2024屆高三數(shù)學(xué)選填專項訓(xùn)練四試題含答案

2024屆高三數(shù)學(xué)選填專項訓(xùn)練（4）

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的）

1.已知全集為。=R,集合A={1,2,3,4,5},3={1,3,5,7},C={7},則下列論〃〃圖中陰影

部分表示集合C的是（）

2.已知復(fù)數(shù)Z滿足zG+DuS+fg,貝Ijz的共輾復(fù)數(shù)2的虛部為（）

3.從3雙不同的鞋子中隨機任取3只，則這3只鞋子中有兩只可以配成一雙的概率是（）

4.已知直線/：依+丁-2=0與。M-1）2+（丫一°）2=4相交于人、8兩點，則.費。為鈍角

三角形的充要條件是（）

A.ae(l,3)B.ae(2-a2+句

C.ae(2-V3,l)u(l,2+V3)D.-co,2-A/32+A/3,

5.已知函數(shù)〃尤）的部分圖像如圖所示，則/（x）的解

析式可能為（）

A.f（X）=XCOS7TX

B./（x）=（x—l）sin7TX

C.f（x）=xcos[^（x+l）]

D./(x)=(x-1)COSTUC

6.小李在某大學(xué)測繪專業(yè)學(xué)習(xí)，節(jié)日回家，來到村頭的一個池塘（如圖陰影部分），為了測

量該池塘兩側(cè)C,。兩點間的距離，除了觀測點C,。外，他又選了兩個觀測點P/,尸2,且

PiP2=a,已經(jīng)測得兩個角/尸/尸2。=*ZP2PID=/3,由于條件不足，需要再觀測新的角，

則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就可以求出C,。間距離的是（）

①NDBC和/OCP/；②NPjP2c和/P〕CP2；

③NBOC和NOCH.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.①和②和③

7.如圖（1）所示，已知球的體積為36兀，底座由邊長為12的正三角形銅片ABC沿各邊中

點的連線垂直向上折疊成直二面角所得，如圖（2）所示.則在圖（1）所示的幾何體中，下

列結(jié)論中正確的是（）

A.CD與8E是異面直線

B.異面直線與CD所成角的大小為45°

C.由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面面積為3兀

D.球面上的點到底座底面OEF的最大距離為3+如+而

8.已知。=68,6=7’,c=8$,則°,6,c的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.c>b>a

C.a>c>bD.a>b>c

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.已知橢圓C:《+《=l,耳工為C的左、右焦點，尸為C上一點，且即，￡區(qū),若「此

42

交C點于點。，則（）

A.△尸與。周長為8B.ZF}PF2<^

C.國1面積為亨D.閨。|=?

10.已知函數(shù)f（x）=J1+COS%+Jl-cos%,則下列結(jié)論正確的有（）

A.兀為函數(shù)/（%）的一個周期B.函數(shù)人九）的圖象關(guān)于直線％=]對稱

C.函數(shù)了（X）在0,|上為減函數(shù)D.函數(shù)"X）的值域為[0,2]

11.已知等比數(shù)列{4}首項4>1,公比為q,前〃項和為5“，前w項積為（，函數(shù)

〃x）=x（x+4）（x+4）…（x+%）,若代（0）=1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.{Igaj為單調(diào)遞增的等差數(shù)列

B.0<q<l

c.1s,-言，為單調(diào)遞增的等比數(shù)列

D.使得I>1成立的〃的最大值為6

12.已知函數(shù)是定義在（0,+“）上的函數(shù),廣⑺是〃尤）的導(dǎo)函數(shù)，若

獷（x）+d1（x）=e2，，且/g]=2e,則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/（x）在定義域上單調(diào)遞增

B.函數(shù)/'（X）在定義域上有極小值

C.函數(shù)e21nx的單調(diào)遞增區(qū)間為（1,+8）

D.不等式〃力>62工+6的解集為6,+，|

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.已知平面向量￡與6的夾角為45。，a=（-1,1）,|&|=1,則,+0=.

14.已知的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，若把其展開式中所有

的項重新排列，則有理項互不相鄰的概率為.

1119

15.若正數(shù)。，匕滿足上+；=1,則的最小值_______.

aba-\b-1

221

16.已知雙曲線E：r］-v左=l（a>0,6>0）,斜率為-§的直線與E的左右兩支分別交于A,

B兩點，點尸的坐標(biāo)為（-1,2）,直線AP交E于另一點C,直線交E于另一點D若直

2024屆高三數(shù)學(xué)選填題專項訓(xùn)練（4）答題卡

姓名分?jǐn)?shù)

一、選擇題

123456789101112

二、填空題

13..14,

15..16.,參考答案:

1.B

【解析】分析7與集合A、8的關(guān)系，可將集合C表示出來，進而可得出結(jié)論.

