2023-2024學(xué)年四川省雅安市高三年級(jí)下冊(cè)開學(xué)考試聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題（含解析）

2023-2024學(xué)年四川省雅安市高三下學(xué)期開學(xué)考試聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）

試題

考生注意：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分

鐘.

2.請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上.

3.本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容.

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.復(fù)數(shù)為（3一i）的共軌復(fù)數(shù)為（）

A.2+6iB.2-6iC.-2+6iD.-2-6i

2.已知集合"=2卜一Z9則八八（

)

)(同

A,0，+°°)B.[T+8c,D.H,S]

sin/=2

3.的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,C.已知a=3,6=2,3,則

cos5=()

V65V654,V65

A.丁B.9C.9D.-9

5滿足同=3孔且G+2"G一切，財(cái)

4.己知非零向量與B夾角的余弦值為

()

1￡]_1

A.12B.6C.4D.3

5.己知是三條不重合的直線，出民/是三個(gè)不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是

()

A,若/〃氏?！?，貝〃〃尸

B.若ac0=l,m“I,則優(yōu)〃a且加〃夕

C.若/_L私/_L%加ua,〃ua,則/_La

D.若ic分=/,a_L/,￡_L/,則/

心F

6.函數(shù).x--l的圖象大致為（）

7.一組數(shù)據(jù)叼馬，4…x”的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為3和1,另一組數(shù)據(jù)

3+6,6txi+bax3+baxn+b（其中0>0）的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為10和4,則

。"=（）

1]_

A.16B.8C.16D.8

8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的值為。=0?3°2,b=0.203,c=-log020.3,則輸出的

值為（）

logo.20302

A.B.O.3Q0.2°3D.—l°go.203

9.已知函數(shù)"X）=2'+&-4,若存在再使得則下列結(jié)論不正確的

是（）

再x>l

A,<1B.2

C./卜）在（4馬）內(nèi)有零點(diǎn)D.若/（X）在（“2J內(nèi)有零點(diǎn)，則

x+x

x2>0

2

10.當(dāng)兩個(gè)變量呈非線性相關(guān)時(shí)，有些可以通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換進(jìn)行線性相關(guān)化，比如反比例關(guān)

k1

z=—

下列表格中的數(shù)據(jù)可

A.2.98B.2.88C.2.78D.2.68

f（x）=2sin2j+V3sina>x+—\-2（a）>0}

11.若函數(shù)（2口I6）IJ在[”可上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則

。的取值范圍為（）

1325^|<1325

.3句R〔3'3.C.［不力D.E不一

~~22

G:―=l（ci>0,b>0^。2：4—~r—1（^>0,6>0）

12.我們把形如ab和6a的兩個(gè)雙曲線叫做共

23

—I—

扼雙曲線.設(shè)共鈍雙曲線G,6的離心率分別為6,4,則當(dāng)q02取得最大值時(shí)，

【（）

叵叵叵叵

A.2B.3C.6D.13

第n卷

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.

x+y—4<0

<x-l>0

13.已知實(shí)數(shù)x,了滿足約束條件口一1'°,則其表示的封閉區(qū)域的面積為.

14.已知拋物線E：r=8x的焦點(diǎn)為尸，伙方'%）是E上一點(diǎn),河-丁/=

15.一個(gè)封閉的玻璃圓錐容器內(nèi)裝有部分水（如圖1）,此時(shí)水面與線段工。交于點(diǎn)8,

產(chǎn)=

將其倒置后（如圖2）,水面與線段/O還是交于點(diǎn)8,貝八/°）_____.

16.已知‘分別是函數(shù)/（x）=x+e、_xe*和g（x）=x+lnx_xlnx的零點(diǎn)，且［〉］,

11

---1---=

△>e,則aB.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,

每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

冊(cè)I4+”+”+…+區(qū)=小2"|

17.已知數(shù)列但，了滿足23?

