<0,設(shè)不等式解集為4,B=A

U{尤|lWxWV5}，求函數(shù)g(x)=—3f+3x—4(x^8)的最大值.

命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力.

知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.

錯(cuò)解分析"題目不等式中的號(hào)如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易

漏掉定義域.

技巧與方法：借助奇偶性脫去“廣號(hào)，轉(zhuǎn)化為x的不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.

-3<x-3<3|0<x<6

解:由-3一-3<3得-后<x<L且xWO,故OvxvC,

V6

又：危)是奇函數(shù)，.3)<一—3)=/(3—》2)又危)在(一3,3)上是減函數(shù),

3>3—V即6>0,解得x>2或x<—3,綜上得24〈而，即A={x\l<x<y[(>},

/?B=AU{x|lWxWy［5}={x|l^x<V6}，又g(x)=-3x?+3x—4=—3(x—g)2—7知g(x)在B上為減函數(shù)，

?■?g(-v)max=g(l)=-4.

例2已知奇函數(shù)人x)的定義域?yàn)镽,且40在［0,+8)上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)〃?，使7(cos23)tA4m一

2mcos，)X0)對(duì)所有"W［0,'］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由.

命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力，

知識(shí)依托：主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間

上的最值問題.

錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法.

技巧與方法：主要運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題.

解：../x)是R上的奇函數(shù)，且在［0,+8)上是增函數(shù)，.?小x)是R上的增函數(shù).于是不等式可等價(jià)地轉(zhuǎn)化

為/(cos2夕-3)刁(2根cos0—4/H),

即cos29一3>2mcos夕一4〃?,即cos2，一加cos。+2〃?一2>0,設(shè)片cos則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù)

g(f)=/2—wr+2/w—2=(/——)2--^―+2w—