【詳解】已知全集為U=R,集合A={1,2,3,4,5},3={1,3,5,7},C={7},

所以，7eA,7eB,即A,所以，C=(^A)B,

故選：B.

2.D

【分析】對Z(3+i)=3+i2°23化簡求出復(fù)數(shù)z,再求出其共輾復(fù)數(shù)，從而可求出Z的共輾復(fù)數(shù)

Z的虛部.

【詳解】由z(3+i)=3+i2°23,得Z=1^(3-i)(3_i)_9-6i+i?_4_3.

(3+i)(3-i)-10~-5-i1

所以-z=4：3+五,

3

所以z的共軌復(fù)數(shù)2的虛部為:,

故選：D

3.C

【分析】由古典概型的概率公式，三雙不同的鞋子共有6只，共有盤=20種可能，滿足條

件的有C；C：=12種可能，進而可得結(jié)果.

【詳解】三雙不同的鞋子共有6只，共有C；=20種，三只鞋子中有兩只可以是一雙，則可

以是三雙中的一雙，其余一只為剩余4只中任意一只，共有C；C：=12種，則概率為P=.=w

故選：C

4.C

【解析】設(shè)圓心C到直線/的距離為d,根據(jù)已知條件可得出&<且，可出關(guān)于實數(shù)。的不

r2

等式，由此可解得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】圓C的圓心為C(l,a),半徑為廠=2,

由于一ABC為等腰三角形，若該三角形為鈍角三角形，則NG鉆<45,

設(shè)圓心。到直線/的距離為d,則d=

I+?i,

貝|sinNCA5=—=,整理可得a?_4a+l<0,解得2—g<a<2+A/^.

ryja2+l2

因為直線/不過圓心C,則2a—2w0,解得awl.

綜上所述，ae(2-V3,l)u(l,2+^).

故選：C.

【點睛】易錯點點睛：本題考查利用直線與圓相交求參數(shù)，本題通過一ABC為鈍角三角形求

參數(shù)。的取值范圍，除了分析出《〈走之外，還應(yīng)注意直線/不能過圓心，由此得出關(guān)于實

r2

數(shù)。的不等式組求解.

5.B

【分析】利用排除法，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可得到正確答案.

【詳解】利用排除法.

由圖像可知/(0)=0,排除D選項；

又圖像不關(guān)于原點對稱，，排除A選項；

對于B：當(dāng)xe(OJ)時，/(x)=(x-1)sin<0；當(dāng)xe(l,2)時，/(無)=(x-l)sin乃x<0；當(dāng)x=]

時，/(x)=(x-l)sin?x=0；符合要求.

對于C:/(x)=%COS[>T(X+1)]=-XCOS71X.

所以/(一龍)=xcos。(尤+1)]=—(-x)cos乃(一無)=xcos亦=-/(%),為奇函數(shù)，圖像應(yīng)該關(guān)于

原點對稱，不符合要求.

故選：B.

6.D

【分析】由正余弦定理知已知三角形兩角一邊或兩邊一角或三邊均可解出三角形任意一個量,

要求C,。間距離只需看O所在三角形是否已知兩角一邊或者兩邊一角即可.

【詳解】根據(jù)題意，4P,P[D的三個角和三個邊，由正弦定理均可以求出，中已知以，

/。鳥勺而.C。心中已知。鳥

若選條件①，則△口)1中已知兩角一邊，CD可以求；

若選條件②，由正弦定理可以求出C￡及NCK，所以可以求出，則在，co鳥中已

知兩邊及夾角運用余弦定理即可求出CD.

若選條③，則在C。鳥中已知兩邊及一角，用正弦定理即可求出CD

故選：D

7.C

【分析】取所中點N,M,利用給定條件證明BC〃〃及AB//。/，推理判斷A,B；

求出ABC外接圓半徑，結(jié)合球面截面圓性質(zhì)計算判斷C,D作答.