(1)求{%}的通項(xiàng)公式;

⑵求數(shù)列⑵+2J的前〃項(xiàng)和兀

18.為了防止注冊(cè)賬號(hào)被他人非法登錄，某系統(tǒng)在賬號(hào)登錄前，要先輸入.已知該系統(tǒng)登入

設(shè)置的每個(gè)均由有序數(shù)字串組成，其中a，6，ce{1,2,3},某人非法登錄一個(gè)賬號(hào)，任選一

組輸入.

(1)求這個(gè)人輸入的恰有兩位正確的概率；

(2)若這個(gè)人通過技術(shù)獲得了的第一位數(shù)，求這個(gè)人輸入的正確的概率.

19.如圖，在四棱柱'88一N4G2中，底面N8CD和側(cè)面均是邊長(zhǎng)為2的正方

(1)證明：BDi1B'C.

(2)若SBC=120°,求點(diǎn)G至呼面BCD,的距離.

20.已知函數(shù)/(x)=Mlnxj)+lnx+a.

⑴若。=1,當(dāng)X>1時(shí)，證明：

⑵若a<2,證明：/(X)恰有一個(gè)零點(diǎn).

21.己知橢圓°靛+鏟一I'"">"的離心率為工~,且橢圓0的短軸長(zhǎng)為2n.

⑴求橢圓C的方程.

⑵設(shè)尸是橢圓C上第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，A是橢圓C的左頂點(diǎn)，8是橢圓C的上頂點(diǎn)，直線

力與了軸相交于點(diǎn)直線尸3與x軸相交于點(diǎn)N.記A/BN的面積為耳，AMN的面積為

邑.證明：田一邑|為定值.

(-)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第

一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

卜=cos6+sine

22.已知曲線C的參數(shù)方程為b=cose-sind(夕為參數(shù))，直線/的參數(shù)方程為

.1

x=—+tcosa

<2

1

y=—+Zsin?

「2a為參數(shù))，/與C相交于A,B兩點(diǎn).

(1)求曲線C的普通方程；

⑵設(shè)(22),證明：⑼?網(wǎng)為定值.

［選修4-5：不等式選講］

23.已知正實(shí)數(shù)。，b,c滿足/+〃+。2=3.

11c

——+—>2

(1)若。=1,證明：bc

⑵求湖+bc+ca的最大值.

1.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)方。-。，再利用共軟復(fù)數(shù)的定義可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)槿f(wàn)（3-。=6「萬(wàn)2=2+&,故復(fù)數(shù)的共輒復(fù)數(shù)為2-6i.

故選：B.

2.B

【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法及函數(shù)定義域的求法，由集合并集可得結(jié)果.

【詳解】由,一2歸3,解得一”xw5,所以/=[T5].

1

因?yàn)楹瘮?shù)五口的定義域?yàn)閧?。?},所以2=0，+°°）,

所以"*={XQT},

故選：B.

3.A

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

—sirtB=-

【詳解】由正弦定理知，sin/sinS,則9.因?yàn)?＜。，所以

cosB=Vl-sin2S=

9.

故選：A

4.B

【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的運(yùn)算律，代入計(jì)算，結(jié)合平面向量的夾角計(jì)算公式，即可得

到結(jié)果.

.、*即、（5+2Z））±（5-4Z＞）

【詳解】因?yàn)?）、）,

所以@+2不）,一43）=a2-2a-b-Sb2=b2-2a-b=Q

-b2

COS0=-^-|4|21_

26

設(shè)日與行的夾角為夕，則同W3b

故選：B

5.D

【分析】根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)

線面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,若/〃。，a〃尸，則/〃〃或人錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若ac/3=l,m41,則當(dāng)％<za且加<z￡時(shí)，才有?〃〃a且加〃尸，B錯(cuò)誤;