【詳解】取?！晁悬cN,M,連接AB,BC,AC,3M,aW,CN,如圖，

因ABEF為正三角形，則BM_LEF,而平面BEF_L平面DFE,平面BEFI平面DFE=EF,

BMu平面3EF,

于是得2平面DFE,同理CN_L平面￡>巫，即3M//CN,BM=CN=30

因此，四邊形3CM0是平行四邊形，有BCUNMIIDE,則直線CD與BE在同一平面內(nèi),

A不正確；

由選項A,同理可得AB〃D尸，則異面直線A8與CD所成角等于直線。尸與C。所成角60,

B不正確；

由選項A知，BC=MN=、DE=3,同理可得AB=AC=3,正.ABC外接圓半徑r=石，

由A、B、C三點確定的平面截球所得的截面圓是11ABe的外接圓，此截面面積為3無，C正

確；

47r

體積為36兀的球半徑R,由彳爐=36兀得R=3,由選項C知，球心到平面ABC的距離

(1=收-產(chǎn)="，

由選項A,同理可得點A到平面DFE的距離為3#，即平面ABC與平面DFE的距離為3#，

所以球面上的點到底座底面。所的最大距離為R+d+BM=3+3拒+屈,D不正確.

故選：C

8.D

【分析】根據(jù)式子結(jié)構(gòu)構(gòu)造函數(shù)“力=04-尤)hx,利用導(dǎo)數(shù)判斷出〃尤)在(6,口)上單調(diào)

遞減，得到81n6>71n7>61n8,進而得至!J6?>77>8,,即可得到答案.

【詳解】令/(x)=(14—x)lnx,貝！］尸(x)=Tiw+?-l.

因為y=-lux在上單調(diào)遞減，y=—■-1在(0,+00)上單調(diào)遞減,

所以/'(x)=-----1在上單調(diào)遞減.

，414

而廣(5)=—ln5+——1>0,/(6)=-^6+——1<0,

56

所以在(6,+8)上有/'(“<0.

所以f(x)=(14-x)lnx在(6,+8)上單調(diào)遞減.

所以〃6)>〃7)>〃8),即81n6>71n7>61n8

故68>77>86.故<2>b>c.

故選：D

9.AD

【分析】根據(jù)橢圓方程，求出對應(yīng)的”,瓦。，利用幾何性質(zhì)即可得出正確的選項

【詳解】由題意，在橢圓C：《+E=l中，a=2,b=c=④,不妨設(shè)尸在X軸上方,

所以/￡尸乙＞60。，故B錯;

△尸￡。的周長為4a=8,A正確;

設(shè)怩。|=狽閨。|=4一機,

在△尸7口中，閨砰+\PQ^2\Fip\.\PQ\l=由0「

13

得1+(加+3)2-2x1x(機+3)x§=(4—m)2=^>m,

所以寓。|=二，D正確;

/=如閶,

所以=-SAPFF=-xlx2V2xl=—,

△以也54Ptyt'2525

故c不正確，

故選：AD.

10.ABD

【分析】計算f（x+兀）=可判斷A;計算/（Ti-%）=/（%）可判斷B;將

/（x）=Jl+cosX+Jl-cosX化簡為/（無）=2sin（5+/,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷C,D.

【詳解】因為f（.x+兀）=Jl+COS（X+7t）+Jl-cos（；t+7t）=J1-COS尤+J1+COS尤=f（x）,

所以無為函數(shù)/（X）的一個周期，故A正確；

因為/（7I_X）=J1+COS（7I-X）+0-008（71-%）=Jl-COSX+J1+COSX=/（X）,

所以函數(shù)/（X）的圖象關(guān)于直線x對稱，故B正確；

因為/（x）=Jl+cosx+A/1-cosx=,2cos21jsin2,

因為xeo,|,所以々w0,弓,故/（X）=A/5COS_|+0S嗚=2sin（X）,

由于5+U勺，故〃無）=2sind+?）在卜用上為增函數(shù)，故C錯誤；

244224L2J

由C的分析可知/（x）=2sing+；）在0,|上為增函數(shù)，所以〃龍）e［夜,2］,

故D正確，

故選：ABD.

11.BCD

【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件判斷。<4<1,先判斷B；再結(jié)合等比數(shù)列的定義和

等差數(shù)列的定義判斷AC；最后數(shù)列前”項積的定義判斷D.

【詳解】函數(shù)"x）=x（x+4）（x+o2）…（x+?）,

則廣（X）=（X+4）（X+%）…（X+%）+x［（x+）（X+%）…（X+%）］，

因為了'（。）=1,所以％的…%=1,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得%為=a2a6=a3a5=a：,

所以'%=04=1,所以。4=1，

由4>1，可得0<4<1,故B正確;

因為等比數(shù)列｛4｝首項％>1,公比為4,所以4包=4,

則lga“+「lg%=lg—=lgq<°,故｛1g%｝為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，故A錯誤;

an

設(shè)

n

b=S_&=q(j]'二衛(wèi)/,貝|裊=毛—=4為常數(shù)，

'"1-q1-q1-qq-1134尸

q-i

因為0<q<l,所以含<0,q”單調(diào)遞減，

所以為單調(diào)遞增的等比數(shù)列，故C正確；

因為4%???%=1,且4>%…°，所以。1%…4>1，0<%<1,

所以使得<>1成立的〃的最大值為6,故D正確.