對(duì)于C,若/,機(jī),/J■凡加ua,〃ua,當(dāng)“〃”時(shí)，推不出/_La,c錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如圖，設(shè)2口7=加，方□/=〃，在7內(nèi)取點(diǎn)尸，P走m,P史n,

作尸4,私P8L”,垂足為4臺(tái)，因?yàn)閍，八夕，7,則P/，生尸8，萬(wàn)，

而/ua,/u#,則P8_L/,又PARPB=A,PA,PBuy,

6.A

【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可得到選項(xiàng).

ox_1_O-X&X,&一X

fG)=。+。f(—X)=。+。=f(x)

【詳解】由函數(shù)I廠x2-l,'I.尸x2-l",令》2-「0,解得xw±l,

則其定義域?yàn)閧x1x*±l},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

f(O)=^3°+-3°=-2

所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C,D選項(xiàng)，因?yàn)镴T,觀察選項(xiàng)可知，選

A.

故選：A

7.C

【分析】根據(jù)兩組數(shù)據(jù)的線性關(guān)系確定它們的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系列方程，即可得。涉的

值，從而可得答案.

3a+b=10

22

<axl=4[a=4i

【詳解】由題可知，〔°口,解得也=一2,則16.

故選：C.

8.D

【分析】執(zhí)行程序框圖可知，輸出的值為最小值，故判斷出仇,的大小關(guān)系即可得到答案.

【詳解】執(zhí)行程序框圖可知，第一次判斷輸出中較小的數(shù)記為。，

再進(jìn)行第二次判斷，將。與c進(jìn)行比較，記較小的數(shù)為。，最終輸出.

故輸出的值為a，b，c的最小值.

33

。=-logo,203=Tog177=log—<log1=0

因?yàn)椤?0.3°2>0,b=O.20-3>0,55

所以輸出的值為T°g0203.

故選：D

9.A

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.

【詳解】因?yàn)?x）=2、+4-4在［0,+e）上單調(diào)遞增，且&＜2/（再）/6）＜0,

所以/（再）＜°,/（尤2）＞°,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得函數(shù)/（x）在（占戶2）內(nèi)有零點(diǎn)，故c正確;

又因?yàn)樗阅常?,故B正確;

___3

又因?yàn)?121）=2.+位1-4＜27.9=2后-2.9＜。，則,可能大于1，故人不正確；

若函數(shù)JU）在I2J內(nèi)有零點(diǎn)，貝。I2J，故D正確.

故選：A.

10.B

【分析】設(shè)，=/后，得到了與z之間的關(guān)系表格，計(jì)算出z，y的值，利用色，》）在線性回歸

方程上進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】設(shè)z=,，貝口=°」43+g,則

Z149162536

y2.53.64.45.46.67.5

_1+4+9+16+25+3691

z-------------------------------------

則66,

_2.5+3.6+4.4+5.4+6.6+7.5

y=--------------------------------------=5

6,

?91

Z)=y-0.14z=5-0.14x—?2.88

則6

故選：B.

11.C

【分析】利用三角恒等變換先化簡(jiǎn)函數(shù)式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計(jì)算即可.

f(x)=1-cos2sina)x+-\-2

【詳解】?LI6

=-sin(yx+—cos?x-l=sinf<yx+-71>|-l

223

71

COXH---=1

令"x)=。，得sin3

兀7171

—<CDX+—<COTI+—

由0?工《兀，得333

sin(DX+—=1

因?yàn)镮3恰有兩解,

5兀719711325

——<a)x+—<——=@w

所以23266

故選：C

12.A

232a+3ba=ccos。,

—i—=----------0<6><^

【分析】根據(jù)題意可得6%c，由,2+b\可設(shè)b=csmO結(jié)合

三角恒等變換與正弦型函數(shù)的最值即可得答案.

c

，=-

a

C2+巨=的+/=24+36

【詳解】由題意可知?jiǎng)t，,2。。c

a=ccos6,

o<e苫

由。2=/+〃，可設(shè)b=csin。

3

coscp——-^=,

V13

0

232ccos0+3csin6.2

—I—二=3sin6+2cos0=V13sin(0+0)sincp=—f=

則eie2c,其中<13

23

71兀八?！狪—

0+(D=—O=(06

當(dāng)2,即2時(shí),>取得最大值屈,

C1

，=-

aCCOS0COS0

此時(shí)

故選：A.

13.2

【分析】利用線性規(guī)劃作出約束條件所表示的封閉區(qū)域，從而得解.

【詳解】根據(jù)約束條件作出的平面區(qū)域圖如圖所示,

易得4(1,1),2(3,1),C(l,3),

S=-\AB\-\AC\=-X2X2=2

則’2112,故封閉區(qū)域的面積為2.

故2.

14.6

【分析】根據(jù)拋物線的定義及焦半徑公式計(jì)算即可.

【詳解】由題可矢‘2，°"叼=%+2=苧》=6

故6

15.2##0.5

【分析】由已知可得前后兩次水面的交點(diǎn)相同可得圓錐的體積是圓錐體積的一半，再

由圓錐的體積公式計(jì)算可求.

【詳解】由題意知，在圖1中，圓錐的體積是圓錐體積的一半，分別設(shè)圓8,圓。的

12

"—TIK,A.B

VAB31AB

AAO4

??'。-Ttr^-AO?

半徑為勾馬，則3-

故5

16.1

【分析】求/'("),判斷函數(shù)/(%)在O'+8)上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)及單調(diào)性可得

11

---1----

a=ln￡,化簡(jiǎn)可得a尸的值.

【詳解】由題意可得a+ea-ae"=O,。+ln。-°=0,

又r(x)=l+e"(x+l)e』-xe，,當(dāng)》>1時(shí)，/'3<。，所以(G)在0，+°°)上單調(diào)遞減,

因?yàn)閍>l,ln￡>lne=l,且ln'+夕一'In,,

1+1_a+j3_\nj3+j3_j3]nj3

又/(a)=a+e°—ae。，所以a=ln/?,所以戊BaP01n/3

故1.

*(]產(chǎn)=〃("+1)2"

⑵4=(〃T"+1

【分析】(1)根據(jù)題意，當(dāng)〃22時(shí)，用(”一1)替換〃，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果;

(2)根據(jù)題意，由錯(cuò)位相減法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)當(dāng)〃=1時(shí)，％=4.

、％+”+”+...+工=〃.2""a+區(qū)+2+...+也-1).2"

當(dāng)“22時(shí)，由?23n，得?23?-1V7

則〃V'J,則?！?+,

因?yàn)椤兑卜仙鲜?，所以?"("+1>2"

———=n-

(2)由(1)可知，2H+2

貝I」/；=lx20+2x2i+3x22+?—+〃-2"T

貝g27；=lx2i+2x22+3x23+L+n-2"

2°-2"

~T=2°+2i+2?+…+2"T-"-2"=-n-2n=-l+(l-n)-2"

兩式相減得1-2

則1W+1.

2

18.（1）9

j_

⑵9

【分析】（1）利用古典概型的概率求解；

（2）利用古典概型的概率求解.

【詳解】（1）解：由題可知，所有的包括

111,112,113,121,122,123,131,132,133,211,212,213,221,222,223,231,

232,233,311,312,313,321,322,323,331,332,333,共27種.

不妨設(shè)正確的為111,則恰有兩位正確的包括112,113,121,131,211,311,共6種，

_6__2

故這個(gè)人輸入的恰有兩位正確的概率為萬(wàn)一§.

（2）不妨設(shè)正確的為111,這個(gè)人通過技術(shù)獲得的的第一位數(shù)為1,

則這個(gè)人輸入的可能為111,112,113,121,122,123,131,132,133,共9種，

則這個(gè)人輸入的正確的概率為3.