故選：BCD

12.AC

【分析】令M》)=#(x),得至小(》)=嗎，求得尸(x)=e2'-,(x),令網(wǎng)力=/一根(x),

%X

12x_2

利用導(dǎo)數(shù)得到〃(尤)>〃($=0,進而得到，可判定A正確，B不正確；求得g，(x)=J=,

進而可判定C正確；設(shè)必x)=〃x)-e2*-e且9&)=0,求得”(力="，可得

n'(x)=e24(2-4x)---4x2l,進而可判定D錯誤.

【詳解】<m(x)=#(x),則加(x)=/(x)+礦(x),

2x

2

因為步■(x)+無2-(X)=e\可得“X)+礦⑴=J,

x

又由〃尤)=個，可得/'(x)=mr(x)-x—m(x)_xf(^)+x2/r(x)-m(x)_e2%-m(x)

X2

2x1

令=e2x-m(x),可得〃(%)=2e2x-mf(x)=2e2x-----=e2x(2一一)=e2.r2x-1

X

當(dāng)X￡(o,g)時，/ir(x)<0,M%)單調(diào)遞減；

當(dāng)X￡(；,+oo)時，力(%)單調(diào)遞增，

所以/z(%)>h(^)=e-m(^)=e—；f(^)=e—；?2e=0,

即用x)>0,所以〃無)單調(diào)遞增，所以A正確，B不正確;

22x_2

由函數(shù)g(x)=#(x)—e2]nx，可得g〈x)=f(x)+xf'(x)——=——

令g'(尤)>0,即e2*-e2>0,解得x>l,

所以函數(shù)g(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為(L+8),所以C正確；

設(shè)0(x)=/(x)-e2*-e,則=則°，(x)=/，(x)_2e2*

因為4(x)+x7'(x)=e2)所以/。)=二二曾，

X

g、i，/、q2x-V(x)c2%e2x-xf(x)-2x2e2%

所以“(%)=-----2e2x=--------y-------,

XX

令n(x)=e2x-xf(x)-2x2e2x,

則nr(x)=2e2x-f(x)~xf\x)-4xe2x-4x2e2x

P^X

=2e2x----4.re2x-4x2e2x

X

=e2x(2-4x)---4x2

注意到時，2—4x<0,進而"(x)<0,〃(x)單減,

矢口了〉；時“〃

I<0,即0(x)vO.”

時°(x)單減，而所以D錯誤.

故選：AC.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，極值，利

用導(dǎo)數(shù)解決有關(guān)不等式的問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意合理構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)解決,

考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于難題

13.75

【分析】根據(jù)向量的模的平方等于向量的平方，代入可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，?=(-i,i),則時=&,

又由a與匕的夾角為45。，忖=1,貝1a+M2=/+2a)+『=2+2+l=5,

則卜+B卜氐

故答案為：A/5.

【點睛】本題考查向量的模、數(shù)量積的計算，屬于基礎(chǔ)題.

14.-

9

【分析】根據(jù)C=c：,可得〃=8,利用二項式展開式的通項公式求出有理項，再利用插空法

以及古典概型的概率計算公式即可求解.

【詳解】由C：=C：,得〃=8,

*

的展開式中的通項為38一C"6

當(dāng)丁=0,6時為有理項，其余7項為無理項，

A7A之7

所以有理項互不相鄰的概率為P=卡=￡.

7

故答案為：—

15.6

【分析】正數(shù)0,6滿足，+)=1,可得a>L且b>l；即a-l>0,且6—1>0；由，+。=1

abab

1191

變形為a-1=士；化―■+=為——+9(a-1)應(yīng)用基本不等式可求最小值.

b-\a-\b-\a-1

【詳解】解：.正數(shù)。，6滿足工+：=1,:.a>l,且6>1；

ab

工+工=1變形為—=1,:.ab=a+b,:.ab—a—b=0,(?-1)(^-1)=1,：.a—\=--—；

ababb-1

a—1>0,?-+——-=+9(〃—1)..2J-9((2—1)=6,

114

當(dāng)且僅當(dāng)一7=9(〃—1),即。=1土；時取“="(由于，>1,故取。=$,

a-13