19.（1）證明見解析

2后

⑵7

【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直，先連接8G,由已知得到四邊形2CG用為菱形后推

tBBC'1B'c,再證明G2■平面得到CQi’qc,推出與C,平面8G2,最后可

證明.

S=—x2?=

（2）用等體積法求點(diǎn)到面的距離，先求出14,得到

]2-\/3?

V=X

DX-BCC{T^A5CC1xC[D]=-^—S&BCD\=-x2xV?=V7

33,再由2得到

1?,

v—x3x4=____

yC「BCD1

一32-3,最后由體積相等解出即可.

【詳解】（1）證明：連接因?yàn)榈酌鍺8C。和側(cè)面48片4均為正方形，所以四邊形

8CCe為菱形，則2cl_L2C.

ABCD

由底面和側(cè)面CDDG均為正方形，得GA1BG,GA,eq.

因?yàn)槠珿CCG=G,所以Cd，平面5CC4.

又用cu平面2CG瓦，所以GA,BC.

因?yàn)?GnC|〃=G,所以用“平面8GA.

又BD\u平面BCR,所以8口_LBfi

⑵因?yàn)?削=120。，BC=BB、=2,所以％“一彳*2"3.

又CR1平面BCCA,所以kcc、=|xS.Bcc、*CR=當(dāng)

CDX=JCQ；+CC；=2V2BDl=4CQj+BC；=272

S?=-x2xV7=V7

則皿ca2

va_行d

設(shè)點(diǎn)G到平面2c口的距離為a,則G-BCD「1X,BCD、X-.，

Hid2V3,2V212V21

則3-3,解得-7,即點(diǎn)G到平面2cA的距離為7.

20.(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)題意，求導(dǎo)可得即可得到/(、)在a+8)上單調(diào)遞增，再由

/(%)>/(1)=0日口由、工用

jv7jv7，即可證明；

/、Inxa

⑵根據(jù)題意，構(gòu)造函數(shù)g⑺一n”"+求導(dǎo)可得g'G)>°,即gG)在(。，+8)上

單調(diào)遞增，再結(jié)合g°)=°,即可證明.

【詳解】⑴證明：因?yàn)椤?1,所以/(x)=xlnx-x+lnx+l,/(x)-lnx+-^

當(dāng)x>l時(shí)，-則,（X）在°，+吟上單調(diào)遞增,

所以當(dāng)X>1時(shí)，/（X）>/（1）=°

Inxa

f(x)=x(\nx-a^+h\x+a=x\lnx-4十---+—

(2)Ixx

1-lnxax+l-lnx-q

g(x)=Inx-tz++—g'(x)=—+

222

令XX,貝I]XXXX

令〃(x)=x+l-lnx-a,則"3=1一廠下,

當(dāng)xe(O,l)時(shí)，〃。)<0,"x)在(0,1)上單調(diào)遞減，當(dāng)xe(l,+oo)時(shí)，"(x)>0,〃(x)在

（1，+°°）上單調(diào)遞增,

，/、x+1-lnx-tz

所以，(x"，(l)=2-a>0,所以gOx2>

則g(x)在(°，+00)上單調(diào)遞增.

因?yàn)樗詆（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則/（X）恰有一個(gè)零點(diǎn).

X2J2

—+—=1

21.（1）96

（2）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于風(fēng)a°的方程，代入計(jì)算，即可求得結(jié)果;

（2）根據(jù)題意，分別表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而表示出岳,邑，然后結(jié)合橢圓的方程，代入

計(jì)算，即可證明.

c_V3

a3

2b=2aa=3

a2=b2+c2<b=y[6

c=VJ

【詳解】（1）由題可知，〔,解得

故橢圓C的方程為96

以、V=2J(X+3)叼0，上、

證明：設(shè)尸則直線尸/的方程為％。+3,令、=0,得I%+3人

廣上風(fēng)+&N一Rx。

Co-點(diǎn)?

直線總的方程為X。,